Нелинейная стохастическая задача о растяжении полупространства в условиях ползучести Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.376

Н. Н. Попов, Л. В. Коваленко

НЕЛИНЕЙНАЯ СТОХАСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА О РАСТЯЖЕНИИ ПОЛУПРОСТРАНСТВА В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ

Рассматривается краевая задача ползучести о растяжении стохастически неоднородного полупространства. Считается, что плоскость, ограничивающая среду, является свободной от напряжений. Задача решена по методу малого параметра в первом приближении. На основе полученного решения проведен статистический анализ поля напряжений на границе среды, исследованы основные особенности краевого эффекта, возникающего в результате стохастических неоднородностей материала. Показано, что вблизи границы полупространства разброс напряжений значительно больше, чем для глубинных слоев. Полученные результаты позволяют адекватно оценить напряженно-деформированное состояние неоднородной среды вблизи ее границы.

Приближенный метод расчета трехмерного случайного поля напряжений, возникающего в стохастически неоднородной среде, был дан в [1]. Этот метод основывался на ряде допущений, среди которых одним из существенных было допущение о том, что условия на границе среды пренебрежимо мало влияют на напряженно-деформированное состояние в достаточно удаленных от границы точках. Однако это решение нежелательно применять вблизи свободной поверхности, так как они не обладают достаточной точностью. В связи с изложенным необходимо дополнительное изучение влияния стохастических неоднородностей материала вблизи поверхности, на которой заданы детерминированные граничные условия. Исследование полей напряжений вблизи границы стохастически неоднородной полуплоскости при ползучести было проведено в работах [2, 3].

В данной работе рассматривается краевая задача о напряженном состоянии стохастически неоднородного полупространства х3 > 0, находящегося в условиях ползучести. Причем считается, что поверхность х3 = 0 свободна от напряжений, т.е.

<4=о=0 (1=1-2-3) • <1>

Определяющее соотношение ползучести принимается в соответствии с нелинейной теорией вязкого течения в тензорной форме [1]:

pj = cs"~l < -1 5akk + aU(X1, X2, x3)), (2)

где s - интенсивность напряжений:

s2 = 1(3aa. - a .a..).

2v vu 11 n ’

Здесь и далее p. — компоненты тензора деформаций ползучести; а. — компоненты тензора напряжений; 5. — символ Кронекера; а — число, характеризующее степень неоднородности

материала (0 <а < 1); c, n — постоянные материала. Стохастичность введена в соотношение (2)

при помощи случайной однородной функции U ( x1, x2, x3), описывающей флуктуации реологических свойств материала. Математическое ожидание (U ) и дисперсия (U2 ) имеют значения 0 и 1 соответственно. Точка означает дифференцирование по времени. По повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 3.

Компоненты тензора напряжений а. удовлетворяют уравнениям равновесия

aij, j = °, (3)

а компоненты тензора скоростей деформаций p. — условиям

Л.кЛ lmnpkm,ÿ = ^ (4)

которые получены из уравнений совместности деформаций путем дифференцирования по времени. Здесь Л. — единичный антисимметричный псевдотензор.

Соотношения (2)-(4) при краевых условиях (1) задают стохастическую задачу ползучести, которая в дальнейшем решается приближенно относительно напряжений.

Тензор напряжений а. с учетом (1) может быть представлен в виде суммы двух слагаемых

5 =5 +5, >=5, «>=o, (5)

где 50 — детерминированная составляющая, а 5* — флуктуации напряжений.

Линеаризация задачи ползучести (2)-(4) была произведена в работе [1]. С целью физической линеаризации функция sn-1 была разложена в степенной ряд и в этом разложении были учтены только линейные члены. Для статистической линеаризации определяющего соотношения (2) использовалось корреляционное приближение теории случайных функций, т.е. предполагалось, что произведениями вида а . а к*, а и5* допустимо пренебречь. В результате система (1)-(4) сводится к системе дифференциальных уравнений в частных производных относительно флуктуаций напряжений 5*:

* п

аУ,. _ 0 ,

<5Д2(к311 — 1) + аи,1213 _ 3(а13,23 + 523,13 — 512,33 — 533,12) ,

51,1Ъ(к21г — 1) + аи,1312 = 3(а3,12 + 5*2,23 — 5*3,22 — 522,13) > (6)

51,23(к11г — 1) + а1],2211 = 3(5*2Д3 + 5*3,12 — 5*3,11 — 5*,23) ,

5и,11 (к21г — 1) + 5,22 (к11, — 1) + 3 (5*1,22 + 5*2,11 ) + а (^1 + ) = 65*2,12 ,

5Ш (к1 — 1) + 5 (к111 — 1) + 3 (511,33 + 53,11 ) + а (и,33^1 + ) = б513,13 ,

5п,22 (к31г — 1) + 5 и,33 (к21г — 1) + 3 (522,33 + 533,22 ) + а (^,33^2 + ^,22^3 ) _ б523,23 ,

где

7 _ Q—0 О 7 _ -5 О О 7 _ -5 0 0 7 _ (И 1)lli

l1 3°"l1 5ii , l2 522 5ii , l3 533 , ki = ^ 2

2.0

42 .0 _0 _0 _0 _0 _0

5^22 5^33 522533 '

Sl =(^1°1 ) +(^2°2 ) +(5°3 )

Система (6) состоит из девяти уравнений, но линейно независимыми из них является только шесть первых уравнений.

Краевые условия для системы (6) с учетом (1),(5) имеют вид

5,31 = 0. (7)

1 ° lx° =0 V '

Пусть однородное случайное поле U(x1, x2, x°), описывающее возмущения механических свойств материала, допускает представление в виде ряда [4]:

да

и (, Х2, x°) = X A(k) cos (со в ]xs + pk)), (8)

к=1

где о - большой параметр, имеющий размерность, обратную длине; Р^к) — безразмерные величины порядка единицы; A(k) — центрированные случайные величины; p(k) — случайные величины, распределенные равномерно на участке (0,2п), причем все случайные величины

A(k), p( k) независимы.

Для удобства выкладок целесообразно перейти к комплексным функциям

и = X A(k) exp f7opSk)Х51, (9)

k=1 ^ '

где A(k) = A(k) exp f ,p( k)

Решение системы уравнений (6), (7) можно представить в виде

5* =Х (()+ wjk)), (10)

к=1

где Уук) — частное решение системы (6), полученное при замене функции и к-тым членом

у

разложения (9), а м.(к) — решение соответствующей (6) однородной системы.

В дальнейшем, где это не приводит к недоразумениям, верхний индекс к будет опускаться.

57

Функции Vj будем искать в виде

v j = f,j exp(/'®esxs), f,j = const. (11)

После подстановки (11) в (6) для нахождения f j получается система алгебраических уравнений вида:

7пД + АїРі + /зА = 0 fA + f2lPl + ЛзД = 0

■АзД + А23в2 + -/ЗзДі = 0 < Лв1в2(^зА- - 1) + «4ввз = з/вз + /ввз - А1ївз2 - Аззвв), (12)

f ЛРз (к21г - 1) + аЩРз12 = з(ЛзДА + /РіРз - У2зв12 - А22в2вз )

^f ггРіРз (k1l, - 1) + аАв2вз11 = з (.УД + Увв2 - f2зІЇ - ) •

да

Ряд ^ Vj^k) задает решение задачи вдали от границы полупространства без учета краевого

k=1

эффекта.

Функции wj имеют характер пограничного слоя: они быстро затухают по мере удаления от плоскости хз = 0 . Их можно искать в виде

w j = Р(хз) exp/а (Д x1 + pi х2)) , (1 з)

где функции Pj (хз) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений:

гав1р1 + ,®в2р2 + р1з з = 0, гавр2 + ,®в2р22 + Р2з з = 0, гаврз + г®Р2р2з + рзз з = 0,

—а вв2 \_р1 //з11 — 1) + р22 (з12 — 1) + рзз (з1з + 2)] = з [г®в2Рз,з + г®в1Р2з,з — Р2,зз ],

гав [р11 з /k2l1 -1) + Р22з (k2l2 + 2) + рззз /21з -1) = з[г®в2р2 з - а>2р1в2р2з + а2в2Р1з J,

га/?2 [р1,з (k1l1 + 2) + Р22,з (k1l2 - 1) + Рзз,з (Уз - О] = з \}®в1Р2,з вв2Рз +® в Р2з ] •

Эта система получена подстановкой представления (1з) в однородную систему, соответствующую (6).

Все дальнейшие выкладки выполнены для случая, когда растяжение полупространства в направлении осей x1 и х2 производится равными постоянными напряжениями:

С =5°2 = С ^з°з = 0. (14)

Решая систему (12), находим константы f j:

f ас0 /ввз -Я,зв2 )/tf + в2 -вз2) /г 12з ч

J гз д /г 1,2,3),

ас0 ‘

... 1 (вв, - ¿„ в ) 2вз2 + (в2 + в22 - в32 )

/у =-------У 11 3 ’ Д Д 1 2 Ъ) (/, 3 = 1,2), (15)

где

в в +в2 +в32, Л = П (в12 +в22 -в32 ) +(3 + П )в32 (в12 +в22 ) •

Решение системы для функций (р,. (х3) будем искать в виде

р=1 с^У ^ (16)

5=1

Здесь С5 — произвольные постоянные, — координаты собственного вектора, соответст-

вующего корню г5 характеристического уравнения системы для р, (х3), которое имеет вид

det В (г) =

7аД1 0 0 7оД2 г 0

0 7аД2 0 ¡аД1 0 г

0 0 г 0 ¡аД1 7оД2

а2ДД£31 о2ДД2&2 а2 Д1Д2633 -3г2 37аД2 г 37аД1г

7аДгЯ21 ъаДгЯ^ 7аДгЯ23 -Ъ7аД2 г -3а2Д2 3а2Д1Д2

7аД гЯ11 7аД гЯ12 7оД2 гЯ13 -37аД1г 3а2Д1Д2 -3а2 Д2

= 0.

(17)

где

Я, = Щ -1+.

Раскрывая определитель (17), преобразуем характеристическое уравнение к виду:

г(г2 -аД2 -аД22) (3 + п)а2 Д2 + Д22)г2 - п(г2 + аД2 + аД2)2 = 0. Корни этого уравнения при п Ф1 определяются соотношениями

г = 0, г23 = ±(0^1 Д2 + Д22 , г45 = ±а(а + / Ь) , г67 = ±а(а - 7 Ь) ,

(18)

где

а=

л/А2 + Д

3

+ п

Ь = ^Д2 +д

Ф(п -1)

2>/й 1 2 2\[п

При п = 1 корни характеристического уравнения (18) являются кратными и общее решение системы для р, (х3) будет иметь другой вид. Этот случай здесь не рассматривается.

Координаты собственных векторов X^ определяются из уравнения В (г)■ X = 0. Для г1 они имеют значения:

Х111 = -2а2в , Х122 = -2а2 Д2, Х33 = -а2 (Д12 + Д22), Х/2 = а2 ДД2, ХЦ3 = Х:23 = 0 ;

для г2, г,:

ХЦ = -Х22 = -2а а в1 в2, Х,3 = 0,

Х\2 =0 в -в2) , Х1з = 7г 2а,Д, Х23 = -7г РД2 (5 = 2,3) ;

для гА - г

Х121 = -г2 (о2Д2 - а Д2 -г2) , Х222 = -!г2 (а Д2 - а2& -г2) ,

Х3з = -7а2 Д2 + Д2)(а2Д12 + аД2 + г2), Х;2 = 2/г> ДД,

Х2, = г2 а,1 (а Д2 + а о Д2 + г2) , Х22, = г аД2 (а Д2 + а Д2 + г2) (я = 4,7) .

Таким образом, общее решение системы (6) получается подстановкой (11), (13), (15), (16) и (18) в выражение (10).

Определим теперь неизвестные константы С2. При быстрой осцилляции случайного поля микронеоднородностей краевой эффект должен быстро затухать по мере удаления от границы полупространства. В силу этого решения (10) при х3 ^<х> должно быть ограниченным и совпадать со стационарным, полученным в работе [1]. Корни характеристического уравнения г2, г4 и г6 имеют положительные действительные части и поэтому в силу условия ограниченности решения С2 = С4 = С6 = 0 . Совпадение полученного решения со стационарным гарантируется условием С1 = 0 . Остальные три константы могут быть найдены из краевых условий

Р'3 Х =0 = 3 \х3 =0 ,

используя которые, получим

(Д2 + Д22 - Д3 ) 0Д3 + 7г7 )

С3 = 0,

С5 = ас

0

С7 = ас

Да2 (о2Д2 + о2Д22 + г52)г5 - г7) ’

(Д12 +Д22 - Д32 ) 0Д3 + 7г5)

Да2 (оД2 + о2Д22 + г72)г7 - г5)

(19)

После подстановки найденных констант в (10), решение задачи примет вид:

=1

аи

-ехр

к=0

(т(к^ +Д«х2)_ 2(«) ((«) _(«)

(вк ))2+(в2к ))2_(А(к))17

(( + ()) -(вз(к)) ) ехР (*)Ч)

(«$ к) + Г к ))г5(к )2

®2 (т2Д( к )2 +®2в2 к )2 + Г к )2)

(®Д(к) + /Т5( к ))г7( к )2

г(к) _ г(к)

'5 П

(в)2 _®2в1(к)2 _ Г5(к)2)к))

'з '"5 ’’7 (вк)2 _®2в1(к)2 _ г7(к)2)е

т [тв к )2+твк )2+Ак )2)

^ (в к), в2к) )=< (в \Ак))

((вк ))2+(())2 _(в3к ))2) е^^ ){_((в3к ))2 _(к ))2) е-в3 к

(20)

(вк ))2+(в2к ))2

г (к) _ г (к) Г 5 17

(®Д(к) + /Т7( к ))е'5( к) х _ (®Д(к) + /Т5(к V к) х

}

=1

аа° +в2(к)х

к=0

21 ( вк)2 + вк)2 _ вк)2 ) вк) вк) |_2Д^)в^)вк)2етвзк,Хз +2в +в2 _вз )в в

Лк) _ Лк)

'5 '7

(®Д( к) + /Т7( к ))г5( к )2

твк )2+®2д2к )2+г5( к )2'

■)х, (®Д(к) + 1г5(к ))г7( к )2

а2 в к )2+ю2/?2к )2+ г7( к )2

ст; =^а^(д1к)2 + в2к)2 _вк)2)е)Х1+в">Х2) {_вквк^к)хз

к =0 Л (к)

г(к) _ г(к) Г 5 17

(®Д( к) + /Т7( к ^)

(®Д( к) + /Т5( к ))г7(к)

т

,(д(к), в2к) )=5з (в2к), в1(к)).

#)

Дальнейшие расчеты произведены при условии, что все величины в ! равны единице.

При этом условии случайное поле V, заданное разложением (8), можно считать приближенно изотропным [з].

На основе решения краевой задачи (20) были вычислены дисперсии случайного поля напряжений в любой точке полупространства по формуле:

О =/|<г*. I2

у \ | у |

Они будут являться функциями тхз (т - частота флуктуаций микронеоднородности). В силу громоздкости выражения для дисперсий здесь не выписаны.

Для оценки напряженного состояния полупространства были вычислены нормированные дисперсии

О = О (хз)

1 О («>)•

Графики нормированных дисперсий при различных значениях степени нелинейности материала, представлены на рис. 1 и 2.

Поле напряжений в некотором пограничном слое является статистически неоднородным вдоль оси хз, т.е. в направлении, нормальном к границе полупространства. Вне этого слоя поле напряжений является однородным, причем оно совпадает с полем напряжений для неограниченной среды.

Из рис. 1 видно, что при тхз > 5 ошибка от замены нормированных дисперсий единицей не превосходит 5%. Поэтому можно считать, что зона пограничного слоя имеет ширину поряд-

ка 4,5/со . С ростом порядка нелинейности материала п зона пограничного слоя увеличивается. Например, как видно из рис. 2, при п = 7 она имеет ширину порядка 6/со .

Р и с. 1. Графики нормированных дисперсии при

п = 3

Р и с. 2. Графики нормированных дисперсии при

п = 7

Также была посчитана концентрация напряжений с11 и ст22, возникающая на границе поверхности х3 = 0 в зависимости от степени нелинейности материала. Она вычисляется по формуле

л/Р„(0)

Р =

а ее значения в зависимости от показателя нелинейности установившейся ползучести приведены в таблице

Концентрация напряжений р на границе поверхности

п 3 5 7 9

р 1,414 1,204 1,121 1,080

Как следует из таблицы, величина р изменяется в пределах от 1,08 до 1,41. При этом с увеличением п концентрация напряжений уменьшается. Для сравнения, значение этой величины для упругого полупространства при коэффициенте Пуассона и = 0,25 равно 1,05 [5].

Таким образом, в поверхностном слое флуктуации напряжения достигают заметных величин, которые могут быть значительно больше, чем для глубинных слоев. Следовательно, флуктуации напряжения в пограничном слое играют существенную роль при решении вопроса о надежности конструкций. Неучет краевых эффектов может привести к необоснованному завышению оценок работоспособности элементов конструкции, используемых в производстве.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Попов Н. Н., Самарин Ю. П. Пространственная задача стационарной ползучести стохастически неоднородной среды // ПМТФ, 1985. № 2. С. 150-155.

2. Попов Н. Н., Самарин Ю. П. Исследование полей напряжений вблизи границы стохастически неоднородной полуплоскости при ползучести // ПМТФ, 1988. № 1. С. 159-164.

3. Попов Н. Н., Коваленко Л. В. Поле напряжений на границе стохастически неоднородной полуплоскости при ползучести // Вестн. Сам. гос. техн. ун-т. Сер.: Физ.-мат. науки, 2006. Вып. 42. С. 61-66.

4. Ломакин В. А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. М.: Наука, 1970. 137с.

5. Подалков В. В., Романов В. А. Концентрация напряжений на границе микронеоднородного упругого полупро-

странства // ПММ, 1978. Т. 42. Вып.3. С. 540-545.

Поступила 28.08.2006г.