О применении метода интегральных направляющих функции к задаче о бифуркации периодических решений дифференциальных включений Текст научной статьи по специальности «Математика»

2006. Вып. 2 (31). С. 64-81.

12. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Об управляемой задаче Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2007. Т. 12. Вып.4. С. 477-479.

13. Лисаченко И.В. Нелинейная задача Гурса-Дарбу с возмущаемыми правой частью и граничными функциями // Вестн. ННГУ. Н. Новгород, 2008. Л»:,. С. 107-112.

Abstract: the nonlinear controllable Goursat-Darboux problem is considered. The case when a mixed derivative of the solution is L^-function (p > 1)is considered; the sufficient conditions of existence-stability of global solutions with respect to perturbations of controls is discussed.

Keywords: nonlinear controllable Goursat-Darboux problem; conditions of existence-stability of global solutions.

Лисаченко Ирина Владимировна Нижегородский государственный технический университет Россия, Нижний Новгород e-mail: [email protected]

Сумин Владимир Иосифович д. ф.-м. н., профессор

Нижегородский государственный университет Россия, Нижний Новгород e-mail: v [email protected]

Irina Lisachenko Nizhniy Novgorod State Technical University Russia, Nizhniy Novgorod e-mail: [email protected]

Vladimir Sumin

doctor of phys.-math. sciences, professor Nizhniy Novgorod State University Russia, Nizhniy Novgorod e-mail: [email protected]

УДК 517.911.5

О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ИНТЕГРАЛЬНЫХ НАПРАВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИЙ К ЗАДАЧЕ О БИФУРКАЦИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

© Н.В. Лой

Ключевые слова: глобальная бифуркация; направляющая функция; дифференциальное включение первого порядка; периодическое решение.

Аннотация: В данной работе, применяя метод интегральных направляющих функций, мы изучаем глобальную структуру множества периодических решений однопараметрического семейства дифференциальных включений первого порядка.

Обозначим через пространство всех функций х: [0, Т] ^ М”, первые производные которых существуют почти всюду на [0,Т] и являются элементами пространства Ь2([0,Т]; М”) с нормой

\\х\\ш = ||х||2 + \\х'\\2,

где

\ХП2 =

rT

II/(s)II!» ds

Пусть ^2 обозначает пространство всех функций х € таких, что х(0) = х(Т).

Через К-и(М”) обозначим множество всех непустых выпуклых компактных подмножеств М”. Рассмотрим однопараметрическое семейство дифференциальных включений типа

х (Ь) € ¥(Ь, х(Ь), л) для п.в. Ь € М. (1)

Предположим, что

(¥т) мультифункция ¥: М х М” х М ^ К-и(М”) Т—периодична по первому аргументу, то есть

¥(Ь, у, л) = ¥(Ь + Т, у, л) для почти всех Ь € М, и любого (у, л) € М” х М;

(¥1) для каждого (у, л) € М” х М мультиотображение ¥(-,у, л): [0, Т] ^ Ку(М”) имеет измеримое сечение;

(¥2) для почти всех Ь € [0,Т] мультиотображение ¥(Ь, ■, ■): М” х М ^ Ку(М”) полунепрерывно

сверху;

(¥3) доя любого непустого ограниченного множества О С М” х М существует такая положительная функция Лп € Ь2([0,Т]; М), что

\\¥(Ь,у,л)Ып < Лп(Ь) для всех (у, л) € О и п.в. Ь € [0,Т], где

\\¥(Ь,у,л)Ып = тах{|2|!« : г € ¥(Ь,у,л)};

(¥ 4) 0 € ¥ (в, 0, л) ДОЯ всех л € М и п.в. в € [0, Т ];

(¥5) существует Го > 0 такое, что для каждого к > 0 найдется п > 0 такое, что

Л(¥(Ь,х,л),¥(Ь,х,л')) < к

для всех (х,л), (х,л') € Вши(0, Го) х (—Г0,Г0), \л — л'\ < П и почти всех Ь € [0,Т], где Л

обозначает метрику Хаусдорфа на пространстве К-и(М”).

Т (1) (х, л)

х(0) = х(Т) (¥4) (0, л) (1)

л € М (1)

понимаем такое решение (х,л), что х = 0. Обозначаем через 5 множество всех нетривиальных Т (1)

Определение!.. Непрерывно дифференцируемую функцию V: М” ^ М будем называть невырожденным потенциалом, если ее градиент

(х) = 1 ^(х) ^(х) ^(х) х

( ) { д х 1 , дх2 , , дх” }

не обращается в нуль при 0 < ||х||шп ^ г, гДе г > 0 достаточно мало.

Из свойств топологической степени вытекает, что степень невырожденного потенциала

йвд^, Вши (0,г'))

не зависит от Г € (0, г). Это общее значение степени называется индексом невырожденного потенциала и обозначается ind V.

Определение2 (ср. [2]). Для каждого л Е К невырожденный потенциал : К” ^

^ К называется интегральной направляющей функцией для включения (1), если существует

о

достаточно малое п^ > 0 такое, что для любого x Е W\ из

0 < ||x||2 ^ п0 и ||x;(i)yRn ^ \\F(t, x(t), л) ||r™ для почти всех t Е [0, T]

следует

i (dV(x(s)),f (s)) ds > 0

J 0

для всех f Е ¿2([0, T]; К”) такие, что f (s) Е F(s, x(s), л) для почти всех s Е [0,T].

Теорема 1. Пусть выполнены условия (F1) — (F 5) и (Ft ). Предположим, что для каждого Л = 0, достаточно малого по модулю, существует интегральная направляющая функция Va для (1)

lim ind Va — lim ind Va = 0.

0—>0+ о—0-

Тогда, существует связное множество R С S такое, ч то (0, 0) Е^ и либо R неограничено либо (0,л*) Е R для некоторого л* = 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Alexander J.C. and Fitzpatrick P.M. Global bifurcation for solutions of equations involving several parameter multivalued condensing mappings // Fixed point theory, Proc. Sherbrooke Que. ed. E. Fadell, G. Fournier, Springer Lect. Notes. 1980. V. 886. P. 1-19.

2. Sergei Kornev, Valeri Obukhovskii. On some developments of the method of integral guiding functions // Functional Differential Equat. 2005. V. 12 No. 3-4. P. 303-310.

Abstract: in this paper, applying the method of integral guiding functions we consider the problem of global bifurcation of periodic solutions of the family of one-parameter ordinary differential inclusions.

Keywords: global bifurcation; guiding function; ordinary differential inclusion; periodic solution.

Нгуен Ван Лой аспирант

Воронежский государственный педагогический университет Россия, Воронеж e-mail: [email protected]

Van Loi Nguyen post-graduate student Voronezh State Pedagogical University Russia, Voronezh e-mail: [email protected]