CC BY
49
УДК 539.3
ЦИКЛИЧЕСКОЕ НАГРУЖЕНИЕ ТРЁХСЛОЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ
Э. И. Старовойтов, Д. М. Савицкий
Белорусский государственный университет транспорта,
Беларусь, 246653, Гомель, ул. Кирова, 34.
E-mail: edstar@mail .by
Рассмотрено деформирование физически нелинейного трёхслойного стержня при циклическом нагружении в температурном поле. Для описания кинематики несимметричного по толщине пакета стержня приняты гипотезы ломаной нормали. Предложена методика решения соответствующих краевых задач. Получены аналитические решения задач термоупругости и термоупругопластич-ности при прямом и обратном нагружениях. Проведён численный анализ решений.
Ключевые слова: циклическое деформирование, термоупругопластичность,
трёхслойный стержень.
Введение. Слоистые элементы конструкций нашли широкое применение в авиа-, ракето-, приборостроении и строительстве, поэтому разработка методик решения соответствующих краевых задач является актуальной проблемой. Исследованию напряжённо-деформированного состояния неоднородных элементов конструкций посвящены многие публикации, в том числе [1—4]. В рамках теории малых упругопластических деформаций [5] в монографии [6] рассмотрено циклическое деформирование однородных элементов конструкций.
1. Постановка краевой задачи при прямом нагружении. Рассмотрим трёхслойный стержень с жёстким заполнителем (рис. 1). Систему координат х, у, z свяжем со срединной плоскостью заполнителя. Принимаем, что в тонких несущих слоях 1, 2 справедливы гипотезы Кирхгофа, в жёстком несжимаемом по толщине заполнителе 3 нормаль остается прямолинейной, не изменяет своей длины, но поворачивается на некоторый дополнительный угол ф(х), через w(x) и и(х) обозначены прогиб и продольное перемещение срединной плоскости заполнителя. На торцах предполагается наличие жёстких диафрагм, препятствующих относительному сдвигу слоев, на границах слоев — склейки. Температурное поле Т\% в fc-том слое рассматриваемого стержня считаем известным.
С помощью введённых гипотез продольные перемещения в слоях выражаются через три искомые функции и(х), ф(х) и w(x):
= и + сф — zw,x (с ^ Z ^ С + hi),
= и + zip — ZW, х (—c^z^c), (1)
и(-2-) = и — сф — zw,x (—с — Л-2 ^ -г ^ —с),
Эдуард Иванович Старовойтов (д.ф.-м.н, проф.), заведующий кафедрой, каф. строительной механики. Дмитрий Михайлович Савицкий, аспирант, каф. строительной механики.
г 1 Ч * г к | 1 к | 1 \ У
1 1 I р(х) X 1
с 3 3
с 0 / 0
2 2
1
Рис. 1
где запятая в нижнем индексе обозначает операцию дифференцирования по следующей за ней координате.
Компоненты тензора деформаций следуют из соотношений Коши и выражений (1), напряжения — из закона Гука. Внутренние силы и моменты вводятся соотношениями
3 3
Ж = М д/ • Я = с(Ж(1) -ДГ(2))+м(3), <5 = <5(3),
к=1 к=1 (2)
= Ьо ( М^ = Ьо ( сг^гсЬг, <5^ = &о /
•У /г•'Ь.к
(к) (3) „ ,
где сг.т.т , ихх — компоненты тензора напряжении, Ьо — ширина сечения стержня, интегралы берутся по толщине 1гк каждого из слоёв.
Пусть на рассматриваемый стержень, наружные несущие слои которого выполнены из упругопластического материала, а несжимаемый по толщине заполнитель — нелинейно-упругий, действует распределенная силовая нагрузка р'(х), </(ж), при этом соответствующие траектории нагружения относятся к классу простых [5]. Один штрих вверху здесь и в дальнейшем обозначает нагружение из естественного состояния. Для связи напряжений и деформаций используются соотношения термопластичности в форме [2]:
з'£] = 2Ск(Тк)Г{к)(е(и),Тк)е'£\ т
а,(-к) = ЗКк(Тк)(е'{к) - акТк) (к = 1, 2; г, ] = х, у, г), >
где вх:т\ е'хх'1—девиаторные, а'^к\ е—шаровые части тензоров напряжений и деформаций; Ок, Кк — термозависимые модули сдвига и объёмного
деформирования; ак — коэффициент линейного температурного расширения;
/'{к) — функция пластичности Ильюшина при нагружении из естественного состояния
г!(к)/ (к) Гр ч _ ( 1, £и ^ ^ £у \Тк),
\ 1-и'Ю(е%к),Тк), е[{к) >4к)(Тк),
/(к} /(/с)
£и —интенсивность деформаций, £у —деформационный предел текучести материала, е'}3^ — предел физической нелинейности материала заполнителя.
Выделим в напряжениях (3) упругие (индекс «е») и неупругие (индекс «Сс>») слагаемые:
1{к) = 1{к)е _ 1{к)ш /(3) = /(3)е _ /(3)ш
и хх и хх и хх ч и хг и хг и хг >
где
иТе = 2Оке2] + ЪКк(еИк) - акТк), а2)ш = 2Ске2)^к\ а^к)ш = 2С3е^)ш/(3), о'^к)ш = 2С3е^)ш/(3).
Проведя подобную операцию с внутренними усилиями (2), получим
]\[Кк) = ]^Кк)е _ ]\[Кк)ш ^ м(1к) = м,<ук^е — М,<ук^ш, = <5/(-3^е — <5/(-3^, (4)
где
= Ь0 [ о2)е(1г, = Ъ0 [ (т2)ш(^, М^е = Ьо [ (т2)ег(1г,
М'^ш =Ь0 [ ^к)шгйг, <3'(3)е = Ь0 [ 43)е(1г, <3'(3)ш = Ь0 [ о'£)шйг.
О Нк о —с </ —с
Уравнения равновесия трёхслойного стержня получим, используя принцип возможных перемещений Лагранжа
5А = 5\¥, (5)
где
5А = Ьо / (р'би + д'5ъи)йх ■1о
— вариация работы внешней поверхностной нагрузки.
Вариация работы сил упругости учитывает работу касательных напряжений в заполнителе:
г з
5\У = Ьо /
5є'^ (1г + 2 / (1г
-}*=\ ^к ^3
(1х. (6)
С помощью соотношений (1) вариации деформаций в (6) выражаются через вариации независимых перемещений 5и, 5ф и 5ъи. Подставив полученные выражения в уравнение (5) и приравняв нулю коэффициенты при независимых вариациях, получим в итоге систему дифференциальных уравнений равновесия трёхслойного стержня в перемещениях:
,хх }ххх Р Рш>
а^и^хх }хх ,Ххх О'б'Ф Лш (7)
,ххх СЦИ) ,Хххх Ч Чш",
где для коэффициентов имеем
Я-1 — К\ + Н\ + К.2 + Л-2 + 2Кз + С, 0-2 — с2
2
Кі + Лі + К2 + Л2 + -К3 + с
о
аз = С
К\ + Л-1 (с + 2 ^1) ^ ^2 (с + 2 ^2) ^ з с2 ’
а4 = К^ Л.1 (^с2 + сЛ 1 + ^Л2^ + Л-2 (с + сЛ2 + ^ с3,
а5 = 2С3с, а^, = с[Кх + Н\ - Н2\,
07 = ^"1"Л-1 (с + — Л^ — ^2~Л-2 (с + 2 ^2) > = Кк +
Величины Н'ш, ц'ш учитывают физическую нелинейность материалов слоёв и вычисляются по формулам, следующим из (4) и (5):
р1 = ^м% К = Ьн%-о'ш), о'ш = ^м%х,
Оо Оо О о
4 3 г 4 3 г
^ = Мш = -Ъ0^Ск (8)
&=1 /с=1 '^к
д/ш = 260С3 J о^'сйг.
Система дифференциальных уравнений (7) нелинейная, поэтому для решения необходимо использовать приближённые методы, например, метод «упругих» решений Ильюшина. Предположим, что в (7), (8) содержится малый параметр, например, все < 1. Тогда возможен метод итераций, при котором для любого п-ного приближения система уравнений (7) преобразуется к виду
/(га) </(п) /(га) / /(га—1)
а\и,Хх + абу},хх ~ а7ь);хЬх = -р +Рш ,
п Л- п -)//(") _ п пЛП^ — п -,//(» — (СП
Чей,хх 1 Я-2Ф,хх ,ххх Ч5Ф — /Т'Ш 1
/(га) ,1(п) /(га) / . /(га—1)
Ч^и,ххх ~\~ Я-3Ф,ххх 0-410,Хххх — <? “Ь Яш
тз /(га—1) ,/(«,—1) /(га—1)
Величины , Пш , Яш , соответствующие неупругим составляю-
щим, на первом шаге (п = 1) принимаются равными нулю, а в дальнейшем вычисляются по результатам предыдущего приближения и носят название дополнительных «внешних» нагрузок. Они служат поправками на пластичность и физическую нелинейность материалов слоёв:
/(гг—1) }_ дт-/Цгг-1) ./(гг-1) }_ / тт/ш(п-1) _ гл1ш{п-1) \ /(гг-1) }_ дд7ш(га-1)
гш 7 1У ,х > 11,ш 7, \1±,х V Чш 7 1У1,хх >
Оо ОО Оо
3 , 3
д/7ш(га—1) = ^-^(га-!) = 1б0 V] [ С^^е'^-^Ух^^Лг,
к=1 3 /с=1 ^
3 3
М/Цга-1) = у'м/(Л)(га-1) = 1&0 V] [ СкШ,(-к\е^П-1))е'£)(-П-1^(1г, ^
к~ 1 &=1 ^
1) _ с^у/(1)Цга-1) _ д^/(2)ш(га-1)^ _|_ ^/(З)ш(га-1)
д/Цга-1) = 250 ^
Применение метода упругих решений позволяет на каждом шаге приближения рассматриваемую задачу сводить к линейной задаче термоупругости с
дополнительными «внешними» нагрузками (10). Решение системы (9) можно выписать в следующем рекуррентном виде:
ф^п\ж) = С2^ вЬ(/Зж) + С'з™') сЬ(/Зж) +
1
вЬ(/Зж) / д/<-га-) сЬ(/Зж)с£ж — сЬ(/Зж) / в]і(/3ж)с£ж
и
IV
/(га)
(ж) = 7з'0/(га) +-----------------а4Ь2-1(р/ -^га-1)) +
СК2
+й7^з 1}) + 7ГС'і,г)ж2
+ С'<га)ж + С'<га),
'^(ж) = — 0,2
су,\ J ,ф1^с1х — а7Ь31(р1 — р%п 1-)) +
+аіЬ41(дІ - д'(п :)) + -(цС[п)х3
+
+1сіп)х2 + сіп)х + сіп\
(П)
где Ь11, Ь2 1, Ь3 1, Ь4 1 — линейные интегральные операторы,
ь11{э) = J 9йх,
9'{п\х) = ^-Ъ^п~1) +72{р'-р^-1)) +71 (У (<?/-<?5га“1))^ + С'5га)),
2 01050:2 аіскі
р = ----------------2 > °> 71 = ------------2 >
а2а з — а2а з —
72 =
(1&ОІ2 — (1т(Х\ скгскз — а2 ’
аза7 — 2 / п
7з =---------;-------, а2аз - «і т 0, си і = аіа3 - а6а7,
СК2
СК2
аіа4 — а7, аз = аіаг — а6.
Константы интегрирования С^, С^\ ..., на каждом шаге приближения следуют из условий закрепления стержня. В случае жёсткой заделки левого конца стержня при свободном правом торце граничные условия следующие:
ж = 0 : -и)' = ы',х = и' = ф1 = 0, х = 1 : М' = М',х = И' = ф' = 0.
2. Повторное термосиловое нагружение. Пусть начиная с момента осуществляется мгновенная разгрузка и повторное нагружение усилиями обратного знака р", ц11, изменяющимися по тому же закону, что и при нагружении из естественного состояния. Эти усилия создадут в стержне поле перемещений и11, ф", ь)", деформации е^\ е^\ е"^ и напряжения о'^к\
о"(к\ При этом будем предполагать, что за время разгрузки и последующего переменного нагружения температура во всех точках тела остается неизменной, совпадающей с полем температуры к моменту начала разгрузки, т. е. Т\(х) = Т(г,Ь 1) и модули упругости приняли фиксированные значения Ск(г) = Ск(Т1(г)), Кк{г) = Кк(Т\(г)), причём соответствующие траектории нагружения по-прежнему относятся к классу простых.
Введём для всех характеристик напряжённо-деформированного состояния и нагрузки разности, в которых величины с одним штрихом — напряжения, деформации и перемещения в стержне перед разгрузкой, двумя штрихами помечены аналогичные параметры в процессе второго полуцикла:
Для величин в (12), отмеченных звёздочкой, примем физические уравнения состояния типа (3):
Соответствующие универсальные функции нелинейности в несущих слоях полагаем выраженными через функции пластичности при нагружении из естественного состояния:
где А*1к, сх*1к — экспериментальные параметры материала /с-того слоя, входящие в соответствующую аппроксимационную формулу.
Физическая нелинейность заполнителя на втором полуцикле в силу отсутствия в нём остаточных деформаций по-прежнему описывается соотношениями (3).
Компоненты напряжений и деформаций со звёздочками, используя физические соотношения (13), представим в виде
Проведя подобную операцию с величинами типа внутренних усилий (2), итерационные уравнения (9) для величин со звёздочками записываем в виде
и* = и' — и", ф* = ф1 — ф", IV* = «/ — ы", д* = д' — д", р* = р1 — р".
45* = 2Ск(Тк)/^*{£^,Тк)е^*, <тЮ* = гк[к)еЮ* (к = 1,2,3). (13)
(14)
где
ст{к)е* = 2 Ске{к)* + Жке^к> ^-(3)6* ______ р(3)*
и,и±
0,02
ф -0,01 -0,02 -0,03 -0,04
-0,05 х 0
Рис. 2
0,02
0,01
О
-0,01
-0,02
-0,03
2!
"У
О 0,2 0,4 0,6 0,8 X
Рис. 3
-0,03
-0,05
Уравнения равновесия для величин со звёздочками в (15) с точностью до обозначений совпадают с уравнениями (9) и отличается только отсутствием температурных слагаемых в (14). Поэтому аналитическое решение (15) будет иметь рекуррентный вид типа (11).
Перемещения в процессе второго полуцикла получим из соотношений (12):
v!'(x) = v!(x) — u*(x), ip"(x) = tp\x) — ip*(x), w"(x) = w'(x) — w*(x),
где величины с одним штрихом — напряжения, деформации и перемещения перед разгрузкой.
Числовые результаты получены для трёхслойного стержня, слои которого выполнены из материалов Д16Т-фтороиласт—Д16Т. Для описания зависимости параметров упругости несущих слоёв от температуры принимаются известные соотношения [2,3].
Здесь и далее параметры слоёв: h\ = h2 = 0,03, с = 0,09; интенсивность распределённой нагрузки q = —0,75 МПа, р = 0. Температура принята одинаковой во всех слоях стержня. Численные результаты продемонстрировали практическую сходимость метода итераций. За искомое решение принято восьмое приближение, которое отличается от предыдущего менее чем на 1 %.
На рис. 2 показаны перемещения в трёхслойном упругопластическом стержне (а — прогиб, б — относительный сдвиг в заполнителе): 1—упругие изотермические (Т\ = 293 К), 2 — упругие термосиловые (Т2 = 343 К), 3 — упругопластические изотермические (Т\ = 293 К), 4 — упругопластические термосиловые (Тз = 343 К) перемещения. Здесь учёт физической нелинейности материалов слоёв повышает упругие расчётные перемещения на 20 %, при нагревании на 50 К —на 22 %.
На рис. 3 кривые с одним штрихом соответствуют нагружению из естественного состояния, с двумя штрихами — повторный изгиб знакопеременной нагрузкой: 1 —перемещения упругого стержня, 2 — изотермическая упруго-пластичность, 3 — термоупругопластический изгиб (Т = 343 К).
Прогиб и сдвиг при повторном нагружении уменьшаются на 3-4 %, как при «холодной», так и при «горячей» пластичности, что объясняется циклическим упрочнением материала.
Выводы. Таким образом, предложенная методика позволяет исследовать напряжённо-деформированное состояние трёхслойного физически нелинейного стержня при повторном знакопеременном нагружении в температурном поле. При этом решение новой краевой задачи строится по известному решению соответствующей задачи о нагружении из естественного состояния. Следует подчеркнуть, что приведённые решения справедливы только в области малых упругопластических деформаций при простых нагружениях.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ю. М. Плескачевский, Э. И. Старовойтов, Д. В. Леоненко, Механика трёхслойных стержней и пластин, связанных с упругим основанием. М.: Физматлит, 2011. 560 с. [Yu. М. Pleskachevskiy, Е. I. Starovoytov, D. V. Leonenko, Mechanics of three-layer beams and plates connected with the elastic foundation. Moscow: Fizmatlit, 2011. 560 pp.]
2. E. I. Starovoitov, F. B. Naghiyev, Foundations of the Theory of Elasticity, Plasticity, and Viscoelasticity. Toronto, New Jersey, Canada, USA: Apple Academic Press, 2012. 346 pp.
3. А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, Д. В. Леоненко, “Колебания трехслойных стержней под действием локальных нагрузок различных форм” // Экологический вестник науч-
ных центров ЧЭС, 2004. №1. С. 45-52. [A. G. Gorshkov, Е. I. Starovoytov, D. V. Leonenko, “Vibrations of three-layer beams under the action of local loads of different forms” // Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov ChES, 2004. no. 1. Pp. 45-52].
4. Starovoitov E.I., Leonenko D. V., “Deformation of a three-layer elastoplastic beam on an elastic foundation” // Mech. Solids, 2011. Vol. 46, no. 2. Pp. 291-298.
5. А. А. Ильюшин, Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации. М.: Гостехиз-дат, 1948. 376 с. [A. A. Ilyushin, Plasticity, Part 1: Elastic-Plastic Deformations. Moscow: Gostechizdat, 1948. 376 pp.]
6. В. В. Москвитин, Циклическое нагружение элементов конструкций. М.: Наука, 1981. 344 с. [V. V. Moskvitin, Cyclic Loading of Structural Elements. Moscow: Nauka, 1981. 344 pp.]
Поступила в редакцию 23/X/2012; в окончательном варианте — 17/IV/2013.
MSC: 74С05; 74К10
CYCLIC LOADING OF THREE-LAYER BEAM IN A TEMPERATURE FIELD
E. I. Starovoitov, D. M. Savitskiy
Belarusian State University of Transport,
34, Kirova St., Gomel, 246653, Belarus.
E-mail: edstar@mail .by
The deformation of three-layer elastoplastic beam under the cyclic loading in a temperature field is considered. For the description of kinematics of asymmetrical on the package thickness beam the hypotheses of broken normal are accepted. The method of solving the corresponding boundary-value problems is given. The analytical solutions of thermoelasticity and thermo-elasto-plasticity problems under the direct and reverse loading are received. The numeric analysis is conducted.
Key words: cyclic deformation, thermo-elasto-plasticity, three-layer beam.
Original article submitted 23/X/2012; revision submitted 17/IV/2013.
Eduard I. Starovoitov (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Head of Dept., Dept, of Building Mechanics. Dmitriy M. Savitskiy, Postgraduate Student, Dept, of Building Mechanics.
