Научная статья на тему 'Исследование некоторых квазилинейных сингулярно возмущённых модельных задач'

Исследование некоторых квазилинейных сингулярно возмущённых модельных задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
47
20
Поделиться
Ключевые слова
СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ / УСТОЙЧИВОСТЬ / МЕТОД РАСЩЕПЛЕНИЯ / СПЕКТР

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Коняев Юрий Александрович, Безяев Владимир Иванович

С помощью нового вычислительного алгоритма, основанного на методе расщепления, изучены сингулярно возмущённые биологические модельные задачи.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Коняев Юрий Александрович, Безяев Владимир Иванович,

Research of Some Quasilinear Singular Perturbated Model Problems

Some quasilinear singular perturbated biological model problems were investigated by a new computation algorithm based on the splitting method.

Текст научной работы на тему «Исследование некоторых квазилинейных сингулярно возмущённых модельных задач»

Вестник РУДН Серия Математика. Информатика. Физика. № 3 (2). 2010. С. 6-9

Математика

УДК 517.977

Исследование некоторых квазилинейных сингулярно возмущённых модельных задач

Ю. А. Коняев*, В. И. Безяев+

* Кафедра высшей математики Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д.6, г. Москва, 117198, Россия ^ Кафедра дифференциальных уравнений и математической физики Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д.6, г. Москва, 117198, Россия

С помощью нового вычислительного алгоритма, основанного на методе расщепления, изучены сингулярно возмущённые биологические модельные задачи.

Ключевые слова: сингулярно возмущённые квазилинейные системы, устойчивость, метод расщепления, спектр.

1. Введение

Исследование некоторых классов прикладных задач с быстрыми и медленными переменными может быть сведено к анализу сингулярно возмущённых (с/в) квазилинейных систем вида

ex = A(t,e)x + ef (x,t), ж(0,е) = х0, x,f е Rn, (1)

ж

где матричный ряд A(t,e) =5^ A-k (t)ek сходится абсолютно по некоторой норме

fc=0

при |е| < 1 и t ^ 0.

Термин «сингулярность» указывает на возможность появления так называемого погранслоя в окрестности t = 0 [1,2]. Для с/в задач вида (1) предлагается эффективный вычислительный алгоритм их решения, в основе которого лежит метод расщепления [2,3].

2. Вычислительный алгоритм

Теорема 1. Собственные .значения {Xj(е)}" и собственные векторы {sj(е)}" регулярно возмущённой матрицы А(е) при наличии простого спектра {A0j-}" (ajfc = X0j — X0fc = 0, j = к , j,k = 1, п) матрицы А0 могут быть вычислены одновременно и с любой точностью

N N

^(е) = £ А£к + 0(eN+1), (в) = £ skjек + 0(eN+1) (в ^ 0) (2) fc=0 fc=0

с помощью простого конструктивного итерационного алгоритма метода расщепления [2, 3].

Доказательство. Запишем соотношения A(e)sj(е) = Xj(e)sj(е) в матричной форме A(e)S(е) = 5(е)А(е), где диагональная матрица А(е) = diag{A1 (е),... ,Л„(е)}

Статья поступила в редакцию 11 декабря 2009 г.

состоит из искомых собственных значений (е), а матрица 5 (е) состоит из собственных вектор-столбцов (е) (^ = 1,п). В условиях теоремы 1 всегда существует невырожденная матрица 50 такая, что в—1А030 = Л0 = diag{Aoъ ..., ^Оп}. После замены Б(е) = Б0Н(е) получим матричное уравнение В(е)Н(е) = Н(е)Л(е) (В(е) = в—1 А(е)Бо, В(0) = Л0). Для произвольной квадратной матрицы А введём обозначения для её диагональной А = diag{a11,..., апп} и «бездиагональной» А = А — А частей.

Асимптотическое решение спектральной задачи для матрицы А(е) будем искать (с использованием аппарата диагональных и «бездиагональных» матриц)

N N _

в виде Л(е) = £ Лкек + 0(ен +1), Н(м)(е) = Е + £ Нкек. Приравнивая ко-к=0 к=1 эффициенты при одинаковых степенях е, получим набор простых однотипных матричных уравнений:

ЛоНк - НкЛо = Лк - Рк (к = 1,N),

к-1

Pl = Bl, Рк = Вк + Y,(B3Sk-j - Йk-jЛ,) = [Pij}к (к > 2),

3 = 1

при последовательном решении которых однозначно определяются все диагональные Лк и «бездиагональные» Нк (к = 1,N) матрицы:

Лк = Рк, Нк = [hij}к, (hij)к = ]l(Pij)к (i,j = 1,п, к > 1). Справедливость представлений (2) следует из сходимости матричного ряда А(е) =

ж

А-к£к и указанного итерационного процесса, что и завершает доказательство

к=0

теоремы 1. □

Теорема 2. Если для системы ex = A(e)x+ef (x,t), x(0,s) = х0, f (0,t) = 0, матрица А(0) имеет простой спектр, а усечённый спектр матрицы А(е) удовлетворяет неравенствам Re (X0j+e\1j) < -eqa0 < 0 (j = 1,n; q = 0,1) и для достаточно гладкой функции f (х, t) справедлива оценка \ f (х, i)| < С|ж|1+а (а, С > 0; t > 0; \х\ < 5), тогда тривиальное решение данной системы асимптотически устойчиво.

Замечание. Аналогичное утверждение имеет место и для неавтономных систем вида (1) [4].

Пример 1. В работе [5] рассмотрена модельная с/в система колебаний сердца

( £Х X - X - у, (3)

[у = х - Х0,

(х — относительная длина мышечного волокна, у — отражает наличие электрохимического воздействия) с неустойчивой точкой покоя Р0(0, 0) при Х0 = 0. В случае х0 > 0 система имеет точку покоя Р1(х0, у0), где у0 = х0 - х0. После замены z1 = х - х0 , z2 = у - у0 аналогично тому, как это сделано в доказательстве теоремы 1, система (3) сводится к системе с почти диагональной матрицей:

ez = (Л0 + еЛ1 + 0(e2))z + e2a(z),

где

0 0 1 0

Л0 =(0 Л1 = Ъ-1^ Д) , b = 1 - 3*1

8

Коняев Ю.А., Безяев В. И.

Структура усечённого спектра соответствующей матрицы А^е) = е/Ъ, Х2(е) = Ь — е/Ъ при Ъ = 1 — 3x0 < 0 гарантирует (в силу теоремы 2) асимптотическую устойчивость точки покоя Р\(хо, уо).

Легко проверить, что при Ь ^ 0 в системе (3) возникает бифуркация Хопфа.

Пример 2. Полученные результаты позволяют также изучить модельную с/в квазилинейную задачу о прохождении нервного импульса [6, с. 202]:

ех = (А0 + еА\)х + е/(х), х(0,е)

Ло =

'—2 —1 —1 000 000

00

А, = 1—2 —2 01

0 0 0

/(ж) = ((—3ех\ — ех1х2 — е2х\), 0, 0)т, которая после невырожденной замены

'110 \ ./2 1

х = Яоу, Яо =

10 0 0 1 ,0 -2 -1,

^о-1 = - 10 —1 —1

0

приводится к виду:

еу = В(е)у + еН(у), В(е) = Ло + еВ1,

Ло =

—2 0 0 0 0 0 0 0 0,

В, = -1 2

'—2 —2 —3^ 2 2 3

4 —4 _4

Ку) = (—6тУ2 — еу1уг — £У2УЗ — (£2 + 3£)У? — 3еу2, ° 0)Т. Последующее невырожденное при достаточно малых 0 < £ < 1 преобразование у = Н (е)г (Н (е) = Е + еН 1) приводит к задаче с почти блочно-диагональной системой:

ег = (Ло + £N1 + 0(е2))г + еф), г(0, е) = Д

где матрица

*=2

—1 0

0

имеет блочно-диагональную структуру, причём матрица

^ю =

23 —4 —4

имеет простой спектр ^1,2 = ^(—1 ± ^л/3), что позволяет пользоваться аналогом теоремы 1 и после невырожденной замены

х =

(0 Ло) *

V, 51о1^1о^1о =

М 0А

^0 Щ)

перейти к с/в системе с почти диагональной матрицей ет> = (Ло + еЛ1 + 0(е2))^ + еИ(и) и с учётом теоремы 2 сделать вывод об асимптотической устойчивости решения в окрестности точки Ро(0, 0, 0), так как спектр усечённой матрицы

'—2 0 0\ /—1 0 0 \ Ло + еЛ1 = | 0 0 0] + е I 0 ^ 0 | = diag{Лl(e),Л2(e),^(е)}, 0 0 0/ V 0 0 щ

о

х

1

X1 = -2 - e + 0(e2), 3 = § (-1 ± iV3) + 0(e2) лежит в левой полуплоскости

при достаточно малых 0 < е < 1.

Литература

1. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотичсекие методы в теории сингулярных возмущений. — М.: Высшая школа, 1990.

2. Коняев Ю. А. Общий подход к асимптотическому интегрированию сингулярно возмущенных начальных и краевых задач для систем линейных ОДУ // Дифференциальные уравнения. — 1984. — Т. 20, № 11. — С. 1999-2003.

3. Коняев Ю. А. Об одном методе исследования некоторых задач теории возмущений // Математический сборник. — 1993. — Т. 18, № 12. — С. 133-144.

4. Коняев Ю. А. О некоторых методах исследования устойчивости // Математический сборник. — 2001. — Т. 192, № 3. — С. 65-82.

5. Zeeman E. C. Differential Equations for the Heartbeat and Nerve Impulse // Salvador Symposium on Dynamical Systems. — Academic Press, 1973. — Pp. 683-741.

6. Arrowsmith D. K., Place C. M. Dynamical Systems. Differential Equations, Maps and Chaotic Behavior. — London. Chapman&Hall, 1992.

UDC 517.977

Research of Some Quasilinear Singular Perturbated Model

Problems

Yu. A. Konyaev*, V. I. Bezyaev^

* Department of Mathematics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia t Department of Differential Equations and Mathematical Physics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia

Some quasilinear singular perturbated biological model problems were investigated by a new computation algorithm based on the splitting method.

Key words and phrases: quasilinear singular perturbated system, stability, splitting method, spectrum.