CC BY
38
УДК 517.927.25
ОБ ОЦЕНКАХ МИНИМАЛЬНОГО СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ НА ПОТЕНЦИАЛ И КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ТРЕТЬЕГОТИПА5)
Е С. Карулина
Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, ул. Нежинская, 7, Москва, Россия e-mail: karulinaes@yandex.ru
Аннотация. Рассматривается задача Штурма-Лиувилля с краевыми условиями третьего типа и интегральным условием на потенциал. Получены оценки минимального собственного значения Л1 этой задачи при различных значениях параметров.
Ключевые слова: краевая задача, первое собственное значение.
1. Введение. Рассматривается следующая задача Штурма-Лиувилля:
у - Я(х)у + Ху = 0, (4.1)
1 у (0) - к2у(0) = 0, у (1) + к2у (1) = 0, к >
где q(x) - неотрицательная ограниченная суммируемая на [0,1] функция, удовлетворяющая условию:
1
qY(х^х = 1, Y = 0. (4.3)
0
Множество таких функций q(x) обозначим AY.
Под решением задачи (4.1)-(4.2) будем понимать функцию у(х), которая определена на [0,1], удовлетворяет условиям (4.2), для которой у (х) абсолютно непрерывна и уравнение (4.1) выполняется почти всюду на интервале (0,1).
Оценивается минимальное собственное значение Хі этой задачи при различных значениях Y и к.
Подобная задача для уравнения у + Хд(х)у = 0 при условиях у(0) = у(1) = 0, q(x) є Ду рассматривалась в работе [1]. В работе [2] исследовалась задача для уравнения у + Хд(х)у = 0 при условиях (4.2), q(x) є ДY. Задача для уравнения (4.1) при условиях у(0) = у(1) = 0, q(x) є Ду изучалась в работах [3], [4].
5Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 11-01-00989) и гранта РНП 2.1.1/13250.
Согласно вариационному принципу, A^q) = inf R(q, y), где
yeHi (0,1 )\{0}
-
y 2(x)dx + q(x)y2(x)dx + k2 (y2(0) + y2(1))
= о_______________0______________________________________(4.4)
y2(x)dx
R(q, y) = i
0
2. Основные результаты. Пусть
mY = inf A1(q), MY = sup A1(q).
q(x)eAY q(x)eAY
Теорема 1.
1. Если у e (-to, 0) и (0,1), то MY = + to.
k2 Е-/1
2. Если у = 1, то M1 = , где — решение уравнения arctg ^
? 2 ? ■
3. Если y e (1, + to), то MY = const < to, и существуют такие функции u(x) e
Hi(0,1) и q*(x) e Ay, что R(q*, u) = My.
Теорема 2.
1. Если y e (1, +to), то mY = A01, где A0 — первое собственное значение задачи для уравнения y + Ay =0сусловиями (4.2).
2. Если Ye (-to, 0) и (0,1], то mY 1 /4.
3. Если y e (0, +to), то
(a) mY п2 при всех k;
iY п2 при k ТО , причем 11 ¡y
Теорема 3. Пусть k =0.
1. Если y e (-то, 0) и (0,1), то MY = +to, mY e [1 /4; 1].
2. Если y = 1, то M1 = 1, m1 e [1 /4; 1).
3. Если y e (1, +to), то MY = 1, mY =0.
3. Доказательство теоремы 1.
1. l) Докажем, что если y < 0, то MY = +to.
Положим 1
= £"1/y (1 -e)1/Y, 0 <x<e,
qe (x)= £1/Y (1 -e)-1/Y, 6<x< 1,
( - У
(b) mY п2 при k ^ то, причем mY п2 - 4п2/k2+ O k 4 .
где 0 < е < 1 /2.
1 1
Обозначим за 1е(у) сумму интегралов: у 2(х^х + q£(x)y2(x)dx.
0 0
а) Докажем, что
у2(0) 2г(у) ■ (4-5)
1 - е
для любого у(х) е Н1 (0, 1) \ {0}.
11
Из определения функции qe следует, что 1е(у) у 2(x)dx + у2(х^х.
z 0 е
Для любого zе (0,1) имеем у(0) = у ^)- у Используя неравенство Гельдера,
Г 0
Г z 2 1
получим у2(0) 2у2(z) + 2 у 2у2(z) + 2 у Проинтегрируем обе
00 части неравенства по z от е до 1:
1 1 (1 - е)у2(0) 2 y2(z)dz + 2(1 -е) у
е 0
откуда следует, что
11
у2(0) ^ V 2 ' 2,6(у)
1 - е 4 у (x)dx + у 1 - е
Ь) Используя равенство y(x) - у(0) + у и неравенство Гельдера, получим
V- Гx 2 2 0 x
()| |у(0)| + x■ у (s)ds , откуда следует, что у2М 2у2(0) + 2x у 2(s)ds,
00
и, следовательно,
е е е с1 x е
y2(x)dx 2 y2(0)dx + 2 x у 2(s)ds dx 2еу2(0) + е2 у 2(s)ds,
0 0 0 0 0
1 е 1
у^ 2еу2(0) + е2 у 2dx + е-1^ (1 -е)1Лг е17у(1 - е)-1^2^^
0 0 е
2еу2(0) + а(е) ■ \ у 2(^ + qе(x)y
где а(е) = е2+ е 1/Y(1 - е)1 ^, причем а(е) 0 при е ^ 0.
0
е
1
0
с) Подставим полученное в b) неравенство и неравенство (4.5) в (4.4):
R(q- y) 2ey2(0) + a(e)L 2e ■ 2Ie/(1 - e) + a(e)If
( 4e
+ a(e) то при e ^ 0 для всех ye H1(0,1) \ {0}.
1 - e
d) Из результата, полученного в с), следует:
с1
MY = sup inf R(q, y) inf R(qe, y) то при e ^ 0 .
qeAY yeH1(0,1)\{0} y
Следовательно, MY = +to.
II) Докажем, что если 0 < Y < 1, то MY = +to.
Пусть 0 < y < 1 ■ Разобьем отрезок [0,1] на n равных частей точками 0 = e0 < e1 < e2 < ■ ■ ■ < en = 1 и положим e = 1 /n. Построим, далее, функцию на отрезке [0, e]:
1
= e-e, 0 < x < ep,
0, ep < x < e,
qe (x) =
где р - 1-, в - 1-,, затем продолжим эту функцию на весь отрезок [0,1] периодически с периодом е. Данная функция удовлетворяет условию (4.3).
ер
По теореме о среднем найдется такое число 0 е [0, ер], что у2^^ - у2(0)ер, из
0
е 6р
чего следует, что q£(x)y2(x)dx - е-в y2(x)dx - е-1у2(0). Используя равенство у^) -
00
x
у(0) + у (s)ds и неравенство Гельдера, получим
0
V_______ I 6
y(x) y(6)+ 6 - x ■ l y 2(s)ds{ , если x<6,
v-нЛ
+ x - 6 ■ l
x
x
y(x) y(6)+ x - 6 ■ l y 2(s)ds/ , если x>6,
0
2 2 X
откуда следует, что у (x) 2y(0)+2(x-0) у2^^ для всех x. Проинтегрируем обе
0
части полученного неравенства от 0 до е:
е I 0 s ее
у2^^ 2еу2(0) + 2 V ds (0 - x)y 2(s)dx + ds (x - 0)у 2^^/ ■
0 0 0 0 s
Так как (0 - х^х < є2 и (х - 0)dx < є2 при s < є, получаем следующее неравенство:
0 s
е е \ е е
у2^^ 2еу2(0) + 2е2 у 2(s)ds - 2е2 V q£(x)y+ у ¿(x)dx'
0 0 0 0
Проделав такие преобразования для каждого отрезка [е^, е^], I - 1, 2, ■ ■ ■, п, на отрезке [0,1] получим
1 I 1 1
у2(х^х 2є2 \ qє(x)y2(x)dx + У2(х^х
0
о
0
для любого У(х) є Н1 (0,1).
Подставим полученное неравенство в (4.4):
у 2(х^х + qє (х)у 2(x)dx
R(qє. у) —(т-------------------------------0-1--------
2є2 qє(x)y 2(х)с1х + У 2(x)dx
+
к2(У2(0) + у2(1)) _
1
у2(х^х
_ 1 к2 (у 2(0) + у 2(1))
2є2
+
оо при є 0.
у2(х^х
Следовательно, при є 0 получим MY _ Бир
ігї, ^ R(q, у)
qєAY уєН1(0,1)\{0}
ігї R(qє, у)
уєН1 (0,1 )\{0}
о. Таким образом, доказано, что М,/ _ + о при у є (-о, 0) и (0,1).
2. Докажем, что если у _ 1 и к _ 0, то М1 _ !*, где - решение уравнения аггїд ^ _ 2/ .
а) Будем искать решение задачи (4.1)- (4.2) в виде непрерывной функции
-к! С0Б ^ + БІП^ ^х,
у!(х) _ -к! С0Б !т + БІП !т,
0 х < т,
т х < 1 - т,
(4.6)
! V- V-
“к2 С0Б !(1 - х) + БІП !(1 - х), 1 -т х 1.
Для того, чтобы эта функция могла быть решением, нужно также, чтобы ее производ-
ная
! . V- V- V- БІП !х + ! С0Б !х,
у! (х)_ I / 0’/ /
' -к^ БІП “! (1 - х) - “! С0Б "!(1 - х), 1 -т х 1
0 х < т,
т х < 1 - т,
(4.7)
0
0
0
—*
0
была непрерывной на (0,1). Из условий у. ^) - 0 при x - т - 0, у. ^) - 0 при x - 1 - т +0 получаем, что у. (x) является непрерывной при т - -V.аго1д Щ..
Ь) Рассмотрим функционал
1
y 2(x)dx + max y2(x) + k2 (y2(0) + y 2(1))
xe[0,1]
T
y 2(x)dx
0
11
Так как q(x)y2(x)dx max y2(x) q(x)dx = max y2(x), имеем
0 xe[0,1] 0 xe[0,1]
A1 (q) = h inf R(q,y) < h inf L(y).
yeH1(0,1)\{0} yeH1(0,1)\{0}
Найдем число L* - корень уравнения
L(y^ ) = L- (4.9)
При подстановке функции y^ в (4.8) получим:
L L+k4
Уг(0) = y^(1)= *2, y^ (x) = —^2— при т x< 1 -T;
так как функция y^(x) возрастает на отрезке [0, т] и убывает на [1 - т, 1], то max y2(x) = ;
xe[0,1] k
122 (y^(x))2dx = -4 arctg £ g- +L - ¿-;
0
( у
L(x)dx = -Vrarctg VL ^ + 1 + ^ + rt+1.
И (4.9) следует уравнение аго1д ^ . По теореме о неявной функции это уравнение
имеет единственное решение (к2), которое непрерывно вместе со своей производной и возрастает при увеличении к2.
Положим t - . > 0 и рассмотрим уравнение аго1д к2 - 12>:г при t е (0, +ю).
Функция аго1д к2 является убывающей на всей рассматриваемой полуоси, стремится к п/2 при t 0 + 0, к 0 при t +то. Функция является возрастающей на всей
рассматриваемой полуоси, стремится к -то при ^ 0+0, к + то при t +то, равна 0 при t - 1. Возвращаясь к . - t2, находим следующие свойства решения
если k2 0, то L* 1; V
если k2 + то, то L* ^ пг + 1 + 2 п2 + 4;
L* e (1, п2 + 1 + п п2 + 4) при всех k =0.
с) Рассмотрим функцию у*(x) = y^* (x). Эта функция совпадает с решениями задач
y + Ху =0, у (0) - k2y(0) = 0 при 0 x < т, у -^*у + Ху = 0, при т х< 1 -т,
у + Ху = 0, у (1) + k2 у (1) = 0 при 1 -т х 1
при Х = £*. Отсюда следует, что у*(х) — решение задачи (4.1 )—(4.2), где
1 0, 0 х < т, q(x) = q*(x) = I т х < 1 -т,
v 0, 1 -т х < 1,
причем для q*(х) выполняется условие (4.3). Так как функция у*(х) > 0 на (0,1), то она является первой собственной функцией задачи (4.1 )—(4.2), и тогда -минимальное собственное значение задачи (4.1)-(4.2).
Тогда выполняются следующие соотношения:
<;* M1 = sup inf R(q, у) inf L(y) ,
qeAY ysH-i(0,1)\{0} yeH (0,1 )\{0}
откуда следует, что M1 = £*.
3. Докажем, что если y > 1, то MY = const < то, причем существуют такие функции u(x) е H 1(0,1) и q*(x) е Ay, что R(q*, u) = My-
Пусть y > 1. Из неравенства Гельдера и условия (4.3) следует, что
1 ( 1 )2/р
q(x)y2(x) < \ |у(x)|pdx/ ,
0 0 где p = y-г. Рассмотрим функционал
1 ( 1 2/p у2(x)dx + |у (x)|pdx + k2 (у2(0) + у2(1))
G(y) = °----------------0----1-------------------------------(4.10)
у2(x)dx
0
и обозначим m = inf G(y). Имеем MY = sup inf R(q, у) inf G(y):
yeH1(0,1)\{0} qeAY yeH1 (0,1 )\{0} yeH1(0,1)\{0}
m. Для доказательства равенства MY = m используется вспомогательная лемма: Лемма 1. Пусть y > 1 и m = inf G(y). Тогда существует такая функция
уеН (0,1 )\{0}
u(x) е H 1(0,1), что m = G(u), причем u(x) > 0 на (0,1), удовлетворяет уравнению
u (х) -up-1(x)+ mu(x)= 0, (4.11)
где p = > 2, и
условиям-.,
и (0) - k2и(0) = 0, u (1) + к2и(1) = 0,
(4.12)
up(x)dx = 1.
(4.13)
П В доказательстве леммы используется вариационный принцип для функционала G(y).
1) Заметим, что G(y) > 0 для любого y(x) е H1 (0,1). Область значений функционала ограничена снизу, поэтому существует его точная нижняя грань m = inf G(y).
yeH1 (0,1 )\{0}
1
Пусть Г = {y(x) : y(x) е H 1(0,1), ly(x)|pdx = 1}. Докажем, что существует такая
0
функция u(x) е Г, что G(u) = m.
а) Используя неравенство Гельдера, для лю6ого\у(x) е Г имеем
y2(x)dx < \ |y|pdx' = 1 ,
откуда/
y 2(x)dx + y 2(x)dx'
y2(x)dx < У 2(x)dx + 1 + к2 Y(0) + y2(1) .
0
У
Следовательно,
y 2(x)dx + 1 + k2 (y2(0) + y2(1))
G(y) =
y2(x)dx
^ y(x) H 1(0,1).
Ь) Заметим, что существует минимизирующая последовательность {у^ е Г функционала G(y). Пусть {у^} - минимизирующая последовательность G(y) в Н 1(0,1), то
есть lim G(yO = inf G(y) = m. Для последовательности yi = y^C|/p, где Ci =
i — то yeH1(0,1)\{0} 1
0 ly^dx. также будет выполняться lim G(yi) = lim G(^i) = m, причем yi(x) e Г.
0 i —* то i —* то
Для всех достаточно больших значений i верно G(yi) < m + 1, откуда следует yi(x) H1 (01) < G(yi) < m + 1, то есть последовательность {yi} ограничена.
с) Перейдем к доказательству существования такой функции u(x) e Г, что G(u) = m. Так как {yi} - ограниченная последовательность в сепарабельном гильбертовом
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
пространстве H 1(0,1), то она содержит подпоследовательность {zi}, слабо сходящуюся в H 1(0,1) к некоторой функции u(x), причем u(x) Hi (01) — m + 1 ■
Так как пространство H 1(0,1) компактно вкладывается в пространство C(0,1), а оно, в свою очередь, вкладывается в Lp(0,1), где p > 1, то существует подпоследовательность {ui} последовательности {zi}, сильно сходящаяся в C(0,1). Тогда подпоследовательность {ui} сильно сходится в Lp(0,1) к функции u(x), откуда следует I Ui(x) Lp(o,1) - u(x) Lp(0l1) I 0. Следовательно, при i 00 имеем
1 1
|ui(x)|pdx |u(x)|pdx,
0 0
11
u (x)dx u2(x)dx.
00
( 1 1/2
Докажем, что u(x) L2(01) = 0. Пусть u L2(01) = u2dx = 0, тогда имеем
0
1
u(x) = 0 (почти всюду), следовательно |u(x)|pdx = 0. С другой стороны,
0
11
|u(x)|pdx = lim |ui|pdx =1 ,
i
00
то есть u(x) е Г. Это приводит к противоречию. Следовательно, u(x) L2(0>1) = 0.
Докажем, что последовательность {ui(x)} ограничена в L2(0,1). Так как {ui(x)} с {yi(x)}, для нее верно ui(x) 21 (01) — m + 1, откуда следует, что
1
2 - ( 2 2у 2 ui L2(0,1) + ui L2(0,1) = ui + (ui) dx = ui(x) H 1(0>1) — m + 1'
0
откуда имеем ui(x) 2L2(01) — m + 1 - ui(x) L2(0,1), то есть {ui(x)} ограничена в L2(0,1). Следовательно, существует такая подпоследовательность {wi(x)} последовательности
{ui(x)}, что {wi(x)} слабо сходится к u (x) в L2(0,1).
1
Рассмотрим (wi(x))2dx. Эта последовательность имеет конечный нижний предел:
0
1
(wi(x))2dx > 0. Следовательно, существует такая подпоследовательность {vi(x)} по-
0
11
следовательности {wi(x)}, что |im (vi(x))2dx = lim (wi(x))2dx. Так как vi(x) слабо
i^“ 0 i^M 0
сходится к u (x) в L2(0,1), то для этой последовательности выполняется
u (x) l2(0,1) — lim Vi(x) L2(0,1) = Jim vi(x) l2(0,1) .
Используя непрерывность функционала G(y) в H 1(0,1), имеем
1 ( 1 2/p lim (vi)2dx + lim + k2 lim v2(0) + lim v2(1)
. i |Vi | pdx . i . i
i — 00 n . —* 00 n i — 00 i — 00
G(u) <---------0------------------0-------(-------------------------= lim G(v.) = m .
1 i — oo
lim v2(x)dx
0
00
I 00
(v)dv
Таким образом, получаем G(u) < m. Но, так как m = inf G(y), то, следователь-
yeH1(0,1)\{0}
но, G(u) = m.
2) Пусть u(x) e Г и G(u) = m. Докажем, что u(x) — положительная функция на (0,1) и удовлетворяет уравнению (4.11) и условиям (4.12)—(4.13).
Пусть функция z(x) e H1 (0,1), и пусть K(y) = k2 (y2(0) + y2(1)). Рассмотрим функцию
1 ( 1 2/p
(u (x) + tz (x))2dx + |u(x) + tz(x)|pdx + K(u + tz)
g(t) = G(u + tz) = --------------------------r-0------------------------------------- >
(u(x) + tz (x))2 dx
0
где t e R. Поскольку g(0) = G(u) = inf G(y), то g (0) = 0, так как t =0 — точка
yeH1 (0,1)
экстремума дифференцируемой функции g(t). Найдем g (0):
1 (1 I-1 1
20 uzdx + 2 ^ |u|pdx 0 |u|p-zsign udx 2k2(u(0)z(0) + u(1)z(1)y
g (0) =
+
1 1
u2(v)dv u2(v)dv
0 0
i i С i 2/p
2 uzdv (u)2dv + |u|pdv + K(u)
0 0 0
-------------= 0 .
С1 2
u2(x)dx
0
( У
Поскольку G(u) = G |и| , то можно считать, что и(х) > 0. Тогда, так как и(х) е Г, имеем
1 1 1
( У
и (х^ (х^х + и(х)р-^(х^х + к2 u(0)z(0) + и(1 )и(1) = т u(x)z(x)dx,
то есть и(х) е Н 1(0,1) является обобщенным решением краевой задачи (4.11)- (4.12). Можно доказать, что это решение является классическим (см., напр., [5]). В силу единственности решения задачи Коши для уравнения (4.11) имеем и(х) > 0. И
0
0
0
Продолжим доказательство теоремы. Докажем, что MY = m.
2 2 Пусть y(x) e Г, тогда y y-1 (x) e AY. Имеем R(y y-1 ,y) = G(y), откуда следует, что
2 2
inf R(y y-1 ,y) = inf R(y y-1 ,y) = inf G(y) = G(u) = m. Следовательно, MY =
yeH1 (0,1)\{0} yer yer
sup A1 = sup inf R(q,y) > m. Ранее было получено, что MY < m. Следовательно,
qeAy qeAy yeH1 (0,1)\{0}
2
MY = m, причем MY = G(u) = R(uy-1, u). Таким образом, теорема 1 доказана.
4. Доказательство теоремы 2. 1. Докажем, что если y > 1, то mY = A°t где A01
— первое собственное значение задачи для уравнения y + Ay = 0 с условиями (4.2). Рассмотрим задачу Штурма - Лиувиллядля уравнения
y + Ay = 0, (4.14)
с условиями (4.2). Пусть A0 -минимальное собственное значение этой задачи. Согласно
вариационному принципу A? = inf R(0, y), где
yeH1 (0,1 )\{0}
1
y 2(x)dx + k2(y2(0) + y 2(1))
R(0, у) = *-----------i--------------------■
y2(x)dx
0
Имеем для A1(q) - минимального собственного значения задачи (4.1), (4.2):
A1 (q) = inf R(q,y) inf R(0, y) = A0.
yeH1 (0,1 )\{0} yeH1(0,1)\{0} v 1
Тогда mY = inf A1(q) A°.
q(x)eAy
С другой стороны,
11 y,2 dx + q(x)y2 dx + k2(y2(0) + y2(1))
mY = inf inf R(q, y) < inf 0----------------------------------------------------0- -=
qeAy yeH1 (0,1 )\{0} qeAy 1
yfdx
0
11 q(x)y2dx q£ (x)y2dx
= inf A0 + ---- < A0 + ^---- ,
qeAy 1 чл 1
yfdx yfdx
00
где y1(x) = C1 cos A0x+C2sin A0x-первая собственная функция задачи (4.14), (4.2),
1 1/
= e/Y, 0 <x<e, qe(x) = 0, e < x < 1.
Заметим, что существуют такие константы N1, N2, что N1 (y1(v)) N2 > 0 при
v e [0,1]. Отсюда имеем
1
q£ (v)y2 dv N
A0 + ^--------- A0 + N2 e1-1/Y-^0 при e-0 .
yidv
0
Следовательно, mY = A°.
2. Докажем, что если y 1, то mY 1 /4.
1
Пусть Л = {y(v) : y(v) e H1(0,1) \ {0}, y2(v)dv = 1, y(v) 0}. Заметим, что
0
A1 = inf R(q, y) = inf R(q, y).
yeH1(0,1)\{0} уел
1
Пусть a = y 2(v)dv, ß = min y = y0, где 3 e [0,1]. Используя равенство y(v) =
0 ye[0,1]
v
У(3) + У (s)ds и неравенство Гельдера, получим
‘ (■ ) ■
y2(v) 2ß2+ 2 ( У (s)ds/ 2ß2+ 2 y 2(s)ds 2ß2+2a.
Для y(v) e Л получим следующее неравенство: 2ß2 + 2a 1. Следовательно, для a
и ß верны оценки: (a) 2a 1 /2 или (b) 2ß2 1 /2.
(a) Рассмотрим случай a 1 /4. Тогда для y(v) e Л и q(v) e AY при k =0 и y 1 имеем
1
a + q(v)y 2dv 1
R(q- y) =—------------- 4 -
(b) Теперь рассмотрим случай ß 1 /2. Так как y(v) ß для всех y(v) e [0,1], при y(v) e Л и q(v) e Ay получим
11
. q(v)y2dv 1 1
y 2(v)dv + q(v)y2 dv
R(q, У) = °------------Г----------- q(v)y2dv - q(v)dv.
1 4
0
Из неравенства Гельдера следует
1 \ 1 I Y-1
1= q v'-1q 1_-у dv ( q(v)dv при y< 0,
00
1 I 1 M 1 l1-Y
qY (x)dx \ q(x)dx/ \ 11- dx/ при ye (0,1].
0 0 0
1 1 Поэтому q(x)dx 1. Следовательно, R(q, y) - в обоих случаях, и
0 4
с1 с1 1
mY = inf inf R(q, y) = inf inf R(q, y) -
qeAy yeH (0,1 )\{0} qeAy уеД 4
3. I) Докажем, что если y > 0, то mY п2, причем mY п2 при k оо.
а) Пусть
1 1 „
, . sin 0 < x < 5, . . 0, 0 < x < 5,
y5(x) = 0, 5 5 < x < 1 и q5(x)= (1 -5)-y , 5 < x < 1,
_ П2 + 0 + k2 sin2 П
где 5 ^ 1 - 0. Имеем R(q5, y5) = —-------------------------—-5 , откуда следует
5/2
с1
mY = inf inf R(q, y) R(q&, y&) - п2 при & - 1 - 0.
qeAY yeHi (0,1 )\{0}
Ь) Рассмотрим Х0 — первое собственное значение задачи (4.14), (4.2), которое при к2 > п/2 является минимальным положительным решением уравнения
V- 2 УХк2
1д X = ^4 ■ (4-15)
При к то это решение стремится к п2 - 0. Так как гт > Xе}, получим, что гт п2 при к оо.
Заметим, что при к2 0 имеем Х0 0. ( у
II) Докажем, что если у > 0, то гт п2 - 4П2 + Оу к*4 при к то.
Сделаем в уравнении (4.15) замену z = 1/к2, t = X, тогда уравнение примет вид
•д * = - ■ (416)
Функция F (z, *) = 1д * + } непрерывна вместе со своими производными любого порядка в точке (20, *0) = (0, п), в этой точке равна нулю, и ее производная Ft (20, *0) = 0. Поэтому в некоторой окрестности точки (20, *0) существует единственное решение *(2) уравнения (4.16), причем *(20) = *0, и функция *(2) непрерывна со своими производными любого порядка.
Из непрерывности производных функции *(2) следует, что в окрестности точки (20, *0) верна формула Тейлора *(2) = *(20) + - 20) + ■ ■ ■ + ^(--У (2 - 20)п-1 +
O((z - z0)n) для любого n е N. Найдем коэффициенты для первых двух членов этой формулы: t(z0) = п, t (z0) = -2тт. Пог|учиум t(z) = п - 2nz + O(z2). Таким образом, при
k — то имеем mY t2 = п2 - 4Tkf + O 1 . Теорема 2 доказана. И
5. Доказательство теоремы 3. 1. Заметим, что утверждение 1 теоремы 1 и утверждение 2 теоремы 2 верны для всех k.
2,3. Докажем, что если y 1 и k = 0, то MY = 1.
При q(x) = 1 и k = 0 задача (4.1 )—(4.2) имеет следующий вид:
y - y + Ay =0, (4.17)
y (0) = y (1) = 0. (4.18)
Эта задача имеет минимальное собственное число A1 = 1. Отсюда следует, что MY = sup A1(q) A1(1) = 1.
q(x)eAY
С другой стороны, положим y1(x) = е, тогда, используя неравенство Гельдера и условие (4.3), получим
1
е2 q(x)dx + 2k2e2 1
A1(q) R(q, y1) = —0---------- ---------= q(x)dx + 2k2 1 + 2k2 (4.19)
при всех q(x) eAy и всех k.
Имеем MY = sup A1(q) 1 + 2k2. при всех k и MY 1 при k =0. Следовательно,
qeAy
My = 1.
1,2. Докажем, что при k =0 имеем: если y < 1, то mY 1; если y = 1, то mY < 1. Неравенство mY < АЦ = 1 выполняется для всех Y. Пусть y =1 и предположим, что mY =1, тогда inf A1(q) = mY = MY = sup A1(q), то есть при всех q(x) мы будем иметь
ЧеАу qeAy
одно и то же минимальное собственное значение. Это значит, что при любом q(x) е Ay и A =1 задача (4.1), (4.18) имеет нетривиальное решение. Но при
1
, х , х 2, 0 < x < 1/2,
q(x) = q* (x)= 0, 1/2 x< 1
задача (4.1), (4.18) не имеет нетривиальных решений, для которых y (x) непрерывна (см. постановку задачи), то есть мы пришли к противоречию. Следовательно, m1 < 1.
3. Докажем, что если 1 > 1 и k = 0, то mY =0.
= e-1/Y, 0 < x < е,
= 0, е < x < 1 .
с1
Пусть y1 = 1, qe(x) = _ Тогда при y > 1 имеем
mY = inf inf R(q,y) R(qe,y1)= e11/Y- 0 при е- 0.
qeAy yeH-i(0,1)\{0}
Таким образом, получили mY = 0. И
0
Примечание. Можно построить графики зависимости гт и М,/ от к2 для разных значений у (рис. - ). При этом для случаев, когда точную оценку получить не удается, можно указать области на плоскости к2ОА, которым принадлежат гт и М,/. Для построения данных графиков использовались результаты, полученные при доказательстве теорем 1 -3, и следующие рассуждения.
1) Функции А11(к2) и А°(к2) (первые собственные значения задач (4.14), (4.2) и (4.17), (4.2) соответственно) непрерывны по к2, возрастают с увеличением к2 и при к то стремятся к первым собственным значениям соответствующих задач Дирихле (см., напр.,
[6]). При доказательстве теоремы 2 были получены предельные значения А0 при к О и при к ^ то, и заметим, что А1 = АО + 1.
]
2) Имеем
А1 = ¡П
уеН-,(0,1)\{0}
11
у 2(х^х + q(x)y2(х^х + к2 (у2(0) + у2(1))
О О
1
у 2(х^х
>
>
уеН0(О,1)\{О}
11
у 2(x)dx + q(x)y2(x)dx + к2 (у2(О) + у2(1))
с________о_______________________
1
y2(x)dx
1 2 1 у 2(x)dx + q(x)y 2(x)dx
1пГ 0
уеН0(О,1)\{О}
О
= А1,
где А1 - первое собственное значение задачи Дирихле для уравнения (4.1) при условии q(x) е Ау. Следовательно, > mY и М,/ > Му, где гг^ и Му — соответствующие оценки для АС, полученные для всех у в работе [4].
О
О
О
Рис. 3. Случай y = 1.
Рис. 4. Случай y > 1.
Литератур
а
1. Egorov Yu.V., Kondratiev V.A. On Spectral theory of elliptic operators // Operator theory: Advances and Applications / Birkhouser. - 1996. - 89.- 326 p.
2. Мурышкина О.В. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма- Лиувилля с симметричными краевыми условиями // Вестник молодых ученых. Се- рия:Прикладная математика и механика - 2005. - 1. - С.36-52.
3. Винокуров В.А., Садовничий В.А. О границах изменения собственного значения при изменении потенциала // Доклады Академии наук. - 2003. - 392;5. - С.592-597.
4. Ежак С.С. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с интегральным условием // Современная математика и ее приложения. -2005. - 36. - С.56-69.
5. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения // М: Наука, 1988.
- С.1-304.
6. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, Т.1 / М.-Л.: ГТТИ, 1933. 538 c.
ON ESTIMATES OF MINIMAL EIGENVALUE OF STURM-LIOUVILLE’s PROBLEM WITH INTEGRAL
CONDITION AND THIRD-TYPE BOUNDARY CONDITIONS E.S.
Karulina
Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics, Nezhinskaya St., 7, Moscow, Russia, e-mail: karulinaes@yandexru
Abstract. The Sturm-Liouville problem with third-type boundary conditions and an integral condition is under consideration. First eigenvalue X-i of this problem for different values of the parameters is estimated.
Key words: boundary problem, estimates for the first eigenvalue
