Поля напряжений на границе стохастически неоднородной полуплоскости при ползучести Текст научной статьи по специальности «Физика»

6. Стружанов В.В., Миронов В.И. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. — Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1995. — 192 с.

7. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. — М.: Наука. Физматлит, 1997. — 288 с.

8. СтружановВ.В., БашуровВяч.В., Каримов П.Ф. К определению параметров инкрементального закона пластичности для изотропных сред // Изв. Урал. гос. ун-та. (сер. Математика и механика. Вып. 2), 1999. — № 14 — С. 119-134.

9. Экспериментальные функции сопротивления легированной стали при растяжении и кручении / С.Д. Волков, Ю.П. Гуськов, В.И. Кривоспицкая и др. // Проблемы прочности, 1979. — Т. 11, № 1. — С. 3-6.

10. РаботновЮ.Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1988. — 712 с.

11. Шевченко Ю.Н. К построению поверхности нагружения в теории пластичности // Прикладная механика, 1996. — Т. 32, № 11. — С. 31-37.

12. Седов Л. И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1970. — Т 2. — 568 с.

13. Райс Д.Р. Об устойчивости дилатантного упрочнения насыщенных скальных массивов // Механика. Новое в

зарубежной науке. — Т. 2. Определяющие законы механики грунтов. — М.: Мир, 1975. — С. 195-209.

14. Ильюшин А.А. Об основах общей математической теории пластичности // Вопросы теории пластичности. — М.:

Изд-во АН СССР, 1961. — С. 3-29.

15. Ильюшин А.А. Пластичность. — М.: Изд-во АН СССР, 1963. — 271 с.

16. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М.: Мир, 1989. — 655 с.

17. ВасидзуК. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. — М.: Мир, 1987. — 542 с.

18. Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Сопротивление материалов деформированию и разрушению при сложном напряженном состоянии. — Киев: Наукова думка, 1969. — 212 с.

Поступила 27.01.2006 г.

УДК 539.376

Н.Н.Попов, Л.В.Коваленко

ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ НА ГРАНИЦЕ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ

Рассмотрена краевая задача о напряженном состоянии стохастически неоднородной полуплоскости Х2 ^ 0 в условиях ползучести. Определяющее соотношение ползучести, взятое в соответствии с нелинейной теорией вязкого течения, сформулировано в стохастической форме. Поставленная задача решается приближенно относительно компонент тензора напряжений Sy на основе

линеаризации по методу малого параметра. Решение линеаризованной задачи получено в виде суммы двух рядов. Первый ряд задает решение вдали от границы полуплоскости без учета краевого эффекта. Члены второго ряда являются функциями координат Х2, они быстро затухают по мере удаления от границы полуплоскости. Произведено исследование концентрации напряжений, возникающей на границе полуплоскости.

Структурная неоднородность материала обусловливает появление ряда механических эффектов, которые не могут быть изучены в рамках классических детерминированных теорий. Одним из таких эффектов является эффект пограничного слоя. Суть его состоит в том, что вблизи границы структурированного тела имеется пограничный слой, обладающий рядом специфических особенностей. В частности, на границе тела возникает концентрация напряжений, которая может достигать заметной величины. Эффект пограничного слоя для упругих тел был исследован в работах [1-5]. В теории ползучести известны решения стохастических задач для внутренних областей, достаточно удаленных от границы тела [6-9], а влияние стохастических неоднородностей на напряженно-деформированное состояние вблизи поверхности, на которой заданы краевые условия, до настоящего времени практически не изучены.

Пусть к границе стохастически неоднородной полуплоскости Х2 > 0 , находящейся в условиях плоского напряженного состояния, приложены нагрузки

°221х2=0 = °22 = COnSt , °121х2=0 = 0 , (1)

а напряжение о11 удовлетворяет условию макроскопической однородности (о11) = о01 = const, которое соответствует приложению при Х1 = ±h , где h достаточно велико, постоянных по Х2 напряжений о°1. Здесь и далее угловыми скобками обозначена операция математического ожидания.

Определяющее соотношение ползучести принимается в соответствии с нелинейной теорией вязкого течения (установившейся ползучести) в стохастической форме [6]

Py = csn 1 (Oy. - 3 dy ckk )(1 + aU (Х1, x2)), (2)

где s — интенсивность напряжений:

s = (3sijOij — OnOjj) ,

Py — компоненты тензора деформаций ползучести, о j — компоненты тензора напряжений, dj — символ Кронекера, U (x1, х2) — случайная однородная функция, описывающая флуктуации реологических свойств материала с математическим ожиданием (U) = 0 и дисперсией

(U2) = 1; c, n, a — постоянные материала, точка означает дифференцирование по времени. По

повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 2.

Компоненты тензора напряжений Oj удовлетворяют уравнениям равновесия

Oj j = 0j (3)

а компоненты тензора скоростей деформаций pj — условиям

A ijA klp jk ,il = 0, (4)

которые получены из уравнений совместности деформаций путем дифференцирования по времени. Здесь Aj- — единичный антисимметричный псевдотензор.

Соотношения (2)-(4) при краевых условиях (1) задают стохастическую задачу ползучести, которая в дальнейшем решается приближенно относительно напряжений. Частный случай этой задачи рассматривался в работе [9] при условии о^ = о^2 = O0 , что соответствует равномерному растяжению полуплоскости вдоль главных осей.

Тензор напряжений о j с учетом (1) может быть представлен в виде суммы двух слагаемых

оj = о0 + о*, (оj) = о0, (о*) = 0, (5)

где O*ij — флуктуации напряжений.

Линеаризация задачи ползучести (2)-(4) была произведена в работе [6]. С целью физической линеаризации функция sn—1 была разложена в степенной ряд и в этом разложении были

учтены только линейные члены. Для статистической линеаризации определяющего соотношения (2) использовалось корреляционное приближение теории случайных функций, т.е. предполагалось, что произведениями вида о * оk, aUо* допустимо пренебречь. В итоге была получена система линейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно флуктуаций напряжений:

* г\

о j, j = 0 ,

о11,22(2 + kll1) + °22,22(—1 + k1l2) + °1 1,11( 1 + k2l1) + °22,11(2 + k2l2) — 6о 1 2,12 =—a(U,22l1 + U,11l2) j (6) 7 _-)„0 „0 7 _->~0 „0 7 _(n—1)l/ ^/J\2 /„0 ч2 _0 _0

гДе l1 = 2о11 о22 j l2 = 2о22 о1Ь ki = 2 2 j s0 = (о11) + (о22) о11о22 .

2s0

Краевые условия для системы (6) с учетом (1), (5) имеют вид

о 221 0 = 0, о*21 0 = 0. (7)

1Х2=0 1Х2=0

Если ввести функцию напряжений F для флуктуаций тензора напряжений

°11 = F,22, о 22 = F,11, о 1 2 =— F,12 , (8)

то вместо системы уравнений (6) получим единственное дифференциальное уравнение относительно F:

F,1111(2 + k2l2) + 2 F,1122(2 + k1l2) + F,2222 (2 + kll1) = —a(U,22l1 + U,11l2) (9)

с краевыми условиями

Fu| x2=0 = 0, F,12 I x2 =0 = 0. (10)

Пусть однородная функция U(Х1, Х2), с помощью которой задается случайное поле возму-

щений реологических свойств материала, является почти периодической быстро осциллирующей функцией [1]

U = ^A(k ^ cos (wpSk} xs +f( k ]), (11)

k=1

где ю — большой параметр, имеющий размерность, обратную длине; ) — безразмерные ве-

Лк) ~ Лк)

личины порядка единицы; А ’ — центрированные случайные величины; ф' ' — случайные величины, распределенные равномерно на участке (0;2я), причем все случайные величины А(к), ф(к) — независимы. При этом имеем [10]

1 ¥ _

(и2 ) =2I о \ )1,

2 к=1

где О ёА(к)1 — дисперсия случайной величины А(к). Отсюда с учетом равенства

(и2) = 1 следует, что

¥ Г- -1

IОI А(к)| = 2. (12)

к=1 ё 1

Для удобства выкладок целесообразно перейти к комплексным функциям

и = 1 А(к)ехР (/юР^Ч), (13)

к=1

где А(к )= А(к )ехр (ф(к)).

Решение краевой задачи (9), (10) можно представить в виде

F = !(у(к)+ ^(к)), (14)

где у(к) — частное решение уравнения (9), полученное при замене функции и к-тым членом

разложения (13), а ) — ре]

ряющее при %2 = 0 условиям

к=1

(к)

/ ; ------------,

разложения (13), а w(k) — решение соответствующего (9) однородного уравнения, удовлетво-

(к) w,11 = —v (к) v,11 (к) ,12 = —v (к) v,12

,2=0 2 = О 2 = О

f = ^Г • w,о2п2, ,2 , b2 =Ш • (17)

(15)

,2=0

В дальнейшем, там, где это не приводит к недоразумениям, верхний индекс будет опускаться. Функцию v можно искать в виде

v = f exp(/wb ^), f = const • (16)

После подстановки (16) в (9) для нахождения f получается алгебраическое уравнение

w2Pi4(2 + k2h) f + 2w2p2p2(2 + ¥2) f + w2b2(2 + hh) f = a?(P2/1 +p=2/2), из которого следует

2as0______A(P2l1 +b^/2)

w2 4so2p4 + n(p2/1 +P2/2)"

Ряд ^ v(k) задает решение задачи вдали от границы полуплоскости без учета краевых эф-

к=1

фектов. Функция w имеют характер пограничного слоя: она быстро затухает по мере удаления от границы полуплоскости. Ее можно искать в виде

w = ф( x2)exp(/wP1x1), (18)

где функция ф( x2) удовлетворяет дифференциальному уравнению

ф,2222(2 + kl/1) — 2w Plf,22(2 + к1/2) + W Р1ф(2 + к2/2) = 0 (19)

с краевыми условиями

ф|,,.0 = — f , Ф-21х2 =0 = —'»Р2f. (20)

Уравнение (19) получено подстановкой (18) в однородное уравнение, соответствующее (9), а краевые условия получены из условий (15) с использованием выражений (16), (18).

Решение уравнения (19) при а°1 Ф а°2 имеет вид

4

ф = ХС еХР(rsx2), (21)

s=1

где С!, — произвольные постоянные, г,. — корни характеристического уравнения (2 + к111)г4 - 2ю2р2 (2 + к112)г2 + Ю4Р4(2 + к212) = 0.

Решение поставленной задачи при о°11 = о^2 = о0 приведено в работе [9].

Корни характеристического уравнения (22) равны

Г1,2 = юр

+ а-,

72

72

2s 07п-Т1 /1 - /2|

4s^ + (п -1)/12

3,4

= юр1

+ а9

72

72

450 + (п -1)/,/7 где а1 = —^, а2 =

4^2 + (п -1)/12

Из четырех корней характеристического уравнения (22) два корня Г3 и Г4 имеют положительные действительные части. Так как при х ®¥ краевой эффект должен затухать, то две постоянные, соответствующие этим корням, равны нулю. Для нахождения двух других констант С1 и С2 применяются краевые условия (20). Они равны:

С = /(г2 - ;'ЮР2) 1 Г1 - Г2

С = /(. - /ЮР2)

С2 = .

Г1 - Г2

Решение уравнения (21), бесконечно малое при Х1 ®¥ , имеет вид

ф= /(г2 - 'юР2) егЛ - /(. -/Юр2) (

Г1 - Г2

Г1 - Г2

(23)

Подставляя выражения (16), (18), (23) в (14) можно найти функцию напряжения

--I /(к) ехр (/юр(к)Х1) ехр () к=1

х2 I-

г2(к)- /юр2к) .(к)- .(к)

ехр

(к)- /юр2к) .(к)- .(к)

ехр

(()х2)

Теперь, используя соотношения (8), решение краевой задачи (6), (7) можно записать в виде

(.. (к)'2'

-Ю2 ())2

11

= 1/(к) ехР )х1)

к=1

(ь2к))

ехр

.(к)- _(к )

Г2 Г1

(г2(к)) (г(к)- /юр2к)

,(к) „(к)

ехр

°22 =

:1 /(к ^ )) ехр )х1) - ехр (р'

к=1

-/юр

ехр

-/юр

(к)

¥Г1ХГ ехр1Г2 2

.(к )х

°12 = I/(к)юр(к) ехр )х1

к=1

/г (к )(г (к)-/юр(к) р(к) I. р(к) \ "1 V2 /Юр2 ) I (к) \

-юр2 ;ехр (р2 х2)------------(к)—(к)— ехр ( х2 )■

1Г-

(к) (г1(к) -/юр

„(к) „(к)

ехр

. (24)

Используя решение краевой задачи (24), можно найти статистические характеристики случайного поля напряжений в любой точке полуплоскости.

Дальнейшие расчеты будут производиться при условии, что все величины р/(к) равны единице. При этом условии случайное поле и, заданное разложением (11), можно считать приблизительно изотропным [1].

+

+

Проведем исследование концентрации напряжений на границе полуплоскости х2 = 0 . Согласно граничным условиям (7)

°*22(0) = о*п\ = 0, 0*2(0) = 0*2 = 0,

1^9=0

х9=0

а первая из формул (94) при х2 = 0 дает (р(к) = і):

011(0) = Єхр(/ШГі)(-Ю9 + Г1Г9 -/ЮСгі + г9))^/(к) ;

к=1

Последнее выражение после подстановки постоянной /(к) (формула (17)) и корней Г1 и Г2 характеристического уравнения (22) преобразуется к виду

"2" 1 74 ^ I------- Г I-----------1 “ ( )

-1 + -у а2 + а2 + /'л/2 ^а1 + ^а2 + а2 А( ) .

0*1(0) =-----------99ау°(/і +І9)-----2 ехр(/юхі)

16^2 + (п - 1)(/і + /9)9

/у

к=1

Дисперсия напряжения 0П на границе полуплоскости Х2 = 0 с учетом формулы (12) выражается следующим образом

в„<0)=do^і(°)|9 > = 8а9"4(/і + '9)1

(і6^9 + (П - 1)(/і + /2)2 )

(1 + а2 + а| + 2аі),

а при х она равна

8а2 s°4(/1 + /2)а

£)п(¥) = -

2

(2 + (п -1)(/1 + /2)2)

Концентрация напряжений, возникшая на границе полуплоскости х2 = 0 , определяется коэффициентом изменчивости среднего квадратического отклонения:

р = V°11(0) = /7+ Т+ 2 , 2 Р = I / " = \1 + а1 + а2 + 2а1 . л/°11(¥)

В таблице 1 приведены значения коэффициента изменчивости р в зависимости от степени не-

00

линейности п и параметра нагружения И = —01. Для упругой полуплоскости величина р приве-

022

дена в работе [2] при коэффициенте Пуассона равным 0,25 и о°11 = о22 (соответствует параметру И = 1). Она равна 1,55.

Т а б л и ц а 1

Значения коэффициента изменчивости р напряжения Оц

0 0,25 0,5 і 2 4

і 2 2 2 2 2 2

3 1,22 і ,46 і ,68 2 2,15 2,05

5 і і ,25 і ,52 2 2,30 2,09

7 0,89 1,13 і ,42 2 2,43 2,12

9 0,82 1,06 1,36 2 2,56 2,15

В таблице 2 приведены в зависимости от переменных а и п значения коэффициента вариации ^11 = ^Pі0<0) 100% на границе полуплоскости Х2 = 0 при к = 2. При этом значении к , как

°п

Т а б л и ц а 2

Значения коэффициента вариации напряжения Оц на границе полуплоскости

а і 3 5 7 9

0,05 5,30 4,92 4,61 4,36 4,14

0,1 10,61 9,84 9,23 8,71 8,28

0,2 21,21 19,69 18,45 17,42 16,55

0,3 31,82 29,53 27,68 26,14 24,83

0,4 42,43 39,37 36,91 34,85 33,10

0,5 53,03 49,22 46,13 43,56 41,38

следует из таблицы 1, величина й?п принимает наибольшее значение (при фиксированных а и п). Как видно из таблицы 2, для материалов с высоким показателем нелинейности (п = 9) коэффициент вариации находится в пределах от 4,14% (а = 0,05) до 41,38% (а = 0,5). В случае низких показателей нелинейности, когда возможна полная физическая линеаризация закона ползучести (п = 1) разброс напряжения 011 около среднего значения больше: здесь ё11 заключена в пределах от 5,30% до 53,03%.

Таким образом, в поверхностном слое флуктуации напряжения оп достигают заметных величин, которые могут быть значительно больше, чем для глубинных слоев.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ломакин В. А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. — М.: Наука, 1970. — 137с.

2. Ломакин В. А., Шейнин В.И. Концентрация напряжений на границе случайно-неоднородного упругого тела // Изв. АН СССР. МТТ, 1974. — № 2. — С. 124-130.

3. Подалков В. В., Романов В. А. Концентрация напряжений на границе микронеоднородного упругого полупространства // ПММ, 1978. — Т. 42, Вып. 3. — С. 540-545.

4. Подалков В. В., Романов В. А. Деформация упругого анизотропного микронеоднородного полупространства // ПММ, 1983. — Т. 47, Вып. 3. — С. 455-461.

5. Архипов Н. В. Задача о деформировании микронеоднородного цилиндра // Вестн. МГУ. Сер.1. Математика, механика, 1984. — № 3. — С. 50-54.

6. Кузнецов В. А. Ползучесть стохастически неоднородных сред в условиях плоского напряженного состояния // Математическая физика. — Куйбышев: КпТИ, 1976. — С. 69-74.

7. Попов Н. Н., Самарин Ю. П. Пространственная задача стационарной ползучести стохастически неоднородной среды // ПМТФ, 1985. — № 2. — С. 150-155.

8. Попов Н. Н., Должковой А. А. Нелинейная задача о деформировании стохастически неоднородной плоскости // Математические модели и краевые задачи: Тр. 13 межвуз. конф. Ч. 1. — Самара: СамГТУ, 2003. — С.148-154.

9. Попов Н. Н., Самарин Ю. П. Исследование полей напряжений вблизи границы стохастически неоднородной полуплоскости при ползучести // ПМТФ, 1988. — № 1. — С. 159-164.

10. ВентцельЕ.С., ОвчаровЛ.А. Прикладные задачи теории вероятностей. — М.: Радио и связь, 1983. — 416 с.

Поступила 24.12.2005 г.

УДК 539.214; 539.374 Е. П. Кочеров, А. И. Хромов

ДЕФОРМАЦИОННЫЕ СОСТОЯНИЯ И РАЗРУШЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ

Деформационные состояния идеально жесткопластического тела изображаются точками в пространстве главных деформаций и образуют для несжимаемых тел гиперболическую поверхность третьего порядка. Деформационные процессы изображаются линиями на этой поверхности. Рассматриваются простые процессы деформирования, когда главные направления тензоров скоростей деформаций и конечных деформаций Альманси совпадают. Показано, что простые процессы деформирования описывают все возможные непрерывные кривые, лежащие на поверхности деформационных состояний. Вместе с этим непрерывные кривые деформирования отображают и другие сложные процессы деформирования, связанные с изменением взаимного положения осей тензоров скоростей деформаций и конечных деформаций, при реализации которых требуются различные удельные диссипации энергии. Формулируются деформационно-энергетические критерии разрушения пластических тел с учетом диссипации энергии в процессе деформирования.

1. Основные соотношения. Запишем ассоциированный закон течения

£,у = 1-^— или £,■ = , Х > 0, /,у = 1,2,3, (1)

. ЭОу ‘ ЭО/ ’ ^

% = 1 (,- + г»)

где / (о у) — функция текучести; о у, £у —тензоры напряжений и скоростей деформаций; ¥1 — вектор скорости перемещений.