CC BY
20
УДК 517.925
Исследование методом расщепления сингулярно возмущённых начальных задач для неавтономных систем
ОДУ
А. З. Воркне
Кафедра высшей математики Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198
С помощью неавтономного варианта метода расщепления с новой точки зрения изучены сингулярно возмущённые (с/в) начальные задачи для модельных систем ОДУ. Предложенный алгебраический метод позволяет построить квазирегулярную асимптотику решения линейной задачи Коши и сформулировать критерии устойчивости решения для с/в квазилинейных задач.
Ключевые слова: сингулярно возмущённые начальные задачи, метод расщепления, квазирегулярная асимптотика, устойчивость.
1. Введение
Для большого класса сингулярно возмущённых начальных задач для неавтономных линейных систем ОДУ с помощью конструктивного варианта метода расщепления при наличии стабильного спектра предельного оператора построена квазирегулярная асимптотика решения данных задач. В отличие от известного [1,2] данная асимптотика более удобна для качественного и численного анализа. Приведены условия устойчивости решения с/в квазилинейных систем с Т-периодической матрицей. Рассмотрен содержательный пример.
2. Алгебраический метод построения асимптотики решения с/в неавтономной линейной задачи
Анализ решения с/в задачи Коши для неавтономной линейной системы ОДУ вида:
ex = A(t,e)x + f (t, е); ж(0, е) = х0 (1)
ж
(x,f G Rn; t G [0,6]; е > 0), где векторный ряд f (t,e) = Y1 fk(t)ek и матричный
k=о
ж
ряд A(t,e) A-k (t)ek из достаточно гладких функции fk (t) и Ak (t) сходятся
k=0
абсолютно и равномерно при достаточно малых е и при любом t G [0, b], являются в общем случае весьма непростой задачей [1,2] даже в регулярном (е = 1) случае.
Принципиальные особенности и добавочные трудности возникают при исследовании так называемых с/в задач вида (1) с малым параметром е > 0 перед производной.
В отличие от известных асимптотических методов анализа таких систем (см., например, [1,2]) в данной работе рассмотрен конструктивный алгебраический вариант метода расщепления [3-5] для исследования с/в задач вида (1) с учётом структуры спектра неавтономной матрицы Ao(i).
Термин «сингулярность» в данном случае означает, что в общем случае решение предельной (е = 0) алгебраической задачи (1) может не удовлетворять начальному условию.
Для удобства дальнейшего изложения, следуя методу расщепления [3-5], для произвольной квадрантной матрицы А = {а^к}™ введём специальные обозначения: для её «диагональной» части — А = diag{all,..., апп} и «бездиагональной» части — А = А — А.
Теорема 1. Если спектр {Хо о(1)}П матрицы Ао(1) удовлетворяет условиям:
° ок (€) = Xoj (г) — Хок &) = 0; Xoj (^ = 0; Ив Xoj < 0, (2)
(з = 3, к = 1,п; I € [0, Ь]), тогда существует единственное и равномерно ограниченное при е ^ +0 на отрезке [0,6] решения с/в задачи Коши (1) и асимптотика, её решения может быть представлена в квазирегулярной форме:
х(г,е) = во (£)Н (г,е)Ф(М)(г,е)С + Ю(М)(г,е) = .-1
= во(г)н(г,£)вхр ¡ЛоШв^ ^^(г)е^ с + т{Ю(г,£) + о(£м+1). (3) Здесь 3-1(£)Ао(£)Бо^) = Ло(г) = diаg {Хо^),.. .,Хо п^)}, еФ ( N) = Л&е)Ф(
N __N { Г \
Н(1,е) = Е + ^Нк(1)ек; Л(1,е) = ^Лк(1)ек; Ф{Ю = вхр [е-1 Л(з,е^з I ;
к=1 к=0
N
N) &£) = ^ Ык(Ь)ек,
к=о
где «диагональные» Лк(£) и «бездиагональные» Нк(£) матрицы и векторные функции юк(£), (к = 0,М) однозначно определяются с помощью итерационного алгоритма.
Доказательство. С учётом условий (2) Ао(Ь) = 0, Ь € [0, Ь]) вектор функ-
N
ции Юк(^ компоненты аналога частного решения N)(^,£) = 12 юк(¿)£к системы
к=о
(1) однозначно определяются при непосредственной подстановке N) (^,£) в систему (1) и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях е без учёта начальных условий. При этом имеем:
то(1) = —А-1 (*)/о®; ^ (€) = А^1(1)(гЬо(1) — А1 (*)шо(*) — ¡1(1)) и так далее.
После подстановки х = V + N)(^,£) для функции ь(Ь,е) получаем почти однородную с/в задачу Коши:
£у = А(Ь,е)у + £N+1д(Ь,е); у(0,е) = ад (\д^,£)\ <С\). (4)
Замена V = Бо(Ь)у упрощает с/в задачу (4):
еу = В (г,е)у + £N+1h(t,£); у(0,е) = Уо- (5)
Здесь В(1,е) = Ло(1) + ^ Вк(1)ек; < С2). При этом система (5) после
к=1
невырожденного при достаточно малых е преобразованиях у = Не) приводится
/ JV
(Q(t,e) = A(t,e)+ eN+1R(t,e); A(t,e) = £ Лк(t)ek; \\b(t,e)\\ < C3; IR(t,e)l <
V и—л
к почти диагональной системе:
ez = Q(t,e)z + eN+1 b(t,e), z(0,e) = z0,
N
-к.
к=1
C4; t G [0,b]^j, если матрицы B(t,e), Q(t,e) и H(t,e) удовлетворяют дифференциальному матричному уравнению:
eH = B(t, e)H(t, e) - H(t, e)Q(t, e). (6)
Приравнивая в (6) коэффициенты при одинаковых степенях е, получим простые алгебраические однозначно разрешимые матричные уравнения вида:
к(t) - (t)Ao(t) = Ak(t) - Pk(t) к-1
(t)n k-j (I)
- n k-j
K—1 .
fat) = Bi(t); Pk(t) = Bk(t) + Y,(B3(tWk—j(t) - ^к—з(t)Aj(t))+ =Sk—i(t)) ,
3=1
откуда имеем
Лк (t) = Pk (t); Pk (t) = [pijk (t)}; Hk(t) = [hijk (t)};
hijk (t) = -a— (t)pijk (t); (i = j; i, j = 1,п; к = 1,N; t G [0, b]).
С учётом того, что матричная функция
N _ %
R(t,e) = Bi(t)HN(t) - ^ Hj(t)AN(t) - HN(t)
3=1
ограничена по норме \\R(t, e)\\ < С, (t G [0,6]) и задача Коши (4) эквивалентна интегральному уравнению
г(г,е) = Ф{Ю(г,е) ^о + ем ^ Ф{]1)(8,е)[К(8,е)г + Ь(г,е)]^ ¿в = Ьх (7)
со сжимающим оператором Ьг, (где 1Ьг1-Ьг21 < eNС01г\—г21, |^0| < а0, £NС0 < 1), интегральное уравнение (7) и эквивалентная с/в начальная задача (1) имеют единственное и ограниченное в условиях теоремы (1) решение, представимое в квазирегулярной форме (3), что и требовалось доказать. □
3. Исследование с/в начальных линейных и квазилинейных задач для систем с Т—периодической матрицей на полуоси
При анализе устойчивости решения с/в квазилинейной (и линейной) задачи Коши на полуоси:
ех = А(г,е)х + е/(х^); х(0,е) = Х0; (/(0,1) = 0; х 6 Мп, < 6 [0, +то]), (8)
где матричный ряд А(1, е) = ^ (1)ек из достаточно гладких Т- периодических
к=0
матричных функцией Ак (р), (к ^ 0) сходится абсолютно и равномерно по некоторой норме на полуоси [0, то) и /(х,1) - достаточно гладкая при £ ^ 0 векторная функция.
При этом, если спектр {\ojit)}™ матрицы Ао^) удовлетворяет условиям (2) теоремы 1, то в окрестности точки £ = 0 существует экспоненциальный погран-слой, структура которого описана в теореме 1. Но в этом случае возникают непростые вопросы с описанием условий устойчивости решения для однородных и квазилинейных систем вида (8). Эта проблема решена в следующем утверждении, являющемся аналогом теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости по первому приближению для неавтономных квазилинейных систем с Т-периодической матрицей.
Теорема 2. Если Т-периодическая матрица А(1, е) удовлетворяет условиям теоремы 1 (включая условия (2)) и спектр (Р^)}™ вспомогательной матрицы удовлетворяет неравенствам:
Ие(Ь,е) < еч(-а0 + ^(Ь)); Ь' = 1,п; 50 > 0; ^^ < С; Ь > 0; 0 < д < N
и если для функции /(х,1) имеет место оценка |/(х,1)\ < С5\х\1+а ; (С5, а > 0; |ж| < К; £ > 0), тогда тривиальное решение с/в линейной и квазилинейной задачи Коши (8) асимптотически устойчиво.
Перед доказательством теоремы 2 сформулируем вспомогательную лемму.
Лемма 1. Для квадрата евклидовой нормы решения системы х = А(£)х справедливо дифференциальное равенство:
ё\т\2
^^ = 2Ие(х*А(г)х); (9)
Доказательство. С учётом х* = х*А*(Ь) и |ж|2 = х*х запишем дифференциальное соотношение
ё^ ^Ж х) —Х х —Х * **/.\ I *
—:— = —:-= —— х + х — = х А Щх + х АЩх =
= (х*А(1)х)* + (х*А(1)х) = 2Ие (х*А(г)х), что и завершает доказательство леммы. □
Доказательство (теоремы 2). С учётом соотношения (9) запишем дифференциальное неравенство для квадрата евклидовой нормы решения с/в задачи
ех = Я(г,е)г + еЬ(г,г,е); г(0,е) = г0; (г > 0), (10)
т,е) = Л(г,е) + ем+1Щ,е);; ||Д(^е)|| < С), эквивалентной виду Т.1 с/в задаче (8). При этом имеем
ё Ы 2
= 2Ие (г*Л(г, е)г)е-1 + 2Ие (г*Ие (г, е)г)ем + 2Ие (г*Ь(г, г, е)) <
< ед-1(-ао + ф))Ы2 + емСоИ2 + С4|^|2+а <
< ((-ао + ф))£4-1 + £МСм)|г|2 + С2И2+а <
< eq-l{-al + ФШ2; (0 < ai <а0)
Полученное неравенство приводит к оценке
t
—2 —1 —1 0 0 0
0 0 —0 I , Ai = —2 —2 0
0 0 0 0 1 0
1г(1,е)1 < |^о| ехр ^е9 1 J (-а1 + ^ 0, когда Ь ^
что и доказывает асимптотическую устойчивость тривиального решения с/в линейной и квазилинейной задачи (10) и эквивалентной ей задачи (8). □
Пример 1. Исследуем поведение решения с/в модельной квазилинейной задачи Коши о прохождении нервного импульса [6, с. 189]
ех = (А0 + еА{)х + ef (х); ж(0, е) = х0, (11)
где
Л =
00
f (х) = ((—3ех2 — ех1х2 — е2х\), 0, 0)т,
матрица А0 имеет полупростую структуру со спектром Ai = —2, Х2,3 = 0, т.е. в этом случае следует воспользоваться соответствующими аналогами теорем 1 и 2. После невырожденной замены х = S0y, где
/11° \ г /2 11 So = (00 1 I , S-1 = - I 0 —1 —1 \0 —2 —1) 2 \0 2 0
система (11) принимает вид еу = В(е)у+eh(y) ; у(0,е) = у0, где В(е) = Л0+еВ1,
'—2 0 0\ _ Ло = I 0 0 0 I , Bi = -0 0 0)
Последующая невырожденная при достаточно малых |е| < 1 замена у =
Н(e)z; (Н(е) = Е + eHi) приводит в итоге задачу (11) к системе с «почти блочно диагональной» матрицей
si = (Л0 + eN1 + 0(е2)) + eb(z, е); z(0, е) = z0, — 0 0 ^ '2 3
—2 —2 —3
2 2 3
4 4 1
где N1 = 2 I 0 2 3 I . При этом матрица N12 = 2 ( 4 "4 ) имеет
/2 3\
0 -4 -4, V-4 -''
простой спектр и1>2 = 1/2(-1 ± г^/Ъ). Это позволяет после замены г = Б1у (в силу теоремы 1) перейти к системе с почти диагональной матрицей
еь = (Ло + еЛ1 + 0(е2 ))у + ед(у,е); у(0,е) = Уо, (12)
что (с учётом теоремы 2) гарантирует асимптотическую устойчивость с/в системы
^ (е№
(12) и эквивалентной ей системы (11), ибо спектр {Xj(е)}3 «усечённой» матрицы
Л(е) = Ло + еЛх:
Xi = -2 - е + 0(е2)] Х2,з = 2(-1 ± iV3) + 0(е2)
лежит в левой полуплоскости Re Xj(е) ^ -е/2 < 0, (j = 1, 2, 3).
4. Заключение
Показана эффективность (отличного от ранее известных [1,2]) асимптотического метода анализа с/в линейных и квазилинейных систем, в основе которого
лежит алгебраический вариант метода расщепления [3,5].
Литература
1. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. — М.: Наука, 1981. — 400 с. [Lomov S. A. Vvedenie v obthuyu teoriyu singulyarnihkh vozmutheniyj. — M.: Nauka, 1981. — 400 s. ]
2. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — Высшая школа, 1990. — 280 с. [Vasiljeva A. В., Butuzov V. F. Asimptoticheskie metodih v teorii singulyarnihkh vozmutheniyj. — Vihsshaya shkola, 1990. — 280 s. ]
3. Коняев Ю. А. Об одном методе исследования некоторых задач теории возмущений // Математический сборник. — 1993. — Т. 184, № 12. — С. 133144. [Konyaev Yu. A. Ob odnom metode issledovaniya nekotorihkh zadach teorii vozmutheniyj // Matematicheskiyj sbornik. — 1993. — T. 184, No 12. — S. 133144. ]
4. Коняев Ю. А. Об однозначной разрешимости некоторых классов нелинейных регулярных и с/в краевых задач // Дифференциальные уравнения. — 1999. — Т. 35, № 8. — С. 1028-1032. [Konyaev Yu. A. Ob odnoznachnoyj razreshimosti nekotorihkh klassov nelineyjnihkh regulyarnihkh i s/v kraevihkh zadach // Differencialjnihe uravneniya. — 1999. — T. 35, No 8. — S. 1028-1032. ]
5. Коняев Ю. А. Теории возмущений в прикладных задачах. — М.: Издательство МЭИ, 1990. — 60 с. [Konyaev Yu. A. Teorii vozmutheniyj v prikladnihkh zadachakh. — M.: Izdateljstvo MEhl, 1990. — 60 s. ]
6. Эрроусмит Д., Плейс К. ОДУ. — М.: Мир, 1986. — 248 с. [Ehrrousmit D., Pleyjs K. ODU. — M.: Mir, 1986. — 248 s. ]
UDC 517.925
The Study of Splitting Method of Singularly Perturbed Initial Value Problems for Non-Autonomous Systems of ODE
A. Z. Workneh
Department of Mathematics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, Russia, 117198
With the help of non-autonomous version of the method of Splitting with new point of view, the paper studied singularly perturbed initial value problems for model systems of ODE. The proposed method will allow us to construct quasi-regular asymptotic solutions for linear Cauchy Problems and to formulate criteria for the stability of singularly perturbed quasi-linear problems.
Key words and phrases: singularly perturbed initial value problems, splitting method, quasi-regular asymptotic, stability.
