CC BY
26
МАТЕМАТИКА
УДК 517.95
НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ГУРСА-ДАРБУ С ВОЗМУЩАЕМЫМИ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ И ГРАНИЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
© 2008 г. И.В. Лисаченко
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева
i_lisach@mail.ru
Поетупила в редакцию 01.07.2008
Приводятся достаточные условия сохранения глобальной разрешимости нелинейной задачи Г урса-Дарбу при возмущении правой части дифференциального уравнения и граничных функций. Изучается случай, когда решение задачи имеет смысл искать в классе абсолютно непрерывных функций с суммируемыми в степени р > 1 смешанной производной и первыми частными производными.
Ключевые елова: нелинейная задача Гурса-Дарбу, граничная функция, разрешимость.
Управляемая задача Гурса-Дарбу занимает особое место в теории оптимального управления распределенными системами. На протяжении многих лет она фактически является «пробным камнем» этой теории (см., например, [121] и библиографию в [11] и [16]).
В статье рассматривается нелинейная задача Гурса-Дарбу общего вида. Обсуждаются достаточные условия сохранения глобальной разрешимости этой задачи при возмущении правой части дифференциального уравнения и граничных функций. Первые подобные условия для задачи Гурса-Дарбу были получены в [2, 3], где рассматривались решения с ограниченными смешанной и первыми частными производными, граничные функции предполагались фиксированными, а правая часть дифференциального уравнения возмущалась с помощью распределенного управления, стандартным образом входящего под знак функции правой части. В [12] результаты [2, 3] были распространены на более общего вида возмущения правой части и возмущения граничных функций1.
Ниже мы остановимся на том случае, когда имеет смысл рассматривать решения задачи Гурса-Дарбу, имеющие суммируемые в некоторой степени р смешанную и первые частные производные. Ему в последнее время уделяется особое внимание в теории оптимизации управляемых систем типа Гурса-Дарбу (см., например, [15, 17, 18, 21]). Для этого случая в [22-25] получены достаточные условия сохранения глобальной разрешимости задачи Гурса-Дарбу
при возмущении управления, входящего под знак правой части дифференциального уравнения. Отметим, что этот случай допускает различные естественные варианты условий на правую часть дифференциального уравнения и граничные функции, каждому из которых соответствуют, вообще говоря, свои достаточные условия сохранения глобальной разрешимости задачи Гурса-Дарбу. Эти варианты различаются между собой, в частности, свойствами операторов суперпозиции, задаваемых функцией правой части дифференциального уравнения и ее производными по «фазовым» переменным «решение», «производная решения по первой независимой переменной», «производная решения по второй независимой переменной» Так, в [24, 25] изучается вариант, в котором указанные операторы суперпозиции определены на прямых произведениях пространств типа и Ьр
(в рассматриваемом случае решение заведомо принадлежит ЬХ}, а его первые частные производные лежат в Ьр). В то же время понятно,
что если производные граничных функций и смешанная производная решения задачи Гурса-Дарбу суммируемы в степени р, то первые частные производные решения автоматически принадлежат существенно более узким, чем Ьр , лебеговым пространствам со смешанной
нормой (о таких пространствах см., например, в [26]). Поэтому в настоящей статье изучается вариант, когда упомянутые операторы суперпо-
зиции могут быть определены лишь на прямых произведениях пространств типа Ьда и некоторых лебеговых пространств со смешанной нормой, естественным образом связанных с задачей Гурса-Дарбу.
Формулируемые ниже результаты получены с помощью аппарата вольтерровых функциональных уравнений в лебеговых пространствах [27, 28]. Некоторые результаты статьи были анонсированы в [29].
Постановка задачи
Рассмотрим задачу Гурса-Дарбу
<2 (1) = я (1, х(1), X (1X < (1)), (1)
1 = &,12}е П - [0,1]2, е[0,1]
Х(0,12) = 12 е [0,1] (2)
где я(1,/1,12,13) - я(1,1): Пх Я3 ^ Я (I =
= ^ 12 ,13}) и Ф1О1Х Ф2(12):[0,1] ^ Я - функции, свойства которых мы сейчас опишем.
В задаче (1), (2) допустимы любые наборы функций я, ф1, ф2 из вводимого ниже класса ^. Этот класс состоит из всех тех троек у = {я, ф1, ф2}, каждая из которых удовлетворяет выписанным далее условиям а), Ь), с). Сформулируем первое из этих условий.
а) Функции ф1, ф2 абсолютно непрерывны,
причем ф1(0) = ф2(0) = ° а ф1, ф2 е Ьр([0,1])
при заданном р е (1,да). Формулой
/ (1, А, 4,1з) - / (1,1) - я (1, А + ф1 (А)+
+ ф2(12), 12 ^ф1(0,13 ^ф2(12)), (3)
1 е П,I = {/1,12,13}е Я3
задается функция, дифференцируемая по I для почти всех 1 е П, а вместе с производной
//(1,1) измеримая по 1 при любом I е Я3 и
непрерывная по I для почти всех 1 е П.
Чтобы сформулировать условия Ь), с), введем обозначения для интегральных операторов:
Л[ г](0 = Л^1, ^2)<я^2,
0 0
4[ г](0 = {г^, ^,
0
Аз[ г](0 = |г(^, Ґ2)<1Е„
0
А[ г](!) = [А^г ](ґ), ^[ г](1), Аз[ г](1)},
ґ єП, 2 є Ьр . Нам удобно обозначить через Ьд (ґі), 1 < д < да, пространство Ьд [0,1] функций переменной ґі, і = 1, 2.
Обозначим через Ьр(0[А»(^ХІ, Lp(/2) х
X [£да (^1)], Хда (^1)[Хр (^2)], Хда ^^р ( Ґ1)] ^о-
странства измеримых на П функций 2(-) со смешанной нормой, нормы в которых определяются соответственно формулами
1
''Ар (ґ1)[ Ада (ґ2)]
"Ар (ґ2)[Ада (ґ1)]
= (І угаі 8ир | г(ґ) |р )
0 ґ2є[0,1] 1
= (|угаі8ир | г(ґ) |р dt2)
0 ґ1є[0,1]
1 -
\\4ь а )[£ а)]=угаі§ир( 112(ґ) |р ^ґ2) р,
"А»(ґі)[ір(ґ2)] ґ1є[0,1] 0
1 і
Р( 11 2(Ґ )|Pdtl) .
Шг , „г , м = vraisu Ьда (‘2)[Ьг(11)] 12е[0,1] 0
Для сокращения записи положим2 М1( П) ^ Ьда (П),
М 2 ( П) ^ Ьр (11)[ Ьда (12)],
М3(П) - Ьр (12)[Ьда(11)],
М(П) - М1(П) х М2(П) х М3(П),
М1(П) - Ьр (П), м 2( П) - Ьда (а Ьр (12)], м 3(П) - Ьда ^)[ Ьр (11)], м '(п ) - м;( п) х М2(П) х М3(П).
Пусть Е - Е(П) - о-алгебра всех измеримых по Лебегу множеств Н с П ; ^(Н) — класс измеримых на Н функций, Н е Е;
QH : ^(Н) ^ ^(П) — оператор «продолжения нулем», задаваемый формулой
дН [г](1) - {г(1), 1 е Н;0,1 е П \ Н}.
Обозначим через Mi (Н) класс тех функций г(-) е ^(Н), для каждой из которых
дН [г] е Mi (П), i = 2, 3. Очевидно, что Mi (Н) — линейное функциональное про-
странство относительно обычных операций сложения и умножения на число, i = 2,3. Введем в М1 (Н) норму формулой
|Ы| - 11^ [ г] , i = 2,3.
II llмi(н) Н^Н1 Jllмi(П)’ ’
Пусть Мг'( Н) — класс тех функций
г(-) е ^(Н), для каждой из которых
дн [г] е М'(П), i = 2, 3. В линейном функ-
г
циональном пространстве М\(Н) введем норму формулой
|У — ||д„[г] , і = 2, 3.
II 11м/(н) ІІ^НІ- -*Нм;(П)’ ’
При Н = П значок П в обозначениях будем, как правило, опускать, то есть вместо Ьр(П), Мі(П), М'(П),... будем писать соответственно Ьр, Мі, Мг',.... Заметим, что оператор А принадлежит классу Ь(Ьр,М)3.
Сформулируем теперь условия Ь) и с), определяющие вместе с условием а) класс ¥ допустимых в задаче (1), (2) троек у = [я, ф1, ф2}. В условиях Ь) и с) указаны требования, которым для каждой такой тройки должна удовлетворять
функция /(ґ, I): П х Я3 ^ Я, задаваемая формулой (3) из условия а).
b) Формула ^уКО - /(ґ,у(ґ)), у є М,
ґ є П определяет оператор
^•]: М ^ Ьр.
c) Формула ^[у](ґ) - //(ґ,у(ґ)), у єМ,
ґ є П определяет ограниченный оператор
да М ^ М' .
Точнее, существует функция «(•): Я + ^ Я+ такая, что
||^1[у]|М' < п(т) при т > ||у|М.
Функцию п(т) без ограничения общности будем считать неубывающей.
Если у = [я, ф1, ф2} є ¥, то решение задачи Гурса-Дарбу (1), (2) естественно искать в классе (П) удовлетворяющих условиям (2) аб-
солютно непрерывных на П функций с первыми производными по ґ1 и ґ2, соответственно, из М2 и М3 и второй смешанной производной из Ьр 4 Функцию X указанного класса назовем
отвечающим тройке у = [я, ф1, ф2} є¥ глобальным решением задачи (1), (2), если она обращает уравнение (1) в тождество почти всюду на П. Пусть ¥0 — та часть ¥, каждому элементу которой отвечает глобальное решение задачи (1), (2).
Пусть Т — система всех множеств Нс - [ґ є П : ґ1 + ґ2 < с}, с є [0,2]. Для Н є Т через Жу (Н) обозначим множество всех сужений на Н функций класса Жу (П), ує¥. Функцию X є Жу (Н), Н є Т назовем отвечающим тройке у= [я, ф1, ф2} є¥ решением
задачи (1), (2) на множестве Н , если она обращает уравнение (1) в тождество почти всюду на
Н. Если Н є Т, но Н Ф П, то решения на
множестве Н будем называть локальными решениями задачи (1), (2).
Основные теоремы
Справедлива следующая теорема единственности.
Теорема 1. Каково бы ни было Н є Т, любой тройке у= [я, ф1, ф2} є¥ не может отвечать на множестве Н более одного решения задачи (1), (2).
Таким образом, ¥0 - та часть ¥, каждому элементу которой отвечает ровно одно глобальное решение задачи (1), (2).
Чтобы сформулировать теорему существования локального решения задачи (1), (2), примем дополнительные соглашения и обозначения. Следуя [8], будем называть некоторый оператор ^, действующий из Ьр в пространство измеримых на П вектор-функций, вольтер-ровым на системе множеств Т , если для любого Н є Т сужение ^[г]|Н не зависит от значений г(ґ) при ґ єП \ Н. Оператор А : Ьр ^ М
является вольтерровым на системе множеств Т в указанном смысле. Это означает, что
УН є Т :[г1, г2 є Ьр : 21(ґ) - г2(ґ), ґ є Н} ^
^ [А[21](ґ) - А[у2](ґ),ґ є Н}.
Свойство вольтерровости оператора А позволяет принять следующее соглашение: для любого Н є Т считаем оператор А определенным на Ьр (Н) формулой
А[г](ґ) - АдН [г](ґ), ґ є Н,г є Ьр(Н).
Очевидно, что А є Ь(Ьр (Н),М(Н)) для любого Н є Т . Введем обозначение:
с(у,Н,т,2 ) - ||А[/(•, А[У](•))-']||М(Н) +
+ тп\А[']|| М + т\4ьр (Н )^М (Н),
где у = [я, ф1, ф2} є ¥, Н є Т, т є Я+, 2 є Ьр.
Теорема 2. Если тройка у = [я, ф1, ф2} є ¥ и множество Н є Т таковы, что существуют положительное число т и функция г є Ьр, при которых выполняется неравенство
а(у,Н,т,г) < т, то тройке у отвечает на множеетве Н единетвенное решение х* иадачи (1), (2), причем
Жх*',, -2] <^(у,Н, т,2).
II V2 \\м ( н ) т
Сформулируем для задачи (1), (2) достаточные условия сохранения глобальной разрешимости при возмущении правой части уравнения
(1) и граничных функций (2). Пусть х0 — глобальное решение задачи (1), (2), отвечающее У0 = ^ Фol, ф02}е^0. Для уе¥ п°л°жим: ^, У0) -||А[А(у У0)]||М,
где
А(у, У0) = я (1, *0 + Аф1 +Аф2, *011 +Аф', х012 + аф2) - я(1, х0, х011, х012 X
Аф- -фг (1г ) -ф0г (1г X І = 1,2
Теорема 3. Для любой у0 = {я0,ф01,ф02} е е ¥0 еущеетвует 5 > 0 такое, что еели некоторое у= {я, ф1, ф2} е¥ удовлетворяет уело-вию
К(У, У0) <5,
то у е ¥0.
Справедлива также следующая теорема об оценке разности отвечающих разным тройкам решений задачи Гурса-Дарбу.
Теорема 4. Для любой у0 = {я0,ф01,ф02} е е ¥0 и любооо положительнооо чиела т0 еущеетвует С > 0 такое, что еели у е ¥0 и вы-полняетея неравенетво
х - х0||с + х* - х]
011
+ х* — х.
01
2 I \М 3
< тп
оде х - решение иадачи (1), (2), отвечающее
у = {я, ф1, ф2}, то
х* - х,
0111'
12Т
х - хп1 + х* - х,
< с||А(У,у0)||Ь ,
с
011
+ х* — х*
2 М3
< СД (у, у0).
Доказательства
Сформулированные теоремы можно доказать подобно тому, как доказываются сходные теоремы в [24, 25], приводя задачу (1), (2) к эквивалентному интегральному уравнению в Ьр . Отметим лишь главные моменты.
Выберем произвольно у е ¥, возьмем соответствующую этой тройке у по формуле (3) функцию / и рассмотрим интегральное уравнение
2(1) = / (1, А[ г](1)) (4)
при 2 е Ьр, 1 е П. Функцию 2 е Ьр назовем
отвечающим тройке у глобальным решением уравнения (4), если она обращает (4) в тождество почти всюду на П. Аналогично вводится понятие отвечающего тройке у е ¥ решения уравнения (4) на множестве Н е Т. Именно, функцию 2 е Ьр (Н), Н е Т назовем отвечающим у е ¥ локальным решением уравнения (4), если она обращает (4) в тождество почти всюду на Н.
Уравнение (4) эквивалентно задаче (1), (2). Действительно, при любых Н е Т и у е ¥
между классами функций Жу (Н) и Ьр (Н) существует взаимно-однозначное соответствие, устанавливаемое формулой
11 12
х(1) = ф1 (11) + ф2(12) + 11 2(^, 1 е Н, (5)
0 0
где х еЖу (Н), 2 е Ьр (Н). Подстановка (5)
приводит задачу (1), (2) к уравнению (4) на множестве Н е Т. Наоборот, если при некотором уе¥ функция 2(-) е Ьр (Н) — решение
уравнения (4) на Н е Т , то функция х(1), 1е Н, задаваемая формулой (5), принадлежит классу Жу (Н) и является решением задачи (1), (2) на Н.
Переформулируем теоремы предыдущего раздела в терминах уравнения (4). Начнем с теоремы единственности. Следующая теорема эквивалентна теореме 1.
Теорема 5. Каково бы ни было Н е Т, любой тройке у= {я, ф1, ф2} е¥ не может отвечать на множеетве Н более однооо решения уравнения (4).
Теорема 5 доказывается с помощью обобщенной леммы Гронуолла (см., например, [22], [24]), которая является частным случаем теоремы 1.9.3 из [30].
Следующая теорема существования эквивалентна теореме 2.
Теорема 6. Еели у = {я, ф1, ф2} е¥ и мно-жеетво Н е Т таковы, что еущеетвуют по-
Р2
2
ложительное число т и функция 2 є Ьр, при которых выполняется неравенство с(у, Н, т, 2) < т,
то тройке у отвечает на множестве Н единственное решение 2* уравнения (4), причем
1|А[2* -ЩМ(Н) < а(у,Н,т,2).
Доказательство теоремы 6 может быть проведено с помощью принципа сжимающих отображений и леммы об эквивалентных нормах (см., например, лемму 4.1 в [22] или лемму 4.2 в [24]), доказанной в [28] и развивающей известные утверждения об эквивалентной норме из §2 главы 2 книги [31].
Сформулируем теорему об условиях сохранения глобальной разрешимости уравнения (4), которая эквивалентна теореме 3.
Пусть
г(/,/0) -||А[А(/,/0)]||М,
где
А( /, /0) = / (ґ, А[ ^(ґ)) - /0(ґ, А[ ^КО),
20 — глобальное решение уравнения (4), отвечающее у0 = ф01, ф02 },
/0(ґ, 11,12 ,13) = §0 (ґ, 11 + ф01(ґ1) + ф02 (ґ2 ),
12 + ф01 (ґ1 ), 13 + ф02 (ґ2 ))>
/ (ґ, А,12,А) =
= §(ґ, А +фДА) +ф2(ґ2), І2 +ф! (ґ1), А + ф2 (ґ2 )), у = [§, Фl, ф2}є¥.
Теорема 7. Для любой у0 = [§0,ф01,ф02} є є ¥0 существует 5 > 0 такое, что если некоторое у= [§, ф1, ф2} є¥ удовлетворяет условию
г(/,/0) <5,
то ує ¥0.
Теорема 7 может быть доказана методом продолжения отвечающего тройке у локального решения уравнения (4) вдоль конечной цепочки [Нс ,Нс,...,Нс } множеств системы Т,
1 с0 ’ с1 ск’ ’
Нг сНг с ... сНг , mesHc > 0, Нг = П.
с0 с1 с^ с0 ’ ск
При достаточно малом 5 > 0 существование некоторого множества Н є Т, теъНс^ > 0, на котором тройке у отвечает решение уравнения (4), гарантирует теорема 6.
Сформулируем наконец теорему об оценке разности решений уравнения (4), эквивалентную теореме 4.
Теорема 8. Для любой у0 = {g0,ф01,ф02} е е¥0 и любого положительного числа т0 существует С > 0 такое, что если уе ¥0 и выполняется неравенство
Иz _ MlМ - т0’
где z — решение уравнения (4), отвечающее У = {g, Ф1, Ф2}, то
l|z _ z0lL - CЛ( f,^llL ,
II uj_,p II UJ_,p
11Иz _ z0]M - Cr( f ,f0).
Теорема 8 доказывается с помощью обобщенной леммы Г ронуолла.
Благодарю своего научного руководителя профессора В.И. Сумина за постановку задачи и внимание к работе.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 07-01-00495).
Примечания
1. История изучения проблемы устойчивости (по возмущению управления) существования глобальных решений управляемых краевых задач кратко изложена в [19].
2. Под нормой в прямом произведении X х Y нормированных пространств X ,Y понимается стандартная норма ||{х, y}|| X xY =| |х||х +|| j||Y.
3. L(X,Y) - класс линейных ограниченных операторов, действующих из нормированного пространства X в нормированное пространство Y .
4. Так определенный класс функций зависит от Ф1, ф2 и не зависит от g , но нам удобно использовать обозначение Wy (П) .
Список литературы
1. Егоров А.И. Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами и некоторые задачи теории инвариантности // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1965. Т. 29, № 6. С. 1205-1260.
2. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемых системами Гурса-Дарбу // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т. 12, № 1. С. 61-77.
3. Плотников В.И., Сумин В.И. Проблемы устойчивости нелинейных систем Гурса-Дарбу // Диффе-ренц. уравнения. 1972. Т. 8, № 5. С. 845-856.
4. Suryanarayana M.B. Necessary conditions for optimization problems with hyperbolic partial differential equations // SIAM J. Control. 1973. V. 11. № 1.
5. Ащепков Л.Т., Васильев О.В. Об оптимальности особых управлений в системах Гурса-Дарбу // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т. 15, № 5. С. 1157-1167.
6. Срочко В.А. Условия оптимальности для одного класса систем с распределенными параметрами // Сибирский матем. журн. 1976. Т. 17, № З. С. 1108— 1115.
7. Потапов М.М. Разностная аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления системами Гурса-Дарбу // Вестник МГУ. Сер. Вычислит. матем. и киберн. 1978. № 2. С.17-26.
8. Матвеев А.С., Якубович В.А. Оптимальное управление некоторыми системами с распределенными параметрами // Сибирский матем. журн. 1978. Т. 19, № З. С. 1109-1140.
9. Ащепков Л.Т., Васильев О.В., Коваленок И.Л. Усиленное условие оптимальности особых управлений в системе Гурса-Дарбу // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 6. С. Ш4-1159.
1 0. Срочко В.А. Условия оптимальности типа принципа максимума в системах Гурса-Дарбу // Сибирский матем. журн. 1984. Т. 25, № 1. С. 126-132.
11. Срочко В.А. Вариационный принцип максимума и методы линеаризации в задачах оптимального управления. Иркутск: Изд-во Иркутского университета, 1989. 160 с.
12. Сумин В.И. Функционально-операторные уравнения Вольтерра и устойчивость существования глобальных решений краевых задач // Украинский матем. журн. 1991. Т. 43, № 4. С. 555-561.
13. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Часть 1. Вольтерровы уравнения и управляемые начально-краевые задачи.
Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1992. 110 с.
14. Данилова О.А., Матвеев А.С. Нетрадиционные условия существования оптимального управления для системы Гурса-Дарбу // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1998. Т. 62, № З. С.79-102.
1З. Толстоногов А.А. Теорема существования оптимального управления в задаче Гурса-Дарбу без предположения выпуклости // Изв. РАН. Сер. матем. 2000. Т. 64, № 4. С. 163-182.
16. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал, 2002. 824 с.
17. Idczak D., Majewski M., Walczak S. Stability analysis of solutions to an optimal control problem associated with a Goursat-Darboux problem // Int. J. Appl. Math. Comput. Sci. 2003. V.13, № 1. P. 29-44.
18. Idczak D. Bang-bang principle for linear and non-linear Goursat-Darboux problem // Int. J. Contr. 2003. V. 76, № 11. P. 1089-1904.
19. Сумин В.И. Проблема устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых
задач и вольтерровы функциональные уравнения // Вестник ННГУ. Математика. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2003. Вып. 1. С. 91-108.
20. Гаврилов В.С., Сумин М.И. Параметрическая оптимизация нелинейных систем Гурса-Дарбу с фазовыми ограничениями // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44, № 6. С. 1002-1022.
21. Погодаев Н.И. О свойствах решений задачи Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями // Сибирский матем. журн. 2007. Т. 48, № 5. С. 1116-1133.
22. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Управляемая задача Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной // Вестник ННГУ. Математика. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2005. Вып. 1 (3). С. 88-101.
23. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Управляемая задача Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной. II // Вестник ННГУ. Математика. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2006. Вып. 1(4). С. 65-80.
24. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Об условиях устойчивости существования глобальных решений управляемой задачи Гурса-Дарбу // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2006. Вып. 2 (31). С. 64-82.
25. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Условия сохранения глобальной разрешимости задачи Гурса-Дарбу при возмущении управления / Деп. в ВИНИТИ 06.02.08. № 85-В2008. 23 с.
26. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.
27. Сумин В.И. Управляемые функциональные
вольтерровы уравнения в лебеговых пространствах // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород: Изд-во
ННГУ, 1998. Вып. 2 (19). С. 138-151.
28. Сумин В.И. Об управляемых функциональных вольтерровых уравнениях в лебеговых пространствах / Деп. в ВИНИТИ 03.09.98. № 2742-В98. 96 с.
29. Лисаченко И.В. О глобальных решениях задачи Гурса-Дарбу // Материалы ВВМШ «Понтрягин-ские чтения - XIX». Воронеж: ВГУ, 2008. С. 129.
30. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 536 с.
31. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: ГИФМЛ, 1962. 394 с.
THE NONLINEAR GOURSAT-DARBOUX PROBLEM WITH PERTURBED RIGHT-HAND SIDE AND BOUNDARY FUNCTIONS
I. V. Lisachenko
The sufficient conditions are given of the global solvability preservation of the nonlinear Goursat-Darboux problem with perturbed right-hand side and boundary functions. A case is studied when the problem solution should be sought in a class of absolutely continuous functions with mixed derivative and first partial derivatives summable in power p > 1.
