CC BY
10
© Нгуен Вьет Хоа, 2013
УДК 517.925.51 Нгуен Вьет Хоа
ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ПРИВОДИМОСТИ СИСТЕМ С ПОЛИНОМИАЛЬНО ПЕРИОДИЧЕСКОЙ МАТРИЦЕЙ
Предложен метод анализа линейных и квазилинейных модельных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с полиномиально периодической
матрицей при наличии определяющей матрицы А0 различной стабильной жорда-
новой структуры. С помощью современного алгоритма изучены новые выше указанные классы систем ОДУ, что обобщает или уточняет известные ранее результаты [1-6], позволяя сформуливать достаточные условия устойчивости решения таких систем.
Ключевые слова: Модельные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиально периодической матрицей, метод расщепления, устойчивость, теоремы о приводимости.
Д
ля нового класса модельных неавтономных систем ОДУ с полиномиально периодической матрицей с помощью неавтономного аналога метода расщепления получены конструктивные достаточные условия устойчивости решения указанных систем ОДУ, что обобщает или уточняет известные ранее результаты [1-6].
1. Анализ неавтономных систем ОДУ с периодической матрицей при наличии определяющей матрицы А0 простой структуры.
Мы рассмотрим неавтономную квазилинейную систему ОДУ с полиномиально периодической матрицей вида:
X = ГА (г) X + / (х, г); х (г0 ) = х0; (х, / е Я"; г0 > 1; / (0, г ) = 0), (1)
в случае, когда т = 0.
Теорема 1. Неавтономная квазилинейная система (при т = 0) с полиномиально периодической матрицей вида (1):
X = А (г) X + / (X, г); х (г0 ) = х0; (х, / е Я"; г0 > 1; / (0, г ) = 0), (2)
ад
где полиномиально периодический матричный ряд А (г ) = А + ^ Ак (г )г
к
из
к=1
Т - периодических и достаточно гладких квадратных матриц Ак (г) (к > 1) сходится по некоторой норме абсолютно и равномерно при г > г0 > 1, в случае, если спектр {Яу} постоянной матрицы А0 простой структуры удовлетворяет неравенствам:
= Яу - Як * 1п; ( * к; у,к=1"; ч=0; ± 1; ±2; •••), (3)
327
может быть с помощью полиномиально периодической невырожденной при достаточно больших t > Ц > 1, замены х = £0И^) (I) г;
N
(\1А So =Ло =йщ (Л)1'-'Л)„}; И(ы) (t) = Е+2 И к () t -к),
к=1
приведена к неавтономной системе с почти диагональной полиномиальной матрицей вида:
г = 0(0г + g(г,t)■, г(о) = (4)
N
(0(0 = Лм(0 + Г^+1)(0; Л^)(t) = 2Лkt-к; ^(0 <с),
к=0
где диагональные постоянные матрицы Лк и «бездиагональные» Т-периодические матрицы Ик () (к = 1, N) однозначно определяются с помощью итерационного алгоритма.
Доказательство. После невырожденной замены х = £0 у (она всегда существует [8] в условиях теоремы 1) получим систему:
( - >
у = В^)у + к(у,t); у(to) = У0; В^) = \ + 2Вк ^)гк
V к=1
которая после ещё одного невырожденного при достаточно больших t > t0 > 1 полиномиально периодического преобразования у = И(Ы) г получим нужный результат (4), если матрицы В ^), И^)(t) и 0 (t) удовлетворяют дифференциальному матричному уравнению:
И N )= В ^ ) И(п)(t)- ) 0 (t). (5)
Приравнивая в (5) коэффициенты при одинаковых степенях t, получим однотипные неавтономных дифференциальные матричные уравнения вида:
И к = рк ^) - Л к + Л0 Ик ^) - Ик ^ )Л 0; (к = ш); (6)
(Р (t) = В1 (t); Рк (0 = Вк (0 +
2 ( (0 Ик-} И к - у (0Л;) + (- 1)Ик-1 (t); к = )
1=1
Выделим матричном уравнении (6) диагональную компоненту:
Ик = Рк (0-Лк; ( = (7)
и «бездиагональную» часть
И к =Л0 И к ^ )-Ик (t )Л0 +Рк (t) . (8)
Дифференциальные матричные уравнение (7) имеет единственное Т-периодическое решение
Ик () = |(Рк (^)-Лкесли каждая диагональная матриц Лк равна сред-0
нему значению соответствующей диагональной матрицы Вк (t) : 1 т _
Лк = -1 Вк ()dt; (к = 1, N). т 0
С учетом представлений Ик ^) = {к. ^)} и Рк (t) = {р.к ^)} дифференциальное матричное уравнение (8) расщепляется на (п2 - п) скалярных дифференциальных уравнений первого порядке Ъ^ = с.И^ (t) + Ь.к (t) , каждое из которых при условии (3) имеет Т-периодическое решение [6] вида:
-11+т
1 (t) = ес(+т)(1 -ес) | еГс°рф (s)ds. Оценка Цс^,е)|< С прове-
t
ряется прямым вычислением. Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Если в условиях теоремы 1 спектр {Л. (t)} вспомогательной матрице Л^ (t) = Л0 + Л1tудовлетворяет неравенствам
Ие Л. ^)<-с0 < 0; (( = ГП)
и для достаточно гладкой функции / (х, t) справедлива оценка: |/(х, t))< С0 |х\+а; (а, С0 > 0; |х| < К; t > t0),
тогда тривиальное решение неавтономной квазилинейной системы (2) асимптотически устойчиво, а в случае, когда Ие Л. (t) < 0; (. = 1, п) тривиальное решение соответствующей однородной (/ = 0) системы (2) устойчиво.
Доказательство. С учетом эквивалентности систем (2) и (4) оценим квадрат [5] евклидовой нормы решения системы (4):
2^ = Ке(('в (t) г) + Ке ('g(г-1)) <
< Ие (г *Л(1) (t) г ) +1 2 Ие (г (+1) (t) г ) + Ие ( г * g ( г, t)) <
< (( + СхГг + С2 \г\а) < (с) |г|2; (0 < с < С0).
Полученное неравенство (t)| < С31г01 ехр (-с1 (t - t0 )) ——+— > 0, и доказывает асимптотическую устойчивость тривиального решения системы (2).
Во втором случае (когда Ыв Яу (г )< 0) устойчивость тривиального решения однородной (/ = 0) системы вида (2) следует из другой оценки
что позволяет записать |г (г)| < |г0|вхр (С1 (го1 - г1)) < С2 |г0| , доказывает
асимптотическую устойчивость тривиального решения системы (2). Теорема 2 доказана.
2. О приводимости систем ОДУ с полиномиально периодической матрицы А0 полупростой структуры.
Теорема 3. Рассмотрим неавтономную квазилинейную систему (т = 0) :
X = А (г) х + / (х, г); х (г0 ) = х0; (х, / е Я"; г0 > 1; / (0, г) = 0), (9)
с полиномиально периодической матрицей А (г), где матричный ряд
ад
А (г) = А + ^ Ак (г) г-к из достаточно гладких из Т - периодических матрич-
к=1
ных функции Ак (г) сходится по некоторой норме абсолютно и равномерно при г > г0 > 1, и матрица А0 имеет полупростую структуру и кратный спектр
{Яу , удовлетворяющей неравенствам:
-Як * ; (( * к; у, к = ~р; 1 < Р < п; ч = 0; ±1; ±2;...), (10)
в этом случае система (9) может быть с помощью невырожденной при достаточно больших г > г0 > 1, замены
( Ы Л
X = $н[м)(г)г; \Н{Ы)(г) = Е + £Нк (г)г-к ;
V к=1 У
Л$0 = Л0 =лга% {л01.....л0р}; л0у = ЯЕ,
к системе с почти блочно диагонально полиномиальной матрицей вида:
& = 0 (г) г + g(z, г); г () = (11)
N
(0(г) = + г^+1)(г); ^)(г) = Л + 1 Ркгк; ^+1}(г) <С)
к=1
где постояные «блочно диагональные» матрицы Ек и Т - периодические матрицы Нк (г) (к = 1, N) однозначно определяются с помощью итерационного алгоритма. 330
Доказательство. После невырожденной замены х = у получим систему
у = В О у + И (у, t); у () = Уо; {В (¿) = Ао + £ Вк ()г" ,
V к=1 у
что позволяет после полиномиально периодического невырожденного при достаточно больших t > t0 > 1 преобразования у = И^)(I) 2 получим нужный
результат (11), если матрицы В ^), И^)(t) и Q (t) удовлетворяют дифференциальному матричному уравнению:
И (*)= В (t)И(N)(t)-И(N)(t)Q (t) - (12)
Приравнивая в (12) коэффициенты при одинаковых степенях t, получим набор однотипных дифференциальных матричных уравнений вида:
t к: Ик (t) = Л о И к ^) - И к ^) Л о + Рк (t) - Рк; (13)
(рк «=Вк (t)+ Ё ( (о и к - ] (t)-ик-} (t) ^) -(к -1) ик-1 (t); к=ш)
У=1
что позволяет однозначно определить Т-периодические матрицы Рк и Ик ^)
по следующему алгоритму.
Выделим в уравнении (13) «блочно диагональную» часть:
Ик (t) = Рк (t)-Рк; (к = Ш),
t
которая имеет Т-периодическое решение Ик () = |(Р )- Рк)) если
о
1 тт _
¥к = — |Рк ()dt; (к = 1, N) ,и «блочно бездиагональную» часть: Т о
И к ^) = л о И к ^)- И к ( )Л о+Рк ^),
распадающуюся в свою очередь ещё на (р2 - р) более мелких дифференциальных матричных уравнений И = <У^И^) + Р^к (t) , каждое из этих уравнений имеет (с учетом условия (10)) единственное Т-периодическое решение [6]
_11+т
вида: Иг]к (0 = еа' (t+T }(1 - ) | . Оценка Ц^ (С
t
проверяется прямым вычислением. Теорема 3 доказана. Выводы
Доказаны теоремы о приводимости большого класса модельных систем ОДУ с полиномиально периодической матрицей к более простым системам ОДУ, что дает возможность для более точного анализа таких систем, включая вопросы устойчивости.
Предложенный алгоритм исследования таких систем ОДУ при наличии матрицы А0 различной стабильной жордановой структуры является уточнением или обобщением известных ранее результатов [1 - 6].
1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: Наука, Изд-во МГУ, 1998.- 480 с.
2. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости.- М.: Наука, 1971.288 с.
3. Коняев. Ю. А. Асимптотика решений дифференциальных уравнений с полиномиально периодическими коэффициентами.-М.: «Вестник МЭИ», 1996.- № 6.- с. 79 - 88.
4. Коняев. Ю. А. О некоторых методах исследования устойчивости. // Математический сборник.- 2001.- Т. 192, № 3.- С 6582.
- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
5. Коняев Ю. А. Метод унитарных преобразований в теории устойчивости. «Изв. ВУЗ. Математика», 2002, №2, с. 41 - 45.
6. Базов.Б. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: МИР, 1998, 464с.
7. Нгуен Бьет Хоа. Об асимптотической приводимости некоторых классов модельных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с квазиполиномиальной матрицей. - М.: «Вестник РУДН».-Серия: Математика. -Инфоматика. Физика.- 2012, №2.-с.12 - 17.
8. Боеводин. Б. Б. Линейная алгебра.-М.: Наука, 1974,- 336 с. Е2Э
КОРОТКО ОБ АВТОРЕ
Нгуен Бьет Хоа - кафедра высшей математики, Российский Университет дружбы народов, [email protected].
ГОРНАЯ КНИГА
Уголь мира. Том II. Уголь Америки
Б.М. Воробьев 2012 г. 486 с.
ISBN: 978-5-98672-171-2 UDK: 622.33
Настоящее издание — том II монографического сериала «Уголь Мира», в котором рассмотрены вопросы, связанные с добычей, переработкой и использованием угля в странах Западного полушария. Описаны состояние и перспективы развития угольной промышленности стран Северной и Южной Америки. Освещены технические, экономические, экологические и социальные проблемы угледобычи и углепользования. Уделено внимание ресурсной базе угольной промышленности, охране окружающей среды в связи с добычей и использованием угля, а также международной торговле углем. Представлены новые концепции углеэнергетических предприятий будущего на базе чистых угольных технологий.
Для широкого круга научных и практических работников, студентов, слушателей и аспирантов, интересующихся проблемами угольной промышленности и углеэнергетики.
L.M. ВОРОБЬЕВ ГОМИ
УГОЛЬ АМЕРИКИ
