CC BY
26
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
Larionov A.S., Panasov V.V. Research of dynamic of automatic regulation systems by the example of a heat electric radiator. The dynamical properties of systems of automatic regulation by the certain example are investigated by the methods of the functional differential equations.
Key words: functional differential equation; Cauchy’s matrix; system of automatic regulation; heat electric radiator; stability.
Ларионов Александр Степанович, Братский государственный университет, г. Братск, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики; e-mail: larios84@yandex.ru.
Панасов Вячеслав Владимирович, Братский государственный университет, г. Братск, Российская Федерация, кандидат технических наук, доцент кафедры систем электроснабжения; e-mail: rasp@brstu.ru.
УДК 517.95
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ ГУРСА-ДАРВУ В КЛАССАХ ФУНКЦИЙ С СУММИРУЕМОЙ СМЕШАННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
© И.В. Лисаченко, В.И. Сумин
Ключевые слова: нелинейная система Гурса-Дарбу; решения с суммируемой смешанной производной; терминальная задача оптимизации; принцип максимума; особые управления.
Рассматривается нелинейная управляемая система Гурса-Дарбу с полной каратеодо-риевской правой частью уравнения при общих условиях, позволяющих искать решения системы в классе функций с суммируемой в некоторой степени смешанной производной. На примере терминальных задач оптимизации обсуждаются вопросы получения необходимых условий типа принципа максимума, условий вырождения принципа максимума, условий оптимальности особых управлений.
Для задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу в свое время была получена одна из первых в классе распределенных оптимизационных задач достаточно общих формулировок принципа максимума (об истории вопроса [1, с. 333-345, 449-450; 2, с. 442-450]). Впоследствии вопросы вывода и анализа принципа максимума для задач оптимального управления системой Гурса-Дарбу, являющейся своего рода пробным камнем теории оптимизации распределенных систем, рассматривали многие авторы [3, 4].
В последнее время наблюдается устойчивый интерес [5-7] к задачам оптимизации систем типа Гурса-Дарбу, рассматриваемых в классах абсолютно непрерывных функций с суммируемой в некоторой степени смешанной производной. В этом случае, по сравнению с преимущественно изучавшимся до недавнего времени случаем ограниченной смешанной производной [8-12], принцип максимума исследован еще мало. Доклад посвящен результа-
Т&М, ПОЛуЧбННЫМ ШВТОре1МИ В ДеШНОМ НЭЛреШЛбНИИ.
В [13] доказан поточечный принцип максимума для терминальной задачи оптимизации нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу с полной каратеодориевской правой частью
уравнения при достаточно общих условиях, позволяющих искать решения системы в классе функций с суммируемой в степени p > 1 смешанной производной (видимо, при столь общих условиях принцип максимума для задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу, рассматриваемой в классе функций с суммируемой в некоторой степени смешанной производной, ранее доказан не был). При вычислении вариаций функционалов существенно использовалась эквивалентная запись управляемой системы Гурса-Дарбу в виде вольтеррова функционального уравнения второго рода в лебеговом пространстве [14]. Нетривиальное отличие этой процедуры от подобной, относящейся к случаю решений с ограниченной смешанной производной [11], связано с тем, что здесь семейство линейных операторов правых частей линеаризованных функциональных уравнений, получающихся при разных параметрах варьирования, не обладает, вообще говоря, общей квазинильпотентной мажорантой. Поэтому при вычислении вариаций использовалось введенное в [14, 15] понятие равностепенно квазинильпотентного семейства операторов. Наряду с указанным принципом максимума в докладе обсуждаются полученные по общей схеме [16], использующей тензорные произведения лебеговых пространств, условия вырождения и необходимые условия оптимальности соответствующих особых управлений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975.
2. Егоров А.И. Основы теории управления. М.: Физматлит, 2004.
3. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения. Ч. 2. Оптимальное управление. Новосибирск: Наука, 1990.
4. Tuan H.D. On solution sets of nonconvex Darboux problems and applications to optimal control with endpoint constraints // J. Austral. Math. Soc. Ser.: B. 1996. V. 37. P. 354-391.
5. Толстоногое А.А. Теорема существования оптимального управления в задаче Гурса-Дарбу без предположения выпуклости // Известия РАН. Серия: Матем. 2000. Т. 64. № 4. С. 163-182.
6. Idczak D. The bang-bang principle for the Goursat-Darboux problem // Int. J. Contr. 2003. V. 76. № 11. P. 1089-1904.
7. Погодаев П.П. О решениях системы Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями j j Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 8. С. 1116-1126.
8. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемых системами Гурса-Дарбу j j Вычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т. 12. № 1. С. 61-77.
9. Suryanarayana М.В. Necessary conditions for optimization problems with hyperbolic partial differential equations // SIAM J. Control. 1973. V. 11. № 1. P. 130-147.
10. Матвеев А.С., Якубович В.А. Оптимальное управление некоторыми системами с распределенными параметрами j j Сиб. матем. журн. 1978. Т. 19. № 5. С. 1109-1140.
11. Плотников В.П., Сумин В.И. Оптимизация распределенных систем в лебеговом пространстве j j Сиб. матем. журн. 1981. Т. 22. № 6. С. 142-161.
12. Гаврилов B.C., Сумин М.И. Параметрическая оптимизация нелинейных систем Гурса-Дарбу с фазовыми ограничениями //Вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. № 6. С. 1002-1022.
13. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Принцип максимума для терминальной задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу в классе функций с суммируемой смешанной производной // Вестник Удмуртского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Компьютерные науки. Ижевск, 2011. Вып. 2.
14. Сумин В.И. Управляемые функциональные вольтерровы уравнения в лебеговых пространствах // Вестник Нижегородского университета. Серия: Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород, 1998. Вып. 2(19). С. 138-151.
15. Сумин В.И. Равностепенная квазинильпотентность: определения, признаки, примеры применения // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Т. 15. № 1. С. 453-466.
16. Сумин В.И. Сильное вырождение особых управлений в распределенных задачах оптимизации // ДАН СССР. 1991. Т. 320. № 2. С. 295-299
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (2009-2013 годы)
(проект НК-13П-13) и АЦВП «Развитие потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» Минобрнауки РФ (регистрационный номер проекта 2.1.1/3927).
Lisachenko I.V., Sumin V.I. Optimality conditions for Goursat-Darboux systems in the classes of functions with summable mixed derivatives. The general nonlinear Gourat-Darboux system is considered. The right part of differential equation is Caratheodory function. The mixed derivatives of system solutions are Lp -functions, p > 1. We discuss the conclusion of the maximum principle for terminal problem of optimization, conditions of degeneration of maximum principle, optimality conditions of singular controls.
Key words: nonlinear Goursat-Darboux system; solutions having summable mixed derivatives; terminal optimization problem; maximum principle; singular controls.
Дисаченко Ирина Владимировна, Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева, г. Нижний Новгород, Российская Федерация, старший преподаватель кафедры прикладной математики, e-mail: i_lisach@mail.ru.
Сумин Владимир Иосифович, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, г. Нижний Новгород, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математической физики, e-mail: v sumin@mail.ru.
УДК 517.977
УСЛОВИЯ УПРАВЛЯЕМОСТИ В ЗАДАЧЕ СО СМЕНОЙ ФАЗОВОГО
ПРОСТРАНСТВА
© И. С. Максимова, В. Н. Розова
Ключевые слова: управляемость; множество достижимости; многозначное отоб
ражение.
В настоящей работе получены достаточные условия управляемости нелинейных дифференциальных систем в задаче со сменой фазового пространства.
Имеются два фазовых пространства X = Кп, У = Кт перемениых х = (х\, ...,хп), у = (ух,..., ут). Обозначим &(Кп), &(Кт) — совокупности всех непустых выпуклых компактных подмножеств пространств Кп и Кт, соответственно. Пусть заданы множества и € &(Кп), V € &(Кт). Движение объекта описывается следующими нелинейными системами дифференциальных уравнений:
х(1) = /(г,х(г),и(г)), и(г) € и, х(г) € X, г € [0,г|; (1)
у(г) = д(^,у(£),у(£)), у(г) € V, у (г) € у, г € [т,т ]. (2)
Допустимыми управлениями являются всевозможные функции и(-) € Ьж([0,т], Кп),
у(') € Ьж([т,Т],Кп), для которых и(г) € и при п.в. г € [0,т] и у(г) € V при п.в. г € [т,Т]. Функции /(г,х,и), д(г,у,у) таковы, что решение задачи Коши для систем (1) и (2) существует и единственно.
