52ЭФФЕКТИВНОСТЬ и КАЧЕСТВО
УДК 330.322.214:330.322.54
Об оптимизации сроков строительства
Тихонов Ю.П., Государственный университет управления, Москва, Россия
Ключевые слова: эффективность, инвестиционный проект, фактор времени, временная ценность денег, дисконтирование денежных потоков, метод критического пути.
В статье рассматривается проблема оптимизации сроков строительства, тесно связанная сзамораживаниемкапитальныхвложений.Задачаоптимизациисрока строительства с целевой установкой минимизации стоимости строительства в мировой практике решается с помощью метода критического пути. Однако традиционный вариант этого метода не учитывает полный жизненный цикл инвестиционно-строительных проектов, а также неравноценность денег во времени. В статье предлагается авторская модификация метода критического пути по принципу минимума затрат с учетом фактора времени. В дальнейшем данная оптимизационная модель может быть усовершенствована за счет ввода в нее дополнительных факторов, а ее математическая основа - посредством перевода ее из дискретного в непрерывное время.
Optimizing the construction period
Tikhonov Iu. P., State University of Management, Moscow, Russia
Keywords: efficiency, investment project, time factor, time value of money, discounted cash flow, critical path method.
The article considers the problem of optimizing the construction duration, that is closely related to the freezing of capital investments. In world practice, the problem of optimizing the construction duration with target setting of minimizing the cost of construction is usually solved by the critical path method. However, the traditional version of this method does not take the whole life cycle of investment projects of construction into account, as well as the unequal nature of money over time. The article offers the author's modification of the critical path method that is based on the minimum cost principle and takes the time factor into account. In the future, this optimization model can be improved by introducing additional factors into it, while its mathematical basis - by transferring it from a discrete to a continuous time form.
В предыдущей статье автора [1] были предложены методы учета потерь от замораживания капитальных вложений двух типов - «вну-трисрочных» потерь, возникающих в пределах того или иного срока строительства, и потерь интегрального эффекта (ЧДД) проекта при превышении установленного (нормативного) срока строительства. В данной статье будет рассмотрена проблема поиска оптимального срока строительства по сетевому графику с учетом фактора времени, которая тесно связана с определением потерь от замораживания капитальных вложений второго типа.
Обычно в инвестиционно-строительном проекте имеются различные варианты (технологические способы) осуществления строительно-монтажных работ. Работы могут быть выполнены не только с разными объемами одного и того же ресурса, но и вообще с ресурсами различных видов. Определение оптимального набора и объемов ресурсов, а также технологии выполнения работ - это сложная задача, которая решается при планировании проекта. Принятые решения в конечном счете определяют продолжительность и стоимость строительства.
Масштабные инвестиционно-строительные проекты обычно состоят из множества работ, и рассчитать все возможные комбинации за короткий промежуток времени не представляется возможным. Поэтому большое значение для участников инвестиционно-строительного проекта, как для инвестора и заказчика, так и для подрядчика, имеет решение задачи об оптимизации срока строительства и продолжительности инвестиционной стадии в целом с помощью математических моделей. Оптимизация продолжительности инвестиционной стадии осуществляется по двум параметрам - время и стоимость работ, с учетом всех возможных их вариантов и сочетаний. В зарубежной практике проблема оптимизации срока строительства именуется «time-cost trade-off» (TCTO), т.е., «компромисс между временем и стоимостью».
В зависимости от целевой установки участника проекта задача оптимизации срока строительства может решаться в двух направлениях:
1) определение минимального срока строительства, в течение которого затраты не выходят за рамки установленного бюджета (минимизация продолжительности);
2) определение оптимального срока строительства с минимальными суммарными затратами (минимизация стоимости).
В обоих случаях задача существенно осложняется необходимостью рассмотрения сложного комплекса параллельных, взаимосвязанных и совмещенных во времени работ. Следует отметить, что чаще требуется решение задачи второго типа, т.е. определение оптимального срока строительства с минимальной стоимостью. Далее будет рассмотрена модель оптимизации именно этого типа.
На данный момент в мировой практике для решения задачи оптимизации срока строительства с целевой установкой минимизации суммарных затрат предлагаются различные модификации метода критического пути (critical path method, CPM). Первые оптимизационные задачи на сети в случае линейной зависимости стоимости работы от ее продолжительности были решены Дж. Келли [2] и Д. Фалкерсоном [3, с. 215-231]. Впоследствии стали появляться исследования, посвященные проблеме оптимизации в случае нелинейной функции или дискретных точек [4,5,6,7,8]. В общем виде дискретная оптимизационная модель минимизации стоимости проекта по методу критического пути представлена в [9].
Для начала рассмотрим общие принципы оптимизации по методу критического пути без учета фактора времени. Предположим, что инвестиционная стадия (строительство производственного объекта) состоит из п работ, последовательность которых задана сетевым графиком. На основе сетевого графика по каждой работе можно рассчитать ее ранние и поздние начала и окончания, а также резервы времени по ней. Каждая работа г (г = 1, 2, ..., п), имеет несколько вариантов ее осуществления т т. > 1. Каждому варианту осуществления к (от 1 до т.) соответствует определенная продолжительность ^ к) и затраты (с.к). Эти варианты осуществления варьируются от дешевых (продолжительных) до быстрых (дорогих) и, таким образом, при необходимости дают возможность сократить продолжительность работы. На основе этих вариантов осуществления продолжительность (О.) и прямые затраты
(С.) каждой работы г могут быть выражены следующими формулами:
, (1)
к =1 т.
^СкХи* (2)
к =1
D = d.Х.. + d.x.. + ... + ^ Х. .
г г1 г1 г2 г2 гтг тг
С. = с.Х-, + С.х.. + .... + С. Х. .
г г1 г1 г2 г2 гтг гтг
где хк - бинарная переменная (переменная, принимающая значение 0 или 1), показывающая, какой вариант из т. выбран для работы г: если хк = 1, то для работы г выбран вариант к; если хк = 0, то выбран какой-то другой из вариантов.
Чтобы гарантировать, что для каждой работы используется только один вариант осуществления, вводится следующее ограничение по каждой работе:
тг
1хк = 1, г = 1,2, ..., п. (3)
к =1
Логическая связь между любыми двумя последовательными работами г и предшествующей ей работы р выражается математически следующим образом:
Н ^ О (4)
где Н. - начало работы г; О - окончание предшествующей ей работы р.
Окончание работы г равняется сумме ее начала и ее продолжительности. Поэтому ограничение логической связи можно выразить следующей формулой:
т.
Ог - Ор - ЖХк ^ 0,Р = 1,2,...№ , (5)
к =1
где ЫР . - количество работ, предшествующих работе г.
Формулой (5) заданы логические ограничения сетевого графика, в котором математически выражена логическая связь между любыми двумя последовательными работами: работой г и ее непосредственной предшественницей р.
Окончание строительства совпадает с наиболее поздним из окончаний последних работ. Если количество завершающих работ строительства обозначить как ЫЕ, ограничение завершения строительства задается следующей формулой:
Ок <X, k = 1,2,..., Ж, (6)
где X - срок строительства.
Сумма стоимостей всех работ за тот или иной срок строительства Тф характеризует прямые затраты на строительно-монтажные работы ЗТпр, рассчитываемые по следующей формуле:
п п т
Зтпр = ттТСг = тп£ ^с1кхх (7)
I =1 I =1 к=1
Суммарные прямые затраты ЗТпр рассчитываются для каждого срока строительства Тф при этом из всех полученных значений выбирается минимальное.
Условно-постоянные расходы напрямую зависят от продолжительности строительства. Связь между условно-постоянными расходами ЗТуп и продолжительностью строительства можно выразить линейной функцией:
Зт = НаТ /Т , (8)
1уп сф сн 4 '
где Н - сумма накладных расходов при установленном (нормативном) сроке строительства; а - доля условно-постоянной части накладных расходов, зависящих от продолжительности строительства; Тсф - фактический срок строительства; Тсн -установленный (нормативный) срок строительства (наиболее продолжительный).
Суммарная стоимость строительства ЗТсум за срок Тф складывается из прямых переменных затрат, условно-постоянных расходов и единовременных начальных затрат:
ЗТсум ЗТпр ЗТуп (9)
где З0 - начальные затраты на строительство, не связанные напрямую с отдельными строительно-монтажными работами.
На первый взгляд, задача оптимизации срока строительства решается путем нахождения срока с минимальной суммой прямых затрат и накладных расходов. Однако это будет верным лишь в том случае, если при оценке эффективности инвестиционного проекта рассматривается лишь его инвестиционная стадия. Но за инвестиционной стадией следует другая - эксплуатационная (операционная) с денежными потоками дохода. Следовательно, суммарные затраты, соответствующие срокам строительства различной продолжительности, некорректно сравнивать друг с другом непосредственно. Зарубежные модели оптимизации срока строительства на основе метода критического пути рассчитаны исключительно на инвестиционную стадию проекта и не предусматривают учета этого фактора.
Без учета фактора времени дополнительный эксплуатационный эффект ЭТ от ускорения строительства возможно рассчитать по следующей формуле:
ЭТ ПР (Тсн Тсф ПР (Тсн Тсф (Сбф Слф (Сбн СлН, (10)
где Пр - прогнозируемая средняя прибыль за единицу времени (день, неделю, месяц или год); Тф - рассматриваемый (фактический) срок строительства; Тн - установленный (нормативный) срок строительства; АС6 - изменение балансовой стоимости проектируемого объекта; Сбф - балансовая стоимость при рассматриваемом сроке строительства Тсф; Слф - ликвидационная (остаточная) стоимость объекта на конец расчетного периода проекта при рассматриваемом сроке строительства Тсф; Сбн - балансовая стоимость при установленном (нормативном) сроке строительства Тсн; Слн- ликвидационная (остаточная) стоимость объекта на конец расчетного периода проекта при установленном (нормативном) сроке строительства Тн.
То есть, критерием оптимизации срока строительства принимается минимизация суммарных затрат на строительно-монтажные работы, скорректированных на величину дополнительного эксплуатационного эффекта от ускорения строительства, т.е. нахождение такого срока строительства Тсф, которому соответствует минимальное значение разности ЗТум - ЭТ, с учетом логических ограничений математической модели (формулы 3, 5 и 6).
Выше рассмотрена математическая модель оптимизации срока строительства по принципу минимизации затрат без учета фактора времени.
Помимо эксплуатационного эффекта, традиционный метод критического пути также не учитывает неравноценность денежных потоков затрат во времени. Прямые затраты на работы суммируются, хотя они осуществляются на разных отрезках временной шкалы. Деньги не равноценны во времени, их ценность со временем уменьшается. Следовательно, прямые затраты на работы нельзя суммировать напрямую. В отношении денежных потоков затрат на инвестиционной стадии проекта действует принцип временной ценности денег (time value of money), поэтому при решении проблемы оптимизации срока и затрат следует учитывать денежные потоки не в исходном виде, а их дисконтированную величину. Модификация метода критического пути с учетом вышесказанного была рассмотрена М. Аммаром в [10], однако предложенная им модель включала в себя упрощенную линейную, а не экспоненциальную форму дисконтирования. Следует также отметить, что коэффициент дисконтирования как показатель учета фактора времени присутствовал в оптимизационных моделях, разработанных отечественными учеными из Института экономики и организации промышленного производства СО АН СССР [11] и Центрального экономико-математического института АН СССР [12].
Целевую установку оптимизации срока строительства с учетом фактора времени можно свести к максимизации чистого дисконтированного дохода проекта. На начальном отрезке времени реализации проекта, равном по продолжительности установленному (наибольшему) сроку строительства, эта цель тождественна минимизации суммарных дисконтированных затрат, скорректированных на величину дисконтированного дополнительного эффекта от ускорения строительства.
Формула суммарных прямых затрат строительства (7) с учетом фактора времени принимает следующий вид:
n mi
ЗПр = mini ZV + г)0м-0погкхш (11)
i =1 к=1
где r - ставка дисконтирования необходимой размерности: дневная, недельная, месячная или годовая; ОП. - позднее окончание работы i.
Чтобы избежать чрезмерного усложнения формулы, стоимость работ предлагается приводить по середине времени ее выполнения через показатель степени, без использования коэффициента равномерного внутришагового распределения у.
Прямые затраты на каждую работу, как правило, принято приводить к моменту начала строительства. Предполагается также, что затраты на работы осуществляются равномерно в ходе их выполнения. Конечно, такое предположение не совсем верно, однако в рамках данной проблемы оно вполне допустимо. С точки зрения принципа временной ценности целесообразно дисконтировать потоки затрат по середине времени их выполнения по поздним срокам (позднему началу и позднему окончанию), т.к. в этом случае их величина будет наименьшей. Суммарные прямые затраты ЗТр рассчитываются для каждого периода Тф с учетом все тех же логических ограничений (формулы 3, 5 и 6).
Формула дисконтированных условно-постоянных затрат ЗТуп выглядит следующим образом:
З •у ( 1 - {1+Г)'ТСФ ) (12)
ЗТуп Т 7 V Г /
сн
Дисконтированный дополнительный эксплуатационный эффект ДР^ от ускорения строительства рассчитывается по формуле, аналогичной формуле (12) из [1]:
АР
(PV)
(Пр +Аа)-у
(
(1+г)~Тсф-(1+г)~-
) + Аа • у (
(1+г)-Тсн - (1+r)-
(13)
r
r
где П- прогнозируемая средняя прибыль за шаг расчетного периода; Аа - изменение величины амортизационных отчислений; у - коэффициент равномерного внутришагового распределения; Г - величина расчетного периода инвестиционного проекта (горизонт инвестирования).
Задача нахождения оптимального срока строительства по предлагаемой модели любой сложности может быть решена при помощи таких известных компьютерных программ, как MS Solver, LINGO™, IBMILOG CPLEX Optmization Studio.
В то же время, традиционный метод критического пути без учета фактора времени позволяет решить задачу оптимизации с небольшим количеством работ и вариантов их осуществления «вручную», без привлечения сложных программных продуктов. Соответствующая логика расчета была продемонстрирована отечественным читателям в [13]. Для нахождения оптимального срока строительства необходимо начать расчет с т.н. «нормальных» вариантов осуществления работ (с максимальной длительностью и минимальной стоимостью), постепенно сокращая общий срок строительства на одну единицу времени ценой минимальных дополнительных затрат посредством изменения сочетания вариантов осуществления работ. Следует отметить, что иногда исходные данные примерной задачи даже с учетом
ввода в механизм расчета учета фактора времени (дисконтирования) позволяют рассчитать пример «вручную». Такое возможно, если стоимость сокращения на одну единицу времени у некоторых работ совпадают, либо принимают далекие друг от друга значения (например, в задаче [9]). В этом случае оптимальный набор вариантов осуществления работ для каждого срока строительства Тсф с учетом дисконтирования будет тем же, что и без дисконтирования. В то же время, при расчете оптимального набора вариантов следует руководствоваться принципом временной ценности денег, выбирая наименьшую дисконтированную стоимость сокращения. Иными словами, при равной стоимости сокращения у нескольких работ, следует выбирать более позднюю работу.
Результаты расчета оптимального срока строительства с минимальными суммарными затратами без учета и с учетом временной ценности денег различаются. Дисконтирование оказывает значительное влияние на прямые затраты на строительно-монтажные работы. Игнорирование принципа временной ценности денег, дополнительного эксплуатационного эффекта и изменения величины ежегодных амортизационных отчислений при сокращении срока строительства приводит к неоптимальным решениям.
Предлагаемая в статье модель оптимизации срока строительства основывается на традиционном методе критического пути с оптимизацией по минимуму затрат, но включает в себя три новых принципиальных положения:
1) сравнение равных временных интервалов посредством учета дополнительного эксплуатационного эффекта для более интенсивных вариантов строительства;
2) учет временной ценности денег с помощью дисконтирования денежных потоков;
3) учет возможного увеличения балансовой стоимости строящегося объекта при интенсификации процесса строительства и перераспределения ежегодных амортизационных отчислений на больший период.
В данной модели задействованы шесть основных тенденций различного характера, три из которых можно отнести к категории положительных (получение дополнительного эксплуатационного эффекта за срок сокращения, увеличение условно-постоянных накладных расходов с течением времени и перераспределение амортизации на больший период), две - к категории отрицательных (увеличение стоимости работ и уменьшение эксплуатационного эффекта за счет повышения балансовой стоимости объекта и годовой амортизации), и одну можно считать нейтральной (уменьшение денежного потока затрат и результатов со временем в геометрической прогрессии через коэффициент дисконтирования).
В предлагаемой модели оптимизации минимизируется суммарная стоимость работ инвестиционной стадии, и учитываются дисконтированные денежные потоки. Необходимыми исходными данными для модели являются:
1) последовательность строительно-монтажных работ (из сетевого графика);
2) продолжительность и стоимость всех возможных вариантов осуществления каждой работы;
3) ставка дисконтирования;
4) начальные затраты, не связанные напрямую со строительно-монтажными работами;
5) темп роста условно-постоянных затрат;
6) величина эксплуатационного эффекта (средней прибыли) от сокращения строительства на единицу времени;
7) объем увеличения балансовой стоимости строящегося объекта при повышении общей стоимости строительно-монтажных работ.
Оптимальная продолжительность каждой отдельной работы и оптимальный срок строительства в целом во многом зависят от этих данных, поэтому их величины должны быть строго обоснованы.
Итоги проведенного автором исследования показывают, что продолжительность и стоимость отдельных работ и, следовательно, величина оптимального срока строительства, рассчитанные по предлагаемой модели с учетом фактора времени, отличаются от результатов решения задачи традиционными методами без учета фактора времени.
Одними из возможных дальнейших направлений совершенствования предлагаемой модели может быть включение в нее механизма учета ограниченности ресурсов, влияния инфляции, рисков, качества выполнения работ и экологических факторов или введение в модель каких-либо других характерных тенденций. Также возможен перевод математической основы модели из дискретного времени в непрерывное время. Кроме того, данная модель может быть интегрирована в современные программные средства для упрощения процесса оптимизации.
Библиография
1. Тихонов Ю.П. Об оценке потерь от замораживания капитальных вложений // Экономика строительства. -2018. - № 3. - С. 66-77.
2. Kelley J.E. Critical-path planning and scheduling: mathematical basis. Operations Research, 1961, vol. 9, no. 3, pp. 296-320.
3. Форд Л.Р., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях / пер. с англ. И.А. Вайнштейна. - М.: Мир, 1966. - 276 с.
4. Meyer W.L., Shaffer R.L. Extending CPM for multiform project time-cost curves. Journal of the Construction Division, 1965, vol. 91, no. 1, pp. 45-68.
5. Crowston W. Decision CPM: network reduction and solution. Journal of the Operational Research Society, 1970, vol. 21, no. 4, pp. 435-452.
6. Hindelang T.J., Muth J.F. A dynamic programming algorithm for Decision CPM networks. Operations Research, 1979, vol. 27, no. 2, pp. 225-241.
7. De P., Dunne E.J., Ghosh J.B., Wells C.E. The discrete time-cost tradeoff problem revisited. European Journal of Operational Research, 1995, vol. 81, no. 2, pp. 225-238.
8. Liu L., Burns S.A., Feng C.-W. Construction time-cost trade-off analysis using LP/IP hybrid method. Journal of Construction Engineering and Management, 1995, vol. 121, no. 4, pp. 446-454.
9. Moussourakis J., Haksever C. Flexible model for time-cost tradeoff problem. Journal of Construction Engineering and Management, 2004, vol. 130, no. 3, pp. 307-314.
10. Ammar M.A. Optimization of project time-cost trade-off problem with discounted cash flows. Journal of Construction Engineering and Management, 2011, vol. 137, no. 1, pp. 65-71.
11. Алексеев А.М., Козлов Л.А., Крючков В.Н. Сетевые модели в перспективном планировании развития производства. - Новосибирск: Наука, 1974. - 109 с.
12. Алтаев В.Я., Когутовская Л.А. Сетевые методы планирования капитальных вложений. - М.: Наука, 1976.
- 144 с.
13. О'Брайен Дж. Применение метода критического пути в строительстве / сокр. пер. с англ. Н.М. Шестопала.
- М.: Стройиздат, 1971. - 168 с.
«Экономика строительства» № 4 (52) /2018 References
1. Tikhonov Iu.P. Evaluating the losses from freezing of capital investments // Ekonomika stroitel'stva [Economics in Construction], 2018, no. 3, pp. 66-77 (in Russ.).
2. Kelley J.E. Critical-path planning and scheduling: mathematical basis. Operations Research, 1961, vol. 9, no. 3, pp. 296-320.
3. Ford L.R., Fulkerson D.R. Flows in networks. Princeton: Princeton University Press, 1962, 212 p.
4. Meyer W.L., Shaffer R.L. Extending CPM for multiform project time-cost curves. Journal of the Construction Division, 1965, vol. 91, no. 1, pp. 45-68.
5. Crowston W. Decision CPM: network reduction and solution. Journal of the Operational Research Society, 1970, vol. 21, no. 4, pp. 435-452.
6. Hindelang T.J., Muth J.F. A dynamic programming algorithm for Decision CPM networks. Operations Research, 1979, vol. 27, no. 2, pp. 225-241.
7. De P., Dunne E.J., Ghosh J.B., Wells C.E. The discrete time-cost tradeoff problem revisited. European Journal of Operational Research, 1995, vol. 81, no. 2, pp. 225-238.
8. Liu L., Burns S.A., Feng C.-W. Construction time-cost trade-off analysis using LP/IP hybrid method. Journal of Construction Engineering and Management, 1995, vol. 121, no. 4, pp. 446-454.
9. Moussourakis J., Haksever C. Flexible model for time-cost tradeoff problem. Journal of Construction Engineering and Management, 2004, vol. 130, no. 3, pp. 307-314.
10. Ammar M.A. Optimization of project time-cost trade-off problem with discounted cash flows. Journal of Construction Engineering and Management, 2011, vol. 137, no. 1, pp. 65-71.
11. Alekseev A.M., Kozlov L.A., Kriuchkov V.N. Network models in the long-term planning of production development. Novosibirsk, 1974, 109 p. (in Russ.).
12. Altaev V.Ia., Kogutovskaia L.A. Network methods of capital investment planning. Moscow, 1976, 144 p. (in Russ.).
13. O'Brien J.J. CPM in construction management: scheduling by the critical path method. New York: McGraw Hill, 1965, 254 p.
Автор
Тихонов Юрий Петрович, ассистент кафедры экономики и управления в строительстве, ФГБОУ ВО «Государственный университет управления». Адрес: Рязанский проспект, 99, Москва, 109542, Россия; тел. +7(495)371-29-33; e-mail: up_tihonov@guu.ru
