CC BY
31
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XVII 1 98 6 №4
УДК 532.542.
ВОЗМОЖНОСТЬ РЕАЛИЗАЦИИ СВЕРХЗВУКОВОГО ТЕЧЕНИЯ ГАЗА НА ВЫХОДЕ ИЗ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО КАНАЛА ПРИ НАЛИЧИИ НА ВХОДЕ В КАНАЛ СВЕРХЗВУКОВЫХ И ДОЗВУКОВЫХ ЗОН
И. И. Межиров
Рассматриваются условия, при которых на выходе из длинного цилиндрического канала может существовать сверхзвуковое течение газа, когда на входном сечении существуют сверхзвуковые и дозвуковые зоны.
Приводятся результаты расчетов, показывающие, что при отсутствии трения на стенках канала в некоторых случаях при наличии во входном сечении канала сверхзвуковой зоны, занимающей лишь небольшую часть площади поперечного сечения, на выходе реализуется сверхзвуковой поток.
1. Рассмотрим соотношения, связывающие между собой параметры неравномерного потока газа на входе в цилиндрический канал с произвольной формой поперечного сечения и на большом расстоянии от входа, где течение предполагается равномерным. Будем считать, что на входе в канал скосы скорости пренебрежимо малы, а на стенках отсутствуют трение и теплообмен с внешней средой. Ограничимся случаем совершенного газа.
Уравнения сохранения массы Л, полного импульса /2 и энергии газа /3 имеют
вид:
*<*> Нґ-г,
ут0 Осо уг0ео
Л = ЦроЯ Иг()1)й/ = /?0о0?(уг(1оо), (2)
^ = § РоЯ&)УІ7(і/ = р0оод(\00)У'т^0. (3)
Здесь ро — полное давление газа; Т0 — температура торможения; X = и/а*— приведенная скорость; и — скорость газа; а* — критическая скорость; <?(Х) =
= /АІ-і-У 1 X (1 — х * А» У ' — приведенный расход; % — показатель адиа-
{ 2 ) I *+1 )
баты газа; г (к) = X + -І— ; /—текущая площадь поперечного сечения канала; А
индекс со обозначает параметры равномерного потока. Интегрирование ведется по всей площади поперечного сечения канала, которая принимается равной 1. Из уравнений (1)—(3) находим:
Рооо я (Хоо) = УТЛ, г (Хте) = -ущ- . 7’осо = 4иг-
По известным значениям Л, /2 и /3 определяются параметры равномерного потока-на выходе из канала као, То ж, р0
В частном случае 7'о = сопз1, =/3, уравнения сохранения массы и энергии оказываются равносильными, и
»0оо Я (Хоо) = Л. (*оо) = Л/Л-
Легко видеть, что значения интегральных характеристик /2 и /3 не меняются при замене приведенной скорости к на 1/Х, т. е. при пересечении трубкой тока прямого скачка уплотнения. Действительно, г(к)=г(\/к). То же относится к произведению род (К). Из уравнения расхода имеем
РоЧІЇ) = Род(1Щ,
где р0 — полное давление за прямым скачком уплотнения.
Таким образом, уравнения газовой динамики допускают два корня для кх — сверхзвуковой (Хсо>1) и дозвуковой (Х00<1).
2. Ниже будет рассмотрена возможность реализации сверхзвукового корня
Хоо>1, когда на входе в канал имеют место сверхзвуковые и дозвуковые зоны. Ясно,
что при этом, кроме уравнений механики (1) — (3), должен быть привлечен второй закон термодинамики
«00 > 5 ИЛИ я/500<1,
где я —энтропия массы газа, протекающей через сечение канала. Имеем:
X
в= [ (4)
J Ро Ут0
X
, ^ «<*->
“" ~р^р°°= ~\п^' (5)
Несущественная здесь аддитивная постоянная принята равной нулю. Видно, что значения энтропии s и Sco изменяются при замене к на 1/Х, так как в уравнениях (4) и (5) кроме произведения ро<7(Х) входит само полное давление ро. Поэтому именно второй закон термодинамики отделяет возможные режимы с Х<„>1 от невозможных. Дозвуковой корень может быть реализован во всех случаях.
При 7’o=const выражения для энтропии упрощаются. В этом случае
$ = — § 1пр0 РоЯО-)Л/,
^оо = Рооо Р0 со Я (^оо)*1
Ниже приводятся результаты расчетов для ступенчатого распределения X и рч по входному сечению канала: на части площади / приведенная скорость сверхзвуковая, т. е. Х=Х,1>1, величина р01 может быть здесь принята равной 1; на остальной части площади (1—I) приведенная скорость Я=Хг<1. Примем Го=соп81:, а также будем считать, что статическое давление постоянно по всему входному сечению канала. Легко видеть, что это обеспечивается выбором полного давления ро 2, причем
X
”) •
№
_ * (Xi) п (Х2)
где
7t (Х) =
Ро
1 — .
В рассматриваемом случае при течении газа по каналу начальный тангенциальный разрыв скорости размывается из-за действия вязкости, и газодинамические параметры постепенно выравниваются по сечению, так что на достаточно большом удалении от входа поток переходит в равномерный.
Следует отметить, что описанная постановка является точной. Действительно, равномерный сверхзвуковой поток может быть создан с помощью профилированного сверхзвукового сопла. Дозвуковой поток с заданным полным давлением р0 2, подведенный к входному сечению канала по достаточно длинному плавному газопроводу, также будет равномерным.
3. В уравнениях сохранения массы и количества движения (1) — (3) при ступенчатом распределении скорости и полного давления по входному сечению канала интегралы сводятся к сумме двух слагаемых. С учетом вышесказанного они переходят в известные уравнения эжекции [1]:
д (X,)/+ д (X,) (1 - /) = р0ж д (л^), (6)
я (*г)
*(*!)*(*!)/+ ^^г(Х2>9(Ш1-/) = г(О/>0с„?(и.
л (Х2)
причем нас будут интересовать режимы с Хв Для энтропии 5 и Ядэ получаем:
в = — 1п
гс(Х]) Г ~ Рч) *(Х2)
И
(*а)
•?(**)(■! - Я
$00
= - 1п
яОч)/
*(*.)(!-Я
я (и
к(х,)/ +
51 (Ь)
я (^Н1 - /)
Здесь учтено, что 1пр01 = 0.
Рассмотрим условия реализации корня ^>1. 1Начнем с примечательного частного случая Х2 = 1/Ха, т. е. г (Х^ = г (Х2). Из (6) и (7) получаем парадоксальный результат: г (Х^) = г (Х^, т. е. Х00 = Х1 или Х00 = Х2 независимо от величины площади /, занятой сверхзвуковым или дозвуковым потоком. Он справедлив при произвольных значениях р01 и рог-
5
На рис. 1 показана зависимость ——(/), рассчитанная при X.! = 2 и Х2 = 0,5
*оо
(здесь и ниже показатель адиабаты х=1,4). Видно, что в предельном случае
Рис. 2
sjsтс = 1 площадь /ш1п « 0,08. При ббльших значениях / имеем s/s^ < I. При f < fm-ln кривые соответствуют дозвуковому корню. Таким образом, если на входе в канал поток с 11 = 2 будет реализован всего лишь на ~8% площади (или большей) поперечного сечения канала, а на остальных ~92% площади приведенная скорость Л2 == 0,5, на выходе из достаточно длинного канала может установиться течение с = 2.
Расчеты, проведенные при А* =1,5 и Я2 = 0,7, дают значение /ш,п «0,65. В этом случае значение Ясс слабо меняется, возрастая от —1,45 до 1,5 при изменении площади от /min до 1, т. е. в области возможной реализации сверхзвукового корня ЯооСЯь При ?и = 1,5 и Я2=0,5 величина /min «0,325; значение Яо« изменяется от — 1,67 при/=/ш1п до 1,5 при f= 1, т. е. в этом случае в области реализации сверхзвукового корня Яоо>Яь При /=1 всегда Xoo=kt. Можно показать, что при ^2<lAi величина Аоо^&Г, при Я2>1/Я! получается Яоо<Я!.
Таким образом, при выравнивании параметров газового потока в цилиндрическом канале без трения на стенках в случае Т0 = const скорость не «осредняется» и значение Я.» может превышать максимальное значение Я на входе в канал. Это явление аналогично выравниванию полного давления ро при достаточно большой исходной неравномерности температуры торможения, когда величина ро «. может превысить максимальное значение ро во входном сечении [2].
На рис. 2 для предельного случая s=Sco приведена зависимость /n,jn от Я1 при нескольких значениях Яг. Кривые доходят до Я4 = 1. График на рис. 3 построен при Я1=1 и s=s„о. На нем приведены зависимости Яоо и /Шщ от Я2. Величина Яо« здесь всюду сверхзвуковая. Разгон газа в цилиндрическом канале до Ясо>1 при скоростях на входе, не превышающих скорость звука, обусловлен, конечно, конфигурацией линий тока внутри канала. Подробная картина течения может быть получена в результате детального расчета характеристик плоского или пространственного потока вязкого газа, например, на основании полных уравнений Навье—Стокса. Такие расчеты могут, разумеется, выявить дополнительные ограничения области существования сверхзвуковых режимов.
При достаточно больших дозвуковых значениях Я1 также существуют режимы, когда возможно Я«,>1. На рис. 4 при s=s„ и / = /тin построена зависимость полного давления газа на выходе из канала ро «> от Я1, при разных Я2. Видно, что величина ро о» оказывается «осредненной», т. е. имеет значение промежуточное между р01 = 1
и Р02~ п (Х2).
4. Условие / > /т,'п является необходимым для получения на выходе из канала однородного сверхзвукового потока. Для осуществления этого режима, наряду со сказанным выше, в пространстве, куда происходит истечение, должно поддерживаться статическое давление
Лх><А>соя(Хоо)-
Рис. 3 Рис. 4
В реальном случае вязкого газа сверхзвуковое течение сохраняется и при несколько большем статическом давлении
Раз ^ лшах Росо 71 0-<х)-
Коэффициент птах>1 характеризует предельный перепад давления в скачке уплотнения, который выдерживает пограничный слой без отрыва от стенки. При ишах скачки уплотнения продвигаются от выходных кромок в глубину канала, происходит отрыв потока, и сверхзвуковой режим разрушается. Данные о значениях птах можно найти, например, в работах [3, 4].
ЛИТЕРАТУРА
1. Христианович С. А. О расчете эжектора. —В сб. Промышленная аэродинамика. — М.: 1944.
2. М е ж и р о в И. И. Об ограничениях при осреднении полного давления неравномерных газовых потоков. — Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. XIII, № 4.
3. Петров Г. М., Л и х у ш и н В. Я., Некрасов И. П., Сор-кин Л. И. Влияние вязкости на сверхзвуковой поток со скачками уплотнения.—Труды ЦИАМ, 1952, вып. 224.
4. Гродзовски й Г. Л. Экспериментальное исследование взаимодействия скачков уплотнения и пограничного слоя в диапазоне чисел М=
= 1,0-«-1,8. — Изв. Ан СССР, ОТН, Энергетика и автоматика, 1961, № 4.
Рукопись поступила 31IV 1985 г.
