О корректности линейных дифференциальных операторов в пространствах Бесова Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336 с.

3. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1985. 472 с.

4. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. 455 с.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Tyurin V.M., Kuznetsova Т.В. On estimation of the commutator of a differential operator with a multiplication operator. For a linear differential operator of elliptic type there is presented a commutator estimation in the Besov space and in the Besov—Stepanov space.

Key words: elliptic type linear differential operator; the Besov space; the Besov-Stepanov space.

Кузнецова Татьяна Борисовна, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, аспирант кафедры высшей математики, e-mail: [email protected].

Тюрин Василий Михайлович, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, e-mail: [email protected].

УДК 517.98

О КОРРЕКТНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ БЕСОВА

© Т.Б. Кузнецова, В.М. Тюрин

Ключевые слова: линейный дифференциальный оператор; пространство Бесова.

Найдено необходимое и достаточное условие корректности линейного дифференциального оператора в пространствах Бесова. Приводятся приложения этой теоремы.

Пусть X — банахово пространство; N = N (Кп,Х) — пространство непрерывных ограниченных функций и : Кп ^ X с 8ир-нормой, п € N; Ьр = Ьр (Кп, X) — лебегово пространство с обычной нормой || иа\\ , р > 1; Ь1ос = Ь1ос (Кп,Х) — пространство локально интегрируемых функций и : Кп ^ X, Оа = , а = (а\,ап), \ а | = а\ +

+ ... + ап, а] € N^10 (з = 1, ...,п).

Рассмотрим расходящуюся последовательность чисел 0 < в\ < ... < еп < ... и такую

последовательность чисел 0 < < ... < йп, что dj \М < , з = 1, 2, ..., ...,

для некоторой постоянной М > 0. Положим XI = {х : || х || ^ е\],

Xj = { х : ej-l < || х || ^ ej } з = 1, 2, 3, ..., || • || — норма в X. Пространство Ур состоит

из всех функций и € Ь1ос таких, что

ГО /

II и IIVР =5-/ dj ( j=l V

1/p

/Xj

u(x) ||p dx

< сю.

Определим пространство Бесова Бур следующим образом. Функция и € Ь[ос принадлежит пространству Бур тогда и только тогда, когда

j a j^m k=1 j=1 \ j=1

□ji

1/P

, Y- ^ ^ л I f Г Il (-1)i+1Cik-_11A(y-x)Dau(x+(i-1)(y-x)) ||p \

+ E E E dj I E J ----------------------------------------1x-y ^------------- dxdy I < Ж,

□ji = { ej-1 < I (1 — i)x + iy | ^ ej, ej-1 < |(2 - i)x + (i — 1)y| ^ ej} , s — m + y, 0 <j< 1, k <t G N, Cf - биноминальные коэффициенты A(z)f (x) — f (x + z) — f (x). В пространстве Byp норма задается формулой

Il U II B^Y — || U || yp +

BVP

, ^ ^ Л I f Г Il (-1)i+1Ck-\\(y-x) u(x+(i-1)(y-x)) ||p л ^ l ^

+ E E dj E J --------------------k 1 | x-y r+PY-----------dxdy) < ™,

k=1 j=1 \j = 1 j J

u G Lloc.

Пространство Byp определяется нормой

(\ 1/p

f I| A(y — x) Dau (x) Цр \

-----1 _ n+PY------------dxdy \ < ™,u G Lloc.

□jü 1 x y 1 J

Норма элемента u G B^p находится по формуле

Il u 11B1Y ^ u llyp + dj (f i - in+pY dxdy) < , u G Lloc.

VP j=1 \ □jü 1 x y 1 J

Обозначим дифференциальное выражение в частных производных

P — Aa(x) Da,

j a j ^m

Aa(x)

пологии функциями Aa : Rn f Hom (X,X) и Ц Aa ||c < <x>.

Линейный ограниченный оператор P : Byp f Byp ^P : B^/p f By1^ , действующий no формуле

Pu — ^ Aa(x) Dau(x),

j a j^m

назовем корректным, если существует такая постоянная k > 0 (k1 > 0), что выполняется неравенство

Il u 11 Bts ^ k || Pu У tj^y ( 11 u 11 b1s ^ k^ || Pu У D 1y ] ,

BVp BVp BVp 1 BVp

u G Byp ( u G Bysp ) .

Теорема. Оператор P : Byp f BtY корректен, если и только если корректен оператор

P : R1s , b1y

P . Byp f Byp .

Приводятся приложения этой теоремы.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Tyurin V.M., Kuznetsova Т.В. On well-posedness of linear differential operators in the Besov spaces. There is derived a necessary and syfficient condition of the well-posedness of a linear differential operator in the Besov spaces. Application of the presented statements are considered.

Key words: linear differential operator; Besov spaces.

Кузнецова Татьяна Борисовна, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, аспирант кафедры высшей математики, e-mail: [email protected].

Тюрин Василий Михайлович, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, e-mail: [email protected].

УДК 517.929

ТЕОРЕМЫ ТИПА ВОЛЯ-ПЕРРОНА ДЛЯ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ © А.Ю. Куликов

Ключевые слова: разностные уравнения; устойчивость; теоремы типа Боля-Перрона. Получены новые теоремы типа Боля-Перрона об устойчивости по правой части для разностного уравнения с несколькими переменными запаздываниями и переменными коэффициентами.

Пусть N —множество натуральных чисел, N0 = N и {0}, Дн = {(п,т) € N0 : п ^ т}, Сг — г-мерное комплексное пространство. Символом \ • \ будем обозначать норму г-мерного вектора и согласованную с ней норму г х г-матрицы. Обозначим 1Р (1 ^ р < ж) — пространство суммируемых со степенью р, а 1ГО — пространство ограниченных вектор-функций, заданных на N0.

Рассмотрим разностное уравнение

N

х(п + 1) — х(п) + Е Лк(п)х(п — Нк(п)) = /(п), п € N0, (1)

к=0

где Лк : N0 ^ Сгхг —матрицы-функции, а / : N0 ^ Сг —вектор-функция, Нк : N0 ^ N0.

Фундаментальным решением [1] уравнения (1) будем называть матрицу-функцию К : Дн ^ Сгхг, которая при каждом т € N0 является решением уравнения

N

К(п + 1,т) — К(п, т) = — ^ Лк(п)К(п — Нк(п),т), п ^ т,

к=0

с начальными условиями К (т,т) = Е, К(п,т) = О, п < т, где Еж 0 —соответствен-

г х г

Поставим начальную задачу для уравнения (1), доопределив функцию х при п ^ 0 нулевой начальной функцией. Решение этой задачи имеет представление х = К/, где

п— 1

(К/)(п) = Е К(п,г + 1)/(г). Оператор К назовем оператором Коши уравнения (1).

г=0