Импульсные воздействия на трехслойные круговые цилиндрические оболочки в упругой среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

10. Blinkov Yu. A., Mozzhilkin V. V. Generation of Difference Schemes for the Burgers Equation by Constructing Grobner Bases. Programming and Computer Software, 2006, vol. 32, no. 2, pp. 114— 117. DOI: 10.1134/S0361768806020095.

11. Gerdt V. P., Blinkov Yu. A., Mozzhilkin V. V. Grobner Bases and Generation of Difference Schemes for Partial Differential Equations. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 2006, vol. 2, 26 p. URL: http://www.emis.de/journals/SIGMA/2006

УДК 539.374

/Paper051/index.html (Accessed 02, March, 2015). DOI: 10.3842/SIGMA.2006.051.

12. Gerdt V. P., Blinkov Yu. A. Involution and Difference Schemes for the Navier - Stokes Equations. Computer Algebra in Scientific Computing, Lecture Notes in Computer Science, 2009, vol. 5743, pp. 94-105. DOI: 10.1007/978-3-642-04103-7_10.

13. Gerdt V. P., Robertz D. A Maple Package for Computing Grobner Bases for Linear Recurrence Relations. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, 2006, vol. A559, pp. 215-219. DOI: 10.1016/j.nima.2005.11.171.

ИМПУЛЬСНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА ТРЕХСЛОЙНЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ В УПРУГОЙ СРЕДЕ

Д. В. Леоненко1, Э. И. Старовойтов2

1 Доктор физико-математических наук, профессор кафедры строительной механики Белорусского государственного университета транспорта, Гомель, [email protected]

2Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой строительной механики Белорусского государственного университета транспорта, Гомель, [email protected]

Рассмотрены вынужденные колебания трехслойной цилиндрической оболочки в упругой безынерционной среде Винклера, возникающие под действием импульсных нагрузок. Для изотропных несущих слоев приняты гипотезы Кирхгофа - Лява. В толстом заполнителе учитываются работа поперечного сдвига и обжатие по толщине. Изменение перемещений принято линейным по поперечной координате. На границах контакта используются условия непрерывности перемещений. Получен ряд аналитических решений и проведен их численный анализ.

Ключевые слова: колебания, трехслойная цилиндрическая оболочка, собственные частоты, импульсные нагрузки.

ВВЕДЕНИЕ

Трехслойные пластины и оболочки нашли широкое применение в современных отраслях промышленности. Это обусловливает необходимость разработки методов их расчета. Различные модели упругих трехслойных конструкций предложены в [1]. Монографии [2-4] посвящены исследованию статического и динамического деформирования трехслойных пластин и оболочек, не связанных с упругими средами. В монографии [5] рассмотрены различные модели упругой среды, с которой связаны элементы конструкций при деформировании, в том числе исследовано деформирование однородных конструкций на упругом основании. Задачи квазистатического деформирования трехслойных стержней и пластин на упругом основании разобраны в работах [6-9]. Статья [10] посвящена гармоническим колебаниям физически круглых нелинейных трехслойных пластин. Нестационарные колебания упругой среды, ограниченной двумя эксцентричными сферическими поверхностями, и распространение нестационарных волн в упругом слое рассмотрены в [11,12].

Одной из самых важных с практической точки зрения задач динамики является исследование спектра частот собственных колебаний. Ее решение позволяет определить собственные частоты и формы, знание которых необходимо для решения задач о колебаниях трехслойных конструкций при различных видах внешних воздействий. Здесь рассмотрены вынужденные колебания трехслойной цилиндрической оболочки в упругой среде при импульсных внешних нагрузках.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В тонких изотропных несущих слоях трехслойной круговой цилиндрической оболочки приняты гипотезы Кирхгофа-Лява. В толстом заполнителе учитываются работа поперечного сдвига и обжатие по толщине. Изменение перемещений принято линейным по поперечной координате. На границах контакта слоев используются условия непрерывности перемещений. Деформации малые.

Через Нк обозначена толщина к-го слоя, Н3 = 2с (рис. 1). За независимые переменные принимаются пО,, шк — тангенциальные перемещения и прогибы точек срединных поверхностей несущих слоев (к = 1, 2) в направлении осей ха, г правой системы координат, отнесенной к линиям главных кривизн срединной поверхности заполнителя и к внешней нормали соответственно. К внутренней поверхности оболочки приложена распределенная нагрузка дг2, к внешней — реакция упругой безынерционной среды Винклера q\r = —к0-ш1, к0 — коэффициент жесткости упругой среды.

В результате выражения для перемещений в несущих слоях (с < г < с + Н1, —с — Н2 < г < —с) будут иметь вид

па = пка + (г т ак)ф£, ак = с + 0.5Нк,

Фк = —шк,1, Фк = (Я ± ак)-1 (пк — шк,2) .

(1)

Рис. 1. Расчетная схема нагружения

Здесь и далее греческие индексы принимают значения 1, 2, латинские — 1, 2, 3 (если другое специально не указано); нижний знак в формуле соответствует индексу к = 2 (номеру слоя); — угол поворота деформированной нормали в к-м несущем слое; Я — радиус оболочки. Частное дифференцирование по координате обозначается соответствующим нижним координатным индексом, следующим после запятой.

Из условия непрерывности перемещений на границах контакта слоев для заполнителя (—с < г < с, верхний индекс «3») следует:

¿12 = 0.5^(1 ± г/с) (пк ± 0.5Нк шк,1),

к=1

п32 = (1 ± г/с) ((0.5 т Вк2) пк ± В 2ш к,2),

ш3' =

0.5 ¿(1 ± г/с)

ш

к=1

к=1

-1 -1

Вк1 = Нк/4, ак = с + 0.5Нк, Вк2 = 0.25Нк (1 ± ак/Я) 1Я

(2)

Уравнения движения трехслойной оболочки и силовые граничные условия следуют из вариационного принципа Лагранжа:

5^ + 5Ад = А/, (3)

где 5^ — вариация работы внутренних сил упругости, 5Ад — вариация работы внешних сил и упругого основания, 5Ах — вариация работы сил инерции.

С учетом поперечных сдвигов и обжатия заполнителя имеем:

Г 3

5^ = 2п У У акв(Я + г) ^ +1 (2^33з^е^'з + 4з5е33) (Я + г) ^ 0 1_к= нк н3

йх1,

5А^1 = 2п

q2a[ 5па — Н2+ q35-) (Я — с — Н2) + q3r5- (Я + с + Н1 ) ) ^Х1, 3 ¿1

5А/ = 2п^ [ ( [рк (-к25шк2 + пка*5пка*)} (Я + г) к=10 ¿к

(4)

где напряжения ак и деформации ек в слоях связаны законом Гука, рк — плотность материала к-го слоя, 11 — линейный размер оболочки в направлении координатной оси х1, суммирование производится по повторяющимся греческим индексам, точки над перемещениями — производные по времени.

Подставив в вариационное уравнение (3) выражения для вариаций работ (4) и проведя с помощью (1), (2) стандартные преобразования, получим в общем случае шесть уравнений движения

2

цилиндрической трехслойной оболочки в упругой среде:

£

к=1

к е^ к

ата1 дха +ата2 ох}

к \ к к д2 пкв

2 + ата3 иа + ата4 ~-"--+

к к к д3 + I ата5 дха + ата6 дх| + ата7 дхадхв

дхаОхр

- ьтит = (Т0.5^тст5а2 - Я) ттС5т2,

2

£

а,к = 1

,ак

д 4

т31 дха + ат32 дх2<9х2 + "т33 <9х«

д 4

+ а

ак

д 2

Т + ат34 — К0 Ятт 5тк 51 т

+ атз5 7

5 дх3

д

+а т36 дха

,ак

+ а

ак д

т37 Ох«дх2

- ^«Г =

-Ятт52т № ± 0.5Дт (зТ,1 + Я-1 с^Т,2)] (т, а,в = 1, 2; а = в),

(5)

где 5тк — символы Кронекера, а,тпр — 49 коэффициентов, выраженных через геометрические характеристики слоев, параметры упругости материалов слоев и жесткости наполнителя к0, например

ат = К+Нк (1 ± ак) + К+с (2 ± с) /3, а«и = К+с/3, а«3г = ТКзВк2Д«С/3 т ОзБ^с (На/3 + 4^) /3, тт = 1 ± (с + Дт) Я-1, ьт = 2Я [рт/Г + 0.25рз ] , ьт = ьт, ьт = 2я[рт Г/т + 2Я-1 (1 ± а1 /Я)-1 /т + Я-2(1 ± а1/Я)-24т) + Рз(Вт2)21±

/к =

1 + = / (1 ± ¿/с)2 (1 + |) /зк = / (* так)(1 + |)

Ьэ

Уравнения (5) учитывают силы инерции в оболочке, возникающие вдоль трех координатных осей, т.е. соответствуют объемно-инерционной модели.

Силовые граничные условия формулируются из требования выполнения в каждой точке координатной линии равенства заданных обобщенных усилий и моментов внутренним силовым факторам, входящим в выражения контурного интеграла вдоль той же линии. Иначе говоря, на каждом торце формулируется по восемь граничных условий. Кинематические условия свободного опирания торцами на жесткие неподвижные опоры будут:

т к = и к,1 = т к,п =0 (к = 1, 2). В случае жесткой заделки должны выполняться требования

и к = и к = т к = т к,1 = 0 (к = 1, 2).

(6)

(7)

Начально-краевая задача определения перемещений замыкается добавлением к уравнениям движения (7) профилей начальных перемещений и скоростей срединных поверхностей несущих слоев:

и«(хв, 0) = и«0(хв), иа(хв, 0) = и«о(хв), т к(хв, 0) = тк(хв), т к(хв, 0) = (хв) (а,в,к = 1, 2).

(8)

2. РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Метод Бубнова - Галеркина позволяет представить искомые перемещения и нагрузку в виде разложения в ряды по системе базисных функций ^втп, ^зтп:

ив = Е ^тп (х, р) Тктп (*), = £ ^п (х, р) Т^), = £ ^тп (х,р) д^пЮ- (9)

т,п

За счет выбора базисных функций должны удовлетворяться заданные граничные условия. Подставив выражения (9) в уравнения (5), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для

к

з

к

и

определения искомых функции времени Т1тп (£):

6

Р1зтпТтп + ОДтп (*) = ЬТ\тп (I = 1, . . . , 6). (10)

3 = 1

В случае жесткого закрепления торцов оболочки (7) и при соответствующем выборе базисных функций перемещения (9) принимают вид

k v^ (2nm \ k

ui sin( "- nm ) cos Tlmn (í)

k = £

m / (—1) — cosí l x — nm

wk

E; lAm /2nm \

(—1) — cos I ^ x — nm I

sin (np) T2kmn (í), cos (np) Tkmn (í),

= 1] ^«mn (X,P) qLn (í). (11)

m,n

Кинематические условия свободного опирания торцами на жесткие неподвижные опоры (6) удовлетворяют перемещения

ж ж

k v^ nmx , , k ^ k v^ • nmx . , % rTlk ,Л

uk = co^^ cos(np) Tkmn(í), uk = sin — sin(np) T2kmn (í),

m,n=0 m,n=0

wk = ^ sin ^ cos(np) Tkmn(í), qk = Vjamn (x, p) qLn(í), (12)

m,n=0 m,n

где T1knn(í) — искомые функции времени, удовлетворяющие уравнению (10).

2.1. Собственные колебания

Рассмотрим задачу о собственных колебаниях трехслойной цилиндрической оболочки с упругим наполнителем. Уравнения движения получим из (5), положив qm = 0. Предполагая, что все точки конструкции совершают колебания с одинаковой частотой штп, уравнения для ее вычисления получим из (10), приняв функции Tjmn(í) в виде

Tlmn (í) = Almn sin(wmn í + «mn), (13)

где Almn, wmn, amn — амплитуды, частоты и начальные фазы колебаний, определяемые из начальных условий (8).

Подставив функции (13) в систему (10), придем к обобщенной задаче на собственные значения. Численные результаты здесь и далее получены для круговой трехслойной цилиндрической оболочки в упругой среде Винклера, свободно опертой торцами на жесткие неподвижные опоры. Несущие слои — сплав Д16Т, заполнитель — фторопласт. Относительные толщины слоев: h1 = h2 = 0.02, c = 0.025. Коэффициент жесткости среды к0. Учтены силы инерции вдоль трех координатных осей. Линейные перемещения отнесены к радиусу оболочки, время измеряется в секундах. Собственные частоты оболочки wmnp (p = 1,..., 6, m, n = 0,..., 2, L = 2R, 10R), полученные без учета жесткости окружающей среды, приведены в таблице.

u

k

ж

Частоты собственных объемных колебаний трехслойной оболочки итПр (-1)

р т/п Ь = 2Я Ь = 10Я

0 1 2 0 1 2

1 0 0 187 0 0 187

2 0 1728 3454 0 1728 3454

3 0 3602 4800 5660 3602 4800 5660

4 4478 5023 7847 4478 5023 7847

5 4485 5815 8674 4485 5815 8674

6 32958 32961 32973 32958 32961 32973

1 2715 1780 1068 543 186 200

2 2822 3645 4680 938 1935 3527

3 1 5239 5509 6269 3655 4826 5685

4 6068 7168 9511 4518 5110 7917

5 7234 8103 10326 4621 5921 8745

6 32964 32968 32982 32958 32962 32974

1 3021 2701 2130 1086 581 312

2 5429 5804 6635 1774 2372 3725

3 2 7032 7238 7828 3859 4912 5761

4 11433 11995 13490 4614 5365 8127

5 12203 12735 14240 5024 6230 8954

6 32993 32999 33022 32959 32962 32975

На рис. 2 а, б (£ = 10^ соответственно) показано изменение первых трех частот ^01р (1 — ы011, 2 — ы012, 3 — ^013) рассматриваемой оболочки в зависимости от коэффициента жесткости к0 упругой среды. При уменьшении жесткости частота ы011 уменьшается до нуля (см. таблицу). Наличие упругой среды практически не влияет на частоты ^012 для обеих оболочек. В короткой оболочке (£ = 2^) частота <^013 не зависит от жесткости окружающей среды. В длинной оболочке (£ = 10Д) при к0 > 109 Па/м эта частота ^013 резко возрастает.

ю-ю"

3

2

ю-10"

16

10'

10

109

1010 1011 к,

0

3

/

_1

2

10'

108

109

1010 101

к

о 10 10 10 10 10 '"0

а б

Рис. 2. Зависимость частот колебаний о>о1р от коэффициента жесткости среды к0

2.2. Вынужденные колебания

Искомые функции времени Т1тп (£) представляются в виде разложения в конечный ряд по системе собственных ортонормированных функций:

6

Т1тп ^ ^ ^¿тпг Стт • (14)

г = 1

Подставляя (14) в (10) и используя свойство ортогональности собственных форм колебаний, приходим к шести независимым уравнениям относительно собственных функций времени Стт (для каждого т и п):

66

Стт + ^т т Стт 5тт (*), 5~тт = Е «тпйтт / £ ^ Ст, (15)

1=1 / 1=1

где дтт — компоненты приведенной нагрузки, — коэффициенты форм.

4

2

8

0

8

После решения уравнений (15) искомые перемещения представляются в виде сумм произведений (,'тпг на соответствующие коэффициенты и исходные координатные функции по типу частных случаев (11), (12).

Как правило, нагрузку считают импульсной, если время ее воздействия не превышает четверти периода самой меньшей из собственных частот колебаний. Примером импульсного нагружения оболочки, находящейся в упругой среде, может служить воздействие подводного взрыва, произведенного на некотором удалении от исследуемой конструкции. В дальнейшем учитываем инерцию оболочки вдоль ее оси и радиуса.

Пусть на рассматриваемую трехслойную круговую цилиндрическую оболочку в начальный момент времени действует осесимметричная импульсная нагрузка. Ее будем моделировать дельта-функцией Дирака ОД:

д?(ж, *) = д?(х)ед. (16)

где д (ж) — мгновенно приложенный импульс в начальный момент времени ¿0 = 0.

Коэффициенты разложения нагрузки (16) в ряд по формам колебаний при свободном опирании торцов оболочки будут иметь вид

яЧт =

ьдт

т

ь

к, Л /пш . . д1 (ж) ео8 ^

пк =25 (*)

д3т = ь

д3(ж)81п( = ж) ^ж. (17)

Функция времени (£) с учетом (17) запишется в виде

е08(^т^ ¿) + Bmi 81п(^т^ ¿) +

(18)

В случае воздействия импульса равномерного гидростатического давления интенсивностью 92 = 91 = еоп81 коэффициенты (17) будут

2 291ММ ^ ^

93т = - (1 - е08(пш)) .

пш

(19)

Искомые перемещения и1, и2, ад1, ад2 для нагрузки (16) описываются формулами (9) с учетом выражений для функций времени (17)-(19).

Численные результаты получены при импульсной нагрузке с интенсивностью д1 = 2 • 103 Па-с, равномерно распределенной по внутренней поверхности оболочки.

На рис. 3, 4 показано изменение прогибов и продольных перемещений первого несущего слоя оболочки длиной Ь = 10^ во времени: а — при к0 = 0, б — при к0 = 109 Па/м. Колебания представляют собой симметричный цикл. У оболочки в упругой среде частота растет, период колебаний уменьшается. Амплитуда прогибов уменьшается на 21.5%, продольных перемещений — на 20.5%. Во втором несущем слое наблюдается подобная картина, прогибы и продольные перемещения при этом несколько меньше, чем во внешнем слое.

^•103

-2

-4

0.015 0.030

0.045

г

^•10

0

0.015 0.030

а б

Рис. 3. Изменение прогиба первого несущего слоя во времени

0.045

ь

ь

2

0

0

г

mJ 10

mJ 1Q3

0.015

0.030

0.045

t

0

0.015

0.030

0.045

аб Рис. 4. Изменение горизонтального перемещения первого слоя во времени

ВЫВОДЫ

В работе предложена адекватная механико-математическая модель динамического деформирования трехслойной цилиндрической оболочки в упругой среде. Исследованы частоты собственных колебаний при учете сил инерции вдоль трех координатных осей. Получены решения задач о вынужденных колебаниях при действии импульсных нагрузок. Численно исследовано влияние жесткости окружающей среды на параметры колебаний. Установлено, что с ростом жесткости среды собственные частоты растут, а амплитуды колебаний уменьшаются.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 14-4900091).

Библиографический список

1. Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций. М. : Машиностроение, 1980. 375 с. 8.

2. Горшков А. Г., Старовойтов Э. И., Яровая А. В. Механика слоистых вязкоупругопласти-ческих элементов конструкций. М. : ФИЗМАТ-ЛИТ, 2005. 576 с. 9.

3. Старовойтов Э. И., Яровая А. В., Леонен-ко Д. В. Деформирование трехслойных элементов конструкций на упругом основании. М. : ФИЗ-МАТЛИТ, 2006. 380 с.

4. Starovoitov E. I., Nagiyev F. B. Foundations of the 10. theory of elasticity, plasticity and viscoelasticity. Toronto, New Jersey : Apple Academic Press, 2012.

346 p.

5. Власов В. З., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты, обо- 11. лочки на упругом основании. М. : Физматгиз, 1960. 491 с.

6. Leonenko D. V., Starovoitov E. I. Thermoplastic strain of circular sandwich plates on an elastic base // Mechanics of Solids. 2009. Vol. 44, № 5. 12. P. 744-755.

7. Leonenko D. V., Starovoitov E. I. Deformation of a three-layer elastoplastic beam on an elastic

foundation // Mechanics of Solids. 2011. Vol. 46, № 2. P. 291-298.

Старовойтов Э. И., Доровская Е. П. Изгиб прямоугольной трехслойной пластины на упругом основании // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2006. № 3. С. 45-50. Старовойтов Э. И., Леоненко Д. В., Сулейман М. Термоупругий изгиб кольцевой трехслойной пластины на упругом основании // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. № 4. С. 55-62. Gorshkov A. G., Starovoitov E. I., Yarovaya A. V. Harmonic vibrations of a viscoelastoplastic sandwich cylindrical shell // Intern. Appl. Mech. 2001. Vol. 37, № 9. P. 1196-1203.

Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В., Шуку-ров А. М. Нестационарные колебания упругой среды, ограниченной двумя эксцентричными сферическими поверхностями // Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58, № 2. С. 85-92. Кузнецова Е. Л., Тарлаковский Д. В., Федотен-ков Г. В. Распространение нестационарных волн в упругом слое // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 5. С.144-152.

Q

t

Impulsive Action on the Three-layered Circular Cylindrical Shells in Elastic Media

D. V. Leonenko, E. I. Starovoitov

Belarusian State University of Transport, 34, Kirova st., 246653, Gomel, Belarus, [email protected], [email protected]

The paper considers oscillations of three-layered cylindrical shells filled by an elastic medium. External loads are impulsive. The Kirchhoff - Love's hypotheses are assumed for thin isotropic bearing layers. The work of the transverse shear and thickness reduction in the thickfiller is taken into account. Variations in displacements in the transverse coordinate are assumed to be linear. The conditions of continuous displacements are used on the contact boundary. The reaction of the inertia-free elastic filler is described in terms of the Winkler's model. A number of analytical solutions have been obtained and analyzed numerically.

Keywords: vibrations, three-layered cylindrical shell, natural frequencies, local load.

This work was supported by the Russian Science Foundation (projects no. 14-49-00091).

References

1. Bolotin V. V., Novichkov Yu. N. Mekhanika mnogosloinykh konstruktsii [Mechanics of Layered Structures]. Moscow, Mashinostroenie, 1980, 375 p. (in Russian).

2. Gorshkov A. G., Starovoitov E. I., Yarovaya A. V. Mekhanika sloistykh viazkouprugoplasticheskikh elementov konstruktsii [Mechanics of Layer Viscoelastoplastic Construction Elements]. Moscow, Fizmatlit, 2005, 576 p. (in Russian).

3. Starovoitov E. I., Yarovaya A. V., Leonenko D. V. Deformirovanie trekhsloinykh elementov konstruktsii na uprugom osnovanii [Deformation of Three-Layer Construction Elements on the Elastic Foundation]. Moscow, Fizmatlit, 2006, 380 p. (in Russian).

4. Starovoitov E. I., Nagiyev F. B. Foundations of the Theory of Elasticity, Plasticity and Viscoe-lasticity. Toronto, New Jersey, Apple Academic Press, 2012, 346 p.

5. Vlasov V. Z., Leontiev N. N. Balki, plity, obolochki na uprugom osnovanii [Beams, Plates and Shells on Elastic Foundation]. Moscow, Fizmatgiz, 1960, 491 p. (in Russian).

6. Leonenko D. V., Starovoitov E. I. Thermoplastic Strain of Circular Sandwich Plates on an Elastic Base. Mechanics of Solids, 2009, vol. 44, no. 5, pp. 744-755. DOI: 10.3103/S0025654409050112.

7. Leonenko D. V., Starovoitov E. I. Deformation of a Three-layer Elastoplastic Beam on an Elastic Foundation. Mechanics of Solids, 2011, vol. 46, no. 2, pp. 291-298. DOI: 10.3103/S00256544110 2018X.

8. Starovoitov E. I., Dorovskaya E. P. Bending of Rectangular Sandwich Plate on Elastic Foundation. Problemy mashinostroeniia i avtomatizatsii [Engineering and Automation Problems], 2006, no. 3, pp. 45-50 (in Russian).

9. Starovoitov E. I., Leonenko D. V., Suleyman M. Thermoelastic Bending of a Ring Sandwich Plate on the Elastic Foundation. Ekologicheskii vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomi-cheskogo sotrudnichestva [Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation], 2006, no. 4, pp. 55-62 (in Russian).

10. Gorshkov A. G., Starovoitov E. I., Yarovaya A. V. Harmonic Vibrations of a Viscoelastoplastic Sandwich Cylindrical Shell. International Applied Mechanics, 2001, vol. 37, no. 9, pp. 1196-1203. DOI: 10.1023/A:1013290600951.

11. Gorshkov A. G., Tarlakovskii D. V., Shuku-rov A. M. Unsteady Vibrations of an Elastic Medium Bounded by Two Eccentric Spherical Surfaces. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1994, vol. 58, no. 2, pp. 275-282. DOI: 10.1016/0021-8928(94)90056-6.

12. Kuznetsova E. L., Tarlakovskii D. V., Fedoten-kov G. V. Propagation of Unsteady Waves in an Elastic Layer. Mechanics of solids, 2011, vol. 45, no. 5, pp. 779-787. DOI: 10.3103/S00256544110 50128.