CC BY
73
УДК 539.21, 539.37, 539.42, 622.023
Некоторые нелинейные эффекты поведения горных пород
Ю.П. Стефанов
Институт нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634055, Россия
В работе представлен анализ нелинейных особенностей поведения горных пород, которые наблюдаются на диаграммах на-гружения, но в рамках традиционных моделей упругопластических сред, как правило, игнорируются. Рассмотрены начальный этап деформирования и разгрузка образцов горных пород. Нелинейность поведения на данных этапах нагружения интерпретируется с позиции частичного закрытия трещин, которые образовались в ходе деформировании за пределом упругости или за предыдущую историю нагружения. Предложены феноменологические соотношения, позволяющие учесть указанные нелинейные особенности при численном моделировании. Рассмотрен этап запредельного деформирования, соответствующий стадии локализации деформации и образования магистральных трещин, и предложены поправки для более корректного определения параметров моделей.
Ключевые слова: горные породы, эксперимент, образец, определяющие соотношения, модель, нелинейность, упругость, пластичность, локализация деформации, разрушение, трещины, дилатансия, разгрузка, диаграмма нагружения, численное моделирование
Some nonlinear rock behavior effects
Yu.P. Stefanov
Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634055, Russia
The nonlinear rock behavior effects observed in loading diagrams are analyzed which are usually ignored in conventional models of elastoplastic media. The initial deformation stage and unloading of rock samples are considered. The nonlinear behavior on these loading stages is interpreted from the viewpoint of partial closure of cracks initiated during deformation beyond the elastic limit or in earlier loading history. Phenomenological relations are derived to account for the discussed nonlinear effects in numerical modeling. The post-critical deformation stage corresponding to the stage of strain localization and main crack formation is studied. Corrections are made to provide a more accurate determination of model parameters.
Keywords: rocks, experiment, sample, constitutive relations, model, nonlinearity, elasticity, plasticity, strain localization, fracture, cracks, dilatancy, unloading, loading diagram, numerical modeling
1. Введение
Построение математических моделей поведения горных пород, а также определение их параметров осуществляют на основе экспериментальных данных по деформированию образцов в разных условиях. В зависимости от интересующего диапазона нагрузки и рассматриваемых условий, которые может испытывать порода, в модели учитываются те или иные особенности поведения, наблюдаемые в испытаниях. Чаще всего испытание образцов выполняется на установках, обеспечивающих псевдотрехосное сжатие [1-3] или независимое трехосное [4] нагружение. Соответственно, используются образцы в форме цилиндра или параллелепи-
педа. В рамках таких испытаний осуществляется осевое деформирование образцов по жесткой, кинематической схеме при постоянном значении бокового обжатия. Учитывая, что деформирование горных пород часто сопровождается выраженным изменением объема, необходима регистрация всех компонент деформации. На основе анализа диаграмм нагружения осуществляется определение упругих модулей и параметров модели, описывающих поведение породы за пределом упругости.
Большинство моделей упругопластической деформации и разрушения горных пород не учитывают некоторые нелинейные особенности поведения образцов, например начальный нелинейный участок деформиро-
© Стефанов Ю.П., 2016
вания, а также предполагают линейную разгрузку. В то же время экспериментальные данные показывают, что на начальном этапе деформации на диаграмме нагру-жения очень часто существует более пологий, чем основной, квазилинейный упругий участок (рис. 1). Этот участок деформирования объясняют особенностями на-гружения прижимного устройства при неидеальной форме и состояния граней образца, а также наличием приоткрытых в породе трещин. После приложения начального давления большая часть этих трещин смыкается и далее порода ведет себя как сплошное тело. При расчетах и интерпретации данных такие особенности обычно не принимаются во внимание, т.к. начальная нелинейность не велика и во многих случаях не существенна при решении задач. Однако при определенных обстоятельствах игнорирование начальной нелинейности не позволяет учитывать и описывать достаточно важные процессы, в том числе чувствительность упругих свойств горных пород к напряженному состоянию в случаях, когда в среде имеется зона разрежения, например в окрестности трещин или в областях повышенного по-рового давления.
Вторая особенность нелинейного деформирования связана с разгрузкой. Эксперименты показывают, что в ряде случаев наблюдается сложный, порой труднообъяснимый, вид диаграммы нагружения после снятия нагрузки в образцах, не доведенных до разрушения [5, 6] (рис. 2, а). Наблюдается частичное восстановление объема образца, несмотря на очевидное наличие деформации за пределом упругости и дилатансии. Таким образом, оказывается, что дилатансия может иметь частично обратимый характер. В случае разрушения увидеть это практически невозможно. К сожалению, экспериментов с разгрузкой образцов проводится мало, еще реже осуществляется их анализ. Чаще всего это исследование грунтов, когда такие особенности деформирования менее выражены и менее существенны.
Немаловажное значение также имеет интерпретация диаграмм нагружения на запредельном участке деформирования и этапе разрушения. Данный участок зависимости напряжений от деформаций имеет важнейшее значение для описания процесса разрушения, в том числе сопровождающих его динамических явлений [7].
Указанные особенности деформирования и верная интерпретация экспериментальных данных могут быть важны как при решении конкретных задач, так и для постановки ряда вопросов о закономерностях поведения горных пород и попытки на них ответить: Как соотнести свойства образцов, которые подвергаются испытаниям, и свойства породы в естественных условиях? Насколько верно результаты испытаний образцов отражают поведение породы до ее эксгумации? Ведь порода в естественных условиях находилась в нагруженном состоянии и, возможно, за пределом упругости или в недалеком прошлом испытала псевдопластическую дефор-
мацию. Кроме того, в процессе изъятия, подъема на поверхность и разгрузки образец претерпел определенную деформацию, в том числе, возможно, неупругую. Таким образом, анализ и учет указанных особенностей поведения горных пород необходим при построении математической модели и получении адекватных соотношений между свойствами образцов и свойствами породы в естественных условиях для дальнейшего моделирования процессов.
Рассмотрение и учет влияния внутренней структуры на закономерности поведения твердых тел имеет важнейшее значение для объяснения природы возникновения и развития пластической деформации и разрушения. В случае сплошных кристаллических тел основное внимание уделяется механизмам зарождения и движения дислокаций. Исследование механизмов развития пластической деформации, а также образования и роста трещин показало необходимость учета нелинейных уравнений, учитывающих кривизну кристаллической решетки [8]. Образование пор и мезотрещин происходит на стадии формирования и развития макрополос локализованного сдвига.
При описании поведения горных пород на передний план выходят неоднородность мезоструктуры, включая зерна и другие элементы, поры и внутренние трещины разных размеров, которые уже имеются в материале. Особенности внутреннего строения определяют нелинейность поведения на разных этапах нагружения. В связи с этим большое внимание уделяется исследованию закономерностей влияния внутренних трещин на механические свойства пород. Рассматривается влияние формы и ориентации трещин на упругие модули и прочностные свойства [9-11]. Для этого используются уравнения теории трещин. В итоге полученные соотношения не являются универсальными и их сложно использовать при проведении практических расчетов и моделировании.
В то же время для проведения расчетов и описания процессов в геологической среде, когда данных о структуре немного, необходимы достаточно простые феноменологические соотношения, позволяющие описывать наиболее важные закономерности поведения горных пород. Причем необходимо, чтобы параметры моделей были легко определимы, желательно, в рамках стандартных испытаний, и имели внятный физический смысл.
2. Типичные диаграммы иагружения и их интерпретация
Рассмотрим типичные диаграммы деформирования в режиме дилатансии образцов горных пород, когда в ходе пластической деформации происходят образование, рост и раскрытие микротрещин, в результате чего макроскопический объем образца увеличивается [1, 12, 13] (рис. 1). Поскольку в ходе деформирования проис-
-0.2 -0.1
0.2 А К/К, %
Рис. 1. Характерный вид диаграмм нагружения образцов горных пород при дилатансионном режиме деформирования
Второй участок псевдопластической деформации требует, в зависимости от используемой модели, определения достаточно большого набора параметров, т.к. кроме предела упругости и прочности необходимо рассчитать параметры, описывающие трансформацию предельной поверхности, а также дилатансию среды [1419]. Причем последний параметр, особенно при его высоких значениях, оказывает влияние на кривую деформирования. Только на этом участке можно корректно определить значение дилатансии и соответственно параметр ее описывающий. Коэффициент дилатансии является одним из наиболее сложных для определения параметров. Он представляет собой соотношение между приращениями объемной и сдвиговой частей деформации за пределом упругости Р = Дер/Дур и зависит от состояния среды [16-19]. Его определение требует достаточно детальных измерений не только осевой, но и поперечной деформации для расчета изменения объема образца. Важность тщательного определения коэффициента дилатансии связана не только с точностью расчета пластической деформации, но также и с тем, что объемная пластическая деформация отражает изменение мезоструктуры породы, ее пористости и трещи-новатости.
Определение большинства параметров моделей на основе анализа диаграмм нагружения корректно может осуществляться лишь на этапе, пока образец сохраняет макроскопическую сплошность. Это связано с тем, что
ходят образование и раскрытие трещин, а также исчезают и образуются новые контакты на внутренних не-сплошностях, меняется мезоструктура породы. Это проявляется в изменении свойств, которые зависят как от истории деформирования или накопленной псевдопластической деформации, так и от текущего напряженного состояния. Поэтому на каждом последующем этапе деформирования фактически мы имеем дело с разным материалом, что требует описания его поведения в инкрементальном виде.
На диаграммах нагружения образцов горных пород обычно выделяют упругую, псевдопластическую (необратимую) и запредельную стадии (рис. 2). Однако при более детальном изучении процесса можно обнаружить еще начальный нелинейный участок деформирования, а также нелинейный характер кривой разгрузки. Данный участок часто выделяется в случае разгрузки на псевдопластической стадии. На рисунках Q = ах - ас, где и ас — осевое и боковое напряжения.
Определение упругих параметров по почти линейному участку диаграммы нагружения не представляет никакой сложности. Отклонение от линейного участка свидетельствует о начале пластической деформации, а соответствующие напряжения, которые отмечены на рис. 1, 2 звездочкой, будут пределом упругости.
0, МПа 200 150 100 -50-
8е1 * а Х* ^_____V
\ чч Дилатансия, \ / \ / ь
\ / \ / \ / \ / Упругость \ 1 \ / \ / \ч /Частичная \ 1 обратимость ^ \ \
0
-0.2 -0.1 0.0 0.1
1111
Раскрытие
0.2 А К/К, %
ш
Закрытие
Пустоты У Разгрузка
/// ///
,/// Сдвиг //*
Обратный сдвиг
Закрытие
1111
Рис. 2. Вид диаграммы нагружения при разгрузке образца на стадии псевдопластической деформации (а) и схема закрытия мезотрещин после снятия нагрузки (б)
на этой стадии можно приближенно считать деформацию в образце однородной и поведение в каждой точке примерно соответствует поведению во всем образце, что является основным требованием для построения макроскопической модели поведения среды. Однако даже в этом случае не всегда сохраняются условия корректного осуществления измерений, т.к. возможно неравномерное изменение формы образца, что проконтролировать в испытательной камере чрезвычайно трудно.
Важной частью упругопластических моделей является гипотеза об аддитивном разложении полной деформации и ее скорости на упругую и пластическую части:
&у =Ц - (1)
Из этого соотношения следует, что напряжения будут определяться уравнением
а у = Х(0 -0 р)8г-, + 2ц(ёу-ё р ),
(2)
где X и ц — коэффициенты Ламе; а у и ёу — компоненты тензора напряжений и тензора скорости деформаций; 0 = ёкк; 8у — символ Кронекера.
Таким образом, принципиальное значение имеет расчет пластической деформации. Это осуществляется на основе принятой модели упругопластической деформации. Приведем основные соотношении варианта упругопластической модели, построенной на основе модели Друкера-Прагера-Николаевского с неассоциирован-ным законом течения [18-21]. В рамках принятого варианта модели основными уравнениями будут уравнения предельной поверхности
/ = т-аа-7, (3)
пластического потенциала
ё = т-рст, (4)
а также уравнение, на основе которого рассчитывается скорость, или приращения пластической деформации:
*=
(5)
Здесь т = ^ ^ у 12)^2 — интенсивность касательных напряжений; ст = -сткк/3 — давление; Y = Y(ер, а), а = = а(ер, а), в = Р(ер, а) — параметры, которые могут быть выражены через когезию, углы внутреннего трения и дилатансии модели Кулона-Мора; ер — компоненты пластической (неупругой) деформации. Параметр dX определяется в ходе деформирования из уравнения предельной поверхности и уравнения течения для приращений пластической деформации. Данная процедура подробно изложена в работах [18, 20, 21].
Важным обстоятельством является то, что предельная поверхность (3) не является фиксированной, она изменяется в ходе необратимой деформации. На начальных этапах она расширяется за счет того, что происходит упрочнение, а затем, после достижения определенного уровня необратимой сдвиговой деформации, начинается процесс разупрочнения, который завершается
разрушением. На стадии упрочнения удобно использовать уравнение вида:
Y (ур) = ^о[1 + к (Дур) - В (ур))], (6)
где ёур = 2(ёер 12)12 — интенсивность сдвиговой пластической деформации, еУ = ер -1/3 ерк8у; h — коэффициент упрочнения. Для учета упрочнения используется линейная зависимость А(ур) = 2ур /у* и для учета разупрочнения (накопления повреждений) — квадратичная зависимость В(ур) = (ур/у*)2, где у* — критическая деформация, после которой преобладает деградация материала.
Данное выражение хорошо описывает изменение параметра Y на этапе упрочнения среды, а также в случае быстрого хрупкого разрушения. В случае вязкого разрушения с образованием зон локализованного сдвига для более точного описания процесса необходимо учесть скорость снятия напряжений на запредельной стадии деформирования. Таким параметром может быть у 0 — пластическая деформация при полном разрушении.
3. Запредельная стадия деформирования. Учет локализации деформации
На запредельной стадии деформирования, когда происходит снижение напряжений с ростом деформации, обычно имеют место локализация деформации и формирование магистральных трещин. Хотя необходимо помнить, что процесс локализации может начаться еще на второй стадии, когда приращения напряжений и деформаций имеют один знак. Рост напряжений может быть связан с дилатансией среды. Необходимо отметить, что рост напряжений, несмотря на локализацию деформации, наблюдается также в случае уплотнения среды, в том числе с образованием полос компакции [18]. Однако здесь будем рассматривать процессы в малопористых средах, в первую очередь кристаллических породах.
При рассмотрении многих процессов в число необходимых параметров для проведения расчетов входят значения не только предела прочности или максимальных напряжений и соответствующей деформации, но и деформации полного разрушения. Это означает, что необходимы правильные оценки скорости снижения напряжений на запредельном этапе деформирования.
На стадии упрочнения, когда имеет место достаточно однородное распределение напряжений и деформаций, можно с определенными оговорками принять, что поведение каждой точки среды аналогично поведению образца в целом. С началом локализации деформации, формирования макроскопических магистральных трещин такое допущение работать не может. Поэтому на стадии запредельного деформирования возникает проблема оценки свойств точки или мезообъема среды по кривым нагружения.
Очевидно, что при образовании полос локализации приращение деформации протекает именно в этих полосах. Падение напряжений на диаграмме нагружения связано со снижением прочностных свойств лишь в узкой полосе локализации. С момента локализации смещение и приращение деформации протекают в тонкой зоне толщиной L, тогда как в окружающей среде имеет место частичная разгрузка за счет снижения прочностных свойств в этой полосе. Упругая энергия образца высвобождается через развитие деформации в узкой зоне локализации и трещин. В случае пологого снижения напряжений на кривой деформирования накопление повреждений и разупрочнение часто происходят постепенно, достаточно медленно. Причем в зоне локализации скорость деформации и ее полные значения на порядки больше, чем на диаграмме напряжений, в силу локализации процесса. В случае резкого сброса напряжений создается эффект «удара» аналогично наблюдаемым при горных ударах и землетрясениях.
Общая деформация, записанная на графиках как деформация образца, протекает лишь в полосе локализации. Поэтому ее необходимо пересчитать с учетом физических размеров, что легко сделать через смещения. В ходе разгрузки часть упругой деформации, соответствующая падению напряжений, также вызовет смещение и деформацию в полосе локализации (рис. 3). Таким образом, деформация в зоне локализации будет состоять из двух частей: дополнительной деформации, которую мы видим на графиках, и деформации упругой разгрузки основной части образца. Соответственно, смещения в полосе локализации будут также состоять из двух частей: смещения за счет разгрузки основной части образца и смещения его границ. Таким образом, нам необходимо рассчитать деформацию в зоне локализации, имея диаграмму нагружения образца и толщину зоны локализации в вертикальном сечении.
Для простоты можно принять, что в полосе локализации распределение деформаций и напряжений однородно. Чтобы получить оценки изменения напряжений
и деформаций, а соответственно, и изменения свойств материала, необходимо знать деформацию в этих зонах. Не имея непосредственных измерений, получить такие оценки можно, если знать толщину и ориентацию полос локализации (рис. 3). Пусть Н — толщина вертикального сечения полосы локализации, которую можно выразить через толщину полосы L и угол ее наклона 0: Н = Ь/008 0.
По данным измерений мы имеем смещение границ образца ДА = АДе. Изменение толщины зоны локализации запишется в виде ДН = ДА + ДА0, где ДА, ДА0 — смещение границ образца и смещение, вызванное разгрузкой. За счет разгрузки сплошных частей образца имеем: ДеА =Д^/Е и ДеА = ДА0/(А-Н), соответственно, смещение можно записать в виде ДА0 = = ДеА(А -Н). Здесь ДеА, Да1 — осевая деформация и напряжение; Н — высота образца. Отсюда ДА0 = Да1 х х (А - Н)/Е.
Смещение в полосе локализации можно представить в виде ДН = ДА + ДА0 = ДА + Да1 (А - Н)/Е. Отсюда ДН = А Де + Да1(А - Н)/Е, а приращение деформации в зоне локализации находится как = ДН = АДе +Да1( А - Н)/Е
Н ~ Н '
Если пренебречь толщиной полос локализации по сравнению с высотой образца, приращение деформации в зоне локализации можно записать как АДе+ Да1 А/Е Н '
Даже если пренебречь разгрузкой основной части образца, то деформация в полосе локализации будет заметно отличаться от общей деформации, фиксируемой на графике:
(8)
Де Н =■
(7)
Де
Н
Де Н =—Де. Н
Рис. 3. Схема образца с полосой локализованной деформации
Отсюда видно, что при оценке скорости снижения напряжений и предельной деформации разрушения следует учитывать, что реальная скорость деформации на этапе разупрочнения более чем на порядок (более чем А/ Н) больше, чем мы видим на диаграмме нагружения. Аналогично величина предельной деформации, когда материал теряет свою прочность, значительно выше наблюдаемой на кривых нагружения.
Таким образом, при определении значения параметра у 0, соответствующего полному разрушению, следует требуемое значение на диаграмме нагружения увеличить на величину порядка АН.
4. Нелинейность на начальном этапе деформирования
На начальной стадии нагружения образцов горных пород очень часто наблюдается нелинейный участок (рис. 1). Такое поведение в первую очередь при приложении всестороннего давления может быть связано с
Рис. 4. Зависимость приложенных напряжений от объемной деформации
тем, что в породе имеется множество мезотрещин, часть из которых находится в раскрытом состоянии. По мере увеличения нагрузки трещины закрываются, соответственно, меняются упругие модули [9-11]. Рассмотрим этот участок кривой нагружения подробнее.
Величина отклонения от линейности определяется объемом пустот раскрытия трещин, которые по мере нагружения будут закрыты. Вторым параметром может служить величина давления, когда кривая нагружения приближается к линейной, что соответствует закрытию основной части мезоскопических трещин. Таким образом, для модуля объемного сжатия К можно принять функциональную зависимость вида: К = f (в, а), где в, а — объемная деформация и давление соответственно.
Если ф — объем трещин, которые закрываются при приложении давления Р0, то выражение для модуля объемного сжатия можно записать в виде
К = К
1 - а
ф-в Р0 -а
, в<ф, а> 0,
(9)
а < 1, в = -ДV/V.
Заметим, что похожий закон может работать на упругой стадии и при растяжении, когда происходит раскрытие имеющихся трещин, хотя коэффициенты и поровое давление Р1 в этом случае будут другими:
К = К
1 - Ь Р1 + а
а< 0.
(10)
Соотношения (9), (10) могут быть приняты и как вариант неравномодульной теории, разработка и применение которой направлены на учет различия поведения горных пород в условиях растяжения и сжатия [22-24]. В условиях сжатия предполагается, что микро- и мезо-трещины закрыты, а при растяжении происходит их раскрытие. Наличие раскрытых трещин при сжатии обычно игнорируется, тогда как в предложенном варианте во внимание принимается не только возможная разница упругих модулей при растяжении и сжатии, но и наличие раскрытых трещин в ненагруженной породе.
Результаты численного моделирования деформирования образца горной породы с использованием данных
соотношений показали их адекватность экспериментальным данным. Моделирование осуществлялось в рамках изложенной выше модифицированной модели [18-21], дополненной соотношениями (9), (10). На рис. 4 показана зависимость приложенных напряжений от объемной деформации, полученная при моделировании деформации образца породы под действием осевого растяжения и сжатия при боковом давлении 10 МПа. На рисунке выделен нелинейный участок, описываемый при помощи уравнений (9), (10). Отмеченные на рисунке точки А и А~ соответствуют закрытию пустот и началу линейных участков кривых нагружения при сжатии и растяжении. Точки В и В~ показывают начало псевдопластического этапа деформирования и необратимой объемной деформации.
Очевидно, что учет данной нелинейности не окажет заметного влияния при решении задач о деформировании среды при давлениях, существенно больших значения Р0, которое обычно не превышает несколько МПа. Хотя встречаются случаи, когда нелинейный участок деформирования имеет место до десятков МПа. Однако, в случае если напряженное состояние сильно неоднородно и имеются зоны сильного разрежения и тем более растяжения, учет таких особенностей может быть весьма важным. В качестве примера можно привести задачи, связанные со сложными условиями в окрестности полостей, выработок и скважин, а также с наличием зон с высоким поровым давлением, трещин. Такие зоны могут существенно влиять и на скорости распространения сейсмических волн.
5. Разгрузка и частичное закрытие мезотрещин. Частично обратимая дилатансия
Эксперименты на многостадийное и циклическое нагружение образцов горных пород часто показывают, что разгрузка происходит нелинейным образом [5, 6, 11]. Нередко на диаграммах нагружения наблюдают петлю гистерезиса. Наиболее четко это проявляется при рассмотрении объемной деформации (рис. 2, а). В таких экспериментах разгрузка осуществляется на этапе псев-
допластической деформации, когда образец еще сохраняет макроскопическую сплошность. В то же время характер деформирования, наличие необратимой деформации и объемных изменений не оставляют сомнений в изменении внутренней структуры, в возникновении и раскрытии мезотрещин. Однако эти объемные изменения не остаются необратимыми, как было бы в случае линейной разгрузки по упругому закону. Рассматривая диаграмму нагружения, можно увидеть, что в ходе деформирования на упругом участке объем образца сокращается, далее на участке псевдопластической деформации наблюдается дилатансия, объем возрастает, а в процессе разгрузки объем может снова уменьшиться (рис. 2, а). Таким образом, несмотря на очевидное наличие деформации за пределом упругости и дилатансии, наблюдается частичное восстановление объема образца, дилатансия оказывается частично обратимой.
Данное явление можно объяснить закрытием части внутренних трещин после снятия нагрузки. Это возможно лишь в случае, если основным механизмом дилатан-сии на данном этапе деформирования является образование пустот при раскрытии ответвлений трещин в результате сдвига ее поверхностей (рис. 2, б). Смещение поверхностей происходит под действием касательных напряжений. В результате сдвига возникают зоны растяжений вокруг вершин трещин, происходит образование и раскрытие ответвлений в направлении наибольшего сжатия. В то же время в образце возникают внутренние напряжения, препятствующие их росту. Снятие нагрузки приводит к обратному сдвигу поверхностей трещин и закрытию этих пустот. Очевидно, что такое возможно лишь на линейных отрезках внутренних трещин. В случае если трещины вышли на поверхность или объединились в магистральные, обратного сдвига и, соответственно, закрытия пустот не произойдет. Поэтому в случае разрушения данное явление может иметь место лишь в макроскопически сплошных областях, тогда как в полосах локализации и в магистральных трещинах не происходит.
Из этих соображений следует, что в качестве параметров, описывающих явление, следует рассматривать максимальные значения интенсивности касательных напряжений (или касательные напряжения) и объемную деформацию. В ходе нагружения заранее невозможно определить величину обратимой части дилатансии, т.к. она будет определяться достигнутым напряженно-деформированным состоянием.
Поэтому для описания данного процесса воспользуемся аналогом обычного представления, основанного на разложении тензора деформации на упругую и пластическую части (1). Уравнение для расчета давления запишется в виде
а = К (е -еа), еа = ер + ег. (11)
Здесь а — скорость изменения давления; е — скорость
\ \ \ / \ / \ / \ / \ / \ 1 \1 \\ Разгрузка \ \ \ \ \ \ \ \ \ Частичная ^обратимость \. Л
-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 АК/К,%
Рис. 5. График зависимости приложенных напряжений от объемной деформации, полученный с учетом частичной обратимости псевдопластической объемной деформации
полной объемной деформации; ер и ег — скорости необратимой и обратимой частей объемной деформации. В ходе активного нагружения ег = 0 и мы остаемся в рамках традиционного представления, когда еа = ер. Однако в случае разгрузки обратимая часть объемной псевдопластической деформации имеет вид
.г гУ. т*-тй, .ч .ч [0, т >0, ег = Ь—е * 5(-т), 5(-т) = ] (12)
е* т* [1, т <0,
где е* — максимальная величина дилатансии, которая может быть обратимой; т* и т — максимальное и текущее значения интенсивности касательных напряжений. Таким образом, изменения в уравнении для расчета давления возникают лишь при разгрузке.
На рис. 5 приведен график зависимости приложенных напряжений от объемной деформации, рассчитанный при численном моделировании деформирования образца породы с использованием уравнения (7). Расчеты так же выполнены с использованием модели [18— 21], которая была дополнена соответствующим уравнением. Хорошо видно, что разгрузка происходит по нелинейному упругому закону. Часть изменений объема, приобретенных в ходе псевдопластической деформации, оказалась обратимой, что согласуется с наблюдаемыми явлениями и их интерпретацией.
6. Заключение
Многие особенности поведения горных пород связаны с их неоднородным строением, пористостью и множеством микро- и мезотрещин. Такая структура среды определяет специфический характер деформации за пределом упругости, а также ряд нелинейных закономерностей поведения на упругом участке и при разгрузке. Представленный анализ некоторых нелинейных особенностей деформирования образцов акцентирует внимание на эффектах, связанных с раскрытием и закрытием мезотрещин, которые уже содержатся в породе и образуются в ходе нагружения. Предложенные соотношения, несмотря на достаточно простую форму, позволяют учитывать некоторые эффекты.
Рассмотренные нелинейные особенности деформирования горных пород могут играть существенную роль при рассмотрении многих задач геомеханики. Например, нелинейность, наблюдаемая на начальной стадии нагружения образцов, может сыграть важнейшую роль при оценке напряженно-деформированного состояния и выявлении структур, характеризующихся неоднородным напряженным состоянием, в том числе зон с высоким поровым давлением. Причем важно, что предложенные соотношения учитывают зависимость упругих свойств, а соответственно, и скоростей распространения упругих волн от напряженного состояния, что определяет круг соответствующих задач.
Учет нелинейности поведения при разгрузке и частично обратимой дилатансии может иметь важное значение при изучении строения геологических структур и оценке напряженно-деформированного состояния. Существенное значение этот эффект имеет в процессах, связанных с локализацией деформации и разрушением среды. Это обусловлено тем, что при таких процессах имеет место снятие напряжений, что может повлечь объемные изменения, которые в свою очередь отразятся на напряженном состоянии, ускоряя или задерживая процесс разрушения.
Интерпретация диаграмм нагружения на запредельном участке с целью оценки скорости снятия напряжений и предельной деформации до полного разрушения для определения параметров модели важна при рассмотрении как динамических процессов при разрушении, так и при оценке состояния среды, предсказании ее дальнейшего поведения на закритической стадии деформирования.
Кроме того, все рассмотренные эффекты имеют принципиальное значение для решения проблемы соотнесения свойства образцов и свойств породы в естественных условиях.
Работа выполнена в рамках Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2013-2020 гг.
Литература
1. Jaeger J.C., Cook N.G.W., Zimmerman R.W. Fundamentals of Rock Mechanics. - Wiley-Blackwell Publ., 2007. - 488 p.
2. Ставрогин A.H., Тарасов Б.Г. Экспериментальная физика и механика горных пород. - СПб.: Наука, 2001. - 343 с.
3. Fairhurst C. Laboratory Measurement of Some Physical Properties of Rock // Mining Engineering Series, Rock Mechanics: Proc. 4th Symp. Rock Mech. - Univ. Park, Pennsylvania, 1961. - P. 105-118.
4. Климов Д.М., Карев Б.И., Коваленко Ю.Ф., Устинов КБ. О разру-
шении осадочных горных пород в условиях сложного трехосного
напряженного состояния // Изв. РАН. МТТ. - 2016. - № 5. - С. 1521.
5. Zoback M.D., Byerlee J.D. The effect of cyclic differential stress on dilatancy in Westerly granite under uniaxial and triaxial conditions // J. Geophys. Res. - 1975. - V. 80(11). - P. 1526-1530.
6. Zoback M.D., Byerlee J.D. The effect of microcrack dilatancy on the permeability of Westerly granite // J. Geophys. Res. - 1975. -V. 80(5). - P. 752-755.
7. Макаров П.В., Еремин M.O. Модель разрушения хрупких и квазихрупких материалов и геосред // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. -№ 1. - С. 5-26.
8. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Панин А.В., Чернявский А.Г. Пластическая дисторсия — фундаментальный механизм в нелинейной мезомеханике пластической деформации и разрушения твердых тел // Физ. мезомех. - 2016. - Т. 19. - № 1. - С. 31-46.
9. Lehner F.K., Kachanov M. On the Stress-Strain Relation for Cracked Elastic Materials in Compression // Mechanics of Jointed and Faulted Rock / Ed. by Rossmanith. - Rotterdam: Vienna University of Technology, 1995. - P. 49-62.
10. Kachanov M. On the effective elastic properties of cracked solids— editor's comments // Int. J. Fract. (Lett. Fract. Micromech.). - 2007. -V. 146. - P. 295-299. - doi 10.1007/s10704-007-9170-6.
11. Nemat-Nasser S., Obata M. A microcrack model of dilatancy in brittle materials // Transact. ASME. - 1988. - V. 55. - P. 24-36.
12. Brace W.F., PauldingB.W., Jr., Scholz C. Dilatancy in the fracture of crystalline rocks // J. Geophys. Res. - 1966. - V. 71. - P. 3939-3953.
13. Николаевский В.Н. Определяющие уравнения пластического деформирования сыпучей среды // ПММ. - 1971. - Т. 35. - № 6. -С.1017-1029.
14. Николаевский В.Н. Собрание трудов. Геомеханика. Т. 1. Разрушение и дилатансия. Нефть и rаз. - M.-Ижевск: НИЦ «Ре^лярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2010. - 640 с.
15. Капустянский СМ., Николаевский В.Н. Количественная формулировка упругопластической дилатансионной модели // МТТ. -1984. - № 4. - С. 113-123.
16. Капустянский С.М., Николаевский В.Н., Жиленков А.Г. Неголо-номная модель деформирования высокопористого песчаника при его внутреннем дроблении // Физика Земли. - 2010. - № 12. -С. 82-92.
17. Замышляев Б.В., Евтерев Л.С. Модели динамического деформирования и разрушения грунтовых сред. - М.: Наука, 1990. - 215с.
18. Stefanov Yu.P., Chertov M.A., Aidagulov G.R., Myasnikov A.V. Dynamics of inelastic deformation of porous rocks and formation of localized compaction zones studied by numerical modeling // J. Mech. Phys. Solid. - 2011. - V. 59. - P. 2323-2340.
19. Stefanov Yu.P. Dilatancy and compaction modes in shear zone // AIP Conf. Proc. - 2014. - V. 1623. - P. 611-614.
20. Стефанов Ю.П. Локализация деформации и разрушение в геоматериалах. Численное моделирование // Физ. мезомех. - 2002. -Т. 5. - № 5. - С. 107-118.
21. Стефанов Ю.П., Бакеев Р.А. Формирование цветковых структур нарушений в слое геосреды при разрывном горизонтальном сдвиге основания // Физика Земли. - 2015. - № 4. - С. 81-93.
22. Амбарцумян С.А. Разномодульная теория упругости. - М.: Наука, 1982. - 320 с.
23. Ломакин Е.В., Работнов Ю.Н. Соотношения теории упругости для изотропного разномодульного материала // Изв. АН СССР. МТТ. - 1978. - № 6. - С. 29-34.
24. Мясников В.П., Олейников А.И. Основы механики гетерогенно-сопротивляющихся сред. - Владивосток: Дальнаука, 2007. - 172 с.
Поступила в редакцию 18.05.2016 г
Сведения об авторе
Стефанов Юрий Павлович, д.ф.-м.н., проф. РАН, внс ИНГГ СО РАН, снс ИФПМ СО РАН, yu_st@mail.ru, StefanovYP@ipgg.sbras.ru
