CC BY
65
Механика деформируемого твердого тела
УДК 539.374 В. В. Стружанов
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ СРЕДА С РАЗУПРОЧНЕНИЕМ. СООБЩЕНИЕ 1. СВОЙСТВА МАТЕРИАЛА И ИНКРЕМЕНТАЛЬНЫЙ ЗАКОН ПЛАСТИЧНОСТИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
Рассмотрено растяжение элементарного кубического объема материала. Получены выражения для инкрементальных модулей и мгновенного коэффициента поперечной деформации как на стадии упрочнения, так и на стадии разупрочнения. Выявлены особенности их изменения. Построены определяющие соотношения, и сформулирован инкрементальный закон пластичности.
1. Введение. Макроизотропные материалы на микроуровне, как правило, представляют собой существенно неоднородную среду. В ходе деформирования в ней происходят множественные повреждения структурных элементов (микропоры в полосах сдвига, микротрещины и т. п.). Данный процесс приводит к зависимости между напряжениями и деформациями, соответствующей разупрочнению материала, когда напряжения падают при одновременном росте деформаций. С феноменологической точки зрения этот эффект характеризуется падающей ветвью диаграммы деформирования. Основная особенность этого явления заключается в том, что на стадии разупрочнения материал реологически неустойчив. Поэтому разупрочнение может быть реализовано только тогда, когда материал находится в составе устойчивой механической системы [1, 2].
В силу данной особенности состояние разупрочнения, как правило, игнорируется и в различных теориях упругопластического тела исследуется только процесс упрочнения [3-5]. Однако учет возможности работы материала на закритической стадии деформирования играет важную роль в расчетах на прочность. Здесь можно выделить три основных аспекта. Во-первых, так как на стадии разупрочнения материал сохраняет несущую способность, хотя и ограниченную, то учет этого обстоятельства позволяет обеспечить более точное определение предельной несущей способности конструкций и их элементов и, следовательно, максимально использовать ресурс материала. Во-вторых, введение в рассмотрение стадии разупрочнения, которая является переходной от сплошной среды к макроразрушению, позволяет установить закономерности возникновения трещин и тем самым устранить существующий разрыв между механикой деформаций и механикой трещин. В-третьих, появление в элементе конструкции зон с неустойчивым материалом существенным образом влияет на устойчивость его деформирования. Поэтому эффект разупрочнения может быть положен в основу теории устойчивости и живучести конструкций и их элементов.
В научной литературе периодически появляются публикации, посвященные вопросам реологической неустойчивости материала. Подробно состояние проблемы, а также некоторые положения теории разупрочняющихся сред изложены в монографиях [6,7]. Однако построение строгой математической теории, характерной для механики деформируемого твердого тела, еще не завершено. В данной работе сделана попытка последовательного изложения основ одного из возможных вариантов математической теории сплошных сред, обладающих эффектом деформационного разупрочнения.
2. Одноосное растяжение.
2.1. Свойства материала [8]. Возьмем кубический представительный объем материала, с гранями которого свяжем прямоугольную систему координат ххХ3. Будем растягивать его вдоль оси х1, задавая величину продольной деформации е1 и регистрируя значения поперечных деформаций £2, £3 (£2 =£3). При этом напряжение О1 (О2 = 03 = 0) определяем как отношение растягивающего усилия к первоначальной площади поперечного сечения элементарного объема.
В результате равновесного вплоть до разрушения деформирования получаем зависимость а1 (е), которая определяет так называемую полную диаграмму деформирования (рис. 2.1.,
т т
кривая 1), имеющую восходящие участки (упругость — 0 <е1 <е1 , 0 <а1 <а1 , упрочнение —
тятя Я У
е1 <е1 < £] , а1 < а1 <а1 ) и падающую до нуля ветвь (разупрочнение - е1 <е1 <е1 ) [9]. Раз -
деление элемента на части происходит в момент, когда а1 = 0, а деформация е1 достигает не-
у тятя
которого предельного значения е1 . Здесь а1 , а1 , е1 , е1 — соответственно пределы текуче-
сти и прочности, и им отвечающие деформации.
Р и с. 2.1. Диаграмма деформирования (1) и график зависимости коэффициента поперечной деформации от удлинения (2)
На восходящей ветви сопротивление деформированию растет, и поэтому материал находится в устойчивом состоянии. На ниспадающей ветви рост деформаций сопровождается падением напряжений, т.е. состояние материала неустойчивое - любое увеличение растягивающего усилия приводит к катастрофическому разрушению представительного объема. Неустойчивое состояние может быть реализовано только тогда, когда материал находится в составе устойчивой механической системы [1]. Растяжение с контролем по деформациям обеспечивает указанные условия.
Отметим, что, вообще говоря, падающая ветвь появляется на диаграммах растяжения вследствие уменьшения эффективной площади сечения представительного объема, вызванного повреждениями на микро и субмикроуровне. Однако такая точка зрения не обязательна для феноменологической теории. Данный процесс непрерывного накопления повреждений можно рассматривать как деформационное разупрочнение, описываемое посредством соответствующего изменения макросвойств эффективного объема материала [10].
По найденным зависимостям а1 (е1) и е 2 (е1) определяем инкрементальный (мгновенный,
касательный) модуль Ер (е1 ) = ^0- и мгновенный коэффициент поперечной деформации
Vр (е1 ) = -^г, график которого показан на рис. 2.1, кривая 2. Заметим, что на стадии разупрочнения возможны и отрицательные значения мгновенного коэффициента поперечной деформации. На упругом участке Ер и Vр равняются соответственно модулю Юнга Е и коэффициенту Пуассона V . На стадии упрочнения Ер = Ер и Е > Ер > 0, при разупрочнении
Ер = Ер и Ер < 0. В точках диаграммы (ея, ая) и (еу, 0) имеем Ер (^) = Ер (еу) = 0 .
При одноосном растяжении объемное напряжение а0 , объемная деформация е0 и их приращения d а0, (I е0 после линеаризации определены формулами а0 =°г, dа0 = с = ^(с + 2е ) dc = 1
Так как
то
3 , 80 = 3 (е1 + 2е2), dе0 =1 (d81 + 2dе2).
е1
dе2 = -Vр (е1)dе1, е2 = -1Vpdе1,
е0 ='
- 2IV pd е1
d £(
= d е1
(1 - 2 V р) •
(2.1.1)
(2.1.2)
(2.1.3)
Выражения для максимальных касательных напряжений т и сдвигов у и их приращений dт, d у с учетом равенств (2.1.2) имеют вид
т = -у, dт = (2.1.4)
е1
у=е1 -е2 = е1 + Jvpde1, dу = de1 (1 + Vp). (2.1.5)
0
Исходя из вида дифференциала функции а1 (е1), запишем инкрементальное соотношение
d а1 = Epd е1, (2.1.6)
связывающее приращения напряжения а1 и деформации е1. Подставим теперь в равенство (2.1.6) выражение для приращения dе1; полученное из второго равенства (2.1.3). Затем новую формулу для приращения d а1 подставим во второе равенство (2.1.1). Тогда
d а0 = Kpd е0. (2.1.7)
Аналогично, используя равенства (2.1.6), (2.1.5) и (2.1.4), находим, что
d т = Gpd у. (2.1.8)
Здесь
Ер Ер
Кр = —-, Gp =—Е-г (2.1.9)
1 - 2vp 2 (1 + vp)
соответственно инкрементальные объемный модуль и модуль сдвига. Отметим, что соотношения (2.1.9) согласуются с выражениями, полученными из других соображений в работе [11].
1 ь0 У2
Далее легко проверяется, что | Ерёе1 = 0, | Крйе0 = 0, | Орёу = 0, = 1 (е2 + 2е2 (е2))
0 0 0
2 2 I 2\ 2 2 2
у = е1 -е2 (е1 ), где е0 , у — предельные объемная деформация и сдвиг, отвечающие е1
е2
а е2 (2) = -1V pd е1 — полная поперечная деформация в момент разрушения.
0
Из первого равенства (2.1.9) следует, что
і ^ - Е^Л
Кр
2 „„ (2110)
В силу энергетических соображений значения параметра Vр расположены в отрезке ё—1, ^. Это условие накладывает следующие ограничения на отношение инкрементальных модулей К-. Во-первых, эти модули должны быть одного знака. На восходящей ветви диаграммы
деформирования (Ер > 0) они положительны, на ниспадающей — отрицательны. Смена знака происходит при е1 = ея. Во-вторых, значения отношения ККр расположены в отрезке [0,3].
Отсюда при Ер Ф 0 имеем Кр Ф 0 . Неопределенность частного кр может быть только при Ер = 0 (е1 = ея, е1 = еу). Но в силу второго ограничения пределы отношения Кр при стремлении е1 к ея как слева, так и справа должны лежать в отрезке [0,3], т.е. функция Vр (е1) мо-
жет иметь разрыв только первого рода. После разрушения значения Ер, Кр и Vр обращаются в нуль. Следовательно, при стремлении слева е1 к еу неопределенность ККр имеет предел, равный единице.
На падающей ветви Vр > 0, если 0 > Ер > Кр (| Кр | > | Ер |), Vр = 0, если Ер = Кр , Vр < 0, если 0 > Кр > Ер (|Ер |> |Кр |).
Из второго равенства (2.1.9) имеем
р 1 Е р
V р =1Е-----1. (2.1.11)
2 Gp
Соображения, приведенные выше, приводят к тому, что, во-первых, инкрементальные модули Ер и Gp должны быть одного знака. На восходящей ветви они положительны, на ниспадающей — отрицательны. Смена знака происходит при е1 = ея. Во-вторых, значения отношения
— расположены в отрезке [0,3]. Тогда при Ер Ф 0 имеем Gp Ф 0 . Неопределенность частно-
Gp
го может быть только при Ер = 0. В силу второго ограничения пределы отношения
при стремлении е1 к ея как слева, так и справа должны лежать в отрезке [0,3]. После разру-
У ер ^
шения при стремлении е1 к е1 слева неопределенность имеет предел, равный двум.
Gp
На падающей ветви Vр > 0, если 0 > Gp > Ер (|Ер | > 2| Gp |), Vр = 0, если Ер = 2Gp ,
Vр < 0, если 0 > Ер > Gp (| Ер | < 21G- |).
Таким образом, приведенные выше рассуждения показывают, что все инкрементальные модули одновременно принимают отрицательные значения, т.е. разупрочнение начинается одновременно для сдвиговых и объемных деформаций.
Наконец исследуем поведение в некоторых частных случаях функций Кр и Gp, заданных формулами (2.1.9), в малой окрестности ея -Д<е1 < ея +Д, в которой функция Ер является убывающей и Ер (ея) = 0 . Пусть функция Vр выпукла в этой окрестности и в центре ее достигает максимума, равного 0.5 . Тогда функция Кр при е1 = ея не определена (неопределенность типа ё 0 ] )• Используя правило Лопиталя найдем пределы этой функции при стремлении к центральной точке окрестности слева (е1 ®ея - 0) и справа (е1 ®ея + 0). Учитывая, что ^Еет < 0,
> 0 слева, ^е_ < 0 справа и ^е_ = 0 при е1 = е1 , находим, что Кр ® (+¥ при е1 ®е1 - 0
и Кр ® (-¥) при е1 ® ея + 0. Следовательно, в точке е1 = ея функция Кр имеет разрыв второго рода.
Если в данной окрестности функция Vр вогнутая и в центре достигает минимума, равного (-1), то при е1 = ея не определена уже функция Gp. Рассуждая аналогично, находим, что G- ® (+¥) при е1 ® ея - 0 и G- ® (-¥) при е1 ® ея + 0. Следовательно, в точке е1 = ея
функция Gp имеет разрыв второго рода.
2.2. Модельный пример. Пусть свойства материала при растяжении характеризуют следующие зависимости. На стадии упругости (0 <е1 < 0,0035) Vр = 0,304 , а1 = Ее1, Ер = Е, на стадиях упрочнения и разупрочнения (0,0035 < е1 < 0,0441)
Vр = 25 (1 + ^2 ) е1 (100е1 - 2-^2 )2 -1
о, =
ГЕе1ехр0,35ехр(—100е,), если 0,0035 < е1 < 0,0288,
1_ "І Е[22,94• 10-4 -0,15(е1 -0,0288)], если 0,0288 < е1 < 0,0441,
ЕР |Еехр0,35ехр(-100е1 )(1 - 100е1), если 0,0035 <е1 < 0,0288,
= {-0,15Е, если 0,0288 < е1 < 0,0441.
В момент разрушения (е1 = еу = 0,0441) Vр = о1 = Ер = 0, в точке максимума на диаграмме о1(е1) при е1 = ея = 0,01 имеем Ер = 0, Vр = ^. Кривые Vр(е1) и о1(е1) показанні на
рис. 2.1, а кривая Ер (е1) изображена на рис. 2.2 (линия 1). Зависимости Кр (е1) и Ор (е1), построенные с использованием формул (2.1.9), показаны на рис. 2.2 (соответственно кривые 2 и 3). Отметим, что функция Кр (Є1) имеет в точке Є1 = 0,01 разрыв второго рода.
Далее, используя выражения (2.1.1), (2.1.3) и (2.1.4), (2.1.5), восстановим зависимости 00(Є0) (рис. 2.3) и т(у) (рис. 2.4). Очевидно, что данные зависимости неявно учитывают влияние сдвиговых деформаций на сопротивление изменению объема и объемных деформаций на сопротивление сдвигу в конкретных условиях одноосного растяжения.
52
Отметим еще следующую закономерность, вытекающую из сингулярности модуля КР при £j = ef. После достижения материалом несжимаемого состояния (vР = дальнейшее растяже-
ние снова приводит к росту объемной деформации. Этот рост связан с резким разрывом внутренних связей, т. е. с появлением множественных объемных дефектов континуального разрушения, приводящим к сильному падению величины объемных напряжений.
2.3. Плотность материала. До начала деформирования представительный объем материала имел плотность р0. Считая объем единичным, находим, что его масса m = р0. В ходе нагружения объем изменяется, и, следовательно, согласно закону сохранения массы изменяется и плотность материала. Если не пренебрегать произведениями деформаций, то зависимость объема от продольной деформации имеет вид
V = 1 + e^ + 2e2 + 2e^ + e2 + e^e2, где e2 определено выражением (2.1.2). Тогда Ро /Р = V . Используя формулу для
функции vp (ei), приведенную в модельном примере, построим зависимость р0/ р(е1) (рис. 2.5, кривая 1).
Кривая 2 - та же зависимость, полученная в результате пренебрежения произведениями деформаций. На кривой 1 наблюдается падающий участок (см. вставку на рис. 2.5), который соответствует возрастанию плотности и уменьшению объема. При растяжении возрастание плотности материала невозможно. Следовательно, должны появиться некоторые дополнительные деформации такие, что суммарные деформации обеспечивают монотонное возрастание объема. Причина возникновения этих деформаций требует специального исследования. Идеализация, заключающаяся в пренебрежении произведениями деформаций, позволяет устранить эту некорректность (см. рис. 2.5., кривая 2).
2.4. Частные случаи идеализации свойств материала. Примем обычное для теории пластичности допущение о том, что на стадии упрочнения отсутствует остаточное (неупругое) изменение объема, и объемные напряжение и деформация связаны линейным образом
Р и с. 2.2. Зависимости экспериментальных модулей Ер (1), КР (2), Gp (3) от удлинения
Р и с. 2.3. Диаграмма «объемное напряжение - объемная деформация»
0.0046 0.014 0.048
Р и с. 2.4. Диаграмма «касательное напряжение - сдвиг»
согласно закону упругости, т.е.
КР=К=Е (1 - 2У),
где К - объемный модуль на стадии упругого деформирования. Тогда из формул (2.1.10) и (2.1.9) находим
V? = 0.5 [1 -(1 - 2п)Е?/е] , О? = Е?Е/[3Е-(1 - 2п)Е? ]. (2.4.1)
Величина Vр изменяется от V до 0.5 при Е? = 0 и в конце участка упрочнения материал становится несжимаемым.
После перехода на стадию разупрочнения, когда объемная деформация превышает величину
1
1
B - 2 J vp (є1 )dє1
л /
1 - 2v
т 1 "г Єі + E
є
J Epd Є1
(2.4.2)
модуль Кр не может сохранять предыдущее постоянное значение и становится отрицательным. Допустим, что инкрементальный модуль Кр также постоянен (зависимость °о (ео) - билинейная). Тогда
Кр =-К/(7 -1) , где 7 = в£/вв . Здесь Кр -объемный модуль на стадии разупрочнения, £
в0 - предельная объемная деформация, отвечающая предельной деформации растяже-
7
ния в1 . Из выражения (2.1.10) имеем V Р = 0.5 [1 + ( -1)(1 - 2у ) ЕР /Е ]. Тогда, используя первое равенство из (2.1.3),
находим
„Z
Єо = (г - 2v)
е1
єт + E J EPdЄї - ZE± J EpdЄї
z -1 1
E
Р и с. 2.5. Зависимость изменения плотности материала от удлинения
Наконец, возьмем диаграмму деформирования с линейным участками упрочнения и разупрочнения, а именно, Ep = ahE,
Ep = -asE , где ah, as - const, 0 < ah < 1, as > 0 . Полагая также Kp, Kp, Gp, Gp - const, из формул (2.1.10) и (2.1.11) находим vpp = 0.5 (1 -apE/Kp), Gpp = ahEKp^j (3Kp’-apE), vp = 0.5(1 + as EKp), Gp =-asEKp j(3Kp + asE). Если положить vp = vp = v , то Kp = ahK,
Gp = apG, Kp =-asK, Gp = -asG.
2.5. Несдвигаемый материал. Рассуждая формальным образом, можно допустить, что на стадии упрочнения отсутствует неупругое изменение формы, и сдвиговые напряжение и деформация связаны линейным образом согласно закону упругости, т.е. Gp = G = 0.5E/(1 + v), где G - модуль сдвига на стадии упругого деформирования. Тогда из формул (2.1.11), (2.1.9) и (2.1.5) следует, что
vP =
EUl+v-1, Kp = EPE______________, / = (i+v)
E h 3E + Ep2 (1 + v)
1 Єг
т
єі +-
J Epd єї
Далее, аналогично изложенному в пункте 2.4, полагаем Ор = — О/(7 — 1), 7 = у2 /у5 . Отсю
да п р = —
Ер (1 + п)(7 — 1)
— 1, у2 =(1 + у)
т
еТ + — 1 Е
Е 1ЕРСе1 — 7Е—1) ЕРС е,
2.6. Признаки характерных черт процесса деформирования. О характерных особенностях процесса деформирования материала можно судить, исходя из вида функций ЕР (е1),
VР (е1), с1ЕР1ае1, ёпР/се1 , которые определяют производные
ёКР (1 — 2пР) СЕР/Се1 + 2ЕРСпР/Се1 сор (1 + пР) СЕР/Се1 — Epdvp/de1
С е
(1 — 2vp) Се 2 (1 + пР)
полученные дифференцированием выражений (2.1.9). Например, пусть на восходящей ветви при некотором значении деформации растяжения ЕР > 0, СЕР/Се1 < 0, 0.5> VР > 0,
СVР/се1 > 0 . Отсюда КР > 0, ОР > 0, ёОР/се1 < 0 и ОР в окрестности данного значения деформации является убывающей функцией. Следовательно, уменьшается сопротивление сдвиговым деформациям. Для увеличения сдвигов требуется все меньшие величины касательных напряжений. Пластическая деформация встречает все меньше препятствий своему распространению. Если и СКР/се1 < 0, то уменьшается сопротивление и объемным деформациям. Пластическая деформация приводит к разрыхлению материала.
Если ЕР < 0, СЕР/Се1 < 0, VР > 0, СVР/се1 < 0 и (1 — 2пР) СЕР/Се1 > 2ЕР СVР/се1, то
ёОР/се1 < 0, СКР/се1 < 0. Отсюда процесс разупрочнения нарастает. Увеличение сдвигов и объемных деформаций сопровождается прогрессирующим падением касательных и объемных напряжений.
2.7. Эффект Баушингера. В случае классического упругопластического тела, когда рассматривается только восходящая ветвь диаграммы деформирования, эффект Баушингера заключается в уменьшении предела текучести при сжатии в результате предварительного упрочнения растяжением (рис. 2.6, сплошная кривая 1 - линия пределов текучести при сжатии). Для определения закономерности соотношения пределов текучести при растяжении и сжатии на падающей ветви рассмотрим точку равновесного разделения элементарного объема на фрагменты (точка 2, рис. 2.6).
Очевидно, что предел текучести при растяжении равен нулю, если о таковом вообще можно говорить. Если теперь из этой точки произвести сжатие, то после закрытия дефектов материал будет деформироваться упруго. Переход в пластическое состояние наступит при некотором конечном значении сжимающего напряжения. Если деформации растяжения несущественно влияют на упругие свойства материала, то это значение близко к
(—оТ). Отсюда можно заключить, что
снижение предела текучести при растяжении на стадии разупрочнения сопровождается повышением предела текучести после разгрузки и последующего сжатия (рис.
2.6, штрих пунктирная кривая 2). Таким образом, происходит инверсия классического эффекта Баушингера.
3. Определяющие соотношения упругопластического материала при одноосном растяжении.
3.1. Инкрементальный закон пластичности [8]. При изотермическом процессе элементарная работа деформации совершается за счет изменения свободной энергии. Запишем урав-
Р и с 2.6. Схема к эффекту Баушингера
нение второго закона термодинамики с учетом необратимости и изотермичности деформирования в виде [12]
СГ =1 о1Се1 — dg , (3.1.1)
Р
где Г - свободная энергия, р - плотность материала, dg - некомпенсированное тепло, характеризующее диссипацию подводимой энергии. Полагаем, что модуль разгрузки не изменяется в процессе деформирования и равен модулю упругости, коэффициент поперечной деформации при разгрузке постоянен и равен коэффициенту Пуассона, деформация аддитивна, т.е.
е1 = е® +ер, где е® , ер - соответственно упругая и пластическая составляющие полной деформации. Отсюда пластическая деформация не влияет на упругие свойства материала. Из двух механизмов диссипации энергии учитывается только диссипация, проходящая за счет пластической деформации, а диссипацией континуального разрушения (множественного повреждения материала микропорами и микротрещинами) пренебрегаем.
В силу высказанных выше предположений свободная энергия не зависит от пластических
деформаций, т.е. Г = Г(е® ). Тогда подставляя в закон (3.1.1) СГ =-Се1 и заменяя Се1 сум-
мой d+ dep, получаем
Эе^
-it- Л f 1
Эр Oi . е | . 1
—--------1 d ei + dg—«
Эее p , ч p
= 0. Отсюда [12]
ЭР
Oi = p— , pdg = Oidep . (3.1.2)
Эее
Здесь pdg определяет механическую диссипацию подводимой энергии, и эта величина равна элементарной работе напряжений на приращениях пластической деформации dAp = od ep.
Как правило, исходя из физических соображений, полагают, что pdg = dAp > 0 [12] (принцип максимума скорости диссипации механической энергии).
Возьмем теперь в качестве свободной энергии потенциальную энергию упругих деформаций, а именно, F = E e^e^f 2p. Подставляя это выражение в первое равенство (3.1.2), находим определяющее соотношение
о1 = Eef = E(e1 -ep). (3.1.3)
Из равенства (3.1.3) следует, что dо1 = E(de1 -dep). С другой стороны справедливо инкрементальное соотношение d О1 = Epd e1 (формула (2.1.6)). Приравнивая оба выражения получаем закон, определяющий кинетику развития неупругих деформаций (закон пластичности),
dep =(1 - EpIE)de1 =(1 - EpIE)dojEp . (3.1.4)
Так как значение d ep существенным образом зависит от величины инкрементального модуля Ep, то будем называть выражение (3.1.4) инкрементальным законом пластического течения. Для поперечной деформации имеем de2 = dee2 + dep, dee2 = -v do^E = -v Epde^E,
de2 = -vp dojEp = -vpde1. Отсюда
d ep = d ep = d e2 - d e2 = (v/ E -vp / Ep) d o1 = (1 - Ep v/v pE) d e2. (3.1.5)
Аналогично, используя соотношения (2.1.7) и (2.1.8), получаем
dep =(1 -Kp/K)de0 =(1 -Kp/K)do0/Kp , (3.1.6)
dgp = (1 -Gp/G)dg=(1 -Gp/G)dt/Gp . (3.1.7)
Здесь dep , dep , dep , dep , dgp - соответственно приращения продольных, поперечных, объ-
емных и сдвиговых пластических деформаций.
Из формулы (3.1.6) следует, что остаточное изменение объема d ep равно нулю, если в ходе пластического деформирования объемная деформация подчиняется закону линейной упругости (Kp = K). Используя выражение для dep из формулы (2.1.3), получаем
ёгР = [е(1 -2пр)-Ер (1 -2у)^. (3.1.8)
Отсюда ёгр = 0 при Vр = 0.5 и Ер = 0 (несжимаемый материал). Случай Vр = 0.5 , Ер > 0 невозможен, так как при ёг1 > 0 получаем ёгр < 0 .
Из формулы (3.1.7) следует, что остаточный сдвиг ёур равен нулю, если в процессе растяжения сдвиговая деформация подчиняется линейному закону упругости (ОР = О). Используя выражение для ё у из формул (2.1.5), находим
ёур = ёЕ(1 + пр)-Ер (1 + п)2ёгх/Е . (3.1.9)
Отсюда ёур = 0 при Vр = -1 и Ер = 0 (несжимаемый материал). Случай Vр =-1, Ер > 0 невозможен, так как при ёг1 > 0 получаем ёур < 0.
Отметим еще одно важное обстоятельство. На стадии упрочнения инкрементальные модули кр ор должны быть невозрастающими монотонно убывающими функциями, причем Кр < К, Ор < О . В противном случае формулы (3.1.6) и (3.1.7) определяют отрицательные значения пластических (остаточных) деформаций.
3.2. Дополнительные соотношения. Запишем выражение для дифференциала полной диссипации ? , которую будем рассматривать как функцию пластической деформации гр. Имеем
Э? р 1 ЭА„
dg =------ёгр =----рёг. Сравнивая это выражение с равенством (3.1.2), находим, что
Эгр р Эгр
ЭАр
О1 = —р . Следовательно, полная работа напряжения на пластической деформации является Эгр
для напряжения потенциальной функцией. Записывая далее дифференциал напряжения, получаем инкрементальное соотношение
Э2 А
ёо1 =-----Ргёгр = Нёгр . (3.2.1)
К)
Здесь Н является инкрементальным модулем упрочнения (разупрочнения). Если теперь выражение для ёо1 из (3.2.1) подставить в закон (3.1.4), то ёгр = (Е-Ер)Нёгр/ЕЕР . Отсюда
Н = ЕЕРI(Е -Ер). (3.2.2)
Следовательно, на стадии упрочнения Н > 0 (Ер > 0, Е-Ер > 0), на стадии разупрочнения
Н< 0 (Ер < 0, Е-Ер> 0). Отметим, что аналогично пластический модуль упрочнения вводится в [13] для диаграммы т(у).
Отметим, что модуль Н определяется касательной к кривой О1 (гр) (рис. 3.1), в которую
можно перестроить диаграмму О1 (г1), используя
г1
равенство гр (г1) = | (1 - Ер (г1 )/е) гг1. Площадь
0
под диаграммой о1 (г1) равна работе, затраченной
на деформирование, и, следовательно, величине подведенной энергии. Площадь под диаграммой
о1 (гр) - это полная работа пластических деформаций, которая равна диссипированной материалом энергии. Эти площади, очевидно, равны. Действительно,
Р и с. 3.1. Диаграмма деформирования (1) и зависимость напряжения растяжения от пластической продольной деформации (2)
\ ! \ * ! \ * !
J a1de1 = J Ojde® + J Ojdep = J Ojdep.
Здесь (в®) = 0, (вр ) = Еу .
Запишем теперь второе равенство (3.1.2) с учетом выражения (3.2.1) в виде pdg = о1 ёо^Н . При растяжении на стадии упрочнения о1 > 0, ёо1 > 0, Н > 0, на стадии разупрочнения о1 > 0, ёо1 < 0, Н < 0 . Таким образом, dg больше нуля на всех стадиях деформирования. Следовательно, процесс разупрочнения не противоречит законам термодинамики (диссипация - положительная и возрастающая величина). При разрушении (после разделения на фрагменты) материал теряет способность диссипировать энергию. Поэтому dg = 0. Отсюда
в момент разрушения о1 = 0 (точка падающей ветви, отвечающая деформации ву) и в = Ер
(ё вр = ё в1).
Введем еще два параметра. Коэффициент дилатансии (дилатансионное отношение) Ь = ёвц /ёур [13]. Он определяет скорость изменения неупругой составляющей объемной деформации в зависимости от роста неупругой сдвиговой деформации и характеризует разрыхление материала, сопровождающее сдвиговую деформацию. С учетом равенств (3.1.6)-(3.1.9) этот коэффициент равен
< = С (К - КР) = 1 Е (1 - 2у 1)-ЕРI1 - 2у)
ёур К(-ОР) ) 3 е(1 + VР)-ЕР (1 + у) .
Коэффициент неупругой (остаточной) поперечной деформации зададим формулой ^ = -ёвр/ёвр , которая с учетом равенств (3.1.4) и (3.1.5) принимает вид
Е\р-Ер\
Л =----------•
Е-Ер
3.3. Постулаты Друккера и Ильюшина. Классическая теория деформирования упругопластических материалов опирается на постулат Друккера, который утверждает, что работа дополнительного напряжения на замкнутом цикле по напряжениям должна быть неотрицательна [3]. Возьмем на диаграмме деформирования произвольную точку Ь с координатами (Е1, о1) (рис. 3.2). Произведем деформирование по замкнутому по напряжениям пути ЬВР, причем ёв1 =ЬК=КМ настолько мало, что точка В, лежащая на касательной, построенной в точке Ь, практически расположена и на самой диаграмме. Работа напряжения при этом равна площади
Р и с. 3.2. Замкнутые циклы деформирования по напряжениям (LBP) и деформациям (LBC)
SLBP + SLPRN = SLKMN + SLBK SKPRM SBPK =
afde1 +—Epde1de1-1— (Epde1) -a1— Epde1 =
= a,
1 -
Ep
d e, +—Epd e, 1 2 1
2 E
Ep Л 1 1
1-----de1 = a1de’ +—da1dep = dAp + —da1dep. (3.3.1)
E 2 p 2
\ / v J
Первое слагаемое есть величина положительная (см. пп. 3.1 и 3.2). Из постулата Друккера следует, что и второе слагаемое должно быть положительным, т.е. da^ep > 0. С учетом формулы (3.2.1) это неравенство принимает вид d ad ep = Hd epd ep > 0 . Очевидно, что данный постулат выполняется при упрочнении (H > 0) и не выполняется при разупрочнении (H < 0). Однако это обстоятельство не является препятствием для построения теории деформирования упругопластических разупрочняющихся сред, так как постулат Друккера не вытекает из зако-
0
0
нов термодинамики. На требование его выполнения следует смотреть как на определение классов устойчивых материалов и путей нагружения [10,14].
Действительно, выражение (3.3.1) представляет собой два первых члена разложения в ряд
Тейлора приращения функции полной работы на пластических деформациях Ар (ер), т.е.
АЛп • ёАр +—ё2Ар = —ер + —-----------Артйерёер = ёо,ёер + — Иёерёер .
р р 2 р Эер 1 2 э(ер)2 11 1 1 2 1 1
На стадии упрочнения второй дифференциал является здесь положительно определенной квадратичной формой (И > 0), а на стадии разупрочнения - отрицательно определенной формой (И < 0). То есть функция Ар строго выпуклая (выпуклая вниз) при упрочнении и строго вогнутая (выпуклая вверх) при разупрочнении [16]. Если И = 0, то функция Ар имеет точку перегиба.
Составим потенциальную функцию для действующих на элементарный объем сил
ф(ер,д) = Ар - Адр,
где ер играет роль параметра состояния элементарного объема, д - параметр управления
еГ
(внешнее растягивающее усилие), Ар = | дёер . В состоянии равновесия
0
ЭА
ёФ = —— ёер - дёер = 0 (о1 - д = 0). Далее ё2Ф = ё2Ар. Отсюда, если в положении равнове-Эе1
2
сия ё Ар > 0 (упрочнение), то функция Ф имеет минимум, и данное положение равновесия
элементарного объема устойчивое. Когда ё Ар < 0 (разупрочнение), то функция Ф в данном
положении равновесия имеет максимум, и оно неустойчивое [16,17], и возможно лавинообразное возрастание пластических деформаций.
В основу теории деформирования упругопластических материалов, обладающих эффектом деформационного разупрочнения, может быть положен постулат пластичности Ильюшина А. А. [15], который утверждает, что работа напряжения по любой замкнутой по деформациям траектории должна быть неотрицательна.
Произведем деформирование по замкнутому по деформации пути ЬБС (рис. 3.2). Работа напряжения при этом равна площади треугольника ЬБС. Имеем
^ЬБС = ^ЬКМК + ^ЬБК - ^ББМ + ^СБК =
= о1ёе1 +1 Ерёе1ёе1 -2— (о1 + Ерёе1) + 2— (о1 + Ерёе1)Е_1 -ёе1 ] = 1 (Е -Ер)ёе1ёе1.
Следовательно, из постулата Ильюшина А. А. вытекает неравенство
(Е -Ер)ёе1ёе1 > 0, (3.3.2)
удовлетворяющееся как при упрочнении (Е > Ер > 0), так и при разупрочнении (Ер < 0).
Далее из определяющих соотношений (3.1.3) следует, что о1 = о”” -ор, где о”” = Ее1 -мгновенное напряжение, которое при заданной деформации появилось бы в материале, если бы он обладал идеально упругими свойствами, а ор = Еер - релаксационное напряжение, характеризующее уровень падения напряжения от идеально упругого состояния. Таким образом, при возрастании деформации на величину ё е1 в материале происходит два последовательных процесса. Сначала при сохранении идеально упругих свойств возникает напряжение ё о” = Её е1. Затем за весьма малый промежуток времени происходит его релаксация (энергия дисспирует за счет пластической деформации) на величину ё ор = Её ер . Отсюда неравенство (3.3.2) с учетом соотношения (2.1.6) принимает вид
ёо”йе1 - ёо1ёе1 = (ёо” - ёо1) ёе1 = ёорёе1 > 0 .
Если воспользоваться соотношениями (3.2.2) и (3.2.1), то получим
(Е - Ер) ёе1ёе1 = Еёе1Ер ёг^И = ёо”ёер > 0.
Отметим, что требование постулата Друккера является более сильным. Он представляет собой лишь достаточное условие для выполнения постулата пластичности. Действительно, пусть выполнен постулат Друккера. Тогда
dа-^ер = ^с’т - dар) dер = dа^ер - dаpdер = dа^ер - Edepdер > 0 .
В силу положительности величины Edepdер для выполнения данного неравенства необходимо
как минимум выполнение неравенства dо^dер > 0 .
Таким образом, постулат пластичности справедлив для более широкого класса материалов и процессов [14].
3.4. Интенсивность напряжений и деформаций. Запишем приращения интенсивностей напряжений и деформаций для приращений произвольных симметричных тензоров напряжений и деформаций в виде dо;- = -\/2В ^а^2, dе;- = л/2 (1 + ур) В (е^ ^2, где
При одноос-
B [day) = (dan - da22)2 + (da22 - da33 )2 + (da33 - da11)2 + 6[da^2 + daf3 + da|3)
ном растяжении имеем don = dOj, den = dEj, d£22 = d£33 = d£2 = -Vpd£. Остальные компоненты равны нулю. Тогда dot = do1, d£ = d£x, dot = Epd£.
Далее интенсивности приращений упругих и пластических составляющих полных деформаций записываются в виде d£® = л/2(1 + v) 1B (d£® )^2, d£p = -v/2 (1 + h) 1B (d£p )^2. При одноосном растяжении с учетом равенств d£2 = d£2 = —Vd£^, d£p = d£p = -hd£p получаем d£® = d£^, d£p = d£p . Отсюда d£ = d£® + d£p . Тогда d£p = (1 - Ep/e ) d£ , d£® = (Ep/e ) d£.
3.5. Критерий вида разрушения. Различают два основных вида разрушения - отрывом и срезом [18]. При деформировании элементарного объема происходит одновременное развитие этих процессов. Отрыв, как правило, связан с образованием неупругих объемных деформаций, а срез - с образованием неупругих сдвиговых деформаций. Поэтому определение основной тенденции в разрушении может быть связано со сравнительной оценкой скоростей нарастания неупругих объемных и сдвиговых деформаций. Такую оценку позволяет дать параметр
к = d 4 / d gp d £0 / d g '
Если к > 1, то доминирует процесс отрыва, при к < 1 доминирует срез. Используя выражения (3.1.6) и (3.1.7), находим, что неравенства к > 1 и к < 1 эквивалентны неравенствам
Г „пЛ Г „пЛ Г „пЛ г Gp\
1 - KL
K
1-—
G
и
1 -—
K
1 -G
Подставляя выражения для инкрементальных модулей (2.1.9) и производя преобразования, находим, что при Ер > 0 отрыв доминирует при Vр < V , а срез - при Vр > V . В первом случае справедливо неравенство К/О > Кр/ор (Кр > 0, Ор > 0). Это неравенство показывает, что сопротивление объемным деформациям уменьшается по сравнению с сопротивлением сдвигу. Во втором случае сопротивление сдвигу уменьшается по сравнению с сопротивлением объемным деформациям. Данный результат не противоречит традиционным представлениям теории пластичности, по которым на стадии упрочнения величина Vр возрастает, происходит интенсивная пластическая деформация в полосах сдвига, неупругого изменения объема не происходит.
Когда Ер < 0 (разупрочнение), то отрыв доминирует при Vр > V, а срез - при Vр < V . В первом случае (-Кр )Д-Ор )> К/О (Кр < 0, Ор < 0), т.е. величина Кр уменьшается по
сравнению с величиной Ор . Возрастание объемной деформации приводит к значительному падению уровня объемных напряжений. Прирост объемных дефектов существенно выше приращения дефектов в полосах сдвига. Отсюда падение уровня касательных напряжений относительно меньшее. Во втором случае наоборот, рост сдвиговой деформации приводит к возникновению множественных дефектов в полосах сдвига, степень интенсивности развития которых выше, чем объемных дефектов. Разрушение при этом реализуется в виде скола.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Никитин Л.В. Направления развития моделей упруговязкопластических тел // Механика и научно-технический прогресс. — Т. 3. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1988. — С. 136-153.
2. Рыжак Е.И. К вопросу об осуществимости однородного закритического деформирования при испытаниях в жесткой трехосной машине // Изв. АН СССР. МТТ., 1991. — № 1. — С.111-127.
3. Ивлев Д. Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. — М.: Наука, 1971. — 232 с.
4. Коларов Д., БалтовА, БончеваН. Механика пластических сред. — М.: Мир, 1979. — 302 с.
5. Аннин Б.Д., Черепанов Г.П. Упруго-пластическая задача. — Новосибирск: Наука, СО. 1983. — 238 с.
6. Стружанов В.В., Миронов В.И. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. — Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1995. — 192 с.
7. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. — М.: Наука. Физматлит, 1997. — 288 с.
8. СтружановВ.В., БашуровВяч.В., Каримов П.Ф. К определению параметров инкрементального закона пластичности для изотропных сред // Изв. Урал. гос. ун-та. (сер. Математика и механика. Вып. 2), 1999. — № 14 — С. 119-134.
9. Экспериментальные функции сопротивления легированной стали при растяжении и кручении / С.Д. Волков, Ю.П. Гуськов, В.И. Кривоспицкая и др. // Проблемы прочности, 1979. — Т. 11, № 1. — С. 3-6.
10. РаботновЮ.Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1988. — 712 с.
11. Шевченко Ю.Н. К построению поверхности нагружения в теории пластичности // Прикладная механика,
1996. — Т. 32, № 11. — С. 31-37.
12. Седов Л. И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1970. — Т 2. — 568 с.
13. Райс Д.Р. Об устойчивости дилатантного упрочнения насыщенных скальных массивов // Механика. Новое в
зарубежной науке. — Т. 2. Определяющие законы механики грунтов. — М.: Мир, 1975. — С. 195-209.
14. Ильюшин А.А. Об основах общей математической теории пластичности // Вопросы теории пластичности. — М.:
Изд-во АН СССР, 1961. — С. 3-29.
15. Ильюшин А.А. Пластичность. — М.: Изд-во АН СССР, 1963. — 271 с.
16. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М.: Мир, 1989. — 655 с.
17. ВасидзуК. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. — М.: Мир, 1987. — 542 с.
18. Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Сопротивление материалов деформированию и разрушению при сложном напря-
женном состоянии. — Киев: Наукова думка, 1969. — 212 с.
Поступила 27.01.2006 г.
УДК 539.376
Н.Н.Попов, Л.В.Коваленко
ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ НА ГРАНИЦЕ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ
Рассмотрена краевая задача о напряженном состоянии стохастически неоднородной полуплоскости x2 ^ 0 в условиях ползучести. Определяющее соотношение ползучести, взятое в соответствии с нелинейной теорией вязкого течения, сформулировано в стохастической форме. Поставленная задача решается приближенно относительно компонент тензора напряжений Оу на основе
линеаризации по методу малого параметра. Решение линеаризованной задачи получено в виде суммы двух рядов. Первый ряд задает решение вдали от границы полуплоскости без учета краевого эффекта. Члены второго ряда являются функциями координат x2, они быстро затухают по мере удаления от границы полуплоскости. Произведено исследование концентрации напряжений, возникающей на границе полуплоскости.
Структурная неоднородность материала обусловливает появление ряда механических эффектов, которые не могут быть изучены в рамках классических детерминированных теорий. Одним из таких эффектов является эффект пограничного слоя. Суть его состоит в том, что вблизи границы структурированного тела имеется пограничный слой, обладающий рядом специфических особенностей. В частности, на границе тела возникает концентрация напряжений, которая может достигать заметной величины. Эффект пограничного слоя для упругих тел был исследован в работах [1-5]. В теории ползучести известны решения стохастических задач для внутренних областей, достаточно удаленных от границы тела [6-9], а влияние стохастических неоднородностей на напряженно-деформированное состояние вблизи поверхности, на которой заданы краевые условия, до настоящего времени практически не изучены.
Пусть к границе стохастически неоднородной полуплоскости x2 > 0 , находящейся в условиях плоского напряженного состояния, приложены нагрузки
O221x2=0 = O22 = COnSt , O121x2=0 = 0 , (1)
а напряжение O11 удовлетворяет условию макроскопической однородности (о11) = о° = const, которое соответствует приложению при x1 = ±h , где h достаточно велико, постоянных по x2 напряжений о°1. Здесь и далее угловыми скобками обозначена операция математического ожидания.
Определяющее соотношение ползучести принимается в соответствии с нелинейной теорией вязкого течения (установившейся ползучести) в стохастической форме [6]
