ОБ ОЦЕНКАХ СНИЗУ РЕШЕНИЙ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ ЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРО-Д ИФФЕРЕНЦИАЛ ЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА ТИПА ВОЛЬТЕРРА Текст научной статьи по специальности «Математика»

2016

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 2(33)

УДК 517.968.74

Об оценках снизу решений и их производных линейного интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка типа Вольтерра*

C. Искандаров

Институт теоретической и прикладной математики НАН Кыргызской Республики 720071, Бишкек, пр. Чуй, 265-А [email protected]; 00996779558008

Г. Т. Халилова

Кыргызско-Российская академия образования 720009, Бишкек, ул. Л. Толстого, 210 [email protected]; 00996778092205

Посвящается решению задачи об установлении достаточных условий, обеспечивающих оценки снизу и стремления к бесконечности решений и их производных до третьего порядка включительно линейного интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка типа Вольтерра. Для решения поставленной задачи развивается метод, основанный на идеях метода нестандартного сведения к системе, метода преобразования уравнений В. Вольтерра, метода срезывающих функций автора, метода интегральных неравенств Ю.А. Ведь, метода Ла-гранжа для интегрального представления решений линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка и метода оценки снизу решений Ю.А. Ведь. Схема исследования такова: сначала устанавливаются априорные оценки на полуоси для решений и их производных, затем производятся оценки снизу, используя интегральные представления для решений и их первых, вторых, третьих производных, при этом образуются многообразия для начальных данных. Таким образом, поставленная задача решается для решений и их производных рассматриваемого уравнения с начальными данными Коши из вполне определенных начальных многообразий соответственно. Заметим, что изучение оценок снизу решений ин-тегро-дифференциальных уравнений высоких порядков типа Вольтерра является одним из трудных вопросов асимптотической теории решений таких уравнений на полуоси. Обсуждается связь этой задачи с неустойчивостью и неосцилляцией решений, а также отсутствием особенных точек в смысле Я.В. Быкова для рассматриваемого интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка типа Вольтерра. Отмечается, что исследуемая задача новая и для соответствующего линейного дифференциального уравнения четвертого порядка. Нами же показана принципиальная возможность исследования этого вопроса.

Ключевые слова: интегро-дифференциальное уравнение; априорная оценка; оценка снизу, стремление к бесконечности; многообразие начальных данных; неустойчивость; неосцил-лируемость. DOI: 10.17072/1993-0550-2016-2-21-29

Все фигурирующие в работе функции и их производные являются непрерывными и соотношения имеют место при t > (0, I >т > (0; J = [¿0, да); ИДУ - интегро-диффе-

© Искандаров С., Халилова Г. Т., 2016

'Статья написана по материалам международного симпозиума "Дифференциальные уравнения. Сто лет математической науке Урала". Пермь. 16-19 мая 2016.

ренциальное уравнение; ДУ - дифференциальное уравнение.

Рассматривается следующая

Задача. Установить достаточные условия, обеспечивающие оценки снизу и стремления к бесконечности при t ^ да решений и их производных до третьего порядка включительно линейного ИДУ четвертого порядка типа Вольтерра вида:

х(4) (t) + a3 (t) х '" (t) + a2 (t) x " (t) + aj (t) x'(t) +

1 +

+a0(t) x(t) + j [Qo(t,T) x(t)-

t0 (1) +Qj(t,r) x " (t) + Q2(t,r) x "" (T) +

+Q3(t,t)x""(T)]dT = f (t), t > to.

Речь идет о решениях ИДУ (1) x(t) е C4 (J, R) с любыми начальными данными x(k) (t0) (k = 0,1,2,3). Каждое такое решение существует и единственно.

Насколько нам известно, сформулированная нами задача ранее никем не изучена. Эта задача имеет непосредственную связь с вопросом о неустойчивости (по Ляпунову) и неосцилляцией решений ИДУ вида (1) и некоторых систем ИДУ типа Вольтерра. Заметим, что достаточные условия неустойчивости решений систем линейных и нелинейных ИДУ типа Вольтерра установлены методом сравнения с решениями соответствующих невозмущенных систем линейных ДУ в работах М.И. Иманалиева и Ю.А. Ведь (см. напр., [1]); систем линейных ИДУ типа Вольтерра первым методом Ляпунова в [2], методом матричных весовых и срезывающих функций в [3]. Вопросы оценок снизу решений дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений исследованы в работах Н.В. Азбелева, З.Б. Цалюка [4], Ю.Н. Смолина [5], T.A. Burton's [6], R.P. Agarwal's, L. Berezansky, E. Braver-man's, A. Domoshnitsky [7].

Для решения поставленной задачи развивается метод работы [8], а именно метод, основанный на идеях метода нестандартного сведения к системе [9, 8], метода преобразования уравнений В. Вольтерра [10, с. 194-217], метода срезывающих функций [11, с. 41], метода интегральных неравенств [12], метода априорных оценок [13, 14], метода Лагранжа для интегрального представления решений линейного неоднородного ДУ первого порядка (см., напр., [15, с. 391-394]) и метода оценки снизу решений (см., напр., [16, 17]).

Приступим к получению основного результата. Согласно [9, 8] в ИДУ (1) осуществляем следующую замену:

x ' (t) = 5 x(t) + Wx(t) y(t), (2)

y ' (t) + Ay(t) = W2(t) z(t), y ' (t) = -Ay(t) + W2(t) z(t), (3)

(5)

где 0 < 8 , Л - некоторые вспомогательные параметры; 0 < Щ (г) (к = 1,2) - некоторые весовые функции; у(г), г (г) - новые неизвестные функции.

Из (2), (3) дифференцированием получаем:

X " (г) = 8 X ' (г) + Щ "(г) у(г) + Щ (г) у ' (г) = = 8[8 х(г) + Щ(г) у(г)] + +Щ "(г) у(г) + Щ (г)[-Лу (г) + Щ2 (г) г(г)] = (4) = 82 х(г) + Щ (г) у(г) + Щ (г )Щ2 (г) г(г), где Щ (г) - Щ "(г) - лЩ1(г) + 8Щ;(г);

х "" (г) = 82 х " (г) + Щ" (г)у (г) + +Щ (г) у ' (г) + Щ(г щ«)) ' г(г) + +Щ (г )Щ2 (г) г' (г) = 82[8х(г) + +Щ(г) у(г)] + Щ' (г) у(г) + +Щ (г )[-Лу (г) + Щ2{г) г(г)] + +(Щ (г )Щ2 (г)) ' г(г) + Щ (г)Щ2 (г) г ' (г) = = 83 х(г) + А1 (г) у(г) + А2 (г) г(г) + +Щ(г )Щ2(г) г ' (г),

где А;(г) - Щ' (г) + 82Щх(г)-ЛЩ(г), А2(г) -- (Щх(г )Щг($)) ' + Щ (г )Щ2(г); х(4)(г) = 83 х ' (г) + А; (г) у(г) + А! (г) у ' (г) + +А2(г) г(г) + ^) г ' (г) + +(Щ (г Щ (г)) ' г ' (г) + Щ (г )Щ2 (г) г " (г) = = 83[8х(0 + Щ;(г) у (г)] + А,'(0 у(г) + +А (г)[-Лу(г) + Щ2 (г) г(г)] + А2 (г) г(г) + +А2 (г) г ' (г) + (Щ (г )Щ2 (г)) ' г ' (г) + +Щ (г)Щ2 (г) г" (г)) = 84 х(г) + А3 (г) у(г)+А4 (г) г(г) + +А ( г) г' ( о + щ ( г)Щ2 ( г) г" ( г),

где А3( 0 - А;( 0 - ЛА;( 0 + 83Щ;( г), А4 (о - А2( о + А;(ОЩД г), А5( О - (Щ;(г)Щ2(0)" + А2( 0. Подставляя (2)-(6) в ИДУ (1), имеем: 84 х( г) + А3 ( г) у (г) + А4 ( г) г( г) + +А5 (0 г ' ( о + щ;( г)Щ2( о г '" ( о + +а3 ( г)[83 х( г) + А; ( г) у( г) + +А2 ( г) г( г) + Щ; ( г)Щ2 ( г) г" ( г)] + +°2 ( г)[82 х( г) + Щ ( о у( о + щ; ( ОЩ2 ( о г( г)] + +а;( 0[8х( 0 + Щ;( 0 у( 0] +

(6)

+a0(0 x(t) + J (ßo(t,r) x(t) +

to

+Qi(t,T)[Sx(T) + Wi(T) y(T)] +

X(T) + W (T)y(T) +3 (7)

+W (T)W2 (T)z(t)] + 03 (t,T)[53X(T) +

+4(т) y(T) + A2t) z(t) + +Wx{t)W2{t)z'(T)]}rfT = f (t), t > to.

Введем следующие обозначения:

b3(t) - a3(t) + As(t)(Wi(t)W2(t))-1

(коэффициент z'(t) ),

b2 (t) - a2 (t) + [a3 (t)A2 (t) +

+A4(t )](W1(t )W2(t ))-1 (коэффициент z(t)), bi(t) - ai(t)(W2(t))-1 + [a2(t)W(t) + +a3(t ) Ai(t ) + A3(t )](Wi(t )W2(t ))-1 (коэффициент y(t)),

b0 (t) - [a0 (t) + Sa1 (t) + 82a2 (t) + +53a3(t ) + 8A](W1(t )W2(t ))-1 (коэффициент x(t) ),

Po(t,t) - W1(t)W2(t))-1[ßo(t,T) +

+£â(t ,T) + 52Ö2(t,T) + 53Ö3(t,T)] (ядро с x(t) ),

P (t,T) - (W (t)W2 (t))-1 [Q1 (t,t)W (T) + +Q2(t,T)W (T) + Q3(t,T) A1 (t)] (ядро с у(т) ),

P (t,т) - W1(t)W2(t))-1[Q2(t,T)W1(T)W2(T) +

+Q3(t,T) A2(T)] (ядро с z (т) ),

K(t,T) - (W(t)W2(t))-1 Q3(t,t) W (t)W2(t) (ядро с z'(t) ),

F (t ) - W1(t )W2(t ))-1 f (t ) (новый свободный член).

Деля обе части (7) на W1(t)W2(t) и учитывая введенные обозначения, получаем ИДУ второго порядка типа Вольтерра для новой неизвестной функции z(t) .

Объединяя это ИДУ для z(t) с заменами (2), (3), т.е. с ДУ первого порядка (2), (3), для

ИДУ четвертого порядка (1) будем иметь следующую эквивалентную систему:

X ^) = Зх^) + Wl(t) у^), у ' ^) + Лу^) = W2(t) z(t), 7 '' (t) + ) 7 ' (t) + Ь2^) z(t) + +Ь^) y(t) + ) х^) +

-} [Po(t ,т) x(t) +P(t ,т) y(T)-

+P2(t,T)z (т) + K (t ,т) z ' (T)]dT = F (t ), t > to. (8)

Отметим, что по сравнению с исходным ИДУ четвертого порядка (1) полученная система (8) легко исследуется, так как мы заданное ИДУ (1) расщепили на систему из трех простейших уравнений. Идея получения простейшей системы (8) вместо сложного ИДУ четвертого порядка (1) заимствована из идей методов расщепления операторов из монографии академика Г.И. Марчука [18].

Отметим также, что идея введения некоторой весовой функции типа W(t) для исследования устойчивости решений ДУ с последействием содержится в монографии академика Н.Н. Красовского [19, с. 199] и в монографии Н.В. Азбелева, В.П. Максимова, Л.Ф. Рахматуллиной [13, с. 96-99].

Пусть [11]:

K(t,T) = Х K(t,T),

i=o

F (t ) = £ F, (t ),

(К)

(F)

y/t (t) (i = l.n) - некоторые срезывающие функции,

Ri(t,r) -

- K (t,x){Wl (t(t))"1, Ei (t) -

- F (t)(¥l (t))"1 (i = l.n),

Ri (t, t0) = Ai (t) + Bi (t) ( i = l.n), (R) ci (t) (i = l. n) - некоторые функции.

К системе (8) применяем метод преобразования уравнений В. Вольтерра [10, с. 194217] и метод срезывающих функций [ll, с. 41].

Для произвольно фиксированного решения ( x(t ), y(t ), z(t )) аналогично [10, с. 194-217] первое уравнение системы (8) умножаем на x(t ), второе - на y(t), а третье - на z '(t ), полученные соотношения сложим, затем интег-

рируем в пределах от 10 до г, в том числе по частям, при этом аналогично [11] вводим условия (К), (F), функции у/, (г), Я (г,;), условие (Я), функции Ei (г), С, (г), используем леммы 1.4, 1.5 [20].

В результате получаем следующее тождество:

I

(х(г ))2 + (у (г))2 + 2Л| (у( *))2 + (г ' (г ))2 +

+2163(5)( г ' (5))2 (8 + Ъ2(г)( г(г ))2 +

+

XI А, (г)(2, (г, О)2 +В (г )(Zг (г, О)2 -

,=1

-2Е, (г) 2, (г, О + С, (г) -

| [ В" (8) (2 (8,0)2 - 2 Е" (8) 2, (8,0 +

г0

С" (8)](8 + | я;(г ,;) (2, (г ,;) )2 (;} -

г0

г г

- с* + 281 (х(^))

2 (8 + 21 Щ^) х( 8) +

г0 г0 г

+Щ2( 8) г(8)] у(8)(8 + | Ъ2(8)( г (8))2 (8 +

г0

+£ }[А(8)(2 (8,г0))2 +

' =1 га

+|Я";(8,т)(21 (8,Т))2-

г0

г

21 г " (8) {^ (8) + Ъ (8)у (8) + Ъ (8) х(8)

(9)

-2 Jг

г0

+

где

I [^(8,;) х(;) + Р(г,;) у(;)

+

+Р2(г,;) г(;) + К0(5,т) г' (т)]dт}ds,

I

2,(г,;) -\уг(п)г'(ч)(ц (, = 1..«),

С* = (х(О)2 + (у(г0))2 + (г ' (г0))2 +

п

+Ъ2(г0)( г(г0))2 +Х с Ю.

Из тождества (9), переходя к интегральному неравенству, аналогично теореме 1 [21], применением леммы [12] об интегральном неравенстве, устанавливается

Теорема 1. Пусть

1) 8 > 0, Л> 0, Щк(г) > 0 (к = 1,2), выполняются условия (К),(Я), (Я); 2) Ъ3(г) > 0; 3) Ъ2(г) > Ъ20 > 0,

существует функция Ъ* (г) > 0 такая, что Ъ2(г) < Ъ2*(г)Ъ2(г); 4) А, (г) > 0, В, (г) > 0, В"(г) < 0, Я; (г,;) > 0, существуют функции А*(г) > 0, с, (г), Я*(г) > 0 такие, что А"(г) < Д*(г)Д.(г), (Ек)(г))2 < <В(к)(г)с,(к)(г), я;(г,;) < Я*(г)К(г;)

(, = 1..п; к = 0,1).

Тогда для любого решения (х(г), у (г), г(г)) системы (8) справедливы следующие оценки:

г

(х(г))2 + (у (г))2 + Л| (у (8))2 + (г'(г))2 +

г0

г

I Ъ3(8)( г' (8))2 (8 + Ъ2(г)( г(г ))2 +

г0

XX [ А, (г)( (г, г0))2 + |я;(г;) ((г,;) )2 (;] <

+

+

,=1

I

< {^/С* + | |Е0(8)| ехр(-8 8 + 8 г0 -

г0

G(т)dт)ds}2

ехр{28г -

г0

г

-28 г0 + 21 О(.<0(.<0,

г0

1

|х(г)|, |у(г)|,(Ъ20)2 |г(г)|,|г '(г) < Е*(г),

(10)

(11)

где

Е* (г) - [^/С* + 11(8)1 ехр(-8 5 + 8/0 -

г0

8 г

О(;)( ехр(8 г - 8г0 +1 в^я),

G(г) - Щ1(г) + Щ2(г) + ^ Ъ2(г) +

1 п

+1 X Д.*(г) + я*(г)] +

2,=1

+

1^(01 + ^ )|+{ [| Р,(/,т)| + р^ ,т)| +

+ ^,7)^20) 2 +| К0^,Т)\^Т.

Отметим, что оценки (11) называются априорными.

Далее используя априорные оценки (11), будем заниматься оценками снизу решений х(/) и их х(к^) (к = 1,2,3) ИДУ (1).

Из ДУ (2) методом Лагранжа [15, с. 391394] имеем следующее интегральное представление для х(/):

t

х(0 = еЗ(^0)[х(/0) +1е~3(^^(я)у(^]. (12)

Отсюда аналогично [16, 17] получаем оценку снизу для | х(/) |:

I х(Г )|> е3('-о)[|х(/о)|-t

-{ е-3(^о)Щ1(5)1у(5)^5]. (13)

to

С учетом оценки (11) для у(/) из (13) имеем оценку:

|х(/)|> eS(t-t0)[| x(to) | -

Из третьего уравнения, т.е. из ИДУ второго порядка для г^) системы (8), учитывая оценки (11), получаем априорную оценку для

|г'' (t)|< №и)| + [IЬ3^)| +

+(Ь20 ) 2 Ь" (t) + Ь ^) + Ь0 (t)]Е (t) +

+ { [| Po(t,т)| + |р(/,т)| + (¿20 )- 2 ,Т)\ + (19)

+|К(/,т)|]е,(т^т . Тогда, используя оценки (11) для г^), г' (0 и (17), (19), имеем следующую априорную оценку:

-1

I У "'(t)|<[Л2 + (2 + Л(Ь20)-")Щ"(/)| + - 1

+ЛW2 ^) + (Ь20)- 21 W2"(t )|]Е* (t) + W2 ^ )[| Ь3 (0| +

-1

+(¿20 ) 2 ¿2 (t)| + Ь (t)| + ¿0 (t^Е^) +

+

F и )| W2 и) + W2 (О } [| Р0 (t, т)| + |Р (t ,т)| + (20)

+

(14)

+(Ь20) 2 |Р2(/,т)| + |К(/,т)|]Е*(т)А?т = Б(0. Из (4) имеем

х" (t) = з х"(t) + W1 "(t)у(t) + Щ ^)у "^). (*) Рассматривая это соотношение как ДУ для х" ^), получаем следующее интегральное представление:

t

х " ^) = eS(t-t0){x " (О +1 е-З( 5-о)Щ "(5) у(5) +

+ВД у " (*)]Ж}. (21)

^ Отсюда с учетом оценок (11) для у(0, (15) и

Далее используя оценки (11) для обозначение Е«^) имеем оценку снизу для

y(t), г '(0, из замены (3) получаем следую- х "(t) аналогично (13), (14): щую априорную оценку для у" ^): г

| х" (0|> е3(Мо){| х" (/0) I -{ е-З(5-'0)[| Щ"( + ЛЩ2(5) +

I

| ^фехр^^т)^

/о 0

|^ (т)| ехр(-З т + 3 ^ -

Ъ

т

| G(r)dr)dт}ds].

+(¿202(W2(s))2]E«(s)ds} =

í

= е31^0^ х"(/с) I [|Щ{(5)\ + ЛЩ2(5) +

I у"(0|< [Л + (¿20) 2 ЩДОШО. (15) Из (3) дифференцированием имеем

у" ^) = -Ау" ^) + Щ"(/) г($) + Щ2(Г) г " ^). (16)

С учетом оценок (13) и (11) для ), г' (^ получаем априорную оценку 0

| у"(/)|< [А + (Ь20)- "I Щ"(/) I +Щ"(/)]Е*(/). (17) +(Ь"0) "(Щ"<Х>)"]ехр(.[0 ^»^К^-Из (16) имеем

у '" (t) = -Ау" ^) + Щ""(/) г (0 + +2Щ"(0 г' (t) + Щ"(/) г " (t). (18)

+||F0(т)|exp(-Sт + 3/0 G(r|)dr|)dт]ds}. ("")

Теперь из (*) дифференцированием имеем: Из (24) в силу оценок (11) для у (г), у' (г), (17),

(20) аналогично (13), (14), (22), (23) приходим к следующей оценке снизу:

г

х "" (г) = 8х "" (г) + Щ (г) у(г) +

+2Щ "(г) у' (г) + Щг(г)у"(г). (**)

Рассматривая (**) как ДУ для х" (г), получаем интегральное представление аналогично (12), (21):

| х "(г) |> е8(г-г0)[| х "(г0) | -{ е~8(8-г0){Щ'"(8) +

г0

-1

+3 |Щ»|[Л + (Ъ220)- 2 Щ2( *)] +

х"(г) = е8-,0){х "(г0) + | -,0)[Щ1 ■(8) у(з) + +3 |щГ(+ (Ъ^,- 2 Щ^) +

г "(а = е8(г-г0){х " (г ) + | е-8(8-г0)[Щ"

+2Щ(8)У(8) + ^«УМ« Щ,)]}£(_ {е-с-»^«ОДС].

Отсюда с учетом оценок (11) для у(г), (15), г0

(17) аналогично (13), (14), (22) получаем сле- Введем следующие обозначения:

дующую оценку снизу:

г

(25)

М0[х(/0,, х '(г0,, х " (г0,, х "(г0,] -

1 х "(г) > е8(г-г0)[| х " (г0) 1 -{е-8(8-г0){|Щ1 '(+ -| х(/0, | -{Щ1(,)ехр({8 О;,^ +

г0 ■'г0

г0

+{|^)(т)|ехр(-8т + 8г0 - (26)

1

+2[Л + (Ъ20,- 2 Щ^)] Щ Т^) +

-1

+[Л + (Ъ20)- 2 Щ" (+ Щ2 (8)]Щ (8)}Е* фС] = г0

т

= е8(г-г0)[| х " (г0) | -{ {Щ'(+ 2[Л + -{ 0(п)(п)(т}(8,

г0

-1 М,[х(г0,, х '(г0,, х " (О, х '" (г0,] -

+(Ъ20, 2 Щ^)]Щт^) + ад

1 -|х ' (г0,|-{ [| Щ Г^) + ЛЩ^) +

+[Л + (Ъ20) 2 Щ"(+ г0

-1

+Щ2 (8,]Щ (8,}ехр({* 0(т)(т){^С* + +(Ъ20)- 2 (Щ2 (8))2 ] ехр({8 0(т)(т){^С:. +

{IЯ0(т)|ехр(-8т + 8г0 - (23) +{|Е0(т)|ехр(-8т + 8г0 -{0(п)(п)(т}(8, (27)

г0 г0 г0

-ГОП^тШ М2[х(г0),х '(г0), х "(г0), х "(г0)] -

* ад

г0

I х '"(г0)|-{{ЩУ)| + 2[Л +

Теперь из (**) дифференцированием имеем г0

х(4)(г) = 8 х '" (г) + Щ '"(г) у(г) + 3Щ1"(г) у '(г) + +(Ъ20)- 2 Щ2(,)] Щ Щ +

+3Щ1'(г) у "(г) + Щ(г)у '"(г). (***) _1

Рассматривая (***) как ДУ для х "" (г), анало- +[Л +(Ъ20) |Щ (8)| +

гично (12), (21) получаем следующее инте- +Щ2(8)}ехр({8 0(т)(т){Ф:

гральное представление: г0

х'" (г) = е8(г-г0){х '" (г0) + {е-^'^Щ^у(я) + +Г 1''°' г0 0

+3Щ "(8,у '(8) + 3Щ1 '(8)у "(8) + -{ Оп)(п)(т(

+^0?) у '" (8)](у}. (24) г0

+

{|(т) ехр(-8 т + 8г0 - (28)

Mз[x(t0), x '(t0), x " (t0), x '"(t0)] -

ад

-1 x"" (t0)|-fe~5(s-t0){\W""(s)| +

t0 (29)

_ 1

+3 W " (s)|[A + (¿2ü)_ 2 W2(s)] +

1

+3 |W " (s)|[A + (b20)_ 2 |W2"(s)| +

ад

+W2(s)]}E*(s)ds _ J e'^^W^s)D(s)ds.

Из (14), (22), (23), (25) с учетом обозначений (26)-(29) непосредственно следует

Теорема 2. Пусть

1) выполняются все условия теоремы 1;

2) Mk [х(0, x "(О, x " (О, x "" (О] > 0

(k = 0,1,2,3). (30)

Тогда для любого решения x(t) и их xik)(t) (k = 1,2,3) ИДУ (1) с начальными данными из многообразий (30) соответственно справедливы следующие оценки снизу:

|x(k)(t)| > e^ Mk[x(t0),x "(О, x "(О, x '" (t0)] (k = 0,1,2,3). (31)

Из теоремы 2, т.е. из оценок (31) вытекает

Следствие. Если выполняются все условия теоремы 2, то для любого решения x(t)

и их xik)(t) (k = 1,2,3) ИДУ (1) с начальными данными из многообразий (30) соответственно справедливы следующие утверждения:

liml x(k )(t )| = ад (k = 0,1,2,3).

t^ад I I

Замечание 1. Из теорем 1, 2 и следствия можно получить решение вышепоставленной задачи и для соответствующего ДУ (в ИДУ (1) Qk(t,T) - 0 (k = 0,1,2,3)):

x(4) (t) + a3 (t) x '" (t) + a2 (t) x" (t) + +ax(t)x "(t) + a0(t)x(t) = f (t), t > t0. (10)

Насколько нам известно, и такая задача для (10) тоже никем ранее не решена.

Замечание 2. С учетом соотношений С* = (x(t0))2 + (y (t0))2 + (z" (t0))2 +

n

+b2(t0)( z (t0))2 +X С (t0),

i=1

х ' (/о ) = Зх(/о) + Щ (/о ) у (/о ), у ' (/о ) + Ау (/о ) = = щ"(/о) г(/о),

х '' (/о) = З2 х(/о) + Щ (/о) у(/о) + + щ1(/о)щ"(/о) г (/о), х '" (/о) = З3 х(/о) + Л(/о) у (/о) + +А" (/о ) г(/о) + Щг(/о) Щ" (/о ) г ' (/о ) определяются многообразия начальных данных (30), т.е.

Ик [х(/о), х '(/о ), х "(/о ), х "(/о )] > 0 (к = 0,1,2,3).

Таким образом, доказано, что любое решение х(/) и их х(к)(/) (к = 1,",3) ИДУ (1) с начальными данными из многообразий (30) соответственно стремятся к бесконечности при / ^ да, значит, любое решение х(/) ИДУ (1) неустойчиво по Ляпунову. Следует добавить, что такие решения х(/) ИДУ (1) не имеют нулей на полуинтервале J , т.е. неосциллируют.

Заметим также, что ИДУ (1) с начальными данными из многообразий (30) не имеют особенных точек [22, с. 27], а именно: при

любых х(к) (/1) (к = 0,1,", 3; /1 > /0) из многообразий (30) ИДУ (1) имеет единственное решение х(/) е С4( J, Я) .

В заключение отметим, что изучение оценок снизу решений ИДУ высоких порядков типа Вольтерра является одним из трудных вопросов асимптотической теории таких уравнений на полуоси. Нами же показана принципиальная возможность исследования этого вопроса на примере ИДУ четвертого порядка (1), кроме того, разработанный нами метод решения поставленной задачи может быть применен для других классов ИДУ высоких порядков.

Список литературы

1. Иманалиев М.И., Ведь Ю.А. Интегральные возмущения в теории устойчивости систем дифференциальных уравнений // Ис-следоваеия по интегро-дифференциаль-ным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1973. Вып. 9. С. 3-67.

2. Сергеев В.С. О неустойчивости в критическом случае пары чисто мнимых корней для одного класса систем с последействием // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62, вып. 1. С. 79-86.

3. Искандаров С. Об оценке снизу решений систем линейных вольтерровых интегро-дифференциальных и интегральных уравнений // Исследования по интегро-диффе-ренциальным уравнениям. Бишкек: Илим, 1999. Вып. 28. С. 85-91.

4. Азбелев Н.В., Цалюк З.Б. Интегральные и дифференциальные неравенства // Тр. IV всесоюз. матем. съезда. Т. 2. М.; Л.: Наука, 1965. С.384-391.

5. Смолин Ю.Н. Об оценке снизу решений интегро-дифференциальных уравнений с запаздываниями // Краевые задачи: меж-вуз. сб. науч. тр. Пермь: Перм. политехн. ин-т, 1979. С. 183-186.

6. Burton T.A. Volterra Integral and Differential Equations. New York a.o.: Acad.Press, 1983. -X+313 p.

7. Agarwal R.P., Berezansky L., Braverman E., et al. Nonoscillation Theory of Functional Differential Equations with Applications. New York, Dordrecht, Heidelberg, London: Springer, 2012. 520 p.

8. Искандаров С., Халилова Г.Т. Оценки снизу решений линейного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения третьего порядка // Вестник КНУ им. Ж. Баласагына. Бишкек: КНУ, 2011. Спец. вып. С. 61-65.

9. Искандаров С. Метод нестандартного сведения к системе и экспоненциальная устойчивость линейного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 6. С. 898-899. (О семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском университете).

10. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование / пер. с фр. О.Н. Бондаренко / под ред. Ю.М. Свирежева. М.: Наука, 1976. 288 с.

11. Искандаров С. Метод весовых и срезывающих функций и асимптотические свойства решений интегро-дифферен-циальных и интегральных уравнений типа Вольтерра. Бишкек: Илим, 2002. 216 с.

12. Ведь Ю.А., Пахыров З. Достаточные признаки ограниченности решений линейных интегро-дифференциальных уравнений // Исследования по интегро-дифференци-альным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1973. Вып. 9. С. 68-103.

13. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматул-лина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

14. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд-во Перм. унта, 2001. 230 с.

15. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1967. 564 с.

16. Ведь Ю.А. Достаточные признаки отсутствия особенных точек у интегро-диффе-ренциальных уравнений // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1965. Вып. 3. С.123-135.

17. Китаева Л.Н. О наличии невертикальных асимптот у решений дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом // Там же. С. 213-222.

18. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. 264 с.

19. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физмат-гиз, 1959. 212 с.

20. Искандаров С. Метод весовых и срезывающих функций и асимптотические свойства решений уравнений типа Воль-терра: автореф. дис... докт. физ.-мат. наук: 01.01.02. Бишкек, 2003. 34 с.

21. Искандаров С., Халилова Г.Т. Об оценке снизу решений линейного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Исследования по ин-тегро-дифференциальным уравнениям. Бишкек: Илим, 2010. Вып. 42. С. 29-34.

22. Быков Я.В. О некоторых задачах теории интегро-дифференциальных уравнений. Фрунзе: Киргиз. гос. ун-т, 1957. 328 с.

Lower estimates of solutions and their derivatives for the linear fourth order Volterra integro-differential equation

S. Iskandarov

Institute of Theoretical and Applied Mathematics of the National Academy of Sciences of the Kyrgyz Republic; 265-A, Chuy prospect, Bishkek, 720071, Kyrgyz Republic [email protected], honeycomb; 00996779558008

G. T. Khalilova

Kyrgyz-Russian Academy of Education; 210, L. Tolstogo st., Bishkek, 720009, Kyrgyz Republic [email protected], 00996778092205

The article is devoted to solving the problem of establishing the sufficient conditions for the lower estimates and tendency to infinity of solutions and their derivatives up to the third order of the linear fourth order Volterra integro-differential equation. To solve the problem, we develop a method based on the ideas of the method for non-standard reduction to a system, the method of converting Volterra equations, the author's method of cutting functions, Yu.A. Ved's method of integral inequalities, the Lagrange method for the integral representation of solutions of linear inhomogeneous first order differential equations and Yu.A. Ved's method for lower estimations of solutions. The study has the following design: first, a priori estimates are established on a half-axis for solutions and their derivatives, then lower estimates are produced using the integral representations for solutions and their first, second, third derivatives, with the formation of the manifold to the initial data. Thus, the problem is solved for solutions and their derivatives of the equation with the initial Cauchy data of a certain initial manifold, respectively. It should be noted that the study of lower estimates for solutions of high order Volterra integro-differential equations is one of complex problems within the asymptotic theory of solving such equations on the half-axis. The connection of this problem with instability and non-oscillation of solutions is discussed, as well as with the absence of singular points in the sense of Ya.V. Bykov for the considered Volterra inte-gro-differential equation of the fourth order. It is emphasized that the task under study is new for the corresponding linear fourth-order differential equation. The fundamental possibility of studying this question have been demonstrated.

Keywords: integro-differential equation; a priori estimate; lower estimate; tendency to infinity; manifold of initial data; instability; non-oscillation.