CC BY
71
УДК 517.95
ОБ ОСОБЫХ УПРАВЛЕНИЯХ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА В ТЕРМИНАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМЫ ГУРСА-ДАРБУ
© И.В. Лисаченко, В.И. Сумин
Ключевые слова: нелинейная система Гурса-Дарбу; решения с суммируемой смешанной производной; терминальная задача оптимизации; принцип максимума; особое управление.
Рассматривается терминальная задача оптимизации нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу с полной каратеодориевской правой частью уравнения в случае, когда необходимо искать решения системы в классе функций с суммируемой в некоторой степени р>1 смешанной производной. Изучается ситуация, когда эта необходимость обусловлена принадлежностью соответствующему лебегову пространству производных граничных функций. Показывается: если правая часть аффинна по производным и они в ней аддитивно отделены от управления, то вырождение поточечного принципа максимума (необходимого условия оптимальности первого порядка при игольчатом варьировании управления) всегда является сильным, то есть на особом управлении принципа максимума одновременно с принципом максимума вырождаются и условия оптимальности второго порядка. Приводятся необходимые условия оптимальности особых управлений в этой ситуации, обобщающие известные сходные условия, относящиеся к случаю решений с ограниченной смешанной производной и более гладких правых частей уравнений.
Управления, особые в смысле поточечного принципа максимума (ППМ), на которых он вырождается, играют важную роль в теории оптимизации и ее приложениях (см., например, [1-4]). Для распределенных оптимизационных задач вопросы получения необходимых условий оптимальности (НУО) особых управлений (ОУ), начиная с пионерских работ О.В. Васильева [5, 6], в основном рассматривались для управляемых систем Гурса-Дарбу и близких к ним (см., например, [2, 7-12], [13, с. 5], [14, 15], обзоры [16, 17]).
Достаточно общий способ изучения ОУ ППМ для задач оптимизации распределенных систем, опирающийся на возможность представления управляемой системы в форме воль-террова функционально-операторного уравнения в лебеговом пространстве и использующий теорию тензорных произведений лебеговых пространств при вычислении старших вариаций функционалов, был предложен в [18]. В [19-21] была представлена обобщающая способ [18] схема изучения ОУ. Схема обслуживает широкий класс распределенных управляемых систем, описываемых начально-краевыми задачами для эволюционных уравнений с частными производными, а также обширный аксиоматически описанный в [20, 21] класс способов варьирования управлений, включающий большинство способов, традиционно использующихся в теории НУО (классическое варьирование, игольчатое, импульсное на полосах, варьирование пакетами, сдвигом и др.). В [22] дана конкретизация схемы [19-21] применительно к игольчатому варьированию. В [18-22] показано, в частности, что для распределенных задач оптимизации достаточно характерно сильное вырождение ППМ, когда вместе с ППМ (НУО 1-го порядка при игольчатом варьировании) вырождаются и НУО 2-го порядка (или, иначе говоря, вырождаются ОУ ППМ). Там же получены содержательные НУО сильно вырожденных ОУ. Разнообразные примеры применения указанной схемы к оптимизационным задачам, связанным с конкретными управляемыми распределенными системами, приведены в [18, 21]. В частности, в [18] был изучен случай сильного вырождения ППМ для терминальной задачи оптимизации нелинейной системы Гурса-Дарбу (при
условиях Каратеодори на правую часть уравнения), рассматриваемой в классе абсолютно непрерывных функций с ограниченными смешанной и первыми производными.
Наблюдается определенный интерес (см., например, [23-26]) к задачам оптимизации систем типа Гурса-Дарбу, рассматриваемых в классах абсолютно непрерывных п -вектор-функций с суммируемыми в некоторой степени р смешанной и первыми производными; такие классы будем обозначать АС™ . В этом случае, видимо, ОУ ППМ систематически никем не изучались.
В данной публикации рассматриваются ОУ ППМ для терминальной задачи оптимизации нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу с полной каратеодориевской правой частью уравнения в случае, когда необходимо искать решения системы в некотором классе ЛС™, р > 1. Изучается ситуация, когда необходимость использования указанного класса АС™ обусловлена принадлежностью классу производных граничных функций. Показывается: если правая часть аффинна по производным и производные в ней аддитивно отделены от управления, то происходит вырождение ОУ ППМ (теоремы 3 и 5). Приводятся содержательные НУО таких вырожденных ОУ (НУО третьего порядка относительно игольчатого варьирования управления — теоремы 4 и 6). Теоремы 3, 4 относятся к случаю полного (т. е. на всем прямом произведении области изменения независимых переменных на множество допустимых значений управления) вырождения ППМ, а теоремы 5 и 6, обобщающие соответственно теоремы 3 и 4, — к общему случаю вырождения ППМ на некотором подмножестве М указанного прямого произведения.
Статья примыкает к работам авторов [27-29], посвященным условиям сохранения глобальной разрешимости управляемой системы Гурса-Дарбу (в случае, когда решения системы ищутся в некотором классе АС™ ) и ППМ для терминальной задачи оптимизации такой системы (см. также [30-32]). Теоремы 3, 4 распространяют на случай решений класса АС™, результаты, полученные в [18] для случая решений с ограниченными первыми и смешанной производными.
При изучении ОУ ППМ нами применяется схема [19-22] изучения ОУ (см. также [33]), используется игольчатое варьирование (простейшее игольчатое - в случае полного вырождения ППМ и специальное игольчатое, связанное с множеством вырождения М, - в общем случае; в общем случае простейшее игольчатое варьирование, вообще говоря, не дает содержательных НУО ОУ, так как график простейшей игольчатой варианты в этом случае может не принадлежать множеству М ). В процедуре вычисления старших вариаций функционалов нами существенно используется (как и при вычислении первых вариаций в [29]) эквивалентная запись системы Гурса-Дарбу в форме вольтеррова функционально-операторного уравнения в лебеговом пространстве (см. [27, 28], а также [34-36]).
Изучению ОУ ППМ для терминальной задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу с аффинной по производным правой частью посвящено немало работ (см., например, [2, 6], [13, гл.1, §2], [15, гл.1, §5], библиографию в [13, 15], обзоры [16, 17]). Однако известные авторам данной публикации НУО ОУ, сходные с теоремами 4, 6 и полученные ранее другими авторами, касались случая решений системы Гурса-Дарбу с ограниченными смешанной и первыми производными в предположениях определенной гладкости правой части уравнения (как правило, предполагалась непрерывность по совокупности переменных правой части и ее производных по «фазовым» переменным, см. [2, 6], [13, гл.1, §2], [15, гл.1, §5], обзоры [16, 17] и др.). Понятно, что НУО ОУ, полученные при одинаковых условиях разными методами, использующими один и тот же способ варьирования, эквивалентны и могут отличаться лишь формой записи. Поэтому, если вывод некоторых НУО ОУ, получаемых игольчатым варьированием (специальным игольчатым варьированием), требует определенной степени гладкости (большей предполагаемой нами) правой части, то в случае, когда правая часть обладает этой степенью гладкости, НУО ОУ теоремы 4 (соотв. теоремы 6)
могут быть переписаны в форме указанных НУО ОУ. В этом смысле НУО ОУ теорем 4, 6 обобщают известные сходные условия, относящиеся к случаю решений с ограниченными смешанной и первыми производными и более гладких правых частей уравнений.
Некоторые результаты данной публикации были анонсированы в [40, 41] и в несколько иной форме содержатся в [42] (см. также [43]).
Примем следующие соглашения: векторы, если не оговорено противное, считаются столбцами; И,"- —пространство п -вектор-столбцов; в покомпонентном представлении п -вектор-
п
столбец о € И" записываем в строку в фигурных скобках: о = {о1, о"} ; (о, &)п = ^ огЬг
г=1
— скалярное произведение векторов о, Ь € И"; для о, Ь € И" пишем о ^ Ь, если ог ^ Ьг (г = 1, ...,п); если о1,...,о^ € И", то |ог}'=1 = |о1,...,о^} = {о1,..., о",..., о\,..., о"} € € И^"; модуль вектора равен сумме модулей его компонент; если X, У — нормированные пространства, то £(Х, У) — пространство линейных ограниченных операторов из X в У, а норма в прямом произведении X х У задается формулой ||{ж,у}||ххУ = ||х||х + 1М|у; если X — функциональное пространство, то X" — пространство п -вектор-функций, а X"хт — (п х т) -матриц-функций, составленных из функций пространства X; производная скалярной функции по векторному аргументу есть вектор-строка; знаком * обозначаются операции перехода к сопряженному пространству и сопряженному оператору, операция транспонирования; р € (1, то) — заданное число; д = р/(р — 1).
Оптимизационная задача. Рассмотрим управляемую задачу Гурса-Дарбу
(*) = д^жф,^(*),и(*)), * = {^2}€ П = [0,1]2, (1)
ж(Л 0) = ^1(*1), х(0,*2)= ^2(*2), € [0,1], *2 € [0,1], (2)
где #(МоЛ= V): П х И3" х Ит ^ И" (I = {¿о, ¿хЛ} € (И" х И" х И") = И3") и ^>г(*г): [0,1] ^ И" (г = 1,2) заданы, и(*): П ^ Ит — управление. Считаем: ^ € € Ь"([0,1]), <^г(0) = 0, г € {1,2}; допустимы и(-), принимающие значения из ограниченного множества V С Ит (класс таких управлений обозначим О). Далее, как было сказано во введении, изучаем класс управляемых систем (1) с правыми частями вида
д(*, 1, V) = 1о) 11 + #2(*, ¿о )^2 + до(*, ¿о, V)
и считаем выполненными следующие условия о), Ь), с), :
о) функция ро(*, ¿о, V) дважды дифференцируема по 1о при каждом V для почти всех * и вместе с производными $ог0, ^о^о измерима по * при любых {¿о^}, непрерывна по {¿о^} для почти каждого * и ограничена на любом ограниченном множестве;
b) (п х п) -матрицы-функции (*, ¿о) и ^2(*, ¿о) дважды дифференцируемы по ¿о для почти всех £ и вместе с производными д^0, дщ^, ^210, измеримы по * при любых ¿о, непрерывны по ¿о для почти каждого * и ограничены на любом ограниченном множестве;
c) на любом ограниченном множестве элементов ¿о функции д^ , непрерывны по ¿о равномерно относительно * € П;
д1 (*, ¿о) (соотв. д2(*, ¿о)) непрерывна по (соотв. по *2 ) для каждого ¿о при почти всех *2 (соотв. ).
Заметим, что условие о) заведомо выполнено (соотв. условия Ь), с), заведомо выполнены), если функция до непрерывна (соотв. функции дг(г = 1, 2) непрерывны) по совокупности переменных вместе с производными дог0, дог0го (соотв. дгг'0, дгг'г0 (г = 1,2)).
Для сокращения записи введем обозначения4: М = Ьц х Ь" х Ь", N = Ь"х", N = Ьх", N = N х N х Ш1; элементы М нам удобно считать 3п -вектор-функциями, а элементы N — (п х 3п) -матрицами-функциями.
4Значок П в обозначениях, как правило, опускаем; в скалярном случае опускаем значок, обозначающий размерность. Например, вместо АС^ (П) , Ь£(П), Ьр(П) пишем, соответственно, АС£, Ь™, Ьр.
При сформулированных условиях естественно рассматривать решения задачи (1)—(2) из класса Ш функций х(-) € АС", удовлетворяющих условиям (2). Функцию х € Ш назовем отвечающим управлению и € О глобальным решением задачи (1)—(2), если пара х,и обращает (1) в тождество почти всюду на П. Как показано в [25] (см. также [26]), управлению и € О не может отвечать более одного такого решения. Множество тех и € О, каждому из которых отвечает глобальное решение х € Ш задачи (1)—(2), обозначим О.
Введем обозначения для нужных нам операторов:
.)о .)о -)о -)о
Л[г] (*) = {Ао[г] (*) ,Л1[г] (*) ,Л2[г] (*)}, * € П, г € Ь";
Е [х] (¿) = {х (¿) ,х[х (¿) ,х[2 (*)}, * € П, х € АС". Очевидно, Л € £(Ь",Ш), Е [ЛСр"] С С Ш. Пусть х0 € Ш — решение задачи (1)-(2), отвечающее управлению и0 € О. Для V € V положим
А£(0 = ^ хо(^ х041 (•), х042(•), v) - g(•,xо(-),x0íl ^ (•), ио(•)), аналогичный смысл имеют обозначения А^$о(0 и А^$1(-). Для и € О положим
г(и) ^Ул[А„(^)5(.)]Ум.
Справедлива следующая теорема об условиях сохранения (при возмущении управления) глобальной разрешимости задачи (1)-(2) (см. [25]).
Теорема 1. Для любого и0 € О существуют числа к > 0, С > 0 такие, что всякое управление и € О, удовлетворяющее неравенству г (и) < к, принадлежит О и при этом
||Е[х - хо]||м < Сг(и), ||(х - хо);142 ||ь„ < С||А„(.)^ОН^,
р
где х € Ш — глобальное решение задачи (1)-(2), отвечающее управлению и. Рассмотрим задачу оптимизации
7[и] = С(х„(1,1)) ^ тах, и € О, (3)
где С(-): К" ^ К — дважды непрерывно дифференцируемая функция, хи — решение
(1)-(2), отвечающее управлению и € О . Везде ниже: и0 — фиксированное решение задачи
(3), х0 = хи0; и — некоторый элемент О.
Принцип максимума и особые управления. Сформулируем для задачи (3) ППМ.
Считая оператор Л элементом класса £ (Ь", Ш) , рассмотрим сопряженный к нему опера> Г" х х Ьп
тор Л*, представляемый на подпространстве х ЬП х ЬП пространства Ш* формулами
Л*[г] (¿) == Л**[г(0)] (¿) + Л*[г(1)] (¿) + Л*[г(2)] (¿), * € П,
Л0[г(о)](^) = Г/1 ¿(0)(е1,е2)«2, л*^1)](*) = /1 ¿(1)(*1,е)^
Лу*2 Л2
Л2[г(2)](*) = / ¿(2)(е,*2) ^е, г = {г(0),г(1),г(2)} € Ь" х Ь" х Ь". Л1
Пусть Хо = (С(х0(1,1)))*. Уравнение
- Л* [Ш}* ^(0] (*)= Хо, * € П, (4)
где g(t) = xo(t), x0ti(t),x0t2 (t),uo(t)), t € П, имеет единственное в L^ решение ф (см. [27]). Положим
n(t, v) = (^(t), Avg(t))„ , t € П, v € V.
Для задачи (3) справедливо следующее НУО в виде ППМ ([27], теорема 3).
Теорема 2. Для любого v € V при почти всех т € П выполняется неравенство п(т, v) ^ 0.
Сформулированный ППМ можно считать НУО первого порядка относительно традиционного игольчатого варьирования, которое можно ввести следующим образом. Пусть: S
— совокупность всех наборов а = {т, v}, в каждом из которых v — какой-то элемент V, т € П — некоторая правильная точка Лебега функции n(-,v); H — семейство всех пар h = {а, е} , в каждой из которых а = {т, v} € S, а е — такое положительное число, что множество П£(т) = т—е[0,1]2 принадлежит П. Каждому h = {а, е} € H отвечает допустимое управление Uh(t) = {v, t € П£(т); uo(t), t € П \ П£(т)} , а каждому набору параметров варьирования а € S — семейство функций {и^(-)}^={ст£}ен — простейшая одноточечная игольчатая варианта (ПОИВ) управления uo.
Назовем M = {{t, v} € П х V: n(t, v) = 0} особым множеством ППМ для управления uo. При почти каждом t € П значение uo (t) оптимального управления uo принадлежит сечению M(t) = {v € V : {t,v}€M} множества M. Управление uo называем особым управлением (ОУ) ППМ, если
mes {t € П: M(t) = {uo(t)}} > 0.
Говорим тогда, что ППМ вырождается на ОУ ППМ и называем ОУ ППМ также вырожденным управлением ППМ. Пусть П* = {t € П: M(t) = {uo(t)}} . Случай, когда mesïï* = = mesП и при почти всех t € П сечения M(t) совпадают с V, назовем случаем полного вырождения ППМ. Ниже сначала рассмотрим именно этот случай, а уже потом общий случай вырождения ППМ.
Случай полного вырождения принципа максимума. Положим AuJ = J[u] —
— J [uo], u € Q. Пусть uo — ОУ для ППМ, причем имеет место полное вырождение.
Предел ¿7-1J(а) = lim е-7Auh J, если он существует при некотором y ^ 2, назовем ва-£—>o
риацией порядка y — 1 функционала J на ПОИВ {uh(-)}h={CT £}çh ; соответственно НУО вида £7-1 J (а) ^ 0 (а € S) назовем НУО порядка y — 1 управления uo при простейшем одноточечном игольчатом варьировании. Назовем ОУ uo вырожденным ОУ для простейшего одноточечного игольчатого варьирования, если тождественно зануляется вариация 2-го порядка: ¿2J(а) = 0, а € S. Справедлива следующая теорема о вырождении ОУ.
Теорема 3. Если ППМ полностью вырождается на ОУ uo, то uo — вырожденное ОУ для простейшего одноточечного игольчатого варьирования.
При условиях теоремы 3 на любой ПОИВ управления uo существует третья вариация функционала J, что позволяет получить для вырожденного ОУ содержательные НУО третьего порядка. Чтобы сформулировать соответствующий результат (см. ниже теорему 4),
3n 3n
введем специальные обозначения: ^Ц(-)[x, y] = ^ ^ gl'ilj(-)жгyj, x,y € R3n;
i=1j=1
Г = j{i, j} : i € 1,n, j € 1, 3n; Avgl'lj (t) = 0 для любого v € V при почти всех t € П j ; если X = (Xij) — ( n х 3n )-матрица, то X = (Xj) — ( n х 3n )-матрица, в которой
Xj М0, {i, j} € Г; Xij, {i,j} € Г} ,
X0 — 3п2 -столбец, полученный развертыванием матрицы X по правилу «столбец за столбцом»
х0 = {х11, х21, . . . , Х"1, Х12, Х22, • • • ) Х"3га} )
а М[■] — обратный оператор свертывания 3п2 -столбца в (п х 3п )-матрицу. Формулы
1
Ьо[ж,у] = 2"1 {С" (хо(1,1))у J ж(£) й*,у J у(£) йу , х, у € , Ь^у] = 2-1 JJп (т, g|í(í,жо(í),uо(í))[A[ж](í),A[y](í)]>ra й*, х, у € Ь",
Ь2[х,у] = Л (М~[у(Т)]А[ж]^ й*, х € Ь", у €
задают ограниченные билинейные функционалы над Ь" х Ь", Ь" х Ь", Ь" х ЬЗ"2 соответственно. Любой ограниченный билинейный над Ь"1 х Ь"2 функционал Ь[-, ■] единственным образом представим в виде (см., например, [44, гл. 3, п.п. 6.2, 6.4, 6.5])
Ь[х,У] = // */! ж*(^в(М)у(в) йв, х € Ь"1, у € Ь"2, (5)
где в € Ц^х"2 (П х П). Пусть в0 и в1 — (п х п )-матрицы, отвечающие по формуле (5) функционалам Ьо и Ь1, в2 — (п х 3п2 )-матрица, отвечающая функционалу Ь2. Непосредственно по определению матриц в^ находим: в0(¿,8) = 2-1С"(ж0(1,1));
в1 (¿,8) = 2-ч Г Г ^00(е)йе+к(81 -Г Н01(^1,е2)йе2+
I тах{41 ,«1} тах{42,«2} ./тах{42,«2}
+к(в2 - 1 ^02(е1,82) йе1+- в1) 11 ^ю(^1,е2) йе2+
./тах{41,«1} ./тах{42 ,«2}
+к(£2 - в2) /1 ^(е1,¿2) йе1 [ (¿,в € п),
./тах!
'тах{41,«1}
где К(-) — функция Хевисайда,
, г, 7 = 0,1, 2, £ € П;
1={еЫ№}
где
в2(¿, в) = (в(¿,в)), 1 < г < п, 1 < 7 < 3п2 (¿,в € П),
^7-(г-1)"(в)к(в1 - ¿1)к(в2 - ¿2), если (г - 1)п + 1 < 7 < гп
в'/(¿,в) = п ^ ...
2 [0, если 7 ^ (г - 1)п или 7 > гп
Формулы К[я](£) = д'(¿)А[г](£), £[£](£) = ¿(¿)-К[я](£), г € Ь", í € П, задают операторы К, 5 € £ (Ь", Ь"). Левая часть (4) равна 5*[^](£) = ^(¿)-К*[^](£), £ € П, причем оператор К * € £(Ь", ) квазинильпотентен5. Так как замкнутое в , инвариантное (в силу условия й)) относительно К * подпространство С"(П) содержит функцию-постоянную Х0,
5Используемая нами здесь и ниже квазинильпотентность операторов легко проверяется, например, с помощью общего признака квазинильпотентности функциональных операторов [45].
то и Ь^ -решение ф уравнения (4) принадлежит Сп(П). Из приведенных выше формул следует, что ©1(£, з) непрерывна на П х П, а ©2(£,«) непрерывна везде на П х П за исключением, может быть, точек границы тела
А = € П х П: 8 ^ ¿} ,
в которых возможен конечный скачок6. Таким образом, ©о, 01 € Ьпхп(П х П), ©2 € € Ь™х3п2 (П х П).
Пусть: /д — тождественный оператор в Ьд ; Ц^ С Ьд — проективное тензорное произведение ¿П и Ьд , натянутое на элементы ж(£) С у(8) = х^у*^) (х € ЬП , у € Ьд ) и совпадающее с (П х П) (см. [44, гл. 3, п.п. 6.4, 6.5]). Рассматриваемое над Ьпхп(П х П) уравнение
(5 С = ©г(*,«) (6)
имеет единственное решение Пг(^, з) (% = 0,1). Уравнение
(5 С /з„2)*[п(М)] = ©2(М) (7)
имеет единственное в
Ьпх3п2 (П х П) решение п2(^, з). В более подробной записи уравнения (6) и (7) имеют вид соответственно
+
П(*, 8) - (/* С А*) [п(£, 8) ■ {д (*)}] - (А* СС /*) [{д (¿)}* ■ п (¿, 8) + (А* С А*) [{д' (¿)}* ■ п (¿, 8) ■ {д (*)}] = 0г (¿, 8) (¿, 8 € П)
(% = 0,1) и
п(М) - (А* С /3„2 ) [{д (*)} * ■ п (М)] =©2 (¿,8) (¿,8 € П).
Здесь каждый первый сомножитель в тензорном произведении операторов «действует по переменной Ь »», а каждый второй — по переменной /* — тождественный оператор в ЬП.
Вид уравнений (6), (7) позволяет утверждать, что функции По(^, и П1 непрерывны на П х П, а функция ^(¿,8) кусочно-непрерывна на П х П, причем она может иметь лишь разрывы типа конечного скачка в точках границы тела А, вне которого она равна нулю. Действительно, уравнение (6) представимо в виде
п(м) - А*[п](М) = ©¿(м), г € П, 8 € П,
где оператор А* = (К С /п + /га С К - К С К)* € £(Ь™хга(П х П), Ь™хп(П х П)) квазиниль-потентен. Замкнутое подпространство Спхп(П х П) пространства ЬПхп(П х П) инвариантно относительно А* (в силу условия ) и содержит функции ©^ (% = 0, 1) , поэтому Ь£хп(П х П) -решение уравнения (6) и при % = 0 и при % = 1 принадлежит Спхп(П х П). Уравнение (7) представимо в виде
п(£, 8) - В*[п](^, 8) = ©2(¿, я), * € П, 8 € П,
где оператор В* = (К С/3п2)* € £(Ь^3"2(П х П),Ь^х3п2(П х П)) квазинильпотентен. Множество 0 функций, кусочно-непрерывных на П х П с единственно возможными разрывами типа конечного скачка в точках границы тела А и равных нулю вне этого тела, замкнуто в Ьпх3п (П х П), инвариантно относительно В* (в силу условия ) и содержит функцию
6Говорим, что функция в(Ь,з) имеет в некоторой точке границы тела Д С П х П конечный скачок,
о
если в этой точке существуют различные конечные пределы функции в по внутренности Д множества
Д и по множеству (П х П) \ Д.
©2(t, s). Поэтому L^f3"2 (ПхП) -решение n2(t, s) уравнения (7) также принадлежит G. Далее будем считать, что П2 — тот представитель соответствующего класса эквивалентности, для которого
П2(т, т)= lim 2-2n2(t, s)
о
{i,s}—{r,T}, {i,s}eA
при почти всех т € П. Переходя к пределу в уравнении (7), находим, что для почти каждого т € П
(т,т ) = { если (i— 1)n + 1 < j < in,. 1 ^ i ^ n, 1 < j < 3n2.
2 [0, если j ^ (i — 1)n или j > in,
Положим
Y(t, s; w, v) = (Awg(t), {n°(t, s) + ni(t, s)}Avg(s) + ns(t, s){Avg'(s)}°>n , t, s € П, w, v € V.
Теорема 4. Если ППМ полностью вырождается на ОУ u°, то для каждого v € V при почти всех т € П на ПОИВ управления u° с параметром а = {т, v}
существует вариация ¿3J(а), равная величине Т(т, т; v,v). Так как u° — решение задачи (3), то для каждого v € V при почти всех т € П имеем Т(т, т; v,v) ^ 0.
Общий случай. Выше рассматривался случай полного вырождения ППМ на ОУ u°, когда mes^ = тевП и M(t) = V при почти всех t € П. В общем случае вырождение ППМ на ОУ u° означает, что mes^ > 0, но П* уже может не совпадать с П и не обязательно M(t) = V для t € П*. Чтобы распространить на общий случай вырождения полученные выше в случае полного вырождения ППМ результаты, воспользуемся более общим способом одноточечного игольчатого варьирования, чем ПОИВ.
Пусть u° — ОУ ППМ. Заметим, что n(t,v) : П х V ^ R — функция Каратеодори и поэтому (см. [46, п. 8.1.5]) отображение M(-) : П ^ 2V измеримо и имеет счетное аппроксимирующее его семейство измеримых функций K = {v^(t),t € П}£=1, т. е. существует П° С П такое, что
M(t) = | (J{vfc(t)}j, t € П°, mesП° = mes^
Обозначим через П ту часть множества П°, каждая точка которой есть точка Лебега суперпозиции n(-,v((■)) для любой функции семейства K. Очевидно, mes^ = mesП.
Пусть: S —совокупность всех наборов Z = {т, }, в каждом из которых т —некоторая точка множества П, а — какой-то элемент K; H — семейство всех пар h = {Z,e} , в каждой из которых Z = {т, } € S, а е — такое положительное число, что П£(т) С П. Каждому h = {Z, е} € H отвечает допустимое управление
Uh(t) = {vfc(t), t € П£(т); u°(t), t € П \ П£(т)} ,
а каждому набору параметров варьирования Z = {т, v^} € S — семейство {uh(')}h={z £}еи , одноточечная игольчатая варианта управления u°. Такой специальный способ варьирования назовем одноточечным игольчатым варьированием, связанным с множеством M.
Предел ¿7-1J(Z) = lim е-7Au. J, если он существует при некотором y ^ 2, назовем вари-£—>°
ацией порядка y — 1 функционала J на варианте {uh(')}h={z £}еи ; соответственно НУО вида ¿7-1J(Z) ^ 0 (Z € S) назовем НУО порядка y — 1 управления u° при одноточечном игольчатом варьировании, связанном с множеством M. Для указанного способа варьирования первая вариация J(Z) = J(т, vk) = lim (e-2Au, J) при любом Z = {т, vk} € S
£°h
существует и равна п(т,Уд(т)). Так как К аппроксимирует отображение М(-), то для ОУ и0 имеем: ¿3(£) = 0, £ € X. Назовем ОУ и0 вырожденным ОУ для одноточечного игольчатого варьирования, связанного с множеством М, если тождественно зануляется вариация 2-го порядка: ¿23(() = 0, £ € X.
При условиях а), Ь), с), получаем: АМь3 = 0(е4), е ^ 0 (£ € X ). То есть справе-ливо следующее обобщение теоремы 3.
Теорема5. Если управление и0 — ОУ для ППМ, то и0 — вырожденное ОУ для одноточечного игольчатого варьирования, связанного с особым множеством ППМ для этого управления, и содержательными для и0 могут быть лишь НУО порядка, большего 2.
При условиях а), Ь), с), для каждого Уд € К при почти всех т € П существует вариация ¿33(т, уд) = 1™ (е-4А^ь3 и она равна Т(т, т; уд(т),уд(т)). Так как К аппроксимирует отображение М(-), то отсюда вытекает следующее НУО порядка 3 , обобщающее НУО теоремы 4.
Теорема 6. Пусть и0 — ОУ для ППМ. Для оптимальности управления и0 необходимо выполнение условия: Т(т, т; w, —) ^ 0 для любого — € М(т) при почти всех т € П.
ЛИТЕРАТУРА
1. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Наука, 1973.
2. Васильев О.В. Качественные и конструктивные методы оптимизации управляемых процессов с распределенными параметрами: автореф. дисс. ... д-ра физ.-мат. наук. Л.: ЛГУ, 1984.
3. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988.
4. Зеликин М.И., Борисов В.Ф. Особые оптимальные режимы в задачах математической экономики // Современная математика и ее приложения. Тбилиси: Институт кибернетики АН Грузии, 2003. Т. 11. С. 3-161.
5. Васильев О.В. Об оптимальности особого управления в системах с распределенными параметрами // Тезисы докл. II Всесоюзной конф. по проблемам теоретической кибернетики. Новосибирск, 1971. С. 26-27.
6. Васильев О.В. Об оптимальности особых управлений в системах с распределенными параметрами // Управляемые системы. Новосибирск, 1972. № 10. С. 27-34.
7. Ащепков Л.Т., Васильев О.В. Об оптимальности особых управлений в системах Гурса-Дарбу // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1975. Т. 15. № 5. С. 1157-1167.
8. Срочко В.А. Условия оптимальности для одного класса систем с распределенными параметрами // Сиб. математ. журн. 1976. Т. 17. № 5. С. 1108-1115.
9. Меликов Т.К. Исследование особых процессов в некоторых оптимальных системах: автореф. дисс. ... к-та физ.-матем. наук. Баку: Бакинский гос. ун-т, 1976.
10. Ащепков Л. Т., Васильев О.В., Коваленок И.Л. Усиленное условие оптимальности особых управлений в системе Гурса-Дарбу // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 6. С. 1054-1059.
11. Бурдуковский А.Н. Условия оптимальности особых управлений в задаче Гурса-Дарбу // Управляемые системы. Новосибирск, 1986. № 26. С. 16-24.
12. Мансимов К.Б. К теории необходимых условий оптимальности в одной задаче управления системами с распределенными параметрами // ДАН СССР. 1988. Т. 301. № 3. С. 546-550.
13. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения. Ч. 2. Оптимальное управление. Новосибирск: Наука, 1990.
14. Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности особых процессов в задачах оптимального управления: автореф. дисс. ... д-ра физ.-мат. наук. Баку: Бакинский гос. ун-т, 1994.
15. Мансимов К.Б., Марданов М.Дж. Качественная теория оптимального управления системами Гурса-Дарбу. Баку: Элм, 2010.
16. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности второго порядка для систем с распределенными параметрами. Минск, 1982. (Препринт АН БССР. Ин-т математики, № 31).
17. Мансимов К.Б. Особые управления в задачах управления системами с распределенными параметрами // Современная математика и ее приложения. Тбилиси: Институт кибернетики АН Грузии, 2006. Т. 42. С. 39-83.
18. Сумин В.И. Оптимизация управляемых обобщенных вольтерровых систем: автореф. дисс. ... к-та физ.-мат. наук. Горький: ГГУ, 1975.
19. Сумин В.И. Дифференцирование функционалов оптимального управления // Материалы итоговой научной конф. радиофиз. ф-та ГГУ за 1982 г. Горький 1-2 февраля 1983. Часть 2. ВИНИТИ, № 6035-83 ДЕП.
1983.
20. Сумин В.И. Сильное вырождение особых управлений в распределенных задачах оптимизации // ДАН СССР. 1991. Т. 320. № 2. С. 295-299.
21. Сумин В.И. Сильное вырождение особых управлений в задачах оптимизации распределенных систем // Оптимизация: сб. научн. тр. Новосибирск, 1993. № 52 (69). C. 74-94.
22. Сумин В.И. Об особых управлениях поточечного принципа максимума в распределенных задачах оптимизации // Вестник Удмуртского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. № 3. С. 70-80.
23. Толстоногов А.А. Теорема существования оптимального управления в задаче Гурса-Дарбу без предположения выпуклости // Известия РАН. Серия: Математика. 2000. Т. 64. № 4. С. 163-182.
24. Idczak D., Majewski M., Walczak S. Stability analysis of solutions to an optimal control problem associated with a Goursat-Darboux problem // Int. J. Appl. Math. Comput. Sci. 2003. V. 13. № 1. P. 29-44.
25. Idczak D. The bang-bang principle for the Goursat-Darboux problem // Int. J. Contr. 2003. V. 76. № 11. P. 1089-1904.
26. Погодаев Н.И. О решениях системы Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 8. С. 1116-1126.
27. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Об условиях устойчивости существования глобальных решений управляемой задачи Гурса-Дарбу // Вестник Нижегородского университета. Серия: Математическое моделирование и оптимальное управление. 2006. Вып. 2 (31). С. 64-81.
28. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Нелинейная управляемая задача Гурса-Дарбу: условия сохранения глобальной разрешимости // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 6. С. 858-870.
29. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Принцип максимума для терминальной задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу в классе функций с суммируемой смешанной производной // Вестник Удмурдского университета. Серия: Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 2. С. 52-67.
30. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Об управляемой задаче Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2007. Т. 12. Вып. 4. С. 477-479.
31. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Нелинейная управляемая задача Гурса-Дарбу: условия сохранения разрешимости в "целом-// Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2009. Т. 14. Вып. 4. С. 736-738.
32. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Об управляемой задаче Гурса-Дарбу в классах функций с сумируемой смешанной производной // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2011. Т. 16. Вып. 4. С. 1116-1118.
33. Сумин В.И. Об особых управлениях в распределенных задачах оптимизации // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. Вып. 5. С. 2696-2697.
34. Сумин В.И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // Докл. АН СССР. 1989. Т. 305. № 5. С. 1056-1059.
35. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1992.
36. Сумин В.И. Управляемые функциональные вольтерровы уравнения в лебеговых пространствах // Вестник Нижегородского университета. Серия: Математическое моделирование и оптимальное управление. 1998. Вып. 2 (19). С. 138-151.
37. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемых системами Гурса-Дарбу // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т. 12. № 1. С. 61-77.
38. Ахмедов К.Т., Ахиев С.С. Необходимые условия оптимальности для некоторых задач теории оптимального управления // Докл. АН АзССР. 1972. Т. 28. № 5. С. 12-16.
39. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация распределенных систем в лебеговом пространстве // Сиб. матем. журн. 1981. Т. 22. № 6. С. 142-161.
40. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Об особых управлениях принципа максимума для терминальной задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу // Известия Института математики и информатики УдГУ. 2012. Вып. 1(39). С. 80-81.
41. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Об особых управлениях поточечного принципа максимума в задаче оптимизации системы Гурса-Дарбу // Вестник Тамбовского Университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. Вып. 5. С. 2576-2577.
42. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Об особых управлениях поточечного принципа максимума для терминальной задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу // ННГУ. Н. Новгород, 2012. 26 с. Деп. в 13.03.2012. ВИНИТИ, № 89 - В.2012.
43. Лисаченко И.В. Условия сохранения глобальной разрешимости и оптимизация нелинейных управляемых систем Гурса-Дарбу: автореф. дисс. ... к-та физ.-мат. наук. Н. Новгород: ННГУ, 2012.
44. Шефер Х. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.
45. Сумин В.И., Чернов А.В. Операторы в пространствах измеримых функций: вольтерровость и квазинильпотентность // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 10. С. 1402-1411.
46. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.
БЛАГОДАРНОСТИ: Финансовая поддержка Минобрнауки РФ в рамках проектной части государственного задания в сфере научной деятельности в 2014-2016 гг. (проект №1727) и грантом (соглашение от 27.08.13 №02.В.49.21.0003 между Минобрнауки РФ и ННГУ).
Поступила в редакцию 7 июня 2015 г.
Lisachenko I.V., Sumin V.I. ABOUT SINGULAR CONTROLS OF MAXIMUM PRINCIPLE FOR TERMINAL OPTIMIZATION PROBLEM CONNECTED WITH GOURSAT-DARBOUX SYSTEM
In this paper we consider the terminal optimization problem connected with Goursat-Darboux control system. The right-hand side of the differential equation is a full nonlinear Caratheodory function. We consider the case in which solutions of the Goursat-Darboux system necessarily belongs to the class of functions with p-integrable (for some p>1) mixed derivatives. In our case a choice of this class is defined by boundary functions. Derivatives of the boundary functions belong to the corresponding space of Lebesgue. We study singular controls in the sense of the pointwise maximum principle, i.e., controls for which this principle is degenerate. We consider strong degeneration of the pointwise maximum principle (this principle is the necessary first-order optimality conditions by using of needle-shaped variation of a control) when the maximum principle degenerate together with second-order optimality conditions. We show that for strong degeneration of the pointwise maximum principle it is sufficient that right-hand side with respect to state derivatives is affine and this derivatives and control are separeted additivelly. We provide necessary optimality condition of the singular controls in this case. This condition is generalization of the similar necessary optimality conditions which were obtained for more smooth right-hand side in the case of solutions with bounded mixed derivatives.
Key words: nonlinear Goursat-Darboux system; solutions having summable mixed derivatives; terminal optimization problem; maximum principle; singular controls.
Лисаченко Ирина Владимировна, Нижегородский государственный технический университет им. Р. Е. Алексеева, г. Нижний Новгород, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики, e-mail: [email protected]
Lisachenko Irina Vladimirovna, Nizhny Novgorod State Technical University named after R.E. Alek-seev, Nizhny Novgorod, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Applied Mathematics Department, e-mail: [email protected]
Сумин Владимир Иосифович, Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, Нижний Новгород, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математической физики, e-mail: [email protected]
Sumin Vladimir Iosifovich, Nizhny Novgorod State University named after N.I. Lobachevsky, Nizhny Novgorod, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, the Head of the Mathematical Physics Department, e-mail: [email protected]
