Об оценке осцилляторных интегралов с фазой, зависящей от параметров Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 11. № 4 (2019). С. 79-91.

УДК 517.518

ОБ ОЦЕНКЕ ОСЦИЛЛЯТОРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ С ФАЗОЙ, ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ ПАРАМЕТРОВ

Ш.А. МУРАНОВ

Аннотация. Рассматриваются оценки преобразования Фурье мер, сосредоточенных на аналитических гиперповерхностях, содержащих множитель гашения. В качестве гасителя естественно выбирается степень гауссовой кривизны гиперповерхности. Известно, что если степень гауссовой кривизны достаточно большое положительное число, то преобразование Фурье соответствующей меры убывает оптимально. С.Д. Согги и И.М. Стейном поставлена задача о минимальной степени гауссовой кривизны, гарантирующей оптимальное убывание преобразования Фурье. В статье приведено решение задачи С.Д. Согги и И.М. Стейна об оптимальном убывании преобразования Фурье мер с множителем гашения для частного класса семейств аналитических поверхностей трехмерного евклидова пространства. Отметим, что степень, указанная в работе, точна не только для семейства аналитических гиперповерхностей, но и для фиксированной аналитической гиперповерхности. Доказательство основных результатов опирается на методы теории аналитических функций, точнее на утверждения типа подготовительной теоремы Вейерштрасса. Как показал Д.М. Оберлин, аналогичные утверждения для бесконечно-гладких гиперповерхностей не имеют место.

Ключевые слова: осцилляторные интегралы, преобразование Фурье, множитель гашения, максимальный оператор.

Mathematics Subject Classification: 35D05; 35D10; 35G05

1. Введение

В связи с проблемой об ограничении максимальных операторов, ассоциированных с гиперповерхностью S С Rra+1, С.Д. Согги и И.М. Стейном [1] введены следующие демпфированные осцилляторные интегралы:

&(О := / (x)l^(x)da(x), (1-1)

JS

где К(х) - гауссова кривизна гиперповерхности в точке х Е S, ф Е C^°(S) - неотрицательная гладкая функция с компактным носителем, (х, £) - скалярное произведение векторов х и da(х) - поверхностная мера. Они доказали, что если q ^ 2п, то интеграл (1.1) убывает в порядке 0(|£|-^) (при |£| ^ т.е. убывает оптимально. Отметим, что если

гауссова кривизна не обращается в нуль, то преобразование Фурье поверхностной меры убывает в порядке 0(|£|-2") (при |£| ^ причем для ненулевой меры быстрее убы-

вать не может, что означает оптимальность порядка убывания. Для семейства гладких гиперповерхностей S('q) С Rra+1, гладко зависящих от параметров ^ Е Rm, естественно определяется мера d^('q) := ф(x,r|)da(x,r¡) и соответствующие осцилляторные интегралы с множителем гашения:

& (§ = f (x,V)l^(x,V)da(x,V), (1.2)

Sh.A. Muranov, On estimates for oscillatory integrals with phase depending on parameters.

© Муранов Ш.А. 2019.

Работа поддержана KOI 111, l при Министерстве BCCO РУзб (грант ОТ-Ф4-69).

Поступила 8 октября 2018 г.

где для каждого фиксированного г/, <Ла(х, г/) - поверхностная мера на Б (г/). оценка:

V(£)1 йт-?.

Аналогичная задача для фиксированной гиперповерхности Б поставлена в работе [1] Согги и Стейна, Решение поставленной задачи в одномерном случае, точнее, когда Б - кривая, заданная полиномом, вытекает из результатов Д, Оберлина [2]. Фактически результаты Д. Оберлина связаны с семейством кривых,

В данной работе мы представим решение задачи С,Д. Согги и И.М. Стейна для частного класса аналитических поверхностей трехмерного пространства, зависящих от параметров. Функция (х, т) (где т € Б2, т.е. т - любой вектор, принадлежащий единичной сфере с центром в начале координат) - сужение семейства функций (зависящее от т и г/) (х, т) на поверхности Б (г/) С К3, называется фазовой функцией.

Например, если Б = |(х1,х2, Ф(х^х2, г/))}, где Ф(х^х2, г]) = х\ + х^ + г]х2,1 то (х, г) 1в(л) = г1х1 + т2х2 + г3Ф(х1 ,х2, г]) является фазовой функцией, соответствующей Б,

Пусть у = Ф(х) (х € - некоторая функция с критической точкой х = х0. Если в некоторой окрестности П(х°) точки х0, Ф(х) с помощью дпффеоморфной замены Ф : Е м- П(х°) (где Е С Кга окрестность нуля) приводится к виду:

Ф( ф)) = Ф(х°) ± ± 4 ± г2 ± ■ ■ ■ ± 4,

то х = х° называется критической точкой типа Ак [3], Следующая теорема доказана в работе [4] (также см, [5]),

Теорема 1.1. Пусть q ^ I фиксированное вещественное число и Б (г/) С К3 - семейство аналитических гиперповерхностей, зависящих от параметра, г] € Если, фазовая функция, соответствующая гиперповерхности, Б(0), имеет особенность типа, Ак (1 ^ к < то) в точке (0,0,0) € Б(0), тогда, существует окрестность нуля V х и С К3 х Кт такая, что при любой функции ф € х и), для интеграла, (1,2)

справедлива, следующая оценка:

VК)| , Мк.,

где С - фиксированное положительное число.

Основным результатом настоящей работы является следующая

Теорема 1.2. Пусть 1 фиксированное вещественное число, Б (г/) С К3 - сем,ей,ство аналитических гиперповерхностей, удовлетворяющих следующим условиям:

1. Гиперповерхность Б(0) содержит начало координат К3, и хотя, бы, одна из главных кривизн поверхности, Б(0) в начале координат отлична от нуля.

2. Гауссова, кривизна К (х, г]) на гиперповерхности Б (г/) удовлетворяет условию: К ф 0. Тогда, существует окрестность на,чала, координат V х и С К3 х Кт такая, что при

любой функции ф € Сх и), для интеграла, (1,2) справедлива, следующая оценка:

К (01 ^-^—,

С

2. Вспомогательные утверждения

ф( х, )

носитель. Более того, будем считать, что Б(г]) задается в виде графика некоторой анали-х3 = ( х1, х2, )

Б(г]) := |(хьх2) € V С К2 : х3 = f(хl,X2, € и},

причем f (0, 0, 0) = 0, vxf (0,0, 0) = 0.

Действительно, пусть S(ц) семейство аналитических гиперповерхностей, зависящих от 'q € U С Rm. Тогда, после возможного применения евклидова движения, мы можем предполагать, что S(0) содержит начало координат, и касательная плоскость Т0S(0) в начале координат задается уравнением: х3 = 0,

Поэтому S(0) в окрестности точки (0, 0, 0) определяется уравнением F(х1,х2,х3) = 0 гДе F ~ вещественно-аналитическая функция удовлетворяющая условиям: F(0,0, 0) = 0 dF(0'0'0) = OF(0'0'0) = 0 и OF(0'0'0) = 0, Согласно теореме о неявной

V ' ' / ' Öxi ОХ2 OX'S ' 1

функции уравнение F(х1,х2,х3) = 0 в окрестности нуля имеет аналитическое решение х3 = Ф(^1 ,х2). Таким образом Ф(х1,х2) аналитическая функция удовлетворяющая условиям: Ф(0,0) = 0 VФ(0,0) = 0, Аналогично для семейства S(ц) существует функция f (х1, х2, г/) такая, что в окреетноети нуля S(ц) задается уравнением х3 = f (х1 ,х2,г/) и f х2, rj) удовлетворяет условиям: f (х1,х2, 0) = Ф(х1,х2). (Более подробно см,[6], стр.57)

Отметим, что функция (х, т) не имеет стационарных то чек при т = 0, так как (х,т )Х = т. Но ее сужение на S имеет стационарные, т.е. критические точки (см, [7] гл. III, §4, стр. 139), Это те точки х(т), в которых гиперповерхность (х,т) = const касается S.

Лемма 2.1. Стационарная точка х(т) € S невырождена тогда, и только тогда, когда, гауссова, кривизна гиперповерхности, S в этой точке отлична от нуля.

Лемма 2.1 доказана в [7](см. гл. III, §4, стр.144).

Отметим, если гауссова кривизна К(0,0, 0) = 0, то, согласно лемме 2.1, фазовая функция (х,т) |s(v) в малой окрестности точки (0, 0, 0) имеет лишь невырожденные критические точки. Так как если гауссова кривизна отлична от нуля в окрестности нуля V х U, то IK(x,rj)lдф(х,г)) € C^°(V х U), Поэтому, согласно лемме Морса (см. [7], стр. 66, лемма 3.3), она приводится к сумме квадратов и для интеграла ßq(£) справедливо соотношение: ßq(С) = 0(|£|-1) (при |£| —у то), Следовательно, в этом случае утверждение теоремы 1.2 справедливо. В дальнейшем будем предполагать, что К(0, 0,0) = 0.

Прежде чем доказать теорему 1.2, рассмотрим некоторые необходимые вспомогательные утверждения.

Лемма 2.2. Пусть д = д(х) вещественнозначная непрерывно дифференцируемая, функция, определенная на [с, d]. Если, для, любого (x,rj) € [c,d] х U выполняется неравенство Ig'I ^ 8 > 0 и функции a(^,rj), g' (• ,гц) имеют ограниченную вариацию на, [c,d], то справедлива, следующая оценка:

eiXa(X'V)а(х, v)dx

СII у Ik

|А|

(2.1)

где ||а(-,^)||у := |а(с, + ^|а(-,'ц)} и ,гц)} полная, вариация функции а на, [с,д\.

Доказательство. Сначала запишем интеграл в виде:

eiXg{x'v)a(x,V)dx

а(х, гц)

■d (

i\д(Х'Г])

'с гХд'(х/ц)

Далее, используя формулу интегрирования по частям для интеграла Стильтеса, получим следующую оценку

eiXg(x'r,)a(x,'q)dx

<

a(d, rj)

JXg(d'T]) _

iXg' (d,rq)

a(c,V) iXg' (c,ri)

J\g( C'T])

+

+

1 i

— ei Xg(x'v)d iX .„

f а(х/д) \ \g' (x,^)J

Наконец, заметим, что таххе\_сд1а(х, ^ ||а(-, ^)||у, и поэтому если а(х, г/) и д'(х, г/) функции с ограниченной вариацией, то придем к выполнению оценки (2.1).

d

Лемма 2,2 является аналогом утверждения II предложения 2 монографии [8] (стр.332333) (а также см, [9] и [10]), □

В этой работе используются следующие технические леммы, доказанные в работе [11]:

Лемма 2.3. Пусть / ф 0 вещественно-аналитическая функция в нуле К х такая, что /(0, 0) = 0. Существуют вещественно-аналитическое многообразие У и отображение ж : У м- которое является, собственным, отображением,, что для, любой точки у° € У существует карта (ф1,..., <фт) с центром в точке у°, для, которой справедливо следующее соотношение:

¡(х2,ж(у)) = фГ (у)фТ (у) ...фат- (у)Ь(х2, у)р(х2, у), (2.2)

где Ь(х2, у), Ь(0, у°) = 0 - вещественно-аналитическая функция, р(х2, у) - унитарный псевдополином,, т.е.

р(х2, у) = х™1 + Т1(у)хГ-1 + Т2(у)хГ-2 + ■ ■ ■ + тт1 (у),

здесь т1,..., тт1 - вещественно-аналитические функци и в точке у° и те( у°) = 0, I = 1,... ,т1.

Лемма 2.4. Пусть / : (К х Кт, 0) м (К, 0) - вещественно-аналитическая функция в начале координат. Существует окрестность нуля Ш х и С К х Кт такая, что для, любого фиксированного положительного числа д функция |г/)^ имеет ограниченную вариацию по Ш, причем полная вариация этой функции Vw[|гц)1я] является, ограни-

и

А также нам понадобится следующая лемма:

Лемма 2.5. Пусть /(х, г]) - вещественно-аналитическая функция в начале координат и д^ 1 - фиксированное число. Тогда существует окрестность нуля Ш х и в К х Кт и выполняется следующее тождество

|х|д(х, г,) = |¡(х, п)1* -|/(0, п)1*, где функция д(х, гц) имеет ограниченную вариацию по Ш и ее полная, вариация ограничена

и

Доказательство. Фактически лемма 2,5 является аналогом леммы 3,3 в работе [11], Ради удобства читателей приведем подробное доказательство этой леммы.

Сначала предположим, что f (х, г/) многочлен. Скажем,

/(х, г/) := Q(х, г/) = х1 + г]1х1-1 + ■ ■ ■ + г/£, и коэффициенты многочлена ограничены; |т/| ^ 1, Покажем, что функция

" , ч IQ(х, У)1" -|тУ g(х, т =-л-

| х|

имеет ограниченную вариацию по отрезку [— 1,1], и ее полная вариация V}1[g(■, г/)] -ограничена константой, зависящей лишь от I и д. Легко доказать, что д(х, г/) - кусочно-монотонная функция. Действительно, пусть х > 0 и Q(х, г/) > 0, Тогда числитель и зна-

( х, ) х

хд(х, п)У-1(3'(х, п) - ((х, п))« - |)

g'(х, V)

х2

Теперь покажем, что числитель имеет не более 21 нулей. Вычислим производную числителя и, приравнивая ее к нулю, получим

дх(х, г,)У-2((д - 1)(((х, V))2 + ((х, ^('(х, V)) = 0.

Последнее уравнение имеет не более, чем 21 — 2 корней, так как ((х, г/))2 + ((х, г/)("(х, г/) многочлен степени 21— 2.

Поэтому числитель не может иметь более чем 21 — 2 нулей при ( > 0, Аналогично рассматривается случай ((х, г/) < 0 или х < 0, Отсюда следует, что уравнение д'(х, г/) = 0 имеет не более, чем 41 — 4 корней.

Так как д ^ 1, то при х,у € [—1,1] мы имеем очевидное неравенство: ||х|9 — 1у1д| ^ С(д)1х — у1, где С(д) - некоторое положительние число, зависящее лишь от д ^ 1. Отсюда вытекает, что функция д(х, г/) ограничена числом С(д) |х| ^ 1.

Действительно,

|х||д(х, ^ ^ |К(х, V)|* — |((0, п)?| ^ С(д)(х, п) — ((0, пУ ^ С(д) шах^ ((С, *| и следовательно,

1(1 — 1)

шах ^(х, г]^ ^ С(д) тах |(((, г]^ ^ С^---.

——2

Тогда имеем

У—1[д(х, г])] ^ (4£ — 4)тах ^(х, ^ С(д)21(1 — 1)2.

Таким образом, полная вариация функции д по отрезку [— 1,1] оценивается константой, зависящей только от I и д.

( х, )

пользуя лемму 2,3, приводим нашу функцию к виду

!(х,ж(у)) = ^Г (у)'? (у) ... 'Т (у)Ь(х, у)((х, у),

где Ь - вещественно-аналитическая функция, удовлетворяющая условию Ь(0,0) = 0, и ((х, у) - некоторый псевдополином, В этом случае мы имеем соотношение

|Ь(х, у)((х, у)^ — |Ъ(0, У)((0, у)^ = |((х, у)^(|Ъ(х, у)? — |Ь(0, у)?)+

+ |Ь(0, у)?(|((х, у)^ —Ю(0, у)?).

Заметим, что функция |ь(жд)|4|~1ь(°д)14 имеет ограниченную вариацию, так как Ь(0, 0) = 0, А также, согласно лемме 2,4, |((х,у)^ имеет ограниченную вариацию в координатной окрестности V при д ^ 1.

Наконец, заметим, что ж : У м и - собственное аналитическое отображение [13]. Поэтому ж-1 (и) С У компакное множество. Следовательно, для произвольной точки у° € ж-1 (и) можем найти координатную окрестность V С У точки у° такую, что при у € V имеем соотношение

!(х,ж(у)) = 'Г (у)'Т (у)... № (у)Ь(х, у)((х, у),

где ( ' 1,..., 'т) - локальные координаты с центром у°, т.е, ' (у°) = 0, 3 = 1,...,т, Ь(х, у) - вещественно-аналитическая функция, удовлетворяющая условию Ь(х, у) = 0 при (х, у) € Ш х V, а ((х, у) - псевдополин ом и ^ 0 (] = 1,... ,т) целые числа.

Согласно доказанному, /(х, ж (у)) в окрестности Ш х V удовлетворяет утверждениям леммы 2,5, Так как ж-1 (и) компактное множество, мы можем выбрать конечное покрытие ж—1(и) и окрестность нуля Ш С К такие, что утверждения леммы 2,5 справедливы при (х, у) € Ш х ж-1 (и). Поэтому выполняются утверждения леммы 2,5 на множестве

Ш х и С К х Отсюда приходим к доказательству леммы 2,5,

" □

Теперь приведем аналог леммы Эрдейи [14]:

Лемма 2.6. Если Р(х, в) - гладкая функция, определенная в малой окрестности, начала координат Ш х и € К х Кт и удовлетворяющая условиям:

Р' (0, в) = 0, Р'(0, в) = 0 для любого в€и и а € С%°(Ш х и),

то при 0 ^ д ^ 1 выполняется неравенство:

Сд\\а(-, в)\\у

|ж|дегХр'^а(х,

<

|Л| 2

где е - достаточно малое положительное число.

Доказательство. При доказательстве леммы используем лемму Морса с параметрами (см, [7], стр. 66, лемма 3,3), Согласно лемме Морса существует диффеоморфное отображение х = х(у, в), отображающее отрезок I = [—£,е\в [—^(е), $2(е)\, такое, что функция Р (х, в) имеет в ид Р (х(у, з),з) = Р (0, в) ± у2.; приче м ж(0, в) = 0, Из последнего равенства вытекает, что х(у, в) записывается в виде х(у, в) = уС(у, в) с гладкой функцией С(у, в) и 0) = 0.

Мы применим замену пременных х = х(у, в) в интеграле

J |ж|дегХР^а(х, з)йх,

и получим:

Г ё2 (е) 2

1д(Х) = егХр(0,'Ч ^де±гХу а1(у,8)<1у,

¿-6 г(е)

где а1(у, з) = ^(у, в)|д(С(у, з) + уС(у, з))а(уС(у, з),з)и сц(у, з) е СНЬ^), <Ш\). Теперь рассмотрим оценку интеграла 1д (Л), который при 0 ^ д ^ 1 записывается в виде

1д (Х) = Ь(\)+ 12(\).

Сначала оценим интеграл

Г6 2(е) 2

Ь(\):= Уде±гХу а1(у,з^у.

Jo

Аналогично оценивается интеграл 12(X) := /-¿х(£) уде±гХу2а1(у,в)йу. Если 62(е) ^ Л-то, из тривиальной оценки интеграла, имеем:

^^ ^ тпчем,(е+\а1(У,8)\. (23)

\Ч2

Теперь предположим, что 62(е) > Х-В этом случае иптеграл 1]_(Х) записывается в виде суммы следующих двух интегралов

гХ~1 2 гЫ^ 2

1ц(Х) = уде±гХу а1(у,з^у и 112(X) = уде±гХу а^у.з^у. ио ./Х-1

Очевидно, что /11(А) имеет оценку вида (2,3),

Теперь используем формулу интегрирования по частям для интеграла 112(Х) и получим следующую оценку:

ипЩ < х-Ч+ С1 У0б2[а1(-,з)\. (2.4)

Тогда, с помощью неравенств (2,3) и (2,4), мы имеем оценку

^ --ч+1-, (С = сопзг).

X 2

Суммированием полученных оценок приходим к доказательству леммы 2,6, □

Лемма 2.7. Существует окрестность У1 х и С К2 х Ет начала, координат, такая, что для, любого д > 0 Ф е Сх и) и тах{|^1|, |£2|} ^ |£3| имеет место следующая оценка:

г «ч < С\\^\с1 \11д О ^

— £

Доказательство. Отметим, что К(х1,х2, г]) = )2 является аналитической

функцией (см [6]. стр. 72, теорема 3) в малой окрестности начала координат. Так как |УЖ/(0, 0, 0)| = 0, то существует окрестность начала координат V1 х и, такая, что для любой точки (х1 ,х2, г]) € V1 х и выполняется неравенство |УЖ/(х1,х2, r|)| ^ Без ограничения общности мы можем считать, что |= тах{|^1|, |£21} ^ |£3|. Случай |£2| = тах{||£21} ^ |£3| может быть аналогично рассмотрен, В этом случае интеграл (£) записывается в виде следующего двумерного демпфированного осцилляторного интеграла:

(0=[ е^ж1?1+ж2?2+/(ж1,ж2,ч)?з)а(х1,х2, 'П^Нев8}(хъх2, 'п^Чх^, (2.5)

./к2

где

ф(х1,х2,/(хЪх2, Г}))

а(х1,х2,^)

у/(1 + |У / (х1,х2, Г,)?)*-1 ' Теперь используем теорему Фубипи для интеграла (2,5) и получим:

&(0= [ Ш1, ь,х2)е*з32Х2<1х2,

./К

где

6, Ь,х2) = [ ег*1Р1(х1,Х2^3")а(х1,х2, 'П^Невз/(хъх2, r|)|qdхl

./К

и Р1(х1,х2, £3, г]) = (х1,х2, г]) + х1. Очевидно, что для любого (х1,х2, г]) € V1 х и

1

(хl, х2, 6 , ^ ПМ = |1 + —Гх1 (х1, х2, пМ > о .

| /х1 (х1, х2, ^ > 1

Согласно лемме 2,4 функция |Не 55 ¡(х1,х2, г])^ имеет ограниченную вариацию по Рг1(У1) и ее полная вариация ограничена в Рг2(У\) х и при любом д > 0, где Рг^(У-С) (Рт2(У1)) проекция на ось КЖ1 (К2) соответственно. Поэтому, используя лемму 2,6, получим следующее неравенство:

с ^ | / С1\\а{:_,х2,г])^ ^/ЗСl||а(■,х2, 'Ц^с1

№д (? 1, ? 3 , х2) | ^ -- ^ --

Интегрируя последнее неравенство по Р г2(У1) для интегр ал а '¡2д (^), имеем оценку:

I ^ — 11^1 с1 № О ^ -Ц|-.

Лемма 2,7 доказана, □

Следствие 1. Пусть £ > 0 - произвольное фиксированное положительное число и Г£ € К3 - конус, определенный соотношением

Г := {£€ К3 : е|^ тах{||&|}}.

Существуют окрестность V1 х и начала координат и положительное число С£ > 0 такие, что для любого д > 0, ф € х и) и £ € Г£ выполняется следующая оценка:

Следствие 1 показывает, что для (£) справедлива искомая оцепка при £ € Г£, при всех д > 0, Далее исследуем поведение & (£) при £ € К3\Г£,

3. Об асимптотическом поведении Дд(£)

В этом параграфе исследуем поведение Дд (£) в случае, когда £ е К3\Г£, где е - достаточно малое фиксированное положительное число, В этом случае Дд (£) записывается в виде следующего двумерного осцилляторного интеграла:

где

Яд(0= е^зР(х1'х2''1''2'г,')а(х1,х2, 'Ц^Невв!(х^,^д(1х1(1х2) (3.1)

Jw,2

Ф(Х1,Х2,/ (Х1,Х2,'П))

а(х1,х2,,ц)

у/(1 + |У/(Х1,Х2 -1'

Р(х1,Х2,81,в2,гп) = I(^1,Х2,'ц) + в1Х1 + в2Х2, в1 = ^, в2 = ^,

& &

Не88$ (х1,х2,гц) = detD2f (х1,х2,гц).

Выбирая малую окрестность У1 х и, можем предположить, что ф бесконечно гладкая функция с достаточно малым носителем. Заметим, что если rank(D2f (0, 0, 0)) = 1, то

либо 9 ^(00, 0) = 0, либо 9 ^0) = 0.

Ради определенности можно предполагать, что 9 ^х^'0 = 0. Тогда, согласно теореме о неявной функции, уравнение

Рх! (Х1,Х2,81,82,11) = ¡х! (Х1 ,Х2,'П) + в1 = 0 имеет единственное аналитическое решение х1 = х1(х2,з1,Г!) в малой окрестности начала координат в Кх1 х К'1 х и.

Согласно теореме Фубини интеграл (3.1) записывается в виде

& (0= [ $%Х2)е*3'2х2 ¿Х2, JR

где

$1(С,Х2)= [ ег^Р1(х1 'С2''1'г1)а(х1,х2,•лУНевв/(xl,X2,r|)|дdxl JR

и Р1(х1,х2,в1,^) = f (х1,х2,'ц) + 81х1. Теперь рассмотрим интеграл $1(£,х2).

Предложение 1. Если аналитическая функция /(х1,х2,гц) удовлетворяет условиям: V/(0, 0, 0) = 0, 9 = 0, то существует окрестность нуля У1 х и С К2 х Кт такая,

что для, интеграла, й при д ^ 1 справедливо следующее асимптотическое соотношение:

ч г( 4'дп(в /8(°2°'0)$з)+$З^1(хх(х2''1'Г])'х2''1))

Ид(^,Х2) = ^ ще х

х^евв/(х1(х2, в1,^),Х2, ц) да(х2, в1+

+0^ ^ (^и +ю),

где а(х2,81,гц) := а(х1(х2,81,'ц),х2,'ц)ф(х2,81,'ц), здесь ф - некоторая, гладкая, функция,

причем, О ^^ равномерно относительно малых параметров (х2,в1,^), т.е. существу-

ют С > 0, и окрестность нуля и 1 такие, что при всех (х2,81,гц) е и1 выполняется

неравенство

°< и

<

Доказательство. В интеграле применим замену переменных

х\ = Хг + х\{х2, г])

и получим:

,Х2) = [ ег^Р1(Х1+Х1(х2'31'Т,)'Х2'31'Т,)а(Х1 +хг(х2, 81, <п),х2, г)х ./к

х|Не 55 ¡(Х1 + х1(х2, 5^ гц),х2, г])^¿Хг.

Заметим, НеевЦхХ1 + х1(х2, г/),х2, г/) - вещественно-аналитическая функция, И так как д ^ 1, то из леммы 2,5 следует, что

|Не 55 /(Х1 +х1(х2, 51, Г]),х2)1д - |НеЗв/(х1(х2, 51, Г]),х2)1д =

= 1Х1ЩХъх2, 81, Г]), (3.2)

где §(Х1,х2, г/) - функция, имеющая ограниченную вариацию по Х1, и ее полная вариация ,х2, г/)] - ограниченная функция от (х2, г]). Запишем интеграл ,х2) в следующем виде:

, х2) = [ ег^Р1(Х1+Х1(х2'31'Т,)'Х2'31'Т,)а(Х1 +х1(х2, 81, г),х2, л)х ./к

х [|Не 55 ¡(Х1 + х1(х2, 51, Г]),х2, Г])^ - |НеЗв/(х1(х2, 51, Г]),х2, Г])1"] йХ1 +

+ \Незз 1(х1(х2, 81, Г1),х2, 71)1" [ ег^Р1(Х1+х1(х2'31'Т,)'х2'31'Т,) х

./к

Ха(Х1 + х1(х2, 5Ь Г]),х2, Г])йХ1 = 11 + 12.

1

с множителем гашения:

11 = [ ег^Р1(Х1+х1(х2'31'Т,)'х2'31'Т,)\Х1\а1(Х1,х2, 81, фХ1,

./к

где а1(Х1,х2, г]) = а(Х1 + х1(х2, 5Ь гц),х2, г])$(Х1,х2, г]) и |Х11 играет роль гасителя. Согласно лемме 2.6 получим неравенство :

С || а(^,х2, 51, Г]) •$(•,х2, 51, Г^Цу С1Ца(^,х2, 51, Г]) •$(•,х2, 51, Г^Цу

'Л| < |Ы < и •

поскольку |£3| ^ —|£| и С1 = у/3С.

Теперь рассмотрим следующий одномерный осцилляторный интеграл:

12 = |Не 55 }(хг(х2, 5Ь Г]),х2, Г])^ [ ег^Р1(Х1+х1(х2>31*),х2м)х

ха(Х1 + х1(х2, 5Ь г]),х2, г])с1Х1. Заметим, что амплитуда последнего осциллирующего интеграла является гладкой функцией с достаточно малым носителем.

Благодаря лемме Морса существуют окрестность К х Кх2 х К31 х и начала координат и диффеоморфизм (см. [7], стр. 66, лемма 3.3):

(Х1,х2, 51, Г]) М (Х1 (у,х2, 51, Г]),х2, 5Ь Г]) такой, что фазовая функция Р1 (Х1 + х1(х2, г/),х2, в1, г/) приводится к виду

Р^1 (у ,х2, 5Ь Г}) +х1(х2, 5Ь 'Г]),х2, Э1, Г}) = ± у2 + Р^х^, в1, 'Г]),х2, 5Ь Г}),

причем знак перед у2 совпадает с 8гдп ^т^з(0, 0, и (Х1(0, •, •, •) = 0. Таким образом, для

2

12 = | Не88¡(х1(х2, 81, Г1),х2, Г])^е^1^2'31'^^31^ х

X / а(Х1(у,Х2,аи„)+ х1(х„ *„Чи2,Ч) ^ , "> ¿у.

А оу

Теперь, используя стандартный метод стационарной фазы [7], получим: 12 = \Не88¡'(х1(х2, 8Ъ 'ц),Х2, г])\Яе^зР1(х1(х2,81,11),х2,81,11)х

X (У!^4<^^,) + 0 (^^

где а(х2, г]) = а(х1(х2, Г]),х2, г])''

В результате, для осцилляторпого интеграла ^(С,х2), имеем:

/21д(С ,х2) = ег(± 489п(* 3Р1(Х1(Х2' 'ь^21^))х

у \ Сз\

х\Н е 5 5 /(х1(х2, 51, Г]),х2, Г])\Я а(х2, 51, Г]) + О ^ ,

где

Р1(х1(х2, 51, Г]),х2, 51, Г]) = 81Х1(Х2, 5Ь Г]) + ¡(х^2, 5Ь Г)),х2, Г]). Предложение 1 доказано, □

Следствие 2. Пусть ¡(х1,х2, г]) удовлетворяет условиям предложения 1, тогда существует окрестность нуля У1 X и С К2 X Ет такая, что для интеграла, при 1 справедливо следующее асимптотическое соотношение:

2тг ^isап(eZf (0',°'0)?з)

16!

X у егЬ(F1(X1(X2'S1'V),X2,S1)+S2x2) !Hessf(Xl(X2, Sl, V),X2, v¡)!qa(x2, su r])dx2+

+O^^ (гари |£| ^ +ю),

где a(x2,S\, rj) := a(x1(x2, s1, rj),x2, г])ф(х2, s1, r¡), здесь ф - некоторая, гладкая, функция, причем, O ^равномерно относительно малых параметров (rj).

Следствие 2 непосредственно вытекает из предложения 1,

Следующая лемма доказывается непосредственными вычислениями (см, [15]),

Лемма 3.1. Пусть F(x1,x2, sb s2, rj) гладкая, функция, зависящая от параметров (s 1, s2, r¡) и F' (0, 0, 0,0, 0) = 0, F'X1 (0, 0, 0, 0, 0) = 0. Если x1 = x1(x2, s2, rj) является, гладким, решением уравнения F' (x1,x2, s^ s2, rj) = 0, то для второй производной от функции F(x1(x2, S1, S2, rj) , x2, 1, 2, ) x2

д 2F (x1(x2, S1, S2, rj),x2, Sb S2, rj) = HeSsF (x1(x2, S1, S2, v),x2, «1, S2, rj)

Qx2 92F (xi('2, Si, S2,v),x2, Si ,S2,v) '

2 9x1

Так как HessF1(x1,x2, s1, rj) = Hessf(x1 ,x2, r¡), то, в силу леммы 3,1, имеем:

д 2F1(x1(x2, r]),x2, S1) _ Hes sf(x1(x2, S1,r¡),x2 ) dx2 92f (xi(x2, si,r¡),X2,r¡) '

2 9x1

Таким образом, достаточно рассмотреть поведение следующего одномерного осцилляторпого интеграла с множителем гашения:

h(Ь)= í e^(Fl(x2,s1,7í)+x2S2)a(x2, S1, v)!F1'(x2, su v)!qdx2, (3.3)

где а(х2, в1, г]) = а(х2, в1, г])\-щ¡(х1(х2, ^, г]),х2)|9 и Р1(х2, г]) - аналитическая функция.

Если Р1(х2, г/) является полиномом, то в силу теоремы Д.М, Оберлина [2] при 2 для интеграла (3,3) получим:

(\Ы2) ,

I,(Ь) = 0[ * ), (при \&И«>). » з\ 2

Далее докажем аналог теоремы Д, М, Оберлина для аналитических функций, которая представляет самостоятельный интерес. Так, доказательство основной теоремы 1,2 сводится к задаче об оценке одномерных осцилляторных интегралов с произвольной аналитической фазой, зависящей от параметров, что является более общим результатом. Как показал Д.М, Оберлин [2], для функции класса аналогичное утверждение не имеет место.

4. Доказательство основной теоремы 1.2 Теперь рассмотрим следующий одномерный осцилляторный интеграл:

1д(Сз) = I а(х2, ч)\Р"(х2, п)\^х2, (4.1)

где Р(х2, г/) - вещеетвеннозначная аналитическая функция в окрестности нуля Ш хи (Ш хи С К х Мт), удовлетворяющая следующим условиям: Р (х2, г/) ф 0, Р (0, 0) = 0 жа(х2, г]) еС™(Ш хи).'

Р( х2, )

начале координат. Тогда, существует окрестность начала, координат Ш х и С К х Кт такая, что для, любого вещественного числа 2 справедлива, следующая оценка:

\и^*)\ ^ ^. \ 6\2

Р( х2, )

ремы Вейерштрасса [16], т.е. Р(х2,0) ф 0, то получим результат работы [4], ибо в этом случае Р(х2, 0) имеет особенность типа Это условие эквивалентно тому, что Р'Х2(х2, 0) в точке х2 = 0 имеет корень кратности к (к < го) при условии Р'Х2 (0, 0) = 0.

Р( х2, )

тельной теоремы Вейерштрасса [16]. Точнее, случай, когда Р(х2,0) ф 0 хотя Р ф 0. Отметим, что в этом случае, как показано в классической работе Оегуда, аналог теоремы Вейерштрасса не имеет место (см. [17], §2, стр. 90).

В случае когда Р(х2, г/) аналитически продолжается во множество С х В, где В С Ст некоторый шар с центром в начале координат, мы можем использовать лемму 3 работы [12]. Однако, как показывает контрпример Оегуда (см. [17], §2, стр. 90), в общем случае утверждение леммы 3 работы [12] неверно.

Тем не менее мы можем использовать лемму 2.3, так как Р(х2, г/) - ненулевая вещеетвеннозначная аналитическая функция на множестве Ш х и и Р(0, 0) = 0. Тогда, применяя лемму 2.3, построим многообразие У и собственное аналитическое отображение п : У м и такие, что функция Р(х2,п(у)), в локальных координатах, имеет вид

Р (х2,п(у)) = УТ ШТ (у) ...<Р%Т (у)Ь(х2, у)р(х2, у),

где р(х2, у) - псевдополином и у(у) - локальные координаты. В этом случае для каждой точки у0 Е У существуют локшаные координаты (у1,..., ут) с центром в этой точке и удовлетворяющие условиям у (у0) = 0, ] = 1,... ,т. Мы будем считать п-1(и) С У -

У

Следовательно, интеграл (4,1) имеет следующий вид:

1д(Ь) = I ег^Р1(х2'у)а(х2, уЖх, у)\Чх2, (4.2)

где Р^, у) = у"1 (у) у"2 (у) ...<Р%Т (у)Ь(х2, у)р(х2, у) Теперь докажем следующую лемму.

Лемма 4.1. Пусть Р(х2, г]) - вещественнозначная аналитическая функция на, множестве Ш X ж-1 (и). Тогда, для любой точки у0 Е ж-1 (и) существует окрестность ш С такая, что при любом, д^ 1, для, интеграла, 1Я (£3) справедлива, следующая оценка:

С\\а(-, у)\\у

\I.Я(Ы\ ^

\6\2

где ш С - соответствующая окрестность начала, координат в

Доказательство. Далее, используем покрытие множества ж-1 (и) с конечным числом окрестностей точек у^ е ж-1 (и),

Пусть у° - некоторая фиксированная точка в ж-1(и), Так как, у" ( у" = у"1 (у)у"2(у)... (у)) ограничена в некоторой окреетности точки у0, то функция Р1 (х2, у) имеет вид:

Р1(х2, у) = уаР2(х2, У),

где Р2(х2, у) = Ь(х2, у)р(х2, у).

Из леммы 2.3 вытекает, что для каждой точки у0 Е У этого многообразия существует координатная окрестность ш такая, что Р2(х2, у) - вещественнозначная аналитическая функция в точке (0, у0), и при этом выполняется условие Р2(х2, у0) ^ 0. Поэтому мы можем применить подготовительную теорему Вейерштрасса к функции Р2(х2, у).

Заметим, что у" ограничено в окрееноети ш. Используя предложение 2.1 работы [4] и применяя стандартные методы анализа при д ^ 2, мы приходим к следующей оценке

\Ь(Ы\ ^ т^т. (4.3)

Так как, ж-1(и) - компактное множество, то, повторяя эти рассуждения для каждого множества шмы приходим к оценке (4.3). Наконец, эти локальные оценки позволяют получить искомую оценку для ж-1(и), Лемма 4.1 доказана. □

Так как ж :У ^ и собственное аналитическое отображение [13], применяя лемму 4.1 с использованием стандартных методов анализа, приходим к доказательству предложения 2. Действительно, согласно лемме 4.1 для каждой точки у0 Е ж-1(и) существует координатная окрестность У с центром в точке у0 такая, что Р(х2,ж(у)) записывается в виде

Р (х2,ж(у)) = у"1 (у)уа22 (у) ...уа™ (у)Ь(х2, у)р(х2, У) ,

где Ь(х2, у) - вещественно-аналитическая функция, причем Ь(х2, у) = 0 для любой точки (х2, у) еШ X ш и р(х2, у) - унитарный псевдополином.

Таким образом, имеем необходимую оценку при (х2, у) Е Ш X ш .Так как ж-1(и) компактное множество, то существуют конечное покрытие ж-1 (и) С и1ш^ и окрестность нуля Wj такие, что в Wj X ш^ мы имеем также искомую оценку. Наконец, переобозначая Ш := Р|^ 1 Wj = 0, получим искомую оценку вШ X и, что доказывает предложение 2. □

Предложение 2 завершает доказательство теоремы 1.2.

В заключении автор выражает глубокую благодарность рецензенту за ценные замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. С. D.Sogge, Е. M.Stein Averages of functions over hypersurfaces in Rra // Invent. Math. 1985. 82:3. P. 543-556.

2. D.M. Oberlin Oscillatory integrals with polynomial phase 11 MATH.SCAND. 1991. 69:1, P. 45-56.

3. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн - Заде С.М. Особенност,и дифференцируемых отображений. Част I. 1982. М.: Наука).

4. Sh.A. Muranov On estimates for oscillatory integrals with damping factor // Uzbek Mathematical Journal. 2018. 4. P. 112-125.

5. Икромов И.А., Муранов Ш.А. Об оценках осцилляторных интегралов с множителем гашения // Математические заметки. 104:2. 2018. С. 236-251.

6. Дубровин Б.А.,Новиков С.П.,Фоменко А.Т. Современная геометрия Методы и приложения Том I, М.: Эдиториал УРСС. 1998.

7. Федорюк М.В. Метод перевала.М.: Наука. 1977.

8. Е.М. Stein Harmonie Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory integrals, Princeton University Press Princeton, New Jersey. 1993.

9. G.I. Arkhipov, A.A. Karatsuba and V.N. Chubarikov Trigonometric integrals // Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat, 43:5 , 971-1003 (1979). 1197 (Russian); English translation in Math. USSR-Izv.15, 21-239 (1980).

10. J.G. VanDer Corput Zahlentheoretische Abschätzungen // Math. Ann. 1921. 84. P. 53-79.

11. Икромов H.A. Демпфированные осцилляторпые интегралы и максимальные операторы // Математические заметки. 78:6. 2005. С. 833-852.

12. Садуллаев A.C. Критерии алгебра,ичности аналитических множеств // Функц. анализ и его прил. 1972. 6:1. С. 85-86.

13. Edward Bierstone, Pierre D. Milman Arc-analytic functions Invent, math. 101. 1990. P. 411-424.

14. Эрдейи А. Асим,пт,от,ические разложения. 1962. M.: Физматгиз.

15. I.A. Ikromov, D. Müller, M. Kempe Damped oscillatory integrals and boundedness of m,axim,al operators associated to mixed homogeneous hypersurfaces // Duke Math.J. 2005. 126:3. P. 471490.

16. Мальгранж Б. Идеалы, дифференцируемых функций. 1968. М.: Мир.

17. W. Osgood Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd.II, Teubner, Leipzig. 1929.

Шахриддин Абдуллаевич Муранов, Самаркандский государственный университет, Университетский бульвар, 15, 140104, г. Самарканд, Узбекистан E-mail: muranov-2017@mail.ru