CC BY
60
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIII 1982
№ 4
УДК 533.6.08
ОБ ОГРАНИЧЕНИЯХ ПРИ ОСРЕДНЕНИИ ПОЛНОГО ДАВЛЕНИЯ НЕРАВНОМЕРНЫХ ГАЗОВЫХ ПОТОКОВ
И. И. Межаров
Показано, что осреднение полного давления неравномерного газового потока при сохранении основных интегральных характеристик может приводить к противоречивым результатам, если температура торможения потока не постоянна по его сечению.
Часто используемое „осреднение по массе" приводит к полному давлению осредненного потока, в котором энтропия оказывается меньше энтропии действительного потока, что противоречит второму началу термодинамики.
В [1] указывается, что операция осреднения полного давления неравномерного газового потока с сохранением тех или иных заданных интегральных характеристик потока может быть применена не к любому неравномерному течению.
а) Так, осреднение с сохранением массы, полного теплосодержания и энтропии газа (такой сггособ рекомендуется в [2] и достаточно широко и успешно используется на практике), примененное к потоку с непостоянной по сечению температурой торможения, может привести к тому, что полное давление однородного потока не будет .средним' в общепринятом смысле, а окажется выше максимального полного давления в действительном потоке (при стремлении показателя адиабаты газа к единице может стать сколь угодно большим).
б) Использование широко распространенного „осреднения по массе" (см., например, [3]) приводит к тому, что энтропия однородного осредненного потока уменьшается по сравнению с энтропией исходного потока, что противоречит второму началу термодинамики.
в) При осреднении газового потока с непостоянной по сечению канала температурой торможения с сохранением массы, полного теплосодержания и полного импульса может произойти „тепловое запирание', т. е. скорость газа в цилиндрическом канале может стать равной скорости звука, что ограничивает значения возможных параметров на входе в канал (см. [2, 4, 5])
В настоящей работе приводятся доказательства высказанных выше утверждений „а“ и „б“. Утверждение „в“ (см. п. 3 настоящей статьи) подробно проанализировано в [4].
1. Рассмотрим частный случай смешения двух одинаковых по массе порций совершенного газа, имеющих различные значения полного давления и температуры торможения. Давление и температура смеси постоянны во всем объеме, причем в процессе смешения отсутствует теплообмен с внешней средой. В соответствии со сказанным в пункте „а“ будем считать, что при выравнивании параметров энтропия газа не меняется, выполняются законы сохранения массы и
и полного теплосодержания. Массу каждой порции газа примем равной 1, масса смеси равна 2. Закон сохранения энтропии запишется при этом в виде
1п
гг-1
Р\
+ 1п
Г*-!
/>2
= 21п .
Г-х-1
Ро
(1)
здесь р — давление, Г — температура, %— показатель адиабаты газа, индексы 1 и 2 относятся к первой и второй порции газа, индекс 0 относится к однородной смеси.
Закон сохранения полного теплосодержания имеет вид
Тп =
Тх + Г3
(2)
В данном случае не нужно принимать во внимание движение газа (его скорость), так как законов сохранения и законов осреднения достаточно для определения давления смеси, т. е. можно рассматривать только параметры торможения, а статические давление и температура здесь вообще не фигурируют.
На основании (1) имеем
Ро —
Р\ Р2
2 \х—1
т, т.
Учитывая (2), получаем
А.
где
I [•№)♦:
г Р\Р2у-----4--
/М т\ т.
К—1
'(Й
Л т,
Функция г (л) = х
1
х
х>0 часто встречается в газовой динамике, при-
Т'Л П
I -* оо при —
чем при х ф 1 всегда г (х) > 2. Следует отметить, что г |-уГ-)-*оо при при 0. Отсюда
Т-2
00 и
Р о
=1" Р1Р'
(1+тГ'
где Е>0, причем г может стать сколь угодно большим при достаточно большом или достаточно малом /1/7’2.
При сколь угодно близком к единице значении 7\/Г2 или Т2)Т1 величина
X
(1 -Ь г)х—1 может также оказаться сколь угодно большой, если показатель адиабаты газа достаточно близок к 1, т. е. давление может оказаться сколь угодно большим.
Таким образом, доказана справедливость пункта „а“ по крайней мере в рассмотренном частном случае.
При 7\ = Т., методика осреднения с сохранением энтропии может, по-видимому, применяться без ограничений. В данном случае
Ро = Лг Р\ ?1-
2. Рассмотрим теперь широко распространенное .осреднение по массе*. Согласно этому методу
Ро
=1/Рйт-
(3)
Интегрирование ведется по всему поперечному сечению канала, <1т — элементарная масса газа, т — масса газа, протекающего через поперечное сечение в единицу времени. Температура торможения считается постоянной по сечению
Начнем опять с частного случая, когда смешиваются две одинаковые по массе порции газа, каждая из которых может быть принята равной 1, с разным полным давлением. При этом полное давление однородной смеси р0 с учетом
Р\ -{- ро
закона сохранения массы определяется соотношением р0 =-----------^—.
Вычислим энтропию исходного потока 5 и сравним ее с энтропией осред-ненного однородного потока 50- Имеем
где введено обозначение а —
Далее
Р1 2* У’Х — 1
Р\ Рч
У'Х—1
1п —-—- = 1п а, Р1
5о = 1п ■
ъ.
47-х-1
где
Ь =
(Р\ + Ръ)2
2х
47-Х-1
= 1п Ь,
(Р1-ГР2)5
Из приведенных соотношений находим а * (р11р2) + 2
где
■(—
V / Р-2
г>°-
Таким образом, я>6, т. е. 5>50.
В результате „осреднения по массе" энтропия однородной газовой смеси уменьшается по сравнению с энтропией исходного состояния, что противоречит второму началу термодинамики.
Рассмотрим теперь случай, когда полное давление р распределено неравномерно по поперечному сечению канала (см. рисунок). Величину р можно
Рис. 1
считать построенной по любой подходящей переменной (расстоянию от стенки, текущему массовому расходу и т. д.). В рассматриваемом сечении всегда можно найти точку А такую, что проходящая через нее поверхность тока делит массовый расход газа т на две равные части. Определяя по формуле (3) среднее полное давление рх и р2 для каждой половины потока, приходим к ситуации, которая была рассмотрена в начале этого раздела. Переходя, как и выше, к полному давлению однородной смеси р0, заключаем, что энтропия газовой смеси 50 уменьшилась по сравнению с исходной. Каждую половину массы газа можно, в свою очередь, разделить еще на две равные порции и т, д., причем во всех случаях в результате смешения энтропия газа при отсутствии обмена энергией с внешней средой будет уменьшаться.
Таким образом, применение методики „осреднения по массе” можно считать необоснованным с точки зрения законов механики газа, так как эта методика приводит к результатам, противоречащим второму началу термодинамики.
3. Осреднение газового потока с непостоянной по сечению канала температурой терможения при сохранении массы, полного теплосодержания и полного импульса рассмотрено достаточно подробно в [4|, поэтому здесь этот способ осреднения рассматривать не будем.
В частном случае постоянной по сечению канала температуры торможения среднее значение полного давления целесообразно определять в результате простого осреднения полного давления по площади поперечного сечении (см. [1], а также [6] и [7]).
Приведенные результаты показывают, что в каждом конкретном случае при осреднении полного давления газового потока следует иметь в виду ограничения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лыжин О. В., Межи ров И. И. Об осреднении полного давления неравномерного газового потока. „Ученые записки ЦАГИ", т. XI, № 3, 1980.
2. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М., „Наука“, 1977.
3. Васильев В. И. О величине ошибок при осреднении неравномерного потока в каналах ВРД. Труды ЦАГИ, вып. 1327, 1971.
4. Межиров И. И. О смешении неизотермического газа в цилиндрической трубе. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 6, 1970.
5. Сборник работ по исследованию сверхзвуковых газовых эжекторов. ИАГИ, 1961.
6. Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика. М., „Наука*, 1976.
7. Г р о д з о в с к и й Г. Л. Осреднение параметров потока при испытании элементов турбомашин. „Ученые записки ЦАГИ“, т. XI, № 3, 1980.
Рукопись поступила 23/11 1981 г.
