О термодинамическом совершенстве течений с теплои массоподводом в каналах при сверхзвуковой скорости газа на входе Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Томі 1970

№ 5

УДК 532.55

О ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОМ СОВЕРШЕНСТВЕ ТЕЧЕНИЙ С ТЕПЛО- И МАССОПОДВОДОМ В КАНАЛАХ ПРИ СВЕРХЗВУКОВОЙ СКОРОСТИ ГАЗА НА ВХОДЕ

Р. Г. Леонова

Для газа, текущего в каналах с начальной сверхзвуковой скоростью, рассматриваются условия, определяющие минимальные потери полного давления при заданном тепло- и массоподводе. Показывается, что в зависимости от скорости газа на входе в канал и относительных количеств тепла и массы термодинамически целесообразно осуществлять тепло-и массоподвод либо непосредственно к сверхзвуковому потоку, либо к дозвуковому потоку, полученному при прохождении газа через скачки уплотнения. Найден параметр, который характеризует термодинамическое совершенство режима течения газа в канале с тепло- и массоподводом.

При анализе принято, что течение стационарное, в контрольных сечениях одномерное, трение в канале отсутствует, показатель адиабаты к—постоянный, стенки нетеплопроводны, ось канала — прямая.

1. Постановка задачи. При подводе тепла к газу, текущему в начале канала со сверхзвуковой скоростью, рассматриваются два принципиально различных случая:

— подвод тепла и массы непосредственно к сверхзвуковому потоку (фиг. 1, а;

2, а);

— перевод сверхзвукового потока в дозвуковой через прямой скачок уплотнения и затем подвод тепла и массы к дозвуковому потоку (фиг. 1,6; 2,6).

Другими словами*

(М- = (М+; »- = »+; (Роі)- = 0»оі)+-

тг

Здесь = —I—коэффициент скорости на входе в канал; — скорость на ^ ¥■

входе в канал; — критическая скорость; р01 — полное давление на входе в

ГП5 1 / *05

канал, 0=— I/ — — относительный тепло-и массоподвод; /0—энтальпия тор-т1 ' *01

можения; т — масса; индексами „Iй и „5“ отмечены значения параметров на входе в канал и на выходе из канала; тх и тъ — массовый расход на входе и на выходе соответственно.

Разность приращений энтропий А5=(Д5)_ — (Д5)+ характеризует термодинамическую целесообразность подвода тепла и массы к сверхзвуковому (Д5<0) или дозвуковому потоку, образованному за прямым скачком уплотнения (Д5>0).

Из термодинамики для идеального газа при постоянном к, одинаковом теплоподводе и одинаковых параметрах газа на входе следует:

= — /?51п или Д5 = — Я51п-?= . (1.1)

(/>0о) + 3+

* Индексы „—“ и .+* относятся к случаям а и б соответственно.

Здесь (Роб)±—полное давление на выходе из канала для сверхзвукового и дозвукового течений;

з:р = ^25 — коэффициенты полного давления для сверхзвукового и дозву-Рої нового течений;

#5—газовая постоянная на выходе из канала.

Из выражения (1.1) видно, что разность приращений энтропий определяется •отношением коэффициентов 5. Поэтому в дальнейшем для оценки термодинамической целесообразности подвода тепла и массы к сверхзвуковому и дозвуковому

потоку рассматривается отношение Ъ=..

А,>/

////////////,

7777777777777

/

// ,

а)

/ , / ,/И І///Ц.

777Т7777777ГП 12 5

Фиг. 1

к,>1

Фиг. 2

2. Форма канала. Прежде чем перейти к анализу отношения —, нужно

рассмотреть условия, определяющие форму канала (постоянная или переменная по длине площадь поперечного сечения).

Для канала постоянной площади поперечного сечения Г совместное решение уравнений движения, массы и энергии может быть записано, как известно (1], в виде

где г(X) =— ^ — безразмерный импульс струи [2].

Функция г (А) проходит через минимум (гт|„ = 1) при А= 1 (фиг. 3).

Из уравнения (2.1) и указанного свойства функции г(\) следует, что течение

в канале постоянного сечения Р= при заданном & возможно лишь при ~>1

(см. фиг. 1 ,а, б). Если же течение в таком канале невозможоо. При

таком отношении канал должен быть расширяющимся.

3. Течение в случае £l>1. Все тепло можно подвести в канале при F =

= const = Fi как при сверхзвуковом течении по всему каналу, так и при дозвуковом течении за прямым скачком уплотнения.

Из уравнения расхода а — ftSSbl при фиксированных Xj и О получаем:

Я (*б)

3- _ 4(h)+

где

3+ Я (Ч)- '

= X.

Учитывая, что (г6)+ = -?1 =(г5)_, получим:

ь

„ 1

(Х5)+ =.. 1 ; Ъ=. = - =_____1 .... (3.1)

(Ъ> (Х6)_ ’ а+ Я (К)- ап (Х5)—. V '

Здесь а„ (Х6)_—коэффициент'давления в прямом скачке. Известно, что оп (Х)<1 при Х>1 иап(Х)=1 при Хп=1 (см. фиг. 3).

Если -fL=l, скорость в конце канала (Х5)_______= 1, (Х5)__ = 1 и ^==1;если

v а+

І>1, скорость (Х5)_ > 1, ап fX5)_ < 1 и Следовательно, если = 1,

ст О

то подводы тепла к сверхзвуковому потоку и дозвуковому, образованному за

прямым скачком уплотнения, термодинамически равноценны; если 1. то

термодинамически более эффективен подвод тепла к сверхзвуковому потоку [см. (3.1)].

4. Течение в случае -5і— <11. Заданное тепло невозможно подвести в канале

V

при F = const = /rj.

При сверхзвуковых скоростях подвод тепла с минимальными потерями соответствует (что легко показать) следующей картине течения. В канале при F = = const = Fj подводится такая часть тепла, чтобы скорость в конце канала равнялась бы Х4= 1; оставшаяся часть тепла подводится в расширяющемся канале 4 — 5 (см. фиг. 2, в) при X = const=l. Коэффициент давления для этого случая s__Po4Po6 Рої Pm

Из уравнения расхода для участка 1—4

Рм =

Рої Щ Г «од

г г01

Для участка 4—5 при условии X = 1, включая сечения 4—4 и 5—5, имеем

м = КтАП*(см.

например, [3]).

POi \тЪ ' г05 1 __

Используя уравнение импульсов для 1—4 — 1/ после преобразова-

mi Г г’оі

ний получаем а_ — г?+ї 9.Q1).. .

в*

Для дозвукового потока рассматривается подвод тепла в канале при F = = const = F3 > Fi при скорости в начале теплоподвода Х3<_!_<1 (см. фиг. 2, б). Величина коэффициента полного давления при этом а+ = ап(Xj) г2_3з3_5.

Примем, что а2_8=1 (идеальное торможение дозвукового потока в расширяющемся канале); и3_5 = 1 (так как потери при подводе тепла к дозвуковому потоку малы, см. например [1]). Тогда

<7(М I

-та

(4.1)

Здесь

(?)

<1, так как

<1

(по условию); q ^------jz,<l (см. фиг. 3).

Следовательно, ігри <1 отноше-

| f , :

" г\ і

-7— |*= і

ние -^=<"1. Напомним, что при 0+ г «

= 1, а при 1 1.

0+ -а 0-|- •

Таким образом, для газа, входящего в канал со сверхзвуковой скоростью,

величина является параметром, ха-

1,0 1,2 1,4 1,6 1,6 2,0 2J А,

Области целесообразных режимов течения: / — сверхзвукового; 2—дозвукового за прямым скачком уплотнения Фиг. 4

рактеризующим термодинамическое совершенство режима течения с тепло- и массоподводом.

Если величина ^_>1, то термодинамически целесообразно осуществлять тепло- и массоподвод к сверхзвуковому потоку. При этом F = const = F\.

Если = 1, то тепло- и массоподвод к сверхзвуковому и дозвуковому по-

■ст

току за прямым скачком уплотнения термодинамически равноценны. При этом также \F= const =

Если величина 3- <1, то рационально сначала перевести сверхзвуковой

поток в дозвуковой через прямой скачок уплотнения, а затем подвести тёпло к

dF

дозвуковому потоку. В этом случае _^>0.

Области целесообразных режимов течения в канале с тепло- и массоподводом (сверхзвукового или дозвукового, за прямым скачком уплотнения) в координатах даны на фиг. 4. Границей этих режимов является связь ft = zv

ЛИТЕРАТУРА

1. Киселев'Б. М. Расчет одномерных газовых течений. Прикладная математика и механика, т. XI, вып. 1, 1947.

2. Таблицы газодинамических функций. Институт им. Баранова. МАП СССР, 1956.

3. М е ж и р о в И. Н. О течении газов при наличии теплообмена. Известия АН СССР. Механика и машиностроение, № 1, 1961.

Рукопись поступила 16/IX 1969 г.

7—Ученые записки № 5