CC BY
20
УДК 517.925.51
Алгебраические методы приводимости регулярно возмущённых модельных линейных периодических систем
ОДУ
Нгуен Вьет Хоа
Кафедра высшей математики Российский Университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Россия
Доказаны теоремы об асимптотической приводимости регулярно возмущённых линейных модельных систем ОДУ с периодической матрицей, в том числе и при наличии кратного спектра и жордановой структуры предельной матрицы. Полученный результат является асимптотическим аналогом теоремы Флоке—Ляпунова о приводимости
Ключевые слова: асимптотическая приводимость, системы ОДУ с периодической матрицей, метод расщепления, устойчивость.
1. Введение
Рассмотрены теоремы об асимптотической приводимости линейных систем с периодической матрицей при наличии регулярного возмущения. Рассмотрен важный случай, когда предельная (е = 0) матрица имеет кратный спектр. Полученные системы с почти постоянной матрицей более удобны для анализа устойчивости тривиального решения исходной системы.
2. О почти приводимости линейных систем ОДУ с периодической матрицей простой структуры при наличии
малых возмущений
Исследование линейных систем с периодической матрицей, как известно [1-4], является нетривиальной задачей. Наиболее известная теорема Флоке-Ляпунова [14] о приводимости таких систем с периодической матрицей:
х = А (Ь) х; х (0) = хо (1)
с помощью периодической замены х = Р (¿) у к системе с постоянное матрицей У = Су не является конструктивной.
Мы рассмотрим случай, когда в системе (1) Т-периодическая матрица А (¿) представима в виде:
т
А (1) = Ао + еАх (1); Ао = 1| А (1)61, (2)
о
где постоянная матрица Ао, равная среднему значению матрицы А (¿), может иметь и жорданову структуру, а Т-периодическая матрица А\ (р) имеет нулевое среднее значение, е — малый параметр.
Рассмотрим более общую задачу.
Теорема 1. Неавтономная система
х = А (1,е) х; х (0,е) = х0; ^А (1,е) = А0 + ^ Ак (¿) ек; £ > 0^ , (3)
где постоянная матрица А0 имеет простой спектр {А0^}", удовлетворяющий условиям:
= A0j - Aofc = i2nqT (j = к; j,k = 1,п; q = 0, ±1, ±2,...), (4)
ж
а матричный ряд Y1 А-к (t) ек из Т-периодических непрерывных матриц Afc (t) fc=i
сходится абсолютно и равномерно по некоторой норме при |е| ^ 1 и t > 0, может быть с помощью невырожденной при достаточно малых е (0 < |е| ^ 1) Т-периодической .замены:
х = SoH(N) (t,e) z;
г N \
H(N) (t,e) = Е + ^ Нк (t) ек; S-1AoSo = diag {Aoi,..., Ao„} ,
v fc=i J
(5)
приведена к системе с почти диагональной постоянной матрицей вида:
г = Ц (г,е) г; г (0,е) = га; (Я Ц,е) = Л{Ю (е) + ем+1С Ц,е)) , (6)
) (£) = X)Ак£к = (1[а%{Д1 (£)>->Хп(£)}; (*>£)\\ ^ с; 1 > 0),
V к=а )
где постоянные диагональные матрицы Ак и Т-периодические матрицы Нк (£) однозначно определяются с помощью простого итерационного алгоритма [5, 6].
Доказательство. В условиях теоремы 1 всегда существует [7] невырожденная замена х = Яау, приводящая систему (3) к более простому виду:
У = В (t,e) у; у (0,е) = yo; ^ (t,£) = Лo + ¿ Вк (t) е^ .
(7)
Последующее, невырожденное при достаточно малых е (0 < |е| ^ 1) преобразование у = H(n) (t,e) z, приводит к нужному результату (6), если матрицы В (t,e), H(n) (t,£) и Q (t,e) связаны дифференциальным уравнением:
Н (N) = В (t, е) H(N) (t, е) - H(N) (t, е) Q (t, e). (8)
Приравнивая в (8) коэффициенты при одинаковых степенях е, получим однотипные дифференциальные матричные уравнения для последовательного и однозначного определения всех матриц Лк и Нк (t):
Н к = Рк (t) - Лк + ЛoHк (t) - Нк (t) Лo; (9)
fc-i
Pi (t) = Bx (t); Pk (t) = Bk (t) + ^ (B3 (t) Hk-j (t) - Hk-j (t) Л3); к = 2~Ñ
ó=i
Для удобства изложения для произвольной квадратной матрицы А = {ajk}"
введём специальные обозначения для её диагональной А = diag {aii, ...,апп} и
«бездиагональной» А = А - А частей.
Матричное дифференциальное уравнении (9) распадается на «диагональную» часть:.
н = Рк (t) - Лк, (10)
и «бездиагональную» части:
Тк = ЛоТк (1) — Тк (1) Ло + 7к (€); Тк (1) = {ы^ (1)} ; Тк (€) = {р^к (1)} , (11)
При этом каждое из уравнений (10) имеет в классе Т-периодических функций единственное решение, определяемое формулой:
т
о
т
нк (г) = I (рк (з) — лк) ёз,
если Лк = Рк (г)ёР; (к = 1,М).
о
Причём матричное уравнение (11) распадается на (п2 — п) скалярных дифференциальных уравнений вида:
Ычк (¿) = афцк + Рцк (¿); (г = з; г,з = 1,п; к = 1,^, (12)
имеющих в условиях теоремы 1 единственное Т-периодическое решение (см. [2, с. 361]) вида:
г+т
Ызк ® = (1+Т) (1 — )-1 У е-^8рг]к (13)
Оценка ||С (¿, е)|| ^ С (1 ^ 0) проверяется непосредственным вычислением. Теорема 1 доказана. □
Для удобства дальнейшего изложения (следуя методу расщепления [6]) введём для произвольной квадратной матрицы А = {ajk}" = {Ajk}р (при её разбиении на «блоки» Ajk) специальные обозначения для её «блочно диагональной» А = diag {А11, ...,АРР} и «блочно бездиагональной» А = А — А частей (2 < р < п).
Теорема 2. Если в условиях теоремы 1 матрица Ао имеет полупростую структуру (т.е Ло = = diag {Ло1,..., Лор} ; Ло^ = ХозЩ; з = 1,р ),
Р Р
где её собственные значения {Ао-,}р , каждое с кратностью р^, ^Рз = п
У=1 )
удовлетворяют условиям вида (4):
аок = \о0 — Хок = г2щТ-1; {з = к; з,к = 1^; д = 0, ±1, ±2,...) . (14)
Тогда система (3) может быть с помощью невырожденной Т-периодической замены вида (5) приведена к системе вида (6), где
я (1,е) = ^) (е) + е*+1С (1,е); (V) (е) = Ло + £Ркек; ||С (1,е)Ц < ^ . (15)
Здесь постоянные блочно-диагональные матрицы Рк и Т-периодические матрицы Нк (1), [к = 1,М) однозначно определяются с помощью конечного итерационного алгоритма, изложенного в теореме 1.
Доказательство. После невырожденной замены х = Soy получаем систему вида (7), где матрица Л0 = diag{Л01,...,Л0р} ; (Л0j = X0jЕ; j = 1,р) имеет соб-
}Р
при достаточно малых е (0 < |е| ^ 1) Т-периодического преобразования вида:
ственные значения {Aoj д с указанной выше кратностью. После невырожденного
у = Н(м) (I, е) х; ) (1,е) = Е + £ Нк (I) е^
получим систему вида (6), где (Ь,е) определена в (15), если имеет место соотношение вида (8).
Приравнивая в (8) коэффициенты при одинаковых степенях е, получим однотипные дифференциальные матричные уравнения вида:
Н к = Рк (Ь) - Рк + АоНк (I) - Нк (I) Ло; (16)
к-1
Р1 (*) = В, (I); Рк (€) = Вк (I) + ^ (В3 (€) Як-д (г) - И— (I) ; к = 2^
3 = 1
^ t . . _ т ^ _
При этом Нк (t) = f Рк (s) - Fk ds, если Fk = ^ I pk (t) dt; (k = 1,N) o ^ ' 0
каждое уравнение Н к = Л0Нк (^ — Нк (^ Л0 + Рк (^ ; (к = 1, распадается на (р2 — р) матричных дифференциальных уравнений вида:
Нцк = а^Щк + Рцк (¿); (г = .]; 1,3 = 1,р; к = 1,М)
и далее на соответствующие дифференциальные скалярные уравнение вида (индексы опущены) Н = аН + р(Ь), каждое из которых имеет единственное Т-перио-дическое решение вида (13), что и завершает доказательство теоремы 2. □
Замечание 1. Так как приведённая система вида (6) распадается (с учётом (15)) на подсистем вида:
ч = ++ о(£N+1^jzi; 0 = 1,р), (!7)
то дальнейшее её расщепление зависит от структуры матриц
Если в системе (17) матрица Fjl имеет простой спектр, то она может быть методами работы [6] и теоремы 1 приведена к почти диагональному виду, позволяя судить о характере устойчивости вектора (¿), то есть об устойчивости решения исходной системы (3) по части переменных.
и
3. О приводимости периодических систем при наличии у матрицы А0 жордановой структуры
Пусть в системе
х = А (t, е)х; х (0, е) = х0; ^А (t, е) = А0 + (t)
o + 7 ,Ак (i)í k I , (18)
матрица Ао имеет жорданову структуру, т.е. существует невырожденная матрица 5о, такая что
5"-1 АоЯо = /о = diag {Л1,..., Jоp} ; (1 < р < п), = \о,Е + М) ^ = 1~р) ,
где Mj — известные нильпотентные матрицы.
Теорема 3. Регулярно возмущённая Т-периодическая система (16), у которой матрица Ао эквивалентна жордановой матрице ,]о, может быть с помощью «срезающего преобразования» [6] приведена к системе виде (6) с блочно-диагональной матрицей
Ло = Ло = diag {Ло1,..., Лор} ; (Лад = XоjE; ] = 1,р),
где диагональные матрицы Лщ имеют ту же размерность, что и жордановы клетки J0 j (р = 1,р) .
Доказательство. Следуя методу расщепления [6] и предполагая, что уже Ао = /о, можно доказать, что срезающее преобразование:
® = U (е) у; (U (е) = diag {Щ Ы,Up (£р)}
т^ — 1
p p
Uj (sj) = diag |l, £j,£2,..., Sjh 1 j ; mj = dim Joj; = e; j = 1,p)
приводит систему
ж = (Jo + ЁBk (f) ж,
к почти «блочно-диагональной» системе (рассмотренной в теореме 2) вида:
i N Ло + £
\ k=1
У = Ло + V Bk (t) ек + 0 (е^1) У
(19)
по некоторым уже дробным степеням малого параметре £о = . Для упрощения доказательства ограничимся случаем, когда:
Jo = diag {Joi,Jo2} ; J(.
'01
(Ло01 L); *=(f *
Ao2 1 0 02 1 0 0 Ao2,
При этом £1 = л/ё; £2 = ; £о = tye; U (е) = diag {^1 (£0), U2 (£0)} ;
U1 (£0) = diag {1,£0} ; U2 (£0) = diag {l,e0,e0} . Далее с учётом равенств:
U-1 (£0) J0U (£0)
/А01 £0 0 0 0
0 А01 0 0 0
0 0 А02 £0 0
0 0 0 ^02 £0
0 0 0 0 ^02 j
получаем (используя алгоритм теоремы 2) систему вида (6), где ^ (1,£) определяется формулой (15), что и завершает доказательство теоремы 3. □
4. Заключение
С помощью метода расщепления [5, 6] показана возможность, в отличие от известного [1—4], приведения неавтономных систем с периодической матрицей (в том числе и при наличии кратного спектра у определяющей матрицы Л0) к системе с почти постоянной матрицей, что существенно упрощает качественный и более точный численный анализ указанных систем, включая вопросы устойчивости, позволяя исследовать большой класс конкретных прикладных задач.
Литература
1. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, Изд-во МГУ, 1998. — 480 с. [Demidovich B. P. Lectures on the Mathematical Theory of Stability. - MGU: Nauka, 1998.- 480 pages. MGU, 1998, 480 p. ]
2. Вазов В. Асимптотические разложения решений ОДУ. — М.: МИР, 1998. — 464 с. [Vazov V. Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations (ODE). — Math. world, 1998. — 464 p. ]
3. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. — М.: Наука, 1972. — 720 с. [Jacubovich. V. A., Starjinskii. V. M. Linear Differential Equations with Periodic Coefficients and Their Applications. — M.: Nauka, 1972 ]
4. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. — М.: Наука, 1971. — 288 с. [RozoM. Nonlinear oscillations and stability theory. - M.: Nauka, 1971 ]
5. Коняев Ю. А. О некоторых методах исследования устойчивости // Математический сборник. — 2001. — Т. 192, № 3. — С. 65-82. [Konyaev Yu. A. Some Methods for Studying Stability // Mathematics Collection.— 2001. — Т. 192, No 3. — P. 65-82 ]
6. Коняев Ю. А. Об одном методе исследования некоторых задач теории возмущений // Математический сборник. — 1993. — Т. 184, № 12. — С. 133144. [Konyaev Yu. A. A Method for the Study of Some Problems in Perturbation Theory // Mathematics Collection. — 1993. — Т. 184, No 12. — P. 133-144 ]
7. Воеводин В. В. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1974. — 336 с. [Voevodin V. V. Linear algebra. — M.: Nauka, 1974. — 336 p. ]
UDC 517.925.51
Algebraic Methods for Reducibility of Regularly Perturbed Model Linear Periodic Systems of ODE
Nguyen Viet Khoa
Department of Mathematics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia
Theorems of asymptotic reducibility of regularly perturbed linear model systems of ODE with a periodic matrix, including cases with multiple spectrum and the Jordan structure of the limiting matrix. The obtained result is an asymptotic analogue of Floque-Lyapunov theorem on the reducibility.
Key words and phrases: asymptotic reducibility, systems of ODE with a periodic matrix, splitting method, stability.
