CC BY
39
УДК 539.31, 539.32
Об упругих свойствах хиральных металлических нанотрубок из кубических кристаллов
1 2 3 3 3
И.А. Брюханов ' , М.А. Волков , В.А. Городцов , Д.С. Лисовенко
1 Научно-исследовательский институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 119192, Россия 2 Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, Москва, 101000, Россия 3 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия
В работе проанализированы упругие свойства хиральных металлических нанотрубок, полученных путем сворачивания тонких кристаллических пластин с ориентацией [011] и [111], с помощью теории упругости анизотропного тела и метода молекулярной статики. Обсуждаются нанотрубки из железа, меди и алюминия. Продемонстрировано, что такие трубки имеют положительный коэффициент Пуассона во всем диапазоне углов хиральности в отличие от нанотрубок, полученных сворачиванием кристаллических пластин с ориентацией [010]. Установлено, что для нанотрубок, свернутых из пластин с ориентацией [011], коэффициент Пойнтинга при определенных углах хиральности становится отрицательным, что соответствует изменению направления закручивания трубок при растяжении. Показано, что теория упругости анизотропного тела описывает зависимость упругих свойств нанотрубок от угла хиральности и толщины в качественном согласии с результатами метода молекулярной статики. Для некоторых хиральных металлических нанотрубок имеются количественные различия.
Ключевые слова: хиральные нанотрубки, коэффициент Пуассона, ауксетики, атомистическое моделирование, эффект Пойнтинга
DOI 10.24412/1683-805X-2021-1-37-49
Elastic properties of chiral metallic nanotubes formed from cubic crystals
I.A. Bryukhanov1'2, M.A. Volkov3, V.A. Gorodtsov3, and D.S. Lisovenko3
1 Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119192, Russia 2 Mechanical Engineering Research Institute RAS, Moscow, 101000, Russia 3 Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow, 119526, Russia
The study analyzes the elastic properties of chiral metallic nanotubes formed by rolling up thin crystal plates with the [011] and [111] orientations within two frameworks of anisotropic elasticity and molecular statics. Iron, copper and aluminum nanotubes are discussed. It is shown that the tubes have a positive Pois-son's ratio in the entire range of chiral angles, unlike nanotubes obtained by rolling up crystal plates with the [010] orientation. The Poynting factor of nanotubes rolled up from plates with the [011] orientation becomes negative at certain chiral angles, which corresponds to a change in the rolling-up direction of the nanotubes under tension. The description of the dependence of the elastic properties of nanotubes on the chiral angle and thickness within anisotropic elasticity theory agrees qualitatively with the results of molecular statics simulations. The results for some chiral metallic nanotubes are quantitatively different.
Keywords: chiral nanotubes, Poisson's ratio, auxetics, atomistic modeling, Poynting effect
1 Введение имеют положительный коэффициент Пуассона. В
Большинство материалов при одноосном растя- последние десятилетия активно изучаются матери-жении сжимаются в поперечном направлении, т.е. алы с отрицательным коэффициентом Пуассона
© Брюханов И.А., Волков М.А., Городцов В.А., Лисовенко Д.С., 2021
(ауксетики). Ауксетичность могут проявлять мета-материалы, композиты, металлические и полимерные пены, цеолиты и кристаллы [1-10]. На данный момент известны свыше 450 кристаллических аук-сетиков [11-18]. Кристаллическими ауксетиками являются металлы: литий, натрий, калий, медь, серебро, золото, железо и т.д.
С развитием нанотехнологий стало возможным получать углеродные и неуглеродные нанотрубки. Разными методами были синтезированы нанотрубки и наностержни из Ag [19], Ли [20, 21], Р1 [22], Бе [23-25], N1 [25-27], Со [25, 27-29] и Си [30-32]. В [33] для описания механических свойств углеродных нанотрубок было предложено использовать модель полого стержня, обладающего гексагональной и тригональной (ромбоэдрической) цилиндрической анизотропией. В [12, 15, 16, 34-41] авторы применили эту модель для анализа механических свойств хиральных неуглеродных нанотру-бок с кубической, тетрагональной, орторомбичес-кой и моноклинной цилиндрической анизотропией. В этих работах было показано, что неуглеродные нанотрубки могут иметь отрицательный коэффициент Пуассона при определенных углах хи-ральности. В [35, 36, 40] было продемонстрировано, что у таких трубок имеет место линейная связь между удлинением и углом закручивания (линейный эффект Пойнтинга).
В [42, 43] было проведено сравнение результатов, полученных в рамках теории упругости анизотропного тела и методом молекулярной статики. В [42] исследованы механические свойства железных хиральных нанотрубок, полученных сворачиванием в трубку кристаллических плоскостей с ориентацией [010] (кристаллических плоскостей, у которых нормаль совпадает с кристаллографическим направлением [010]). Было показано, что при определенных углах хиральности железные нано-трубки могут проявлять как ауксетические свойства, так и эффект Пойнтинга. В [43] аналогичный анализ был проведен также для трубок из ГЦК-кристаллов меди, алюминия и кобальта, свернутых из плоской кристаллической пластины (010). Показано, что нанотрубки из меди и железа могут проявлять ауксетические свойства при определенных углах хиральности. При этом кристаллы кобальта и алюминия не являются ауксетиками. В этих работах установлено, что большая часть полученных методом молекулярной статики результатов находится в качественном согласии с результатами теории упругости анизотропного тела, но
имеются некоторые различия для разных кристаллических материалов, например для алюминия.
В данной работе сначала строится модель полого криволинейно-анизотропного стержня для хиральных трубок, полученных сворачиванием кристаллических плоскостей с другими ориентациями [011] и [111], в рамках теории упругости анизотропного тела. Проводится теоретический анализ модуля Юнга, коэффициента Пуассона трубок из железа, меди и алюминия. Затем исследуется применимость полученных формул для анализа механических свойств нанотрубок сравнением с атомистическими расчетами для нанотрубок из меди, железа и алюминия.
2. Описание деталей моделирования
2.1. Теория упругости анизотропного тела
При описании нанотрубок будем использовать модель полого стержня с цилиндрической кубической анизотропией. Предположим, что кристаллическая пластина с ориентацией [011] или [111] сворачивается в цилиндрическую трубку так, что ось, перпендикулярная плоскости (011) или (111), переходит в радиальную ось трубки, а другая кристаллографическая ось, повернутая в плоскости пластины на хиральный угол %, соответствует продольной оси трубки (рис. 1). Образующаяся трубка в силу отклонения ее оси от кристаллографического направления на угол % обладает меньшей симметрией, чем исходный кристалл. Ее симметрия соответствует симметрии кристалла с тринадцатью коэффициентами податливости s'n, s{2, s22,
s13, s23, s33, s44, s55, s66, s45, s16, s26, s36. Эти коэффициенты зависят от угла хиральности % и трех
коэффициентов податливости s11, s12, s44 следующим образом для пластин с ориентацией [011]:
s{ 1 = su - 2 A sin2 % cos2 % - 0.5 A sin4 %,
s22 = s11 - 2 A sin2 % cos2 %- 0.5 A cos4 %,
Рис. 1. Сворачивание тонкой кристаллической пластины в полую нанотрубку, обладающую цилиндрической анизотропией
J33
= sn - 0.5Д, s'2 = s
12
1.5Д sin2 x cos2 x, s'3 = s12 + 0.5 Дsin2 x, s23 = s12 + 0.5Дcos2 x, = s44 + 2Дcos2 x, s'55 = s44 + 2Дsin2 x,
s4 5 = 2s3 6 =Д sin(2xX
44
(1)
s
= 0.5Д sin(2x)(1 - 3cos2 x)
16
s26 = 0.5 Д sin(2x)(1 - 3sin2 x), -1.5Дsin2(2x), 2Д = 2s11 - 2s12 - s.
Si* = s
44
44
и для пластин с ориентацией [111]:
511 = S22 = S11 - 0.5, S33 = S11 - 2Д/3,
512 = S12 + Д/6, S13 = S23 = S12 + Д/3,
S44 = S' 5 = S44 + 4 Д/3, S66 = S44 + 2 Д/3, SÍ4 = -s24 = 0.5s' 6 =V2/3 Дcos x(1 -4sin2 x), =-s2s =-0.5s46 = V2/3 Дsinx(4cos2 x-1).
(2)
' a11 a12 a13 "
a21 a22 a23
v a31 a32 a33 )
где
a11 = cos ф cos x- sin ф cos 0 sin x, a12 = sin ф cos x + cos ф cos 0 sin x,
П3
= sin 0 sin x,
21
= - cos фsin x - sin фcos 0 cos x, a22 =-sin фsin x + cos фcos 0cos x,
23
31
ний a J = 0, с
П Ir=r0
= 0. Будем решать задачу
Формулы (1) и (2) были получены с помощью матрицы поворота
0 ■ • 'г=Щ полуобратным методом Сен-Венана.
В предположении об осесимметричном ради-ально-неоднородном напряженном состоянии сГГ(г), сфф(г), сгг(г), сГф(г), сге(г), сфг(г) уравнения равновесия принимают упрощенный вид. Использование уравнений равновесия и условия нулевых краевых условий для сге(г) и сГф(г) на боковых поверхностях трубок приводит к сгф = с к = 0.
Закон Гука для трубок, полученных сворачиванием кристаллических плоских пластин с ориентацией [011] и [111], можно записать в виде
(г) = 1С(г) + 512Сфф (г) + -%'зСгг (г) " 51бсч* (Г), Мфф (г) = 512с(г) + 522Сфф (г) + 52зСгг (г) " S2бCфz (г), игг (г) = ^зс(г) + ^2эсфф(г) + 53зсгг (г) " 53бСф (гX
2иф2 (Г) = sббсфz (Г) - 51бс?? (Г) - 52бСфф(Г) - 53бСГГ (Г),
иг2 = 0, игф = 0.
Из (4) следует, что деформации также оказываются радиально-неоднородными игг(г), ифф(г), игг(г), ифДг). Такие деформации позволяют получить однозначные смещения при выполнении следующих ограничений (детальный вывод представлен в [12]):
(4)
Uzz (Г) = 8, Urr (Г) = — (ГЫфф (Г 2U_ (Г) = Xr,
(5)
= sin 0 cos x, = sin ф sin 0,
a32 = - cos фsin 0, a33 = cos 0,
которая может быть упрощена для пластин с ориентацией [011] (ф = 0, 0 = -л/4) и для пластин с ориентацией [111] (ф = -// 4,0 = -arcsin^/2/3). При этом матричные коэффициенты податливости s11, s12, s44 преобразовывались с помощью матрицы 6x6 11^11, связанной с матрицей поворота [44]:
sij = lia qjP sap.
На торцах трубок граничные условия задаются в виде
Pz = Ja zz dS, Mz = Ja^rdS". (3)
Здесь Pz — растягивающая сила и Mz — крутящий момент. На боковых поверхностях (внутренней при r = r0 и внешней при r = R0 = r0p) предполагаются локальные условия отсутствия напряже-
d^ фф 8 = const, X = const. Здесь x — угол закручивания.
Эти условия вместе с уравнениями равновесия и законом Гука позволяют получить дифференциальное уравнение второго порядка для одной компоненты тензора напряжений arr(r)
А| rA(rarr(r))
dr ^ dг
= аоСгг (г) + «1(1 - «о)8 + «2(4 - «о)ТГ. (б) Здесь а0, аъ а2 выражаются через коэффициенты податливости ^ следующим образом:
a =
_ ^11^33 t13
a =
t13 t12
t11t22 t12
^11 (t22 t33) + ^3 ^12
a = -
1 s16(t13 2t12) + (2s26 s3 6)t11
(4t22 ^33 ) + ^3 4t12
(7)
t = s' --
mn mn
Решение дифференциального уравнения (6) для arr(r) имеет степенной вид
s
агг (г) = а^ + хг
^ г Л V г0у
Е А
( „У
V г0 у
(8)
Х+ =-1 ±л а0 .
Пользуясь уравнениями равновесия, законом Гука (4) и условиями (5), находим остальные компоненты тензора напряжений:
^ г Л
СТФФ (г) = а^ + 2а2 хг0 — + (1 + Х+) А
V г0
г. У
V г0 у
+ (1+ Х—) А_
(
г
V г0 у
'пС^ (г) = [1 _ а1(^12 + ^13)]8 +
_ а2(2Ч2 + Ь)
ххг
^ г Л V г0 У
(„ У
_ ['13 + '12(1 + Х+ )] А+
V г0 у
_ ['13 + '12(1 + Х_ )] А Г66°фя (г) =
/ „ у
V г0 у
(9)
16
( X +' Л
„' + „' _ „' '12 +<13
1
V'2 16
V
г6 6Х11
+ г' _ г' 2Х12 + х13
11 у
Л
11 у
^ г Л
хг
V г0 у
л36 л16
'11
л36 л16 ,
' ' Х12
Г26 _ Г16 ~~ '11 У
(1 + Х+ )
(„У
11
' ' Х12
Г26 _ Г16 ~~ '11 У
(1 + Х— )
V г0 у ( „
V г0 у
Эти выражения содержат четыре параметра в, х, А+, А_. Использование граничного условия
= 0, с „
1г=Я„
= 0
г0х = Лв, Л = —
Л 2
Л =
'11 3
г' + г' _ г' Х12 + '13
3
Р3—1
Г36 Г16 '
' '13
11
' ' '
Г26 _ Г16 '
12
'11 у
(1 + Х+ )
11 у
рХ++3 _ 1 рХ_— 1 Х+ + 3 рх+ — рх—
г' _ г' 'и +
л36 л16 ^ '11
л26 л16
'11 у
—1 рх+ — 1
(1+Х—)
Х— + 3 рх——рх+
(12)
Л2 =
г'2 4 л16
Г6 6^1 у
р4 —1
2 ' + ' ' 212 + '13
2г26 + Г36 — Г16 "
4
р4 — 1
11 у
Г36 г16 '
' '13
11
Д++3
Г26 г16 '
' '12
(1 + Х+ )
11 у
— 1 р— р
Х+ + 3 рх+—рх—
Г36 Г16
' '13
'11
Х—+3
Г26 Г16 '
' '12
(1 + Х— )
11 у
— 1 рЛ+—р
Х— + 3 рх— — рх+
(13)
позволяет выразить А+, А— через в, х следующим образом:
Модуль Юнга Е находится как отношение удельной продольной силы Рг1Б к продольной деформации в. Продольная сила получается интегрированием напряжения сгг(г) по площади поперечного сечения трубки. В итоге, имеем
А р — —1 р —р
А+ = а, -в + а2 —7-7— хг0
Е =1 — а1 +-Л
+ " 1 „ К ^ р + — р —
0'
р + —р —
1 — рХ+ р —рХ+ А— = а1 ——■—^ в + а2 -7—■—!;— хг0.
(10)
11
— 2
11
V г66'11
16 — а 2'12 + '13
"2 ,
3
р3 — 1
11 у
р2 — 1
'13 + '12(1 + Я+) а1(рХ— — 1) + Ла2(рХ —р)
р +—р —
2 X
р + —р —
11
(р2—1)(рХ+—)
Здесь параметр толщины р = Я0/г0 характеризует отношение внешнего радиуса цилиндра к внутреннему радиусу.
В случае растяжения трубки при отсутствии крутящего момента (М2 = 0) имеет место линейная связь между в и х (линейный эффект Пойнтинга):
хУ++2— 1 2 '13 + '12(1+ Х—)
Х++ 2
'1
11
х а1(рх+— 1) + Ла2(р^+— р) рХ—+2 —1 (14)
(р2—1)(рХ—рХ+)
X + 2
Используя закон Гука (4) и формулы для компонент напряжений (8), (9), получим выражения для
х
х
радиального коэффициента Пуассона Уг2 = -игг (г)/игг (г) = -игг (г)/в и углового коэффициента Пуассона = -ифф (г)/и22 (г) = -ифф (г^в
г , ,, Л
313
3
11
323 + 333 313
312 + 313
V
и
11 У
+Л
}!16313 566311 53 6 *6 6
{г' + 333 - 3 2 '13 311
V г0 У
( 2и + 3 - 3 2и12 + ^13 ^
23 33 '13
V
и
11 У
323
313312
'11 у
(1 + )
, а1 (р -1) + Ла2 (р - р)
+
3
'33
311
2 (
( г \
V го У
323
313312
311 у
(1 + *■_)
, а1 (р -1) + Ла2(рл+-р)
р - -р +
=
12
11
322 + 323 312
/ и г
V гоу
312 + 313
(15)
\
'и у
+Л
^16312 ^26. 566311 56 6 ( г Л (
о 2312 + 313
2322 + 323 - 312
V го У
323
V
312313
'11
3
32 Л ^ _ '12
'22 ,
'11
11 У
Л
,а1 (р^--1) + Ла2(рХ--р)( г Л
V го У
(1 + )
У У
р + -р -
323
312313
11
322
3 2 Л 12
Л
11
(1+*._)
, а1 (р^+ -1) + Ла2(рХ+-р) г
( „
р - -р +
V г0 У
(16)
углу хиральности, были выбраны следующими: г' [100] и х' [011] для плоскости (011) и г' [2ТТ] и х' [011] для плоскости (111). Направления осей, которые получены для некоторых значений угла хиральности, представлены в табл. 1. Построенная пластинка затем свертывается в полую цилиндрическую многослойную нанотрубку вокруг оси г (см. рис. 1 в [43]). Полученная трубка обладает аксиальной симметрией, т.е. имеет одинаковое расположение атомов вдоль любого радиального направления.
Были рассмотрены нанотрубки с внутренним радиусом 20 нм, толщиной 1 нм и длиной 70 нм. Использованы потенциалы погруженного атома для Бе [45], Си [46] и А1 [47]. Начальные конфигурации нанотрубок оптимизировались методом сопряженных градиентов [48], а стабильность проверялась отсутствием дефектов структуры, а также складок на поверхностях нанотрубок. Пакет ЬАММР8 использовался для атомистического моделирования [49].
Коэффициенты жесткости Сц кристаллов железа, меди и алюминия, полученные с использованием потенциалов БАМ [45-47], представлены в табл. 2. Из этой таблицы видно, что кристаллы железа и меди являются ауксетиками. Вычисленные значения близки к экспериментальным данным. Полученные значения коэффициентов жесткости
Таблица 1. Индексы Миллера кристаллографических направлений, вдоль которых была построена структура железных хиральных нанотрубок
2.2. Построение атомных моделей хиральных нанотрубок
Атомные модели многослойных нанотрубок из кубических кристаллов строились на основе сворачивания тонких прямоугольных пластин. Подробно процесс моделирования описан в [43]. Предполагалось, что кристаллографические оси могут быть ориентированы различным образом в плоскости пластины, а их положение описывалось при помощи угла хиральности %. Кристаллографические направления осей, соответствующие нулевому
Угол хиральности Индекс Миллера г Индекс Миллера х
Плоскость (011)
0° [1 0 0] [0 1 -1]
10° [8 -1 1] [1 4 -4]
20° [4 -1 1] [1 2 -2]
35° [2 -1 1] [1 1 -1]
56° [1 -1 1] [2 1 -1]
70° [1 -2 2] [4 1 -1]
80° [1 -4 4] [8 1 -1]
Плоскость (111)
0° [2 -1 -1] [0 1 -1]
10° [3 -2 -1] [1 3 -4]
19° [5 -4 -1] [1 2 -3]
30° [1 -1 0] [1 1 -2]
41° [4 -5 1] [2 1 -3]
60° [1 -2 1] [1 0 -1]
Таблица 2. Коэффициенты жесткости €у кристаллов Бе, Си, Л1, рассчитанные с помощью потенциалов ЕЛМ [45-47], в сравнении с экспериментальными данными. Представлены минимальное и максимальное значение коэффициента Пуассона V
Cu Fe Al
Эксп. [50] EAM [46] Эксп. [51] EAM [45] Эксп. [52] EAM [47]
Си, ГПа 170.0 170.2 242.0 241.1 116.3 113.8
c12, ГПа 122.5 122.9 146.5 146.8 64.8 61.5
c44, ГПа 75.8 76.2 112.0 114.0 30.9 31.6
vmax 0.82 0.82 0.38 0.38 0.36 0.35
vmin -0.13 -0.14 -0.03 -0.04 0.28 0.27
использовались для анализа упругих свойств металлических нанотрубок в рамках теории упругости анизотропного тела.
2.3. Деформация нанотрубок
С помощью метода молекулярной статики осуществлялась одноосная деформация металлических нанотрубок. При этом отсутствовали термические флуктуации атомов. Несколько атомных слоев с одного конца нанотрубки фиксировались, а часть атомных слоев на другом конце трубки смещалась вдоль оси растяжения г. Шаг деформации составлял 0.1%, а максимальная деформация достигала 1 %. Закрепление концов не было жестким. В процессе оптимизации атомы, расположенные на концах нанотрубки, могли смещаться в плоскости сечения нанотрубки [42, 43, 53].
В процессе деформации определялись радиальная иг и касательная иФ компоненты атомных перемещений из атомных траекторий. Для аксиально симметричной нанотрубки касательная компонента тензора деформаций имеет вид
ифф= иг/г. (17)
В работе анализировался угловой коэффициент Пуассона vфz = —ифф1 игг, значение которого отражает степень касательной деформации каждого круга, размещенного на расстоянии г от оси нано-трубки.
Для металлических нанотрубок определялась зависимость среднего продольного напряжения внутри трубки от величины продольной деформации. Для расчета напряжения использовалась ви-риальная формула [54]. Модуль Юнга нанотрубки определялся по тангенсу угла наклона зависимости напряжения от деформации
Е = с22/и22. (18)
Коэффициент Пойнтинга анализировался согласно выражению Л = хг0/ в (см. формулу (11)), в
котором r0 — внутренний радиус трубки, т — угол кручения нанотрубки, в — продольная деформация. Угол поворота Ö для каждого атома нанотрубки при деформации находится по формуле
tg е = uj r. (19)
Угол кручения нанотрубки т вводился как угол поворота на единицу длины нанотрубки и при равномерном растяжении определялся как т = de/ dz.
3. Результаты
3.1. Коэффициент Пуассона для нанотрубок (011)
На рис. 2 и 3 представлены зависимости коэффициента Пуассона vTz от угла хиральности на внутренней и внешней поверхностях для нанотрубок из железа, меди и алюминия, полученных сворачиванием кристаллических плоскостей с ориентацией [011] и [111]. Сплошной и пунктирной линией на этих рисунках изображены зависимости коэффициентов Пуассона, полученные в рамках теории упругости анизотропного тела (см. раздел 2.1). Для нанотрубок из железа и алюминия, полученных сворачиванием кристаллических плоскостей с ориентацией [011], минимальное значение коэффициента Пуассона на внутренней и внешней поверхностях достигается при угле хи-ральности 35° (рис. 2, а и в), что находится в согласии со значением угла хиральности 42°, полученным в теории. При углах хиральности более 35° наблюдается рост коэффициента vTz. В случае нанотрубки из меди минимальное значение коэффициента Пуассона на внутренней и внешней поверхностях достигается при углах хиральности 42° и 56° для теории упругости и метода молекулярной статики, которые имеют большие отличия (рис. 2, б). Для нанотрубок из меди и железа коэффициент Пуассона vvz на внутренней и внешней поверхностях при углах хиральности 70° и 80°
>&0.50
0.45
к —
еп й
0.40
0.60
| а
□ Внутр., расчет
О Внешн., расчет
— Внутр., теория
— Внешн., теория
и
Bag □ □
о о о
0° 20° 40° 60е Угол хиральности х
X
8 о
О eö
h X
<D
X
д л
к 0. й
55
50
0.45
0.45
\б_
□ Внутр., расчет
О Внешн. расчет
— Внутр., теория
Внешн., теория
□ □
--------л------ ------- ----
8 ° 0 □
о
0° 20° 40° 60е
Угол хиральности х
х
8 о
о и eö
К
Я 0. -в*
й
40
35
0.30
"И
□ Внутр., расчет о Внешн., расчет
— Внутр., теория
— Внешн., теория
20° 40° 60е Угол хиральности х
Рис. 2. Коэффициент Пуассона уф2 нанотрубок из железа (а), меди (б) и алюминия (б) в зависимости от угла хиральности при uzz = 0.3 %. Нанотрубки были получены сворачиванием кристаллических плоскостей с ориентацией [011]. Сплошные и пунктирные линии обозначают результаты, полученные в рамках теории упругости анизотропного тела (цветной в онлайн-вер-сии)
Рис. 3. Коэффициент Пуассона уф2 нанотрубок из железа (а), меди (б) и алюминия (б) в зависимости от угла хиральности при игг = 0.3 %. Нанотрубки были получены сворачиванием кристаллических плоскостей с ориентацией [111]. Сплошные и пунктирные линии обозначают результаты, полученные в рамках теории упругости анизотропного тела (цветной в онлайн-вер-сии)
оказывается больше 0.5 (верхней границы для изотропных материалов). Для этих нанотрубок выявляется большая изменчивость коэффициента Пуассона \ф2 по сравнению с нанотрубками из алю-
миния. Как видно из рис. 2, результаты, полученные с помощью молекулярной статики, качественно согласуются с результатами теории упругости анизотропного тела. Количественные значения уф2
для нанотрубок из алюминия сильно отличаются в атомистических расчетах и теории упругости анизотропного тела, а для нанотрубок из меди и железа значения согласуются. Для нанотрубок, полученных сворачиванием из кристаллических плоскостей с ориентацией [010], были получены аналогичные результаты [43].
3.2. Коэффициент Пуассона для нанотрубок (111)
Как следует из результатов теории упругости анизотропного тела, коэффициент Пуассона для нанотрубок, полученных сворачиванием кристаллических плоских пластин с ориентацией [111], не зависит от угла хиральности (рис. 3). Значения коэффициентов Пуассона уф2, полученные методом молекулярной статики, также слабо зависят от угла хиральности. Максимальное относительное изменение коэффициента в расчетном диапазоне углов хиральности около 7% было получено для нанотрубок из алюминия (рис. 3, в). Зависимости коэффициентов Пуассона для нанотрубок из меди и алюминия качественно отличаются от зависимостей для нанотрубок из железа. Так, при угле хиральности 30° для нанотрубок из меди и алюминия имеется максимум коэффициента Пуассона, а для нанотрубок из железа при этом угле хираль-ности наблюдается минимум коэффициента Пуассона. Такое различие в поведении коэффициента Пуассона, по-видимому, связано с тем, что железо имеет ОЦК-решетку, а алюминий и медь — ГЦК-решетку.
Результаты расчетов коэффициента Пуассона методами теории упругости анизотропного тела и
молекулярной статики показывают хорошее количественное согласие. Значения коэффициента Пуассона, осредненного по всем углам хиральности, полученного методом молекулярной статики, близки к результатам теории упругости анизотропного тела — 0.44 и 0.41, 0.48 и 0.49, 0.34 и 0.35 для нанотрубок из железа, меди и алюминия соответственно.
Теоретические исследования нанотрубок, полученных сворачиванием плоских кристаллических пластин с ориентацией [010], [011] и [111], показывают, что только нанотрубки из плоскости (010) имеют отрицательный коэффициент Пуассона [42, 43]. В частности, ауксетические свойства проявляют нанотрубки из железа и меди, свернутые из кристаллических пластин с ориентацией [010].
3.3. Модуль Юнга нанотрубок
На рис. 4 представлены зависимости модуля Юнга от угла хиральности нанотрубок, полученных сворачиванием плоских кристаллических пластин с ориентацией [011] и [111]. Модули Юнга нанотрубок кубических металлов, свернутых из пластин с плоской ориентацией [011] возрастают до значений угла хиральности примерно 60°, а затем уменьшаются (рис. 4, а). Отношение максимального модуля Юнга к минимальному значению равно 4, 2.4 и 2 для нанотрубок из меди, железа и алюминия соответственно. Этот результат показывает, что упругие свойства кубических кристаллов при ориентации (011) являются сильно анизотропными. Рост отношения максимального и минимального модуля Юнга для алюминия, железа и
° 0° 20° 40° 60° 80° 0° 20° 40° 60°
Угол хиральности х Угол хиральности х
Рис. 4. Зависимости модуля Юнга от угла хиральности нанотрубок из Бе, Си и А1, полученные сворачиванием кристаллических плоскостей с ориентацией [011] (а) и [111] (б). Линиями показаны результаты, полученные в анизотропной теории упругости (цветной в онлайн-версии)
меди связан с ростом коэффициента Зенера 2С44 х (Си - С12)-1 для этих материалов (1.2, 2.3 и 3.2 для Al, Fe и Cu соответственно).
Модули Юнга и коэффициенты Пуассона нано-трубок, полученных сворачиванием плоских пластин [111], при атомном моделировании почти не зависят от угла хиральности, что согласуется с результатами анизотропной теории упругости (рис. 4, б). При этом результаты теории упругости и расчетов атомного моделирования согласуются не только качественно, но и удовлетворительно количественно для всех рассматриваемых трубок.
3.4. Эффект Пойнтинга
В результате расчетов методами молекулярной статики и теории упругости анизотропного тела было показано, что коэффициент Пойнтинга Л для нанотрубок, полученных сворачиванием пластин с ориентацией [111], равен нулю, что соответствует отсутствию кручения трубок при одноосной деформации. Данный результат связан с тем, что упругие свойства кубических кристаллов не зависят от выбора оси растяжения в плоскости (111).
На рис. 5 представлены зависимости коэффициента Пойнтинга от угла хиральности нанотрубок, полученных сворачиванием плоских кристаллических пластин с ориентацией [011]. Для всех рассматриваемых трубок коэффициент Пойнтинга Л растет с увеличением угла хиральности до 35°, а затем снижается до отрицательных значений при угле хиральности до 80°. Такое поведение коэффициента Пойнтинга получено обоими методами расчета. Смена знака коэффициента Пойнтинга при определенном угле хиральности означает, что изменяется направление кручения трубки при одноосной деформации. Известно, что для изотропных материалов эффект Пойнтинга, связанный с нелинейной упругостью, приводит к увеличению длины стержня при его закручивании внешним моментом [55, 56]. Закручивание трубок, имеющих отрицательный коэффициент Пойнтинга, приводит к их сжатию. Данное свойство характерно исключительно для трубок с хиральной структурой.
Значения максимального и минимального коэффициентов Пойнтинга при углах хиральности 35° и 80° соответственно возрастают по абсолютной величине для нанотрубок из алюминия, железа и меди. Этот результат также, как и для отношения максимального и минимального значения
о
о/ □
W Л \\
% \д
□ Fe \ п/
Д AI °
— Теория о
0° 20° 40° 60° 80° Угол хиральности х
Рис. 5. Зависимости коэффициента Пойнтинга от угла хиральности нанотрубок из Fe, Cu и Al, свернутых из кристаллических плоскостей с ориентацией [011]. Линиями показаны результаты, полученные в анизотропной теории упругости (цветной в онлайн-версии)
модуля Юнга, связан с ростом коэффициента Зе-нера 2c44 х (c11 - c12)-1 для этих материалов.
Несмотря на качественное согласие результатов расчетов двумя методами, количественное соответствие для коэффициента Пойнтинга наблюдается только для нанотрубок из железа и в меньшей степени для меди. Для нанотрубок из алюминия полученные результаты сильно расходятся.
3.5. Влияние толщины нанотрубок
На рис. 6 приведены зависимости модуля Юнга и коэффициентов Пуассона и Пойнтинга от толщины нанотрубок из железа. Зависимости упругих характеристик, полученные в рамках теории упругости анизотропного тела, слабо изменяются в диапазоне толщин трубок от 0.5 до 2.5 нм. Результаты молекулярной статики для коэффициента Пуассона показывают, что значения коэффициента v9z согласуются с результатами теории упругости анизотропного тела (рис. 6, а).
Согласие результатов для обоих методов расчета наблюдается также для модуля Юнга нанотру-бок из железа, полученных из пластин с ориентацией [011]. Модуль Юнга этих нанотрубок практически не зависит от их толщины. Для нанотрубок, полученных сворачиванием пластин с ориентацией [111], модуль Юнга монотонно снижается с уменьшением толщины от 210 ГПа при 2.5 нм до 170 ГПа при толщине 0.5 нм. Согласие результатов атомного моделирования и теории упругости анизотропного тела наблюдается только при толщинах выше 1 нм (рис. 6, б).
Рис. 6. Зависимости коэффициента Пуассона v(а), модуля Юнга (б) и коэффициента Пойнтинга Л (в) нанотрубок из железа, свернутых из кристаллических плоскостей с ориентацией [011] и [111], от их толщины. Сплошные и пунктирные линии обозначают результаты, полученные в рамках теории упругости анизотропного тела. На рис. 6, б две прямые, соответствующие нанотрубкам, свернутым из плоскости с ориентацией [111] под углом хиральности 30° и из плоскости с ориентацией [011] под углом хиральности 35°, совпадают (цветной в онлайн-версии)
Зависимости коэффициента Пойнтинга от толщины нанотрубок из пластин (011) с углами хиральности 35° и 80° качественно отличаются
рис. 6, в). Для нанотрубки с углом хиральности 35° коэффициент Пойнтинга уменьшается с ростом толщины, а для нанотрубки с углом хирально-сти 80°, наоборот, увеличивается. При этом результаты для обоих методов согласуются как качественно, так и количественно.
4. Обсуждение
Полученное согласие результатов теории анизотропной теории упругости и метода молекулярной статики при толщинах стенок нанотрубок, превосходящих 1 нм, свидетельствует о том, что при обсуждаемых размерах точность описания атомной структуры нанотрубок близка к точности приближения метода сплошной среды, используемого в теории упругости. Отметим, что нельзя ожидать подобного согласия для нанотрубок, полученных сворачиванием однослойного графена или дисульфида молибдена, упругие свойства которых значительно отличаются от упругих свойств соответствующих объемных материалов.
В работе исследовались свойства систем при отсутствии тепловых флуктуаций атомов. Для исследования влияния теплового движения атомов на свойства нанотрубок может использоваться метод молекулярной динамики. В результате тестовых расчетов, проведенных этим методом, было установлено, что атомная структура нанотрубок сохраняется при температурах 700 K, однако для некоторых нанотрубок появляются существенные радиальные флуктуации их стенок. Анализ влияния температуры на механические и структурные свойства нанотрубок представляется интересным для будущих работ.
Несмотря на то что вопрос синтеза рассматриваемых хиральных металлических нанотрубок остается открытым, полученные в работе результаты устанавливают общие закономерности связи упругих свойств нанотрубок и их хиральной структуры, которые оказываются едиными для кристаллов с простой кубической решеткой. При этом, возможно, трубки с аналогичной хиральной структурой можно собрать из шаров, соединенных упругими стержнями, таким образом, чтобы взаиморасположение шаров и их взаимодействие между собой соответствовало расположению и взаимодействию атомов в кристаллической решетке нано-трубок. Тогда сконструированные таким образом хиральные трубки могут проявлять необычные механические свойства на макроуровне.
5. Заключение
Используя метод молекулярной статики и теорию упругости анизотропного тела, были изучены механические свойства хиральных металлических нанотрубок, образованных из материалов с кубической симметрией Cu, Fe, Al. Дан сравнительный анализ полученных результатов для одноосного растяжения. Нанотрубки получались сворачиванием тонких кристаллических пластин с ориентацией [011] и [111]. Показано, что такие хиральные нанотрубки обладают положительным коэффициентом Пуассона в отличие от нанотрубок, полученных сворачиванием пластин с ориентацией
[010], которые могут проявлять ауксетические свойства. Получены зависимости коэффициента Пойнтинга от угла хиральности нанотрубок при растяжении в отсутствие крутящего момента. Показано, что эффект Пойнтинга не проявляется для нанотрубок, полученных сворачиванием плоских пластин с ориентацией [111]. Для нанотрубок, полученных сворачиванием пластин с ориентацией
[011], при углах хиральности выше 80°, коэффициент Пойнтинга становится отрицательным для всех рассмотренных металлических нанотрубок. Это приводит к тому, что при таких углах хираль-ности нанотрубки закручиваются в другую сторону по сравнению с нанотрубками с углами хираль-ности меньшими 80°.
Показано, что теория упругости анизотропного тела позволяет описывать модуль Юнга, коэффициент Пуассона и эффект Пойнтинга нанотрубок из железа и меди в согласии с расчетами методом молекулярной статики в широком диапазоне углов хиральности и толщин нанотрубок. Для нанотру-бок из алюминия количественное согласие результатов получено только для трубок, свернутых из кристаллических пластин с ориентацией [111].
Расчеты проведены на суперкомпьютерном комплексе «Ломоносов» [57] и кластере МВС-10П вычислительного центра РАН. Работа выполнена при поддержке гранта РНФ № 18-79-10270.
Литература
1. Evans K.E., Alderson A. Auxetic materials: Functional materials and structures from lateral thinking! // Adv. Mater. - 2000. - V. 12. - No. 9. - P. 617-628.
2. Yang W., Li Z.-M., Shi W. et al. On auxetic materials // J. Mater. Sci. - 2004. - V. 39. - No. 10. - P. 32693279.
3. Prawoto Y. Seeing auxetic materials from the mechanics point of view: A structural review on the negative
Poisson's ratio // Comput. Mater. Sci. - 2012. -V. 58. - P. 140-153.
4. Carneiro V.H., Meireles J., Puga H. Auxetic materials—A review // Mater. Sci. - 2013. - V. 31. - No. 4. -P. 561-571.
5. Lim T.-C. Auxetic Materials and Structures. - Singapore: Springer, 2015.
6. Saxena K.K., Das R., Calius E.P. Three decades of auxetics research—Materials with negative Poisson's ratio: A review // Adv. Eng. Mater. - 2016. - V. 18. -No. 11. - P. 1847-1870.
7. Kolken H.M.A., Zadpoor A.A. Auxetic mechanical metamaterials // RSC Adv. - 2017. - V. 7. - No. 9. -P. 5111-5129.
8. Dagdelen J., Montoya J., De Jong M., Persson K. Computational prediction of new auxetic materials // Nat. Commun. - 2017. - V. 8. - No. 1. - P. 323.
9. Ren X., Das R., Tran P. et al. Auxetic metamaterials and structures: A review // Smart Mater. Struct. -2018. - V. 27. - No. 2. - P. 023001.
10. Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Ауксетики среди материалов с кубической анизотропией // Изв. РАН. МТТ. - 2020. - № 4. - С. 7-24.
11. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Ауксетическая механика кристаллических материалов // Изв. РАН. МТТ. - 2010. - № 4. - C. 43-62.
12. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С., Волков М.А. Отрицательный коэффициент Пуассона для кубических кристаллов и нано/микротрубок // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 6. - С. 13-31. -doi 10.24411/1683-805X-2013-00070
13. Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S. Extreme values of Young's modulus and Poisson's ratio of hexagonal crystals // Mech. Mater. - 2019. - V. 134. - P. 1-8.
14. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С., Волков М.А. Ауксетики среди 6-ти константных тетрагональных кристаллов // Письма о материалах. -
2015. - T. 5. - № 4. - C. 409-413.
15. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона для 7-конс-тантных тетрагональных кристаллов и нано/микро-трубок из них // Физ. мезомех. - 2014. - Т. 17. -№ 5. - С. 5-14. - doi 10.24411/1683-805X-2014-00015
16. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С., Волков М.А. Механические характеристики 7-ми константных ромбоэдрических кристаллов и нано/ микротрубок из них // Письма о материалах. -
2016. - T. 6. - № 2. - C. 93-97.
17. Волков М.А. Экстремальные значения коэффициента Пуассона триклинных и моноклинных кристаллов // Письма о материалах. - 2014. - T. 4. - № 3. -C. 167-170.
18. Lethbridge Z.A.D., Walton R.I., Marmier A.S.H. et al. Elastic anisotropy and extreme Poisson's ratios in single crystals // Acta Mater. - 2010. - V. 58. - No. 19. -P. 6444-6451.
19. Lagos M.J., Sato F., Bettini J. et al. Observation of the smallest metal nanotube with a square cross-section // Nat. Nanotechnol. - 2009. - V. 4. - No. 3. - P. 149152.
20. Tosatti E., Prestipino S., Kostlmeier S. et al. String tension and stability of magic tip-suspended nanowires // Science. - 2001. - V. 291. - No. 5502. - P. 288-290.
21. Oshima Y., Onga A., Takayanagi K. Helical gold nanotube synthesized at 150 K // Phys. Rev. Lett. - 2003. -V. 91. - No. 20. - P. 205503.
22. Oshima Y., Koizumi H., Mouri K. et al. Evidence of a single-wall platinum nanotube // Phys. Rev. B. -2002. - V. 65. - No. 12. - P. 121401.
23. Das S., Lalla N.P., Okram G.S. Synthesis, characterization and magnetic properties of nanocrystalline nickel // AIP Conf. Proc. - 2013. - V. 1512. - No. 21. - P. 296297.
24. Zahran E.M., Bhattacharyya D., Bachas L.G. Development of reactive Pd/Fe bimetallic nanotubes for dechlorination reactions // J. Mater. Chem. - 2011. - V. 21. -No. 28. - P. 10454-10462.
25. Sellmyer D.J., Zheng M., Skomski R. Magnetism of Fe, Co and Ni nanowires in self-assembled arrays // J. Phys. Condens. Matter. - 2001. - V. 13. - No. 25. -P. R433-R460.
26. Bao J., Tie C., Zhou Q. et al. Template synthesis of an array of nickel nanotubules and its magnetic behaviour // Adv. Mater. - 2001. - V. 13. - No. 21. - P. 16311633.
27. Cao H., Wang L., Qiu Y. et al. Generation and growth mechanism of metal (Fe, Co, Ni) nanotube arrays // Chem. Phys. Chem. - 2006. - V. 7. - No. 7. - P. 15001504.
28. Tourillon G. Electrochemically synthesized Co and Fe nanowires and nanotubes // Electrochem. Solid-State Lett. - 1999. - V. 3. - No. 1. - P. 20.
29. Tourillon G., Pontonnier L., Levy J. P., Langlais V. Electrochemically synthesized Co and Fe nanowires and nanotubes // Electrochem. Solid-State Lett. -2000. - V. 3. - No. 1. - P. 20-23.
30. Chowdhury T., Casey D.P., Rohan J.F. Additive influence on Cu nanotube electrodeposition in anodised aluminium oxide templates // Electrochem. Commun. -2009. - V. 11. - No. 6. - P. 1203-1206.
31. Meng F., Jin S. The solution growth of copper nanowires and nanotubes is driven by screw dislocations // Nano Lett. - 2012. - V. 12. - No. 1. - P. 234-239.
32. Kamalakar M.V., Raychaudhuri A.K. A novel method of synthesis of dense arrays of aligned single crystalline copper nanotubes using electrodeposition in the presence of a rotating electric field // Adv. Mater. -2008. - V. 20. - No. 1. - P. 149-154.
33. Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Упругие свойства графитовых стержней и многослойных углеродных нанотрубок (растяжение и кручение) // Изв. РАН. МТТ. - 2005. - № 4. - С. 42-56.
34. Goldstein R.V., Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S., Vol-kov M.A. Negative Poisson's ratio for six-constant tetragonal nano/microtubes // Phys. Status Solid. B. -2015. - V. 252. - No. 7. - P. 1580-1586.
35. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Кручение цилиндрически анизотропных нано/мик-ротрубок из 7-константных тетрагональных кристаллов. Эффект Пойнтинга // Физ. мезомех. -2015. - Т. 18. - № 6. - С. 5-11. - doi 10.24411/1683-805X-2015-00062
36. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Эффект Пойнтинга для цилиндрически-анизотропных нано/микротрубок // Физ. мезомех. - 2016. -Т. 19. - № 1. - С. 5-14. - doi 10.24411/1683-805X-2016-00038
37. Goldstein R.V., Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S., Vol-kov M.A. Auxeticity in nano/microtubes produced from orthorhombic crystals // Smart Mater. Struct. - 2016. -V. 25. - No. 5. - P. 054006.
38. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Кручение цилиндрически-анизотропных нано/мик-ротрубок из кубических материалов, полученных сворачиванием кристаллографических плоскостей (011) // Письма о материалах. - 2016. - Т. 6. -№ 4. - С. 249-252.
39. Goldstein R.V., Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S., Vol-kov M.A. Two-layered tubes from cubic crystals: auxe-tic tubes // Phys. Status Solid. B. - 2017. - V. 254. -No. 12. - P. 1600815.
40. Goldstein R.V., Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S. Chiral elasticity of nano/microtubes from hexagonal crystals // Acta Mech. - 2018. - V. 229. - No. 5. - P. 2189-2201.
41. Волков М.А., Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Изменчивость упругих характеристик моноклинных хи-ральных трубок при растяжении и кручении // Письма о материалах. - 2019. - Т. 9. - № 2. -С. 202-206.
42. Bryukhanov I.A., Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S. Chi-ral Fe nanotubes with both negative Poisson's ratio and Poynting's effect. Atomistic simulation // J. Phys. Condens. Matter. - 2019. - V. 31. - No. 47. - P. 475304.
43. Bryukhanov I.A., Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S. Atomistic modeling of the mechanical properties of chiral metallic nanotubes // Phys. Mesomech. - 2020. -V. 23. - No. 6. - P. 477-486. - doi 10.1134/S10299599 2006003X
44. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. - М.: Наука, 1977.
45. Chamati H., Papanicolaou N.I., Mishinc Y., Papacon-stantopoulos D.A. Embedded-atom potential for Fe and its application to self-diffusion on Fe(1 0 0) // Surf. Sci. - 2006. - V. 600. - No. 9. - P. 1793-1803.
46. Mishin Y., Mehl M.J., Papaconstantopoulos D.A. et al. Structural stability and lattice defects in copper: Ab ini-tio, tight-binding, and embedded-atom calculations // Phys. Rev. B. - 2001. - V. 63. - No. 22. - P. 224106.
47. Mishin Y., Farkas D., Mehl M.J. et al. Interatomic potentials for monoatomic metals from experimental data and ab initio calculations // Phys. Rev. B. - 1999. -V. 59. - No. 5. - P. 3393-3407.
48. Fletcher R. Function minimization by conjugate gradients // Comput. J. - 1964. - V. 7. - No. 2. - P. 149154.
49. Plimpton S. Fast parallel algorithms for short-range molecular dynamics // J. Comput. Phys. - 1995. -V. 117. - No. 1. - P. 1-19.
50. Hirth J.P., Lothe J. Theory of Dislocations. - New York: Wiley, 1982.
51. Second and Higher Order Elastic Constants, Landolt-Börnstein—Group III Condensed Matter / Ed. by D.F. Nelson. - V. 29a. - Springer, 1992.
52. Vallin J., Mongy M., Salama K., Beckman O. Elastic constants of aluminium // J. Appl. Phys. - 1964. -V. 35. - No. 6. - P. 1825-1826.
53. Zhang H.W., Wang L., Wang J.B. et al. Torsion induced by axial strain of double-walled carbon nanotubes // Phys. Lett. A. - 2008. - V. 372. - No. 19. - P. 34883492.
54. Tsai D.H. The virial theorem and stress calculation in molecular dynamics // J. Chem. Phys. - 1979. -V. 70. - No. 3. - P. 1375-1382.
55. Poynting J.H. On pressure perpendicular to the shear planes in finite pure shears, and on the lengthening on loaded wires when twisted // Proc. Roy. Soc. Lond. A. - 1909. - V. 82. - No. 557. - P. 546-559.
56. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. - М.: Наука, 1980.
57. Sadovnichy V. et al. "Lomonosov": Supercomputing at Moscow State University // Contemporary High Performance Computing: From Petascale toward Exascale / Ed. by J.S. Vetter. - Boca Raton: CRC Press, 2013. -P. 283-307.
Поступила в редакцию 08.02.2020 г., после доработки 23.02.2021 г., принята к публикации 23.02.2021 г.
Сведения об авторах
Брюханов Илья Александрович, к.ф.-м.н., нс НИИ механики МГУ, нс ИМАШ РАН, ibryukhanov@gmail.com Волков Михаил Андреевич, к.ф.-м.н., нс ИПМех РАН, volkovmikhl@gmail.com Городцов Валентин Александрович, д.ф.-м.н., проф., внс ИПМех РАН, gorod@ipmnet.ru Лисовенко Дмитрий Сергеевич, д.ф.-м.н., зав. лаб. ИПМех РАН, lisovenk@ipmnet.ru
