Об управляемой задаче Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной Текст научной статьи по специальности «Математика»

специалистов, обеспечивая формирование необходимых современному учителю математики знаний и умений, с учетом ресурсов конкретного вуза.

Лебедева Ирина Павловна Пермский государственный педагогический ун-т Россия, Пермь e-mail: lebedeva@pspu.ac.ru

Поступила в редакцию 5 мая 2007 г.

ОБ УПРАВЛЯЕМОЙ ЗАДАЧЕ ГУРСА-ДАРБУ В КЛАССАХ ФУНКЦИЙ С СУММИРУЕМОЙ СМЕШАННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ 1

© И. В. Лисаченко, В. И. Сумин

Рассмотрим управляемую задачу Гурса-Дарбу

xt1t2(t) = g{t,x{t),x'tl(t),x't2{t),u{t)),t е п = [о, I]2, x(ti, 0) = <pi(ti),ti е [0,1]; x(0, t2) = <P2(t2),t2 е [0,1],

где управление - u(t): П Rm, g(t,l1,l2,l3, u) = g(t, l, u): П x R3fc x Rm Rfc дифференцируема по l = {li, I2,1з} для каждого u при п.в. t и вместе с g[(t, l, u) измерима по t при всех {l, u} и непрерывна по {l, u} для п.в. t, <рi(ti): [0,1] ^ Rfc абсолютно непрерывны, <^i(0) = ^2(0)- Управляемая задача (1) играет особую роль в теории оптимального управления распределенными системами. Вот уже много лет она фактически является «пробным камнем» этой теории. Так, например, первые достаточно общие условия сохранения (при возмущении управления) глобальной разрешимости (СГР) нелинейных распределенных систем были найдены именно для задачи Гурса-Дарбу [1]; история вопроса кратко изложена в [2]. При этом управления считались ограниченными и рассматривались абсолютно непрерывные решения задачи (1) с ограниченной смешанной производной. Более общие достаточные условия устойчивости существования таких глобальных решений задачи (1) были затем получены в [3]. В [1, 3] для (1) предполагалось выполненным следующее весьма общее условие:

функции g(t, l, u) и g[(t, l, u) ограничены на любом ограниченном множестве. (2)

Условие (2) выполняется, например, если g и g[ непрерывны по совокупности переменных. Очевидно, что при условии (2) смешанная производная любого абсолютно непрерывного решения x(-) задачи (1), отвечающего ограниченному на П управлению u(-), ограничена; если

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проект №07-01-00495).

же при этом ограничены производные функций то ограничены и первые производные

решения х(^).

Если условие (2) нарушается или управление и(-) не ограничено на П, то смешанная производная и первые производные решения х(-) задачи (1) могут оказаться неограниченными. Однако в этих случаях для нелинейной управляемой задачи Гурса-Дарбу общего вида (1) до сих пор, видимо, никем не изучались важные для теории оптимального управления вопросы СГР. Доклад посвящен некоторым результатам, полученным авторами доклада в этом направлении (см., например, [4-6]) с помощью аппарата вольтерровых функциональных уравнений в лебеговых пространствах [7]. Именно, рассматривается случай, когда решение (1) имеет смысл искать в пространстве функций с суммируемой в степени р £ (1, то) смешанной производной. Он допускает различные естественные варианты условий на порядок роста правой части дифференциального уравнения (1), которыми в этом случае можно заменить условие (2).

Приведем пример. Пусть: р £ (1, то), 8 £ [1, то]; р1,р2 £ Ь^[0,1], £4(0) = £2(0) = = 0; допустимы управления из ограниченного множества О С Ь^ = Ьт(П). Положим f (Ь, 1, и) = д(г,Ь + <£1^1) + <Р2&),к + <Р1(Ь),1з + ^2(^2), и). Пусть д удовлетворяет следующему условию на порядок роста: формула f[y,u](t) = f (Ь, у(Ь),и(Ь)) определяет оператор f [•, •]: (Ь0 х Ь)2) х О ^ ЬЯ, а формула Д[у,и](Ь) = f1/(t, у(Ь),и(Ь)) — ограниченный оператор _Д[^ •]: (^оо х (Ь^ х О ^ Ь,^хк х (Ь0£к)2 . В этом случае глобальное решение (1) естественно искать в классе Ш абсолютно непрерывных функций с первыми и смешанной производными из Ь^. Каждому и £ О может отвечать не более одного такого решения. Множество тех и(-) £ О, каждому из которых отвечает решение из

*1 *2 *2

Ш, обозначим О. Введем обозначения: А1[г](Ь) = / /г(£ъ£2)й(1 й^2, А2[г](Ь) = /г(Ь1,()д,(,

0 0 о

*1

Аз[г](Ь) = / г(£,Ь2)^, А [г] = (Аф], А2[г], Аз [г]} . Для и (•) £ О, ио (•) £ О положим 0

г(и,ио) = ^А[Аид(хо)]^Ькх>х{Ьк)2, где

А«д(хо) = g(t,xо(t),х0* 1 (Ь),х0*2(г),и(г)) —g(t,хо(Ь),х0* 1 (Ь),х0*2(г),ио(t)),

хо (•) — глобальное решение (1), отвечающее ио (•). Справедлива следующая теорема об условиях СГР [6].

Теорема. Уи0 (•) £ О 35 > 0, С > 0: и (•) £ Б, г(и,и0) <5 ^ и (•) £ О, причем

\\х — х0\\Ьк + ||х*1 — х01 + \\х*2 — х'0*2 ^ Сг(и,и0), где х (•) — решение, отвечающее

управлению и (•).

ЛИТЕРАТУРА

1. Плотников В.И., Сумин В.И. Проблемы устойчивости нелинейных систем Гурса-Дарбу // Диффе-ренц. уравнения. 1972. Т. 8, №5. С. 845-856.

2. Сумин В.И. Проблема устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач и вольтерровы функциональные уравнения // Вестник ННГУ. Математика / Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2003. Вып. 1. С. 91-108.

3. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1992.

4. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Управляемая задача Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной // Вестник ННГУ. Математика / Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2005. Вып. 1(3). С. 88-101.

5. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Управляемая задача Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной. II // Вестник ННГУ. Математика/ Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2006. Вып. 1(4). С. 65-79.

6. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Об условиях устойчивости существования глобальных решений управляемой задачи Гурса-Дарбу// Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление/ Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2006. Вып. 2(31).

7. Сумин В.И. Управляемые функциональные вольтерровы уравнения в лебеговых пространствах // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление / Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1998. Вып. 2(19). С. 138-151.

Лисаченко Ирина Владимировна Нижегородский государственный ун-т Россия, Нижний Новгород e-mail: i lisach@mail.ru

Сумин Владимир Иосифович Нижегородский государственный ун-т Россия, Нижний Новгород e-mail: v sumin@mail.ru

Поступила в редакцию 5 мая 2007 г.

СТРУКТУРА МНОЖЕСТВА УПРАВЛЯЕМОСТИ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ

© В. В. Лукьянов

Рассмотрим линейную нестационарную задачу быстродействия

Х = А(Ь)х + Е(Ь)и, (1)

х(Ьо) = хо, х(Ьо + Т) = 0, Т — шіп, (2)

где А Є С(М, £(М™,М™)), Е Є С(М, £(МГ,М™)), х Є АС(М,Мп). Множеством допустимых управлений и будем считать совокупность всех измеримых функций Ь — и(Ь), определенных на М и принимающих значения в и = [—1,1]г С Мг.

Пусть ф\(Ь),..., фп(Ь) — произвольная фундаментальная система решений сопряженной системы

ф = —фА(Ь), ф Є С:(М,М™*). (3)

Столбец матрицы Е(Ь) с номером і обозначим Ь (Ь) и построим функции

$ (Ь)=фі(Ь)Ь> (Ь), І = 1,...,П, І = 1,...,Г.

Для фиксированных Ьо Є М, а > 0 и ненулевого вектора с = (сі ... сп) Є М™ обозначим пз = пз (с) — количество геометрически различных (то есть без учета кратностей) корней функции (Ь; с) = с1^1 (Ь) + • • • + сп^П(Ь) на интервале ІІ0 = (Ьо, Ьо + а). Далее, обозначим а(Ьо) — точную верхнюю грань таких а > 0, что на интервале ^0 выполнено неравенство

п1 + • • • + пг ^ п — 1. (4)

Определение 1. Систему (1) будем называть докритической в точке Ьо Є М (см. [1]), если выполнено неравенство а(Ьо) > 0.