Асимптотика напряжений в окрестности угловой точки для задач теории течения с упрочнением Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539. 214

АСИМПТОТИКА НАПРЯЖЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ УГЛОВОЙ ТОЧКИ ДЛЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ТЕЧЕНИЯ С УПРОЧНЕНИЕМ

Канд. физ.-мат. наук, доц. НИФАГИНВ. А.

Белорусский национальный технический университет

Для решения нелинейных задач механики сплошных сред широко применялись варианты метода возмущения, сводящие исходную задачу к итерационной последовательности линейных задач. Так, метод упругих решений [1, 2] использовался для решения задач теории пластичности в рамках деформационной теории малых упругопластических деформаций. В теории течения применялся метод разложения по параметру нагружения [3, 4], редуцирующий физически-нелинейную краевую задачу в него-лономной постановке к последовательности связанных линейных задач с фиктивными массовыми силами.

В то же время решения, полученные на основе метода разложения по параметру нагру-жения, будут обладать существенной погрешностью для малой окрестности сингулярных точек границы области. Это связано с тем, что при данном подходе базовым является линейное решение (первый член разложения). В то время как в окрестности угловой точки главную роль представляет нелинейная часть диаграммы деформирования (кубический член). Поэтому исследование напряженно-деформированного состояния в окрестности особой точки предполагает разработку другого варианта метода, где первый член решения получается на основе кубического слагаемого закона деформирования, а остальные члены ряда выступают в качестве поправок к нему. Варианты такого подхода были проиллюстрированы для тел с трещинами при различных определяющих соотношениях теорий пластичности [5] и использовании локальных характеристик совместно с критериями разрушения [6], а также при построении эффективных алгоритмов численного анализа полных решений путем сращивания асимптотических полей напряжений вблизи угловой точки и на удалении от нее.

Рассмотрим задачу о вдавливании жесткого полубесконечного штампа в упругопластиче-скую полуплоскость силой Р. Трение в области контакта отсутствует. Материал полуплоскости рассматривается при условиях степенного упрочнения, несжимаемости и плоской деформации. Декартовую систему координат < ( = 1,з) отнесем к окрестности угловой точки штампа (ось <1 направлена вдоль границы нижней полуплоскости S, которую занимает среда).

Предположим, что состояние вблизи угловой точки контролируется параметром нагру-жения К. Последний может иметь смысл коэффициента интенсивности напряжений в упругой области, окружающей малую пластическую зону. Тогда единственным независимым параметром задачи с размерностью длины является величина К Ю , поэтому искомые функции могут зависеть от нагрузки лишь посредством безразмерных переменных:

х =

к2

(г = 1,2); г2 = х12 + х2; ф = агс^—,

переходя к которым запишем определяющие соотношения теории течения с упрочнением:

&ег = 4 +^(ТК; 5е=5*+5^(ГКф. (1)

Здесь компоненты тензоров и девиаторов деформаций и напряжений связаны формулами:

гу = еу; ег + еф =0; + ¿ф =0; +%);

Sг = 2К -Сф); 5гф=агф,

а функция упрочнения имеет вид

(2)

X

Г(Т) = ЛГ- = Л(,; + ,ф + Ч) Л = 2Л,^. (3)

где А2 - постоянная материала, характеризующая нелинейность диаграммы деформирования.

Учитывая представления для приращений напряжений и деформаций, отвечающие увеличению параметра К:

5еу = еу,кЪк = ег],г5г; ,к8К = ,гЪг, (4)

введем функцию напряжений Ф(г,ф) в виде полного разложения по параметру нагружения в окрестности особой точки, включающего наряду с главной, и правильную часть

Ф(г, Ф) = Е^к (ф)

г Х к

(5)

к >0

Обобщение метода разложения по параметру нагружения заключается в том, что последовательность {Хк }к=0 (Хк+1 > Хк >0) подлежит определению наряду с функциями (ф).

Из соотношений (1)-(5), а также формул, представляющих компоненты напряжений через функцию напряжений, получим:

*г = 1 Е(^к (- -Хк )^к )

' к>0

гф

= Е (1 ) ^кг Хк--;

(6)

к>0

г (Т)=А ЕЕ

Л + Х-4

к>0 1 >0

где

аке = ^1' - -^1 (- - ^к + 4(1 - ^к )(1 - ) X х^к + ^к Х1 (- - ^к )(2 - )^к . (7)

При отсутствии в теле зон разгрузки из (1) находим

= 1Е(Хк --)(^к + (--^к)^к)

гХк-3 +

' к>0

А ЕЕЕ<

° к>0 1 >0 т>0

(8)

гф,г

=Е (1 -Хк)(Хк --)

А-3

к>0

-А ЕЕЕв

4 к>0 1 >0 т>0

к1т'

у№к1т 7

где

а

Ыт = (Xк + А-1 - 4)(^т + ^т (2 - ^т )^т )%;

Рк1т = (Хк - 4)(1 -Xт )^«к1;

Цк1т = Хк + Х1 + Х т.

Дифференцируя по г условие совместности деформаций в цилиндрической системе координат и подставляя в него представления (6)-(8), приходим к уравнению

Е (- - Хк) (^к4) - (3X2 - 5Хк + 4)^к -Х-(2 - Хк) х

к>0

х г

Хк-3 , Л3

-3 ЕЕ Е ((^к1т - 3)(^к1т - 7)а кЫ -

к>0 1 >0 т>0

-акт + 4(Цк1т 5)вк1т ) гЦкт-7 = 0. (9) Заметим, что из-за сингулярности напряжений при г ^ 0 показатель Х0 < 3. Сравнивая первые слагаемые в (9) (к = I = т = 0), имеем неравенство

Х0 - 3 > Ц000 - 7 (Ц000 = 3ХюХ

поэтому в (9) следует требовать выполнения условия

а'(000 - 4(Ца00 - 5)Р'а00 - (^000 - 3)(Цаа0 - 7)а000 = 0.(10)

Обыкновенное дифференциальное уравнение (10) дополним краевыми условиями на свободной поверхности Ь"(ф = 0) полуплоскости. С учетом сф = сгф = 0 получим граничные условия

%(0) = 0; %(0) = 0.

(11)

На участке Ь'(ф = п) при отсутствии трения в области контакта

ВД = 0.

(12)

Из условия несжимаемости и кинематических уравнений находим четвертое краевое условие

%"'(п) = 0. (13)

Таким образом, однородная граничная задача (10)-(13) является задачей определения собственного значения Х0 и соответствующей собственной функции нелинейного дифференциального оператора.

Причем значение А0, соответствующее нетривиальному решению, отыскивается как из энергетических соображений [7], так и путем численного анализа.

Для разрешимости этой задачи должны выполняться дополнительные условия. Из (7) следует, что функции аИт(ф), Рит(ф) зависят от *п(ф) с индексами шт{к,I, т}< п < шах {к,I,т}.

Тогда для непротиворечивости уравнения (10) необходимо

А,о - 3 = Цюо - 7 (М-юо = М-010 = М-001 = 2^о + А0.

Откуда Я1= 4 - А0. Итак, для ^1(ф) имеем вместе с граничными условиями (11)—(13) неоднородную краевую задачу

(2-V)(^04) "(3^2 -5^0 + 4)*0 + А02(2) + А ^

+ X ((^к1т " 3)(^к1т " 7К/т "

4 к+1+т=1

-а'к1т + 4(Мк/т -5)Р«т ).

В общем случае для разрешимости уравнения (9) при любом к необходимо удовлетворить равенству

Ап — 3 = цк1т —7 (к + I + т = п + 1),

т. е.

К = 2п(2 — А0) + А0 (п = 0, 1, 2, ...). (14)

Окончательно вид рекуррентной последовательности краевых задач для отыскания *п(ф) при любом п будет

(2 - А„)(^„4| - (3А„ - 5А„ + 4)*; + К(2 - А„)Т„) -

к1т 4(М*Ит 5)Рит

4 к+1+т=п+1 - (Мш - 3)Кт - 7)аИт ) = 0;

(0) = 0, (0) = 0;

(п) = 0, = 0.

Посредством (14) заключаем, что А„ > 1 при п > 1, поэтому в разложениях для sг и 5гф из (6) сингулярными являются лишь первые члены

(п = 0).

В Ы В О Д

Разработка современных математических методов в механике сплошных сред со сложной реологией может служить теоретической основой создания эффективных алгоритмов расчета упругопластических полей напряжений и деформаций для оценки прочности конструкционных изделий, а также использоваться в системах автоматизированного проектирования для задач машиностроения, приборостроения.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Ильюшин, А. А. Пластичность. Основы общей математической теории / А. А. Ильюшин. — М.: Изд-во АН СССР, 1963.

2. Ильюшин, А. А. Пластичность. Упругопластиче-ские деформации. Ч. 1 / А. А. Ильюшин. — М.: Логос, 2004.

3. Ибрагимов, В. А. Деформация упрочняющейся упругопластической плоскости с криволинейным отверстием / В. А. Ибрагимов, В. А. Нифагин // Теоретич. и прикл. механика. — Минск: Вышэйш. шк., 1989. — Вып. 16.

С. 40—55.

4. Ибрагимов, В. А. Контактная задача для упрочняющейся упругопластической полуплоскости / В. А. Ибрагимов, В. А. Нифагин // Весщ АН БССР. Сер. ф1з.-мат. — 1990. — С. 30—34.

5. Ибрагимов, В. А. Об асимптотике напряженного состояния около конца трещины в упруго-пластической среде / В. А. Ибрагимов, Н. Е. Тарасюк // Изд-во АН СССР. Механика твердого тела. — 1976. — № 5.

6. Черепанов, Г. П. О сингулярных решениях в теории упругости / Г. П. Черепанов // Механика твердого деформированного тела. — Л., 1979. — С. 467—479.

7. Черепанов, Г. П. Инвариантные Г-интегралы и некоторые их приложения в механике. ПММ / Г. П. Черепанов. — 1977. — Т. 41. — Вып. 3.

Поступила 7.07.2008