Об отсосе пограничного слоя, предотвращающем его отрыв Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Т о м V 1974

№ 4

УДК 533.06

ОБ ОТСОСЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ, ПРЕДОТВРАЩАЮЩЕМ ЕГО ОТРЫВ

В. В. Сычев

Проводится теоретическое рассмотрение ламинарного течения в пограничном слое несжимаемой жидкости при наличии отсоса. Определяется закон распределения скорости и отсоса в области положительного градиента давления, обеспечивающий безотрывный характер течения вплоть до задней критической точки. Указываются возможные обобщения полученных результатов на случай течения сжимаемой жидкости и турбулентного пограничного слоя.

Идея использования отсоса пограничного слоя для устранения или затягивания отрыва потока была высказана еще Прандтлем в его основополагающей работе 1904 года [1]. С того времени этой проблеме было посвящено много исследований *, в основном базировавшихся на теории отрыва ламинарного пограничного слоя при заданном градиенте давления. Согласно этой теории, в некотором сечении пограничного слоя, расположенном на конечном расстоянии за точкой минимума давления, возникает так называемый „отрывный“ профиль скорости с нулевым трением на стенке. Поэтому в качестве оптимального закона распределения скорости отсоса принимался такой, который обеспечивает сохранение отрывного профиля скорости вниз по потоку от этого сечения. Однака теория отрыва ламинарного потока, развитая в работе [3], показывает, что-в действительности отрыв пограничного слоя на гладкой поверхности является самоиндуцированным и (при отсутствии отсоса) возникает под действием исчезающе малых перепадов давления. Это заставляет пересмотреть проблему и потребовать в качестве условия, предотвращающего отрыв, полной нейтрализации действия положительного градиента давления. Ниже показано, что такое требование приводит к вполне определенному закону распределения скорости отсоса в области с положительным градиентом давления.

1. Прежде всего воспользуемся некоторыми простыми соображениями, основанными на рассмотрении баланса завихренности в ламинарном пограничном слоег несжимаемой жидкости **. Рассмотрим твердую стенку (см. фигуру), на участке ОМ которой давление монотонно падает от своего максимального значения в критической точке О до минимальной величины в точке М, а затем при Х^>ХМ монотонно растет. Если участок твердой границы О^лг^х^ является, непроницаемым, то на нем выполняются обычные условия прилипания

и (х, 0) = V (х, 0) = 0, 0 < * < ^ (1.1>

* Их обзор можно найти, например, в гл. VI монографии 12].

** Изложение теории отрыва на основе рассмотрения завихренности принадлежит Лайтхиллу и содержится в гл. II монографии [2].

и первое из уравнений пограничного слоя

да да , 1 <1р д2и

а дх и ду р ах

да ду v ду2 ’ дх ду ~

при у = 0 принимает вид

д2 и ду1

да

у~0~^ ду

у= о

_1_ Ор_ р <1х ’

(1.2)

(1.3)

где и — завихренность течения.

Последнее соотношение означает, что твердая стенка порождает завихрен-

<1р

ность, знак которой определяется знаком . Эта завихренность переносится

потоком и диффундирует от одной частицы жидкости к другой согласно уравнению

дю . дш д2 и»

ду

(1.4)

получаемому дифференцированием (1.2). Суммарная завихренность, порождаемая

в единицу времени на участке непроницаемой поверхности 0-^д:< хм , будет очевидно равна

хм хм

_ ___ ар л.. 1

ду у= о р

— Г ^ <** = __!_ Г у? ах = _±_ и» (хм),

у ду у=о р £ ах 2

(1.5)

где и{х) — скорость на внешней границе пограничного слоя, связанная с градиентом давления уравнением Бернулли

1 йр йЦ

р (1х ~ йх ‘

(1.6)

Таким образом, при х<^хм завихренность в каждом сечении пограничного слоя

(да . _\

положительна 1^->01 и достигает максимального значения на поверхности

тела, что исключает возможность появления отрыва в этой области. При х^>хм , йр

где^-^О, твердая непроницаемая поверхность порождает завихренность противоположного знака (или является распределенным стоком положительной завихренности). Поэтому при некотором значении х^>хм завихренность на стенке может обратиться в нуль и тогда возникнет отрыв потока. В действительности, как показывают результаты работы [3], это происходит на весьма малых расстояниях за точкой хм. Отсюда следует, что для предотвращения отрыва необходимо устранить процесс создания отрицательной завихренности на

стенке, начиная от точки х = хм. Этого можно достигнуть, если потребовать выполнения граничных условий •

да \ \ ар

а (х, 0) = 0, так как на основании (1.2) тогда будет

ди>

= 0, * > хм ,

ду

у=о

— 0, х^>х

м ■

(1.7)

(1.8)

Итак, задача сводится к интегрированию уравнений пограничного слоя (1.2)

йр

с обычными граничными условиями прилипания (1.1) на участке, где < О,

йр

и условиями (1.7) на участке, где > 0. В результате решения этой задачи

единственным образом определяется скорость отсоса, равная на основании (1.7) и (1.6)

дм I да

. {х>хм). (1.9)

у- О

Все сказанное очевидным образом обобщается на произвольный случай течения

<1р

с любым количеством областей, где

2. Рассмотрим теперь общий баланс завихренности в области с положительным градиентом давления предполагая, что точка 5 (см. фигуру)

является критической точкой для внешнего потенциального течения. Необходимые соотношения формально могут быть получены с помощью уравнения (1.4). Переписывая его, с учетом уравнения неразрывности (1.2), в дивергентной форме и интегрируя по произвольной области 2, ограниченной контуром I, получим

Л ^=$[“‘<у+ (*57-®“)** =°- (2Л)

Если это соотношение применить к области пограничного слоя перед точкой минимума давления (0 ^л:<;л:ж), то получим очевидное выражение для потока завихренности в сечении пограничного слоя х=хм, через которое переносится вся завихренность, порождаемая твердой стенкой при х<^хм:

00 “ / ди \ 1

1 <““)* =хм *у = И'“щг) аУ= Т иг (2-2)

о о 4 ,х=хм

Применяя соотношение (2.1) к области пограничного слоя хм х х$ , найдем, что поток завихренности в сечении пограничного слоя х = х5 будет равен

*5

йх.

до V -

(иш)х=х8аУ = С №)х=хм &У+1 (н“)у=о ■ д

0 хм хм

у=0

Последний интеграл в правой части этого уравнения равен нулю на основании (1.8), а второй интеграл в правой части на основании (1.9) равен — поскольку в критической точке [/(лг5)=0. Таким образом, при выбранном законе отсоса (1.9) поток завихренности (2.1), переносимой из области х<^хм , полностью поглощается проницаемой стенкой при х^>хм. Это означает, что при подходе к задней критической точке течение полностью очищается от завихренности. Этим и обеспечивается его безотрывный характер вплоть до точки х5. Заметим, что скорость отсоса (1.9) при х — х5 может остаться конечной, так как одновременно обращается в нуль как трение на стенке, так и градиент давления.

3. Полная ликвидация завихренности в окрестности задней критической точки означает также, что за обтекаемым телом будет отсутствовать след. В то же время тело будет испытывать сопротивление за счет действия сил трения на его поверхности (Сопротивление давления будет отсутствовать ввиду полного восстановления давления в задней критической точке). Если для вычисления суммарного сопротивления тела воспользоваться теоремой количества движения, то нетрудно видеть, что оно будет определяться потоком импульса в струйке перед телом,' поглощаемой проницаемой поверхностью. Секундный расход жидкости в этой струйке равен р(Ъут<1х (где интегрирование проводится по кон-

1 г

туру тела), ее ширина на бесконечности перед телом й= —ф йх, так что

иов

сила сопротивления будет равна

х = р£/^ к = (|) ^х- (3-1)

4. Все сказанное выше относилось к ламинарному пограничному слою в несжимаемой жидкости. Обобщение этих результатов на случай сжимаемого газа, очевидно, не представляет никаких принципиальных затруднений. Что касается турбулентного пограничного слоя, то ввиду равенства нулю добавочных напряжений Рейнольдса на стенке описанная постановка задачи полностью переносится и на этот случай. При этом потребная для ликвидации отрыва скорость йр

отсоса Уф в областях >• 0 будет по-прежнему определяться соотношением,

аналогичным (1.9). Так как трение на стенке в турбулентном пограничном слое намного превышает трение в ламинарном слое, то уровень скоростей отсоса будет существенно ниже. Формула (3.1) для определения сопротивления тела будет в этом случае, конечно, неприменима, так как в следе за телом будет отсутствовать лишь осредненная завихренность <».

ЛИТЕРАТУРА

1. Prandtl L. Ober Fllisslgkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung. Verhandlg. III. Intern. Math. Kongr., Heidelberg 1904.

2. Rosenhead L. (Ed.) Laminar boundary layers. Clarendon Press, Oxford, 1963.

3. Сычев В. В. О ламинарном отрыве. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1972, № 3.

Рукопись поступила 28// 1974 г.