Об особенностях применения переменных Лагранжа при решении нестационарных задач гиперзвукового обтекания тел Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ПРИМЕНЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ЛАГРАНЖА ПРИ РЕШЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ГИПЕРЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ

В. И. Богатко1, Г. А. Колтон2, Е. А. Потехина3

1. С.-Петербургский государственный университет,

канд. физ.-мат. наук, ст. научн. сотрудник, aerovib@mail.ru

2. С.-Петербургский государственный горный институт (Технич. ун-т), канд. физ.-мат. наук, доцент, hkolton@gmail.com

3. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, eap225@gmail.com

Среди аналитических методов, применяемых для решения двумерных задач стационарного гиперзвукового обтекания тел, широкое распространение получил метод «пограничного слоя» Г. Г. Черного [1]. При этом задача, как правило, решается в переменных Лагранжа. В настоящей работе обсуждаются особенности применения переменных Лагранжа в задачах нестационарного обтекания тел, движущихся с большой переменной скоростью, а так же исследуется процесс перестройки течения газа в ударном слое при изменении режима движения тела.

1. Как известно (см. например [2]), при использовании переменных Лагранжа объектом изучения служат отдельные частицы среды, сплошным образом заполняющие некоторый движущийся объем, занятый жидкостью (газом). При этом исследуются изменения, которые претерпевают различные величины, характеризующие движение некоторой фиксированной частицы жидкого объема, а также изменение этих величин при переходе от одной частицы к другой. Таким образом, упомянутые величины, характеризующие движение, рассматриваются как функции от времени и от тех величин, которые индивидуализируют данную частицу.

Традиционно считается, что за такие величины можно, например, принять декартовы координаты жидкой частицы (хо, уо, го) в некоторый начальный момент времени £о, одинаковый для всех частиц. Тогда при движении жидкого объема координаты любой его частицы (х, у, г) будут функциями от времени £ и начальных координат той же частицы

х = ^1(г,хо,уо,го)

у = ф2(Ъ, хо,уо,го)

г = рз(г,хо,уо,го),

причем функции у>1, у>2, ^3 при £ = £о тождественно обращаются в хо, уо, го.

Исходя из самой идеи переменных Лагранжа, вместо декартовых координат (хо,уо,го), отличающих одну частицу от другой, в рассматриваемом жидком объеме можно взять любые три величины а,Ь,с, связанные с величинами хо,уо,го взаимнооднозначными зависимостями:

хо = фг (а,Ь,с), уо = Ф2 (а,Ь,с), го = фз (а,Ь,с).

© В.И.Богатко, Г.А.Колтон, Е.А.Потехина, 2009

Эти переменные принято называть переменными Лагранжа.

Удобство формулировки задач газовой динамики с интенсивными ударными волнами в переменных Лагранжа связано с тем, что изменения газодинамических параметров происходят в тонком слое, примыкающем к фронту ударной волны, а также с тем, что для построения приближенного аналитического решения задачи чаще всего используется метод малого параметра.

При использовании этого метода решение задачи начинается с отыскания так называемого предельного течения, которое является точным решением системы уравнений газовой динамики при нулевом значении малого параметра.

Следует отметить, что если решать задачу в переменных Эйлера, то при переходе к предельному течению область изменения газодинамических параметров вырождается в пространство меньшего числа измерений, при этом искомые величины становятся неоднозначными функциями координат и времени.

Переход к переменным Лагранжа в таких задачах сохраняет размерность области возмущенного движения газа и устраняет эту неоднозначность.

Заметим также, что в тех немногих случаях, когда в задачах с интенсивными ударными волнами удается проинтегрировать упрощенную систему уравнений в переменных Эйлера, решение получается в параметрическом виде, причем параметр по своему физическому смыслу является переменной Лагранжа (см., например, [3, 4]).

При рассмотрении задачи обтекания тела, движущегося со сверхзвуковой скоростью, традиционный способ индивидуализации частицы оказывается мало пригодным. Дело в том, что до поверхности разрыва все частицы имеют один и тот же закон движения и одинаковые газодинамические параметры. Однако различные частицы пересекают поверхность разрыва в разное время, следовательно, закон движения различных частиц газа будет меняться в разное время при переходе частицы газа через поверхность головной ударной волны. Поэтому в четырехмерном пространстве (x, y, z, t) за переменные Лагранжа целесообразно выбирать значения параметров, характеризующих частицу, не на поверхности t = to (to = const), а на поверхности t = а, где а — тот момент времени, когда частица пересекает поверхность разрыва. Оставшиеся переменные будут определять положение в пространстве точки пересечения частицей газа поверхности разрыва (точки входа в ударный слой).

2. На примере решения двумерных задач обтекания плоских и осесимметричных тел, движущихся с большой переменной скоростью, покажем, как переход к переменным Лагранжа позволяет получить удобную для применения метода тонкого ударного слоя систему уравнений, описывающую течение газа за фронтом интенсивной ударной волны.

Рассмотрим течение, возникающее при прямолинейном поступательном движении профиля (v = 0) и тела вращения (v = 1) с углом полураствора а в покоящемся газе с большой переменной скоростью V(t), направленной по оси симметрии тела. Начало координат поместим в носке тела, ось x направим по контуру профиля или по образующей осесимметричного тела, а ось y — по нормали к оси x.

В этой системе координат уравнения газовой динамики, описывающие течение газа в ударном слое между головной ударной волной и поверхностью рассматриваемого тела, будут иметь вид

dt g

dg г 1 dvx dvy vy vx sin а + vy cos а

~dt+Q ' ' ' ”

-1 + y/Rdx dy R + y r + y cos а

(іН 1 ір

іі д йі’

д = д(Н, р).

Здесь ух, уу — компоненты вектора скорости V частиц газа, д — плотность, р — давление, Н — энтальпия газа; Я = Я(х) —радиус кривизны образующей тела; а = а(х) —угол между касательной к образующей и осью симметрии тела; г = г(х) — расстояние от оси симметрии до точки на теле. Все уравнения записаны в безразмерном виде.

Граничными условиями для данной системы уравнений, как обычно в задачах ги-перзвукового обтекания тел, являются условия динамической совместности на головной ударной волне и условия обтекания на поверхности рассматриваемого тела.

Обозначим через а момент времени входа частицы газа в ударный слой, а через £ — абсциссу точки входа. Тогда имеем

т. е. и положение точки входа (или частицы в ней находящейся), а следовательно, и параметры течения в этой точке, полностью определятся тремя переменными (Ь, а, £). В переменных Лагранжа (Ь, а, £) задача определения параметров течения газа в ударном слое между головной ударной волной и поверхностью рассматриваемого тела сводится к интегрированию системы уравнений

т — величина, обратная плотности, а функция ] (а,£) определяется из граничных условий на фронте головной ударной волны, форма которой должна быть определена в процессе построения решения.

х = х(і, а, £), у = у (і, а, £),

(1)

(2)

дх др дх др / (а, £)

да д£ д£ да 2 г "(ж)(1 + у/К(х)) ’

(3)

дк др ~т=тт:

(4)

т

т(Н,р),

(5)

где г(х) = г(х) + у сов а(х),

У х дх И(х) д і

1 дх ду (V

------г- соэснж),

И(х) ді ді <М

Физико-химические процессы, происходящие за фронтом головной ударной волны при движении тел с большими сверхзвуковыми скоростями, оказывают влияние на параметры течения газа, а также на положение и форму фронта головной ударной волны. Однако, как показывают расчеты, влияние реальных свойств газа на газодинамические параметры потока за фронтом ударной волны достаточно хорошо можно учесть изменением показателя адиабаты 7. Тогда уравнение состояния (5) можно взять в квазисовершенном виде,

7 — 1/1

7 р’

если под 7 понимать эффективный показатель адиабаты, т. е. просто как некоторый коэффициент аппроксимации в уравнении состояния.

Граничными условиями для системы уравнений (1)—(5) являются условия динамической совместности на фронте головной волны

при і = а х(<т,<г,£)= €, у(а,а,£) = ф(а,£),

дх

~ді

1

= ив =

(1 + <р/Е(0)ді

V(а) сов а(£) 1 - тв(1 - ді)

- (1 - тв)

1

дф

1 + ф/д(0 д£

=ю3= — \У{а) ЙІП а(€) ді ді

1 - ді - тв

+ (1 - тв) д2 - V(а) 8Іп а(£)

(6)

Р в

1 1 - тв д2

+

(7 - 1)М2 2 ді

= 7 ~ 1 і 2 91

ТБ 7 + 1 (7 + 1 )М2 д%

где

( 1 дф \2 . дф V(а)сов а(£) дф

91 = 1 + (іТ^ТЖаі) ' 92 = 1 + зї + і + „/д(о а?'

М = V/a — число Маха движущегося тела (а — скорость звука в невозмущенном газе

перед фронтом головной ударной волны), а индекс Б указывает на то, что величина вычисляется на фронте ударной волны, и условие обтекания на поверхности рассматриваемого тела

у(і,а,£)к=о =0 • (7)

71

Из (6) следует, что

Будем считать головную ударную волну присоединенной. Для этого угол отклонения потока в острие тела а* не должен превышать некоторого максимально возможного значения ат, зависящего от числа Маха движущегося тела. Из условий динамической совместности нетрудно получить, что величина ат растет с ростом М: при изменении

При движении тела с переменной скоростью для каждого конкретного значения характерной скорости движения (а следовательно и характерной величины числа М) можно указать диапазон изменений угла а* (0 < а* < ат), для которого образующаяся перед телом головная ударная волна будет присоединенной. За такую характерную скорость можно принять, например, начальную скорость для ускоренного движения и конечную для замедленного. При этом, если движение тела будет ускоренным, то с увеличением скорости движения ударная волна будет располагаться все ближе к поверхности тела, оставаясь присоединенной. При замедленном движении для данного а* можно указать минимальное значение характерного числа М, при котором движение еще будет происходить с присоединенной волной. Так, например, если принять 7 = 1,4, то при а* = 44° торможение может происходить в режиме обтекания с присоединенной ударной волной до М = 10, при а* = 41° — до М = 5, а при а* = 22° — до М = 2.

Следует отметить, что при учете реальных свойств газа предельные углы поворота потока за фронтом ударной волны будут больше рассчитанных при 7 = 1, 4.

Будем рассматривать такие а* и М, для которых образующаяся при движении тела головная ударная волна будет присоединенной.

Форма фронта головной ударной волны является неизвестной и должна быть определена в процессе построения решения задачи обтекания тела.

Для построения решения поставленной задачи используется метод тонкого ударного слоя [1]. Решение строится в виде рядов по степеням малого параметра е, характеризующего отношение плотностей газа на фронте ударной волны, при этом рассматривается та область течения, где искомые функции имеют тот же порядок, что и на фронте головной ударной волны (в рядах для у и т члены нулевого порядка отсутствуют). Система уравнений для определения коэффициентов разложения искомых функций в ряд по е может быть записана в следующем виде:

М от 1 до оо угол ат меняется в пределах от 0 до arctg(l/'\/72 — !)•

дхо дшук дхо дшук

тПк(г, а, £),

(9)

да д£ д£ да

(10)

(11)

(12)

тн = тк (Нк ,Рк),

(13)

где к = 0, 1, 2, .. .; т = 0,1, причем т = 0 при к = 0 и т = 1 при к = 1, 2, . . . , а Щ, Як, Вк, $к —известные на каждом шаге функции, так, например,

Яо = = 0,

Во = №о)Г/м(-д^) (^) + £*.«<*»)

и т.д.

Граничные условия также представляются в виде рядов по е.

В каждом приближении система уравнений (9)—(13) расщепляется, при этом очевидно, что все трудности при построении решения методом тонкого ударного слоя связаны с интегрированием уравнения (10). При этом все нелинейные эффекты сосредоточены в нулевом приближении, а именно, в уравнении для определения закона движения частицы газа в нулевом приближении:

д2хо <У

— - — с„фо) = 0. (14)

Если уравнение (14) удается проинтегрировать, то остальные члены нулевого приближения с учетом граничных условий определятся следующим образом:

Хо_

[ д0(г,о-,0 ^ /1с,

”°=”0*«.*°>-у дха1д„ <15>

г

Но = Н08(о, С) + I $о&,а,£) А. (16)

Затем из уравнения состояния (13) получим выражение для то = то(ро, Но).

Для всех последующих приближений из (9)—(13) будем иметь

£

[Пк(^а,£)

“ = (17)

о

г г

Хк = икв (о, 0(1 - a)+f /^,С) <г<г, (18)

а а

хо__

(19)

£

г

Нк = НкБ(о, С) + J Ьк (Ь,о,£) <И, (20)

а

Тк = Тк (рк ,Нк). (21)

Функции ^к, определяющие форму фронта головной ударной волны, находятся из соотношения (17) при С = х и о = Ь:

Здесь и в формулах (17)—(22) к = 1, 2,...

В выражениях (17), (19) и (22) величины о и С связаны между собой законом движения частицы газа в предельном течении при фиксированных значениях Ь и хо.

Заметим, что построить решение уравнения (14) в общем случае для произвольной зависимости скорости движения тела от времени и произвольной формы образующей тела без дополнительных предположений не представляется возможным. Однако выделение специальных классов движений и специальных типов тел позволяет получить приближенные аналитические решения. Так были построены решения задачи гипер-звукового обтекания плоских и осесимметричных заостренных тел при их движении, близком к стационарному [5], задачи обтекания плоских и осесимметричных заостренных тел, образующая которых слабо искривлена [6]. Для построения решения задачи нестационарного обтекания плоских и осесимметричных заостренных тел в общем случае, когда образующая тела и закон его движения произвольны, было использовано дополнительное разложение искомых функций в ряд по малому параметру, характеризующему время пребывания частицы газа в ударном слое [7].

3. Следует отметить, что представляет интерес не только построение конкретного решения задачи для заданных формы образующей обтекаемого тела и вида закона движения тела, но и изучение изменения структуры течения в процессе перехода от одного режима движения к другому.

Заметим, что при решении задач обтекания для тел, движущихся с большой переменной скоростью, в случае, когда происходит изменение режима движения тела, следует наряду с зонами, полностью соответствующими предыдущему и последующему режиму движения, учитывать существование промежуточной (переходной) зоны, в которой происходит перестройка течения. Зона эта в пространстве переменных (£, о, С) характеризуется тем, что, начиная с момента времени, в который произошло изменение режима движения, в ударном слое находятся частицы разных сортов. Так, если ограничить размеры рассматриваемой области (например, длиной обтекаемого тела), то при таком подходе в ударном слое могут быть выделены частицы трех сортов.

Если тело двигалось сначала со скоростью VI (Ь) (режим I), а затем, начиная с момента времени Ь = £о, со скоростью ^2(Ь) (режим II), то в ударном слое в зависимости от соотношения момента времени £, в который определяются параметры течения, момента времени £о, в который произошло изменение режима движения тела, и момента времени о входа частицы газа в ударный слой можно выделить следующие сорта частиц:

1) о < Ь < £о —частица вошла в ударный слой и покинула пределы рассматриваемой области при режиме I движения тела;

2) о < Ьо, t > Ьо —частица вошла в ударный слой при режиме I; в момент времени Ь = Ьо режим движения тела изменился и частица покинула рассматриваемую область при режиме II;

3) tо < о < Ь — частица вошла в ударный слой и покинула пределы рассматриваемой области при режиме II.

Следует отметить, что, начиная с момента времени о = Ьо, в ударном слое будут находиться только частицы третьего сорта, течение будет полностью соответствовать

X

(22)

о

режиму II и, следовательно, перестройка течения будет завершена. Таким образом, промежуточную зону, в которой происходит перестройка течения, характеризует наличие в ней частиц второго сорта. Это необходимо учитывать при построении решения в промежуточной области.

При построении решения в этой зоне получающиеся интегралы разбиваются на два. Для закона движения частиц газа вдоль образующей в нулевом приближении первый интеграл соответствует режиму I движения тела, а второй — режиму II. Для давления в нулевом приближении, формы фронта ударной волны и других искомых функций первый интеграл соответствует наличию в ударном слое частиц второго сорта, а второй — частиц третьего сорта. Промежуточный предел интегрирования при определении давления и формы фронта головной ударной волны определяется из закона движения частицы газа в нулевом приближении при а = to. Условие =0 дает возможность определить время установления нового режима течения в данном сечении xo = const или, что то же самое, время существования переходного режима (то есть промежуточной области).

Наиболее наглядно процесс построения решения в переходной области можно продемонстрировать на простейшем примере нестационарного движения клина. При этом уравнение (14) интегрируется очевидным образом.

В частном случае перехода от равномерного движения к равноускоренному для определения получается выражение:

£* = xo — bcosa(t — to) — — acosa(t — to)2,

где a — угол полураствора клина, b — скорость равномерного движения клина, а a — ускорение при равноускоренном движении клина.

Отсюда очевидно, что для определения времени установления режима равноускоренного движения будем иметь квадратное уравнение.

Таким образом, использование переменных Лагранжа при изучении задач обтекания тел гиперзвуковым потоком газа позволяет не только построить приближенное решение задачи, но и исследовать процесс перестройки течения газа в ударном слое при изменении режима движения тела.

Литература

1. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз, 1959. 220 с.

2. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Часть I. М.: Физматгиз, 1963. 583 с.

3. Богатко В. И., Гриб А. А., Колтон Г. А. Двумерная задача взаимодействия сильной ударной волны с тонким телом // Аэродинамика / Под ред. Р. Н. Мирошина. СПб., 1996. С. 179-192.

4. Богатко В. И., Колтон Г. А., Потехина Е. А. Нестационарная задача гиперзвукового обтекания тонкого крыла//Аэродинамика / Под ред. Р. Н. Мирошина. СПб., 2000. С. 167-187.

5. Потехина Е. А. Обтекание плоских и осесимметричных тел при движении, близком к стационарному // Вестн. Ленингр. ун-та. 1980. №19. С. 110-112.

6. Потехина Е. А., Селезнева И. Л. О нестационарном гиперзвуковом обтекании слабоизогнутого профиля // Вестн. Ленингр. ун-та, 1978. №13. С. 103-108.

7. Потехина Е. А Об одном приближенном решении задачи нестационарного обтекания плоских и осесимметричных тел, движущихся с большой переменной скоростью // Газодинамика и теплообмен. 1982. №7. С. 86-95.

Статья поступила в редакцию 18 сентября 2008 г.