Об асимптотической приводимости некоторых классов модельных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с квазиполиномиальной матрицей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

Об асимптотической приводимости некоторых классов модельных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с квазиполиномиальной матрицей

Нгуен Вьет Хоа

Кафедра высшей математики Российский Университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Россия

Доказаны основные теоремы об асимптотической приводимости неавтономных модельных систем с квазиполиномиальной матрицей при наличии особенностей.

Ключевые слова: асимптотическая приводимость, метод расщепления, неавтономные модельные системы ОДУ с квазиполиномиальной матрицей.

1. Введение

Для неавтономных модельных линейных систем с квазиполиномиальной матрицей с особенностями доказаны с помощью одного из вариантов метода расщепления теоремы об асимптотической приводимости к более простым системам, более удобным для качественного и численного анализа.

2. О приводимости некоторых классов модельных систем

обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с квазиполиномиальной матрицей

В предлагаемой работе рассмотрены различные варианты линейных неавтономных модельных систем ОДУ с квазиполиномиальной матрицей с особенностями более общего, вида чем в монографиях [1,2].

На основе одного из последних вариантов метода расщепления [3-5] предложены алгоритмы асимптотического приведения исходных систем (с учётом спектральных характеристик определяющей матрицы) к менее громоздкому виду, удобному для дальнейшего анализа, что обобщает известные ранее результаты [15]. „

Для удобства изложения для произвольной квадратной матрицы А = {а^к}1 введём обозначения для «её диагональной» Лdiag {й1 1,..., апп} и «бездиагональной» А = А — А частей.

Теорема 1. Система ОДУ с квазиполиномиальной матрицей вида

х = 1тА (1) х; х (1о) = хо; х е Кп; (т > 1); (¿о > 0); (1)

А (¿) = Ак (¿) 1-к, где Ак (Ь) — Т-периодические достаточно плавные мат-

к=0

рицы и матричный ряд сходятся по некоторой норме абсолютно и равномерно при £ > ¿0 > 1 в случае, если спектр {Л0^ матрицы А0 (£) удовлетворяет неравенствам

(г) = Xоj (г) — \0к (г) = 0; (з = к; з,к = 1^; г > ¿0 > 1) , (2)

Статья поступила в редакцию 28 декабря 2011 г.

может быть с помощью невырожденной при достаточно больших £ > ¿о > 1 замены

X = во (г) н (г) г; {я—1 (г) Ло (г) во (г) = До (г) = ^ {Л01 (г),..., \оп (г)}); (3)

N

Н (^ = Е + Н к (^ Ь-к; Нк (^ — Т-периодические матрицы (к = 1,п), приве-

к=1

дена к неавтономной системе с почти диагональной матрицей:

¿ = *т(тоо Лк (^ Гк + 0 {t-N-1 ^ г = ^ (€) X, (4)

где Т-периодические диагональные Лк (£) и «бездиагональные» Нк (£); (к = 1,п) матрицы однозначно определяются итерационным методом.

Доказательство. В условиях теоремы 1 существует невырожденная Т-пери-одическая замена х = Яо (Ь) у, приводящая систему (1) к виду:

у = гтв (г) у; (в (г) = Ло (г) + £ Вк (г) г^ , (5)

что позволяет после ещё одного невырожденного при достаточно больших £ > ¿о > 1 преобразования у = Н (Ь) г перейти и системе (4), если матрицы В (Ь), Н (Ь) и (р) связаны дифференциальным равенством

н = гт (в (г) н (г) - н (г) я (г)). (6)

Приравнивая в (6) коэффициенты при одинаковых степенях получим неавтономные алгебраические матричные уравнения для последовательного и однозначного определения всех необходимых Т- периодических диагональных Лк (Ь) и «бездиагональных» Нк матриц (к = 1,п):

гт-к: Ло (г) Йк (г) - В к (г)Ло (*) = Лк (г) - Рк (г); {к = 1м л (г) = В1 (г));

к— 1

Рк (г) = Вк (г) + £ (в, (г) Щ-, (г) - Щ-, (г) Л, (г)); (7)

=1

к : Ло (^ Нт+к - Нт+к Ло = Лт+к - Рт+к ; Рш+к Вш+к ( )+

ш+к—1

+ £ (в, (г)йш+к-, т-йш+к-, ММ«)-йк ю + ьйк-1 м, (8)

=1

(к = 1,М-т).

Структура линейных алгебраических матричных уравнений (7) и (8) позволяет однозначно определить следующие матрицы:

Лк (€) = Рк (г); Йк (г) = {Ы^ (г)}; Рк (г) = {р,к (Щ

Ы,к (¿) = -Рг,к (^ /ац (¿); {г = з; г,з = 1,п; к = 1,^, (9)

что и завершает доказательство теоремы 1. □

Замечание 1. Случай, когда в системе (1) матрицы Ак (t) являются постоянными, исследуется методами теоремы 1 (включая случай т = 0).

Принципиально другая ситуация при анализе системы (1) возникает, когда т = —1 и т < —2.

Теорема 2. Система (1) при т = —1 и наличии постоянных матриц Ak (к > 0) в случае, если спектр {Aoj }" матрицы Ao удовлетворяет неравенствам:

= Xoj — \ok = 0, ±1, ±2,... (j = к; j,k = 1~ñ) (10)

может быть с помощью невырожденной при достаточно больших t > t0 > 1 замены

х = SoH (t) z; {S-lAoSo = Ло = diag {Aoi,..., Ao„}); (^H (t) = E +

^ (11)

приведена к системе с почти диагональной матрицей вида

z = t—1 (Ao + 0 (t—N-1)) г = t—1Q (t) z, (12)

где постоянные матрицы Hk (k = 1,N) однозначно определяются с помощью итерационного алгоритма.

Доказательство. Повторяя рассуждения теоремы 1, для матриц В (t), Н (t) и Q (t) получим дифференциальное соотношение:

til = В (t) Н (t) — Н (t) Q (t). (13)

Приравнивая в (13) коэффициенты при одинаковых степенях t , получаем набор однотипных матричных уравнений вида:

п— 1

Лo#„ — ЙnЛo — пНп = —Рп; (п = T^Ñ) ; Pi = Bi; Рп = Вп + ^ BáHn—j,

3 = 1

откуда получаем формулы для последовательного и однозначного определения всех матриц Нk (k = 1,N):

Нк = —Pk/к; Нк = {hijk} ; Рк = {Píjk} ; híjk = —pijk/ (оц — п),

что и завершает доказательство теоремы 2. □

Теорема 3. Система (1) при т = —1 с Т-периодическими матрицами Ak (t) (к > 0) может быть приведена с помощью невырожденной при достаточно больших t > to > 1 Т-периодической замены

х = Н (t) у; (н (t) = Е + Л Нк (t) t—^ (14)

к более простой системе полиномиального типа с постоянными матрицами вида

-1 I V^ и +~к , n U—N—1\ \ „. _ J--1

(jtt—k + 0 (t—N —^

У = t—-1 Е Вкt—k + 0 {t—N—Ч у = t—1B (t) у, (15)

где Т-периодические матрицы Hk (t) и постоянные матрицы Bk (k = 1, N) определяются с помощью простого алгоритма.

Доказательство. Система (1) может быть приведена к системе (15), если матрицы A (t), B (t) и H (t) удовлетворяют дифференциальному соотношению:

tH = A (t) H (t) -H (t) B (t). (16)

Приравнивая в (16) коэффициенты при одинаковых степенях t, получим набор однотипных неавтономных матричных уравнений вида:

Hk (t) = Pk-1 (t) -Bk—i; (k = 0N) ; Po (t) = Ao (t); (17)

k—2

Pk-i (t) = Ak—i (t)+(k - 1) Hk—i (t)+E (A, (t) Hk—j (t) - Hk—j (t) Bj); (k = 0N) ,

j=o

откуда последовательно и однозначно определяются Т-периодические матрицы

t

k

Hk (t) = j(Pk—i (t) -Bk—i) dt, (18)

o

T

где Bk—i = 7p J Pk—i (t)dt, что и завершает доказательство теоремы 3. □

Теорема 4. Система (1) с постоянными матрицами Ак (к > 0) при т < -2 может быть приведена с помощью невырожденной при достаточно больших I > 1о > 1 замены

к системе вида

X = Н (г) у; (н (г) = Е + ^Н^ -Ч (19)

\ к=ш /

у = 1т {Во + 0 -1) ) у = 1тВ (I) у, (20)

где постоянные матрицы Нк (к = т, определяются по итерационной схеме.

Доказательство. Приведение системы (1) при т ^ -2 с постоянными матрицами Ак к системе (20) с помощью замены (19) возможно, если матрицы А (¿), В ({) и Н (1) удовлетворяют соотношению вида:

н= гт (А (г)н (г) -н (г) в (г)). (21)

Приравнивая в (21) коэффициенты при одинаковых степенях , получим набор уравнений вида

Ьо : Во = Ао; Ь 1 : тНт = -А1 ^ Нт = - ;

Г2 : (т + 1) Нт+1 = -А2 ^ Нт+1 = -^^ и так далее. Теорема 4 доказана. □

Теорема 5. Система (1) при т < —2 с Т-периодическими матрицами (t) (к > 0) может быть приведена с помощью невырожденной при t > to > 1 Т-периодической .замены

х = H (t)y; (н (t) = E + Y,Hk (t) ГЧ (22)

\ k=rn /

к более простой системе вида:

у = ^ J2 Bkt-к + 0 {t-Nу = tmB (t) у, (23)

где Т-периодические матрицы Нk (t) (к = т, N) и постоянные матрицы Bk (к = 0, N) определяются с помощью простых итераций.

Доказательство. С помощью изложенного выше алгоритме (см. теорему 1) можно показать, что приведение системы (1) (т ^ —2) и системе (23) возможно, если матрицы A (t), B (t) и Н (t) связаны соотношением (обозначив т = —п):

tnH = A (t)H (t) — Н (t)B (t); (24)

/ ff m (t) mHm (t) + ff m+i (t) (m + 1) Hm+1 (t) + \ =

= (a0 + + ^ + ...)(e + ff^ + + ..)

— (e + ff^ + ffs^ +..) (ft + f +1 + ...)

Приравнивая в (24) коэффициенты при одинаковых степенях получим набор однотипных алгебраических неавтономных матричных уравнений:

т t

t0:H m = A0 (t) — Bo ^Bo = HA) (t)dt; Hm = j (A0 (s) — B0 )ds;

о 0

T

t-1 : Hm+i = (Ai (t) + mHm (t)) —Bi ^ Bi = ±Jpi (t)dt;

о

t

(Pi (t) = Ai (t) + mHm (t)); Hm+i (t) = j(Pi (s) — Bi) ds;

t-2 : H m+2 = (A2 (t) + (m + 1) Hm+i (t)) — B2 ^B2 = 1 P2 (t) dt;

T

T

0

t

(P2 (t) = A2 (t) + (m + 1) Hm+i (t)); Hm+2 (t) = f (P2 (s) — B2) ds;

0

и так далее. Теорема 5 доказана. □

3. Заключение

Предложенный в статье метод асимптотической приводимости линейных неавтономных модельных систем ОДУ с квазиполиномиальной матрицей при наличии особенностей является конструктивным и удобным как для качественного, так и для численного анализа.

Доказанные с помощью метода аналогий и алгоритма метода расщепления нетривиальные теоремы позволяют дополнить или уточнить известные ранее результаты [1-5].

Литература

1. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, Изд-во МГУ, 1998. — 480 с. [Вешгс1оугсН В. Р. Ъексп ро ша1еша11сЬе8коу] 1еот ^оу^Ытоз^. — М.: Майка, Ьё-то МОИ, 1998. — 480 8. ]

2. Вазов В. Асимптотические разложения решений ОДУ. — М., 1998. — 464 с. [Уагоу V. Asimptoticheskie razlozheniya гезЬету] ОБИ. — М., 1998. — 464 8. ]

3. Коняев Ю. А. О некоторых методах исследования устойчивости // Математический сборник. — 2001. — Т. 192, № 3. — С. 65-82. [Копуаеу Уч. А. О ш^опЬкЬ metodakh issledovamya ^оу^ЫтозМ // Matematicheskiyj зЬогтк. — 2001. — Т. 192, Мо 3. — Б. 65-82. ]

4. Коняев Ю. А. Асимптотические и аналитические методы решения некоторых классов прикладных модельных задач. — М., 2005. — 160 с. [Копуаеу Уч. А. Asimptoticheskie i analiticheskie metodih reshemya nekotorihkh kla88ov prikladnihkh шodeljnihkh zadach. — М., 2005. — 160 8. ]

5. Коняев Ю. А. Об одном методе исследования некоторых задач теории возмущений // Математический сборник. — 1993. — Т. 184, № 12. — С. 133144. [Копуаеу Уч. А. ОЬ odnom metode issledovamya nekotorihkh zadach teorii vozшutheniyj // Mateшatiche8kiyj 8Ьornik. — 1993. — Т. 184, Мо 12. — Б. 133144. ]

UDC 517.977

About Asymptotic Transformation Some Classes of Systems of the Model Ordinary Differential Equations (ODE) with a Quasipolynomial Matrix Nguyen Viet Khoa

Department of Mathematics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia

The basic theorems about asymptotic transformation systems with a quasipolynomial matrix are proved.

Key words and phrases: asymptotic derived, splitting method, nonautonomous model systems ODE with a quasipolynomial matrix.