CC BY
45
Вестник РУДН Серия Математика. Информатика. Физика. № 3 (2). 2010. С. 6-9
Математика
УДК 517.977
Исследование некоторых квазилинейных сингулярно возмущённых модельных задач
Ю. А. Коняев*, В. И. Безяев+
* Кафедра высшей математики Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д.6, г. Москва, 117198, Россия ^ Кафедра дифференциальных уравнений и математической физики Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д.6, г. Москва, 117198, Россия
С помощью нового вычислительного алгоритма, основанного на методе расщепления, изучены сингулярно возмущённые биологические модельные задачи.
Ключевые слова: сингулярно возмущённые квазилинейные системы, устойчивость, метод расщепления, спектр.
1. Введение
Исследование некоторых классов прикладных задач с быстрыми и медленными переменными может быть сведено к анализу сингулярно возмущённых (с/в) квазилинейных систем вида
ex = A(t,e)x + ef (x,t), ж(0,е) = х0, x,f е Rn, (1)
ж
где матричный ряд A(t,e) =5^ A-k (t)ek сходится абсолютно по некоторой норме
fc=0
при |е| < 1 и t ^ 0.
Термин «сингулярность» указывает на возможность появления так называемого погранслоя в окрестности t = 0 [1,2]. Для с/в задач вида (1) предлагается эффективный вычислительный алгоритм их решения, в основе которого лежит метод расщепления [2,3].
2. Вычислительный алгоритм
Теорема 1. Собственные .значения {Xj(е)}" и собственные векторы {sj(е)}" регулярно возмущённой матрицы А(е) при наличии простого спектра {A0j-}" (ajfc = X0j — X0fc = 0, j = к , j,k = 1, п) матрицы А0 могут быть вычислены одновременно и с любой точностью
N N
^(е) = £ А£к + 0(eN+1), (в) = £ skjек + 0(eN+1) (в ^ 0) (2) fc=0 fc=0
с помощью простого конструктивного итерационного алгоритма метода расщепления [2, 3].
Доказательство. Запишем соотношения A(e)sj(е) = Xj(e)sj(е) в матричной форме A(e)S(е) = 5(е)А(е), где диагональная матрица А(е) = diag{A1 (е),... ,Л„(е)}
Статья поступила в редакцию 11 декабря 2009 г.
состоит из искомых собственных значений (е), а матрица 5 (е) состоит из собственных вектор-столбцов (е) (^ = 1,п). В условиях теоремы 1 всегда существует невырожденная матрица 50 такая, что в—1А030 = Л0 = diag{Aoъ ..., ^Оп}. После замены Б(е) = Б0Н(е) получим матричное уравнение В(е)Н(е) = Н(е)Л(е) (В(е) = в—1 А(е)Бо, В(0) = Л0). Для произвольной квадратной матрицы А введём обозначения для её диагональной А = diag{a11,..., апп} и «бездиагональной» А = А — А частей.
Асимптотическое решение спектральной задачи для матрицы А(е) будем искать (с использованием аппарата диагональных и «бездиагональных» матриц)
N N _
в виде Л(е) = £ Лкек + 0(ен +1), Н(м)(е) = Е + £ Нкек. Приравнивая ко-к=0 к=1 эффициенты при одинаковых степенях е, получим набор простых однотипных матричных уравнений:
ЛоНк - НкЛо = Лк - Рк (к = 1,N),
к-1
Pl = Bl, Рк = Вк + Y,(B3Sk-j - Йk-jЛ,) = [Pij}к (к > 2),
3 = 1
при последовательном решении которых однозначно определяются все диагональные Лк и «бездиагональные» Нк (к = 1,N) матрицы:
Лк = Рк, Нк = [hij}к, (hij)к = ]l(Pij)к (i,j = 1,п, к > 1). Справедливость представлений (2) следует из сходимости матричного ряда А(е) =
ж
А-к£к и указанного итерационного процесса, что и завершает доказательство
к=0
теоремы 1. □
Теорема 2. Если для системы ex = A(e)x+ef (x,t), x(0,s) = х0, f (0,t) = 0, матрица А(0) имеет простой спектр, а усечённый спектр матрицы А(е) удовлетворяет неравенствам Re (X0j+e\1j) < -eqa0 < 0 (j = 1,n; q = 0,1) и для достаточно гладкой функции f (х, t) справедлива оценка \ f (х, i)| < С|ж|1+а (а, С > 0; t > 0; \х\ < 5), тогда тривиальное решение данной системы асимптотически устойчиво.
Замечание. Аналогичное утверждение имеет место и для неавтономных систем вида (1) [4].
Пример 1. В работе [5] рассмотрена модельная с/в система колебаний сердца
( £Х X - X - у, (3)
[у = х - Х0,
(х — относительная длина мышечного волокна, у — отражает наличие электрохимического воздействия) с неустойчивой точкой покоя Р0(0, 0) при Х0 = 0. В случае х0 > 0 система имеет точку покоя Р1(х0, у0), где у0 = х0 - х0. После замены z1 = х - х0 , z2 = у - у0 аналогично тому, как это сделано в доказательстве теоремы 1, система (3) сводится к системе с почти диагональной матрицей:
ez = (Л0 + еЛ1 + 0(e2))z + e2a(z),
где
0 0 1 0
Л0 =(0 Л1 = Ъ-1^ Д) , b = 1 - 3*1
8
Коняев Ю.А., Безяев В. И.
Структура усечённого спектра соответствующей матрицы А^е) = е/Ъ, Х2(е) = Ь — е/Ъ при Ъ = 1 — 3x0 < 0 гарантирует (в силу теоремы 2) асимптотическую устойчивость точки покоя Р\(хо, уо).
Легко проверить, что при Ь ^ 0 в системе (3) возникает бифуркация Хопфа.
Пример 2. Полученные результаты позволяют также изучить модельную с/в квазилинейную задачу о прохождении нервного импульса [6, с. 202]:
ех = (А0 + еА\)х + е/(х), х(0,е)
Ло =
*о
'—2 —1 —1 000 000
00
А, = 1—2 —2 01
0 0 0
/(ж) = ((—3ех\ — ех1х2 — е2х\), 0, 0)т, которая после невырожденной замены
'110 \ ./2 1
х = Яоу, Яо =
10 0 0 1 ,0 -2 -1,
^о-1 = - 10 —1 —1
0
приводится к виду:
еу = В(е)у + еН(у), В(е) = Ло + еВ1,
Ло =
—2 0 0 0 0 0 0 0 0,
В, = -1 2
'—2 —2 —3^ 2 2 3
4 —4 _4
Ку) = (—6тУ2 — еу1уг — £У2УЗ — (£2 + 3£)У? — 3еу2, ° 0)Т. Последующее невырожденное при достаточно малых 0 < £ < 1 преобразование у = Н (е)г (Н (е) = Е + еН 1) приводит к задаче с почти блочно-диагональной системой:
ег = (Ло + £N1 + 0(е2))г + еф), г(0, е) = Д
где матрица
*=2
—1 0
0
имеет блочно-диагональную структуру, причём матрица
^ю =
23 —4 —4
имеет простой спектр ^1,2 = ^(—1 ± ^л/3), что позволяет пользоваться аналогом теоремы 1 и после невырожденной замены
х =
(0 Ло) *
V, 51о1^1о^1о =
М 0А
^0 Щ)
перейти к с/в системе с почти диагональной матрицей ет> = (Ло + еЛ1 + 0(е2))^ + еИ(и) и с учётом теоремы 2 сделать вывод об асимптотической устойчивости решения в окрестности точки Ро(0, 0, 0), так как спектр усечённой матрицы
'—2 0 0\ /—1 0 0 \ Ло + еЛ1 = | 0 0 0] + е I 0 ^ 0 | = diag{Лl(e),Л2(e),^(е)}, 0 0 0/ V 0 0 щ
о
х
1
X1 = -2 - e + 0(e2), 3 = § (-1 ± iV3) + 0(e2) лежит в левой полуплоскости
при достаточно малых 0 < е < 1.
Литература
1. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотичсекие методы в теории сингулярных возмущений. — М.: Высшая школа, 1990.
2. Коняев Ю. А. Общий подход к асимптотическому интегрированию сингулярно возмущенных начальных и краевых задач для систем линейных ОДУ // Дифференциальные уравнения. — 1984. — Т. 20, № 11. — С. 1999-2003.
3. Коняев Ю. А. Об одном методе исследования некоторых задач теории возмущений // Математический сборник. — 1993. — Т. 18, № 12. — С. 133-144.
4. Коняев Ю. А. О некоторых методах исследования устойчивости // Математический сборник. — 2001. — Т. 192, № 3. — С. 65-82.
5. Zeeman E. C. Differential Equations for the Heartbeat and Nerve Impulse // Salvador Symposium on Dynamical Systems. — Academic Press, 1973. — Pp. 683-741.
6. Arrowsmith D. K., Place C. M. Dynamical Systems. Differential Equations, Maps and Chaotic Behavior. — London. Chapman&Hall, 1992.
UDC 517.977
Research of Some Quasilinear Singular Perturbated Model
Problems
Yu. A. Konyaev*, V. I. Bezyaev^
* Department of Mathematics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia t Department of Differential Equations and Mathematical Physics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia
Some quasilinear singular perturbated biological model problems were investigated by a new computation algorithm based on the splitting method.
Key words and phrases: quasilinear singular perturbated system, stability, splitting method, spectrum.
