Нелинейная управляемая задача Гурса-Дарбу: условия сохранения разрешимости «в целом» Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

НЕЛИНЕЙНАЯ УПРАВЛЯЕМАЯ ЗАДАЧА ГУРСА-ДАРЕУ: УСЛОВИЯ СОХРАНЕНИЯ РАЗРЕШИМОСТИ «В ЦЕЛОМ» 1

© И. В. Лисаченко, В. И. Сумин

Ключевые слова: нелинейная управляемая задача Гурса-Дарбу; условия сохранения глобальной разрешимости.

Аннотация: Рассматривается управляемая нелинейная задача Гурса-Дарбу общего вида в случае, когда ее решение естественно искать в классе функций с суммируемой в степени p > 1 смешанной производной; обсуждаются достаточные условия сохранения глобальной разрешимости задачи при возмущении управления.

Рассмотрим управляемую задачу Гурса-Дарбу

xt1t2(t) = g(t,x(t),x'tl(t),x't2(t),u(t)),t = {ti,t2} e n = [0, l]2, (1)

x(ti, 0) = ^i(ti), ti e [0,1]; x(0, t2) = <P2(t2), t2 e [0,1], (2)

где g(t, l0, ll,l2, v) = g(t, l, v): П x R3™ x Rm ^ R™ (l = {l0, ll, l2}) и Pi(U): [0,1] ^ R™, i = 1, 2 заданы, u(t): П ^ Rm — управление (R™ — пространство n-векторов-столбцов; если a,b,c e R™, то {a,b,c} — вектор-столбец из R3™). Задача (1), начиная с 1960-х годов, занимает особое место в математической теории оптимального управления распределенными системами, являясь ее своего рода «пробным камнем» (см., например, [1, с. 333-345, с. 449-450], [2, с. 591-595], [3, с. 442-450]). Именно для этой задачи были в свое время найдены первые достаточно общие условия устойчивости (по возмущению управления) существования глобальных решений (УСГР) нелинейных распределенных систем [4]; история вопроса кратко изложена в [5]. Проблема УСГР неизбежно возникает в различных разделах теории оптимального управления (см., например, [5], [6, с. 12-14]).

В [4] рассматривались абсолютно непрерывные решения задачи Гурса-Дарбу с ограниченными смешанной и первыми частными производными (более общие условия УСГР в этом случае были затем получены в [7], [6, с. 68-70]). В последние годы наблюдается устойчивый интерес (см., например, [8, 9]) к задачам оптимизации систем типа Гурса-Дарбу, рассматриваемых в классах функций с суммируемыми в некоторой степени p смешанной и первыми производными (такие классы будем обозначать ACp); первые теоремы УСГР здесь получены в [10, 11] (о результатах [4, 6, 7] и [10, 11] см. также [12]). Отметим, что этот случай, в отличие от преимущественно изучавшегося до недавнего времени случая решений с ограниченными производными, многовариантен — он допускает различные естественные варианты условий на задачу (1), (2), отличающиеся друг от друга используемой в них априорной информацией о предполагаемом решении (каждому из этих вариантов отвечают, вообще говоря, свои условия УСГР; получение этих условий в случае решений с суммируемыми в некоторой степени смешанной и первыми производными оказывается технически более сложным (и это связано с существом дела), чем в случае ограниченных производных). Так, в [10, 11] рассматривались варианты условий, грубые в том смысле, что в них учитывается лишь вытекающая непосредственно из определения класса ACp принадлежность смешанной и первых производных решения этого класса пространству Lp. Однако первые

1 Финансовая поддержка РФФИ (грант 07-01-00495) и аналитической целевой ведомственной программы ’’Раз-

витие научного потенциала высшей школы (2009-2010)” Минобрнауки РФ (регистр, номер 2.1.1/3927).

частные производные такого решения принадлежат существенно более узким, чем Ьр «лебеговым пространствам со смешанной нормой» (см. ниже). Вариант условий УСГР управляемой задачи Гурса-Дарбу с учетом этой, в определенном смысле полной, априорной информации о решении класса АСР, приведен в [13]. В докладе дается обзор полученных авторами доклада подобного рода результатов. Приведем пример.

Считаем: д дифференцируема по I при каждом V для почти всех I, а вместе с производной д[ измерима по I при любых {I, у} и непрерывна по {I, каждого t; ^ абсолютно

непрерывна, € Ь”[0,1] при заданном р € (1, ж), % = 1,2, ^ч(0) = ^2(0) = 0; допустимы управления из некоторого Б С Ь^1 = Ьт(П), в € [1, ж]. Пусть: f (Ь,1,у) = д(Ь,10 + ^1(^1) +

+ ^2(^2), 11 + ^1(^1), Ь + ^2(^2), у); —пространство Ьд[0,1] функций переменной tj,] € {1, 2},

Ц € [1, ж]; Ьд^) г (г) — пространство функций z(t), t € П ТО СМвШаННОЙ нормой |^||д^-) г (г) =

|| (t1,t2)|Lq(J.) 11^ (%,j € {1, 2}, % = У; д,г € [1, ж1)^жи мШ = Ь™ X (2) ,р(1) X (1) ,p(2),

N = Ь'Пхп X те(1) X ^ (Xпхп — пространство (п X п) - матриц-функций, составленных

из функций пространства X).

Пусть д такова, что формулы Г [у, п]^) = f (t, у^),п^)), Ф[у, п]^) = ^^, у(^,п(^) определяют оператор Г[•, •]: Ш X Б ^ ЬП и ограниченный оператор Ф[-, •]: Ш X Б ^ N. Тогда естественно рассматривать решения (1),(2) из класса АСП. Каждому п € Б может отвечать не более одного такого решения. Введем обозначения: О = {п(-) € Б : п(-) отвечает глобальное решение из АСрП}; *1*2 *2

= У/ z(tl,Ь)dZld&, АМ(^ = / z(tl,0dt, А2[z](t) =

00 0

= /z({,t2)dC, A[z] (^ = {Ao[z] (t), А1И(t), А2[z] (t)}, t € П, z € ЬП; 3[х] (t) = {х(^ ,х*1(t) ,х*2 (^},

0

t € П, х € АСрП. Для п € Б, по € О положим г(п, по) = ||А[Дид]||эд, где Дид(0 =

= д(^,хо(^),хо*1 (•),х0*2(0,п(^)) — д(^,хо(^),хо*1 (•),х0*2(•),п0(^)), х0 € АСрП — глобальное решение, отвечающее ад.

Теорема. Пусть фиксированы п0 € О, d0 > 0. Тогда,: найдется 8 > 0 такое, что если п € Б, ||п — п0Цьт < d0, г(п,п0) < 8, то п € О; для любого М0 > 0 существует С > 0 такое, что если х € АС'П — отвечающее п € О глобальное решение, причем Нп — п0Цьт < d0, || 3 [х — х0]||м ^ < М0, то ||3 [х — х0]|м ^ Сг(п, щ), ||(х — х0)'*'1*2 Цьп < СЦДидЦьп.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975.

2. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал, 2002.

3. Егоров А.И. Основы теории управления. М.: Физматлит, 2004.

4. Плотников В.И., Сумин В.И. Проблемы устойчивости нелинейных систем Гурса-Дарбу // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. №5. С. 845-856.

5. Сумин В.И. Проблема устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач и вольтерровы функциональные уравнения // Вестник ННГУ. Математика. Н. Новгород, 2003. Вып. 1. С. 91-108.

6. Сумин В. И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1992.

7. Сумин В.И. Функционально-операторные уравнения Вольтерра и устойчивость существования глобальных решений краевых задач // Украинский матем. журн. 1991. Т. 43. №4. С. 555-561.

8. Толстоногое А.А. Теорема существования оптимального управления в задаче Гурса-Дарбу без предположения выпуклости // Изв. РАН. Сер. матем. 2000. Т. 64. №4. С. 163-182.

9. Погодаев Н.И. О свойствах решений задачи Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями // Сибирский матем. журн. 2007. Т. 48. №5. С. 1116-1133.

10. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Управляемая задача Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной. I; II // Вестн. ННГУ. Математика. Н. Новгород, 2005. Вып. 1 (3). С. 88-101; 2006. Вып. 1 (4). С. 65-80.

11. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Об условиях устойчивости существования глобальных решений управляемой задачи Гурса-Дарбу // Вестн. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород,

2006. Вып. 2 (31). С. 64-81.

12. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Об управляемой задаче Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2007. Т. 12. Вып.4. С. 477-479.

13. Лисаченко И.В. Нелинейная задача Гурса-Дарбу с возмущаемыми правой частью и граничными функциями // Вестн. ННГУ. Н. Новгород, 2008. Л»:,. С. 107-112.

Abstract: the nonlinear controllable Goursat-Darboux problem is considered. The case when a mixed derivative of the solution is Lp-function (p > 1)is considered; the sufficient conditions of existence-stability of global solutions with respect to perturbations of controls is discussed.

Keywords: nonlinear controllable Goursat-Darboux problem; conditions of existence-stability of global solutions.

Лисаченко Ирина Владимировна Нижегородский государственный технический университет Россия, Нижний Новгород e-mail: i_lisach@mail.ru

Сумин Владимир Иосифович д. ф.-м. н., профессор

Нижегородский государственный университет Россия, Нижний Новгород e-mail: v sumin@mail.ru

Irina Lisachenko Nizhniy Novgorod State Technical University Russia, Nizhniy Novgorod e-mail: i_lisach@mail.ru

Vladimir Sumin

doctor of phys.-math. sciences, professor Nizhniy Novgorod State University Russia, Nizhniy Novgorod e-mail: chavnn@mail.ru

УДК 517.911.5

О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ИНТЕГРАЛЬНЫХ НАПРАВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИЙ К ЗАДАЧЕ О БИФУРКАЦИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

© Н.В. Лой

Ключевые слова: глобальная бифуркация; направляющая функция; дифференциальное включение первого порядка; периодическое решение.

Аннотация: В данной работе, применяя метод интегральных направляющих функций, мы изучаем глобальную структуру множества периодических решений однопараметрического семейства дифференциальных включений первого порядка.

Обозначим через ^21 пространство всех функций х: [0, Т] ^ Мп, первые производные которых существуют почти всюду на [0,Т] и являются элементами пространства Ь2([0,Т]; Мп) с нормой

НхНш = ||х||2 + Цх'Ц2,

где

|x||2 =

rT

II/(s)\\wn ds