CC BY
29
УДК 517.95
ОБ ОЦЕНКЕ КОММУТАТОРА ЛИНЕИНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА
© В.М. Тюрин
Ключевые слова: пространство Бесова; коммутатор; дифференциальный оператор.
Для линейного дифференциального оператора эллиптического типа доказывается оценка коммутатора в пространствах Бесова.
Пусть X - банахово пространство с нормой || • ; L = L (r” , X) - пространство Лебега сильно измеримых (по Бохнеру) функций и : R ” ^ X (р > 1, п е N) с обычной нормой || u || ; пространство
Соболева, m е N [1, с. 60; 2, с. 126]; С = c(r”,X) -пространство непрерывных ограниченных функций u : R” ^X с sup -нормой; С“ = C“(r”,X) - линейное пространство дифференцируемых функций и : R” ^ X с компактными носителями.
Рассмотрим расходящуюся последовательность 1 < e1 <... < еп <... и последовательность 0 < d1 <
< ... < dn <__ Положим Xt1 = {x| | x| < (2i - 1)e1},
Xj = Xj(x)={xl ej-i < IA <(2i - 1)ej}, 1=1, -,
к е N , j = 2,3,. . Обозначим пространство V'¡р , состоящее из всех локально интегрируемых функций (r” , X ) , таких, что
\1/Р
u є Lloc = Lloc
w к
= Ydjej У j=1 i=1
N.1/p
Я u(*>lР
dx
v Xj
\u\\vp II u\\vkp
Относительно пространства см. [3, с. 264]. Введем пространство Бесова [4, с. 301; 2, с. 293] Б^р =
(я”,X), которое состоит из таких функций
= B
и є L
ioc ,
ІГІІв“ II ullv/ +
Vp к
( я У (-1)lk‘CiD“u(x + i(y-x))
нУ У Y d. J -------------------------------------------------L dxdy
Lj Lj j J І ІИ+py '
k=1 |a|<m j=1
= u\Lp + \u) <w. її "Vt \ ip
Здесь Ак(y - x)Dau(x) = Y(- 1)к i C'kDau(x +
i=0
+ i( y - x)) , s = от + y, 0 <y< 1, t є N , C^t - бино-
минальные
коэффициенты,
Y = Yij (y) =
= {у| е ^_1 < | у | < (2/ - 1)е^ ; у е Я”}. В пространстве Б^к1 = Б^ы (я”,X) норма задается формулой:
ИВ* =1 м1и +(м)Р •
11 "БрИ 11 "уы ' ‘ р
В [2] и [4] вместо пространства V'ке используется ЬР . Можно также применять пространства Жт-1(ЬР ) .
Для произвольных Т > п , ^ е Я” построим гладкую финитную функцию ф^х, £,,Т) = Ф1: К” ^[0Д] с носителем в шаре Б& 2Т) с Яп, при этом Ф1(хЛ Т ) = 1, если х е Б& Т), а ||Я“ф^ <
< Ь0 • Т-1 (Ь0 не зависит от Т, “ Ф 0 ), т. е.
Ф1 е СО°(я” , я) . Положим ф(х, %,Ц,Т) = ф (х, £, Т )х Хф(х,^,7,Т)=ф(х,€,Т)-ф(х,7,Т), ^ея” .
Рассмотрим линейный дифференциальный оператор Р в частных производных, действующий из пространства Брк в пространстве Б^и по формуле:
к
X, .хУ
V
У
к
u
kl
что
;tY
pke ;
где Д“(х)е с(яп,Еп^) Еп^ - пространство
линейно ограниченных операторов А : X ^ X .
Выражение Р(фи)-фРи называется коммутатором линейного оператора Р . Оценки коммутатора в той или иной форме в пространствах С, ЬР и других встречаются во многих работах, в основном при п = 1 . Из последних работ упомянем лишь [5, с. 109; 6, с. 169; 7, с. 28; 8, с. 252; 9].
Лемма. Для любых T > п и u е Б^к1 имеет место неравенство:
Мр<1I ь1(к )11
/р т
к=1
Чур *
t [т]+1
I Id
к=1 |a|< m
Ак (y - x )u(x)
у/р
Iх - у|
п*ру
■dxdy
где Ь (^) - некоторая постоянная, зависящая от
V Р, n, У .
Теорема. В пространстве Б|5 имеет место следующее неравенство для коммутатора:
(Р(фu)-фPup<IВД I рс
| a |<m-1
u +
t Т*
-I I Id
(
* т I I Id,
т к=1 |a|<m-1 j=1
|| Ak (y - x)D au(x)||
4,1/P
■dxdy
x - У
к=1
Величина do не зависит от u и T . Доказательство. Возьмем u е Бры . Коммутатор Р(ф u) -ф Pu представляет конечную линейную комбинацию вида АжDQф Dau (0 Ф 0) . Поэтому, применяя к нему лемму, получим искомое неравенство. Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1998. 336 с.
2. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. 480 с.
3. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: в 4 т. М.: Мир, 1986. Т. 2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. 456 с.
4. Тейлор М. Псевдо-дифференциальные операторы. М.: Мир, 1985. 472 с.
5. Массера Х., Шеффер Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970. 456 с.
6. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978. 204 с.
7. Егоров Ю.В. Лекции по уравнениям с частными производными. Дополнительные главы. М.: Изд-во МГУ, 1985. 65 с.
8. Исида К Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 252 с.
9. Тюрин В.М. О некоторых оценках в Rn для линейных дифференциальных операторов с частными производными // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36. С. 1134-1135.
Поступила в редакцию 11 октября 2012 г.
Tyurin V.M. ON EVALUATION OF COMMUTATOR OF LINEAR DIFFERENTIAL OPERATOR
For linear differential operator of elleptical type the evaluation of commutator in Besov’s space is proved.
Key words: Besov’s space; commutator; differential operator.
a <m
4
/
V
У
