CC BY
99
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м XI 1 9 8 0 № 3
УДК 533.6.08
ОБ ОСРЕДНЕНИИ ПОЛНОГО ДАВЛЕНИЯ НЕРАВНОМЕРНОГО ГАЗОВОГО ПОТОКА
О. В. Лыжин, И. И. Межи ров
Показано, что при дозвуковых скоростях простое осреднение неравномерного полного давления газа по площади поперечного сечения канала или струи дает величину среднего полного давления, близкую к „истинной", соответствующей выравниванию течения в цилиндрическом канале с заданной неравномерностью параметров на входе.
В случае сверхзвуковых скоростей осредняется по площади полное давление за прямым скачком уплотнения р0.
Полное давление газа в каналах различных газодинамических установок или в струях обычно оказывается непостоянным по площади поперечного сечения, и возникает вопрос об его „осреднении*, которое необходимо, например, при вычислении коэффициента восстановления полного давления.
Известно несколько методов вычислении средних значений газодинамических параметров. В настоящее время часто используется метод, согласно которому осредненный однородный поток имеет те же расход, полное теплосодержание и энтропию, что и исходный неравномерный поток [1|. Такая методика может применяться в случаях, когда важно оценить „работоспособность41 потока, например, на входе в рабочее колесо турбины.
При вычислении коэффициента восстановления полного давления в тракте газодинамической установки типа аэродинамической трубы, в котором течение в конце концов выравнивается, целесообразно рассмотреть однородный поток, получающийся при полном выравнивании течения в цилиндрическом канале, на входе в который имеет место заданное распределение газодинамических параметров, при отсутствии трения и обмена энергией на стенках канала. Определенное таким образом полное давление включает дополнительные потери, так как в процессе выравнивания энтропия струи возрастает. Ниже будет использован этот также весьма распространенный подход. Следует указать, что операция осреднения с сохранением тех или иных заданных интегральных харак-
60
.
терис-тик потока может быть применена не к любому неравномерному течению.
Так, при осреднении газового потока с непостоянной по сечению канала температурой торможения с сохранением расхода, полного теплосодержания и полного импульса может оказаться, что однородный поток невозможен, так как в нем г(Хоо)<2 (см. [2|, обозначения см. ниже). Это связано с известным „тепловым запиранием* канала. Такая ситуация может возникнуть при скорости потока, достаточно близкой к скорости звука, и практического значения обычно не имеет.
Операция осреднения с сохранением массы, полного теплосодержания и энтропии газа, примененная к потоку с непостоянной по сечению температурой торможения, может привести к тому, что полное давление однородного потока не будет „средним*, а окажется выше максимального полного давления в действительном потоке (в принципе, при стремлении показателя адиабаты газа к единице может быть сколь угодно большим).
Использование „осреднения по массе14 (см. [3]) может привести к полному давлению однородного потока, превышающему полное давление, вычисленное при условии сохранения энтропии, что противоречит второму началу термодинамики.
Ограничения такого рода следует иметь в виду в каждом конкретном случае.
1. Будем предполагать, что в рассматриваемом сечении скосы скорости пренебрежимо малы и температура торможения постоянна. Тогда уравнения сохранения массы и количества движения, записанные для исходного сечения и сечения полного выравнивания (индекс оо), в случае совершенного газа будут иметь следующий вид:
Здесь р0 — полное давление, >>. -== эд/а* — приведенная скорость,
I р0д(к)(1Г= о)/7,
£
I Ро <7 (>•)2 (>•) Лр = РоосЯ (М г Г.
(1)
(2)
16} — скорость, а* — критическая скорость
X а ( 1 — \ /-2 ) , / — показатель адиабаты газа, 2(Х) = X +
V “А , 1 /
Р — площадь поперечного сечения. Из уравнений (1) и (2) находим:
\ Ро Я ('■)
] РоЧ(')^Р
(3)
(4)
Формулы (3) и (4) довольно громоздки и неудобны при обработке экспериментальных данных. Поэтому ниже для р()оо будет получено более простое, но достаточно точное и обоснованное соотношение.
Связь между газодинамическими функциями <7(X) г (X) и д(1) может быть удовлетворительно аппроксимирована линейной зависимостью:
<7 2 а + Ь<7, (о)
где а и Ь — константы.
Такая аппроксимация была использована в работе [4] для расчета характеристик газового эжектора, причем оказалось, что приближенные уравнения эжекции обеспечивают результаты, весьма
близкие к точным.
Зависимость <72 от (] для дозвукового (л < 1) и сверхзвукового (/.>1) диапазона скоростей при х=1,4 представлена на рис. 1.
Рис. 1 Рис. 2
Подставляя соотношение (5) в уравнение (2) и используя соотношение (1), получим:
Ро со = 4^0^’ ^
Г
Ро Ч (Л) с1Г | Ро ЛР
Я (М = —с---------------------------- . (7)
Таким образом, в рассматриваемом приближении величина р0 равна среднему но площади поперечного сечения капала значению р0 и не зависит от распределения приведенной скорости X. Примечательной особенностью формул (6) и (7) является то, что в них не входят коэффициенты а и Ь, характеризующие прямую (5), и
поэтому использование любой прямой в плоскости <7, qz дает один и тот же результат. Среди множества прямых есть, конечно, и такие, которые удовлетворительно воспроизводят действительную зависимость с]Х = /(<7), например, прямая, показанная штриховой линией на рис. 1.
Для того чтобы оценить ошибку, обусловленную использованием приближенной формулы (5), запишем точную зависимость <72 от <7 и виде:
цг = а + Ьц -г г(д), (8)
где г — нелинейная добавка.
Линейная (сплошная линия) и нелинейная части зависимости Ч%К=/(Я) показаны на рис. 1. Зависимость *(д) при / — 1,4 приведена на рис. 2. При дозвуковых скоростях в^О, при сверхзвуковых скоростях £>0.
Подставляя соотношение (8) в уравнение (2) и используя соотношение (1), получаем:
1 (Ь —{— £
Р о оо р а _1_
1 1 Ро ЛР, (9)
оо и
( />0 <7 ('О ЛГ
--------------. (10)
а + 2 Ро йг
Здесь
I Ро ьйГ
_________
(* Ро (1?
Точные формулы (9) и (10) отличаются от приближенных (6) и (7) наличием коэффициента &(/?0> ^ ^) = — , который может
11 Т £00
быть записан в таком виде:
к = 1 + -Ч^-—.
^ « + £оо
Отсюда видно, что отличие величины А от единицы пропорционально разности двух характерных значений з, которая обычно бывает малой. Если при X <[ 1 принять для оценки |е — | ^
^"5"1£шах|» то получим, что й отличается от единицы примерно
на 3,5%. В действительности отличие оказывается, как правило, еще меньше. Этим и обусловлена удовлетворительная точность формулы (6),
Следует отметить, что параллельное смещение прямой, например, переход от сплошной к штриховой на рис. 1, не влияет на величину &, так как сумма а + г при этом не изменяется.
Сказанное выше относится к дозвуковому диапазону скоростей (а^ 1,57, см. рис. 1). При Х>1 а =- 0 и й = в/еВ этом случае судить о близости /е к единице труднее, но к сводится к предыдущему. Действительно, в соотношениях (1), (2) и последующих можно перейти от параметров сверхзвукового потока к параметрам дозвукового потока по формулам прямого скачка уплотнения. При этом величины г и р0д, как известно, не изменяют своего значения, поэтому все подынтегральные функции и значения интегралов не изменяются. Под р0 понимается при этом соответствующая величина за прямым скачком уплотнения, т. е. давление, непосредственно измеряемое трубкой полного давления.
2. На рис. 3 приведено распределение полного давления р0 и приведенной скорости X по радиусу канала, полученное в одном из экспериментов но определению коэффициента восстановления
полного давления при истечении струи из пшерзвукового сопла в цилиндрический канал (величина р0 отнесена к давлению в фор-камере аэродинамической трубы /?ф). По этим материалам была рассчитана величина pQ ое,ipф.
Формула (6) дала значение коэффициента восстановления полного давления р0 „ рф = 0,00707; соотношения (3) и (4) дали значе-ние Я0 оо /^ф = 0,00719 (погрешность — 1,7%). Расхождение такого же порядка получилось и в других рассмотренных случаях. Это свидетельствует о пригодности формулы (6) для практического использования.
При трансзвуковых скоростях, когда можно считать </z = const, формула (6) была рекомендована в работах [5] и [6]. Согласно работе [5] погрешность формулы (6) не превышает 2 — 3%.
1. Седов Л. И., Ч е р II ы й Г. Г. Об осреднении неравномерных потоков газа в каналах. Сб. статей „Теоретическая гидромеханика", № 12, выи. 4. М., Оборонгиз, 1954.
2. Меж и ров И. И. О смешении иеизотермического газа в цилиндрической трубе. „Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № б, 1970.
3. Васильев В. И. О величине ошибок при осреднении неравномерного потока в каналах ВРД. Труды ЦАГИ, вып. 1327, 1971.
4. Лыжин О. В., Искра А. Л. Упрощенное уравнение для степени сжатия эжектора. Труды ЦАГИ, вып. 812, 1961.
5. А б р а м о в и ч Г. Н. Прикладная газовая динамика. М., „Наука", 1976.
6. Г р о д з о з с к и й Г. Л. Осреднение параметров потока при испытании элементов турбомашии. „Ученые записки ЦАГИ", т. И,
№ 3, 1980.
Рукопись поступила 17, V 1979 г.
«Ученые записки» № 3
