CC BY
33О сокращении длительности проекта без увеличения затрат
Мушруб Владимир Александрович,
канд. физико-математических. наук, доцент кафедры экономико-математических методов, Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова, mushrub@yandex.ru
Соболев Виталий Николаевич
кандидат физико-математических наук, независимый исследователь, sobolev_vn@mail.ru
Фомин Геннадий Петрович,
кандидат технических наук, профессор кафедры математических методов в экономике, Российский экономический университет имени Г. В. Плеханова,др!отт@таН.ги
Методы управления на основе сетевого планирования, особенно применительно к строительной отрасли, - это, прежде всего, метод оценки и пересмотра проектов (PERT) и метод критического пути (CPM). В этой статье описывается подход к оценке проектов, использующий метод критического пути. Не совсем правильно думать о методе критического пути в управлении проектами только как о части или предшественнике метода корректно. В отечественной науке метод критического пути получил свое независимое развитие. Этот метод позволяет решать задачу сокращения сроков выполнения проекта без изменения затрат ресурсов. Суть современного метода анализа критического пути как метода моделирования проектов заключается в изучении всех вариантов сокращения времени, необходимого для завершения критических путей комплекса работ, посредством передачи части ресурсов c некритических работ на критические виды деятельности. В тех случаях, когда необходимо ускоренно завершить проект и когда необходимо разработать некоторые проекты для их завершения в кратчайшие сроки, представленный метод помогает определить и спланировать, какие шаги проекта должны быть ускорены. Еще одним преимуществом метода критического пути (CPM) является свобода в задании типов зависимости продолжительности работ от объема ресурсов. Хотя метод критического пути не использует стохастическое описание продолжительности операций, он позволяет рассматривать различные зависимости продолжительности работы от количества ресурсов. Таким образом, метод критического пути остается мощным инструментом, который помогает планировать и управлять сложными проектами. Ключевые слова: оценка проектов, метод оценки и пересмотра проектов (PERT), метод критического пути, сетевой подход в управлении проектами, алгоритмический подход в обучении.
Введение. Методы сетевого планирования и управления являются неотъемлемой частью преподавания математических методов и методов анализа данных студентам экономических и управленческих специальностей. В самом деле, в том случае, когда менеджер сталкивается с планированием разработки и продвижения нового товара, с реализацией строительного, ремонтного проекта или реализацией таких проектов как организация выставки-продажи, перевод магазина на самообслуживание, возникает комплекс мероприятий, работ и операций, которые надо провести для реализации проекта.
Трудность выполнения больших комплексов работ требует использования методов сетевого планирования и управления (СПУ). В основе сетевого планирования и управления лежит сетевая модель (network), то есть графическое изображение плана комплекса работ в виде нагруженного ориентированного графа, наглядно показывающее последовательность выполнения всех работ.
Для составления сетевой модели требуется составить список задач (работ), найти подрядчика или назначить ответственного исполнителя для каждой задачи, определить содержание сроки и порядок выполнения всех задач. Не все задачи можно реализовать независимо друг от друга, поэтому особое внимание руководителю комплекса работ приходится уделять взаимозависимостям между задачами и распределению ресурсов между ними. Проект расчленяется на подкомплексы задач. Например, проект разработки нового изделия и технологии его производства, расчленяется на подкомплексы работ связанные с разработкой и технологией производства отдельных узлов изделия и сборки изделия. Подкомплексы разбиваются на задачи и для каждого подкомплекса работ составляются частные сетевые графики, которые потом сшиваются в единый сетевой график. Все эти вопросы изучает дисциплина, называемая «Сетевое планирование и управление».
В данной статье обсуждаются вопросы правильного применения анализа критического пути (см. [1]), технологий PERT (Project Evaluation end Review Technique), PERT-COST и некоторые ошибки в изложении этих методов в учебных пособиях для бакалавриата.
Хотя задачи поиска критического пути, сокращения стоимости проекта и могут быть сведены к задаче линейного программирования (см. [12]), по своей сути эти задачи являются графоаналитическими. При увеличении числа работ до нескольких тысяч, решение методами линейного программирования становится не эффективным. Таким образом, преподавание сетевого планирования и управления должно основываться на алгоритмическом подходе к преподаванию теории графов (см. [9]). Отметим, что графоаналитические методы используются в различных областях прикладной математики (см. [6-9], [13-15]).
Сетевое планирование и риск-менеджмент. За нарушение срока выполнения проекта может быть установлена неустойка в виде штрафа или пени. Пеню определяют в виде определенного процента, который подрядчик, не выполнивший проект в установленный срок, будет платить заказчику за день просрочки. Например, 0,5 процента от прописанных в договоре денежных средств за каждый день просрочки. Штраф - это однократно взыскиваемая сумма за нарушение обязательства. Например, можно прописать штраф для исполнителя в размере 10 процентов от цены, указанной в договоре. Кроме того, заказчик вправе требовать от просрочившего выполнение работ подрядчика возмещение ущерба на основании статьи 708 ГК РФ. Так, например, в пункте «Ответственность сторон» в договоре может быть записано:
«В случае несоблюдения Подрядчиком, по его вине, сроков окончания работ Заказчик вправе предъявить Подрядчику претензии и взыскать с него сумму неустойки в размере 0,5% за каждый день просрочки от расчетной стоимости не завершённых работ».
Технология PERT-COST предполагает возможность сократить сроки выполнения комплекса работ за счет увеличения расходов [2]. Это весьма оправдано, если несоблюдение сроков выполнения контракта грозит предприятию штрафными финансовыми санкциями или в том случае, когда проект имеет большие постоянные косвенные
О
ю
5
*
00 2
сч
09 £
Б
а
2 ©
издержки (см. [3-5]). Кроме того, технология PERT-COST является методом, позволяющим минимизировать общую стоимость проекта при условии его выполнения в заданные сроки, а также минимизировать продолжительность выполнения проекта в условиях ограниченности его бюджета. Однако при таком подходе некоторые некритические работы и после оптимизации остаются с излишними ресурсами.
Ошибки в изложении сетевого планирования. Типичной ошибкой в изложении технологии PERT является оценка риска невыполнения проекта в срок исключительно по длительности критического пути. Для того, чтобы понять это рассмотрим сначала два учебных примера, а затем содержательный пример из практики одного из авторов статьи.
На рисунке 1 изображена сетевая модель комплекса четырех работ, для каждой работы отмечены средняя продолжительность в неделях и ее среднее квадратичное отклонение. Критический путь образуют работы A, B. Работа C обладает свободным резервом времени (Free Float), который изображается на рисунке пунктиром. Символами EFC обозначен ранний финиш работы C (Earliest Finish). Допустим, что комплекс работ необходимо выполнить не более, чем за 41 неделю. Заметим, что дисперсия продолжительности критического пути равна ст2 = 0,32 + 0,42 = 0,25. Дисперсия пути C, D равна ст2 = 32 + 42 = 25. Среднее квадратичное отклонение продолжительности критического пути равно 0,5, а стандартное отклонение продолжительности пути C, D составляет 5 недель. Найдем вероятность того, что длина критического пути окажется не больше, чем 41 неделя. Для этого используем функцию нормального распределения с математическим ожиданием a = 40 и дисперсией
а = 0,5: Kv^b^jexpfe)
\и
Р(41,40,0.5) = 0.97725
А затем, перейдем к противоположному событию: Р(Т>41) = 1 - 0.97725 = 0.02275. Таким образом, Р(Т>41)« 2,3%. Аналогично вычисляем вероятность того, что продолжительность пути С, D окажется больше 41 недели: Р(41, 39, 5) = 0,65542; Р(Т> 41) = 1 -0,65542 = 0,34458; Р(Т> 41)« 34,5%.
Таким образом, вероятность невыполнения комплекса работ в срок составляет 34,5% и определяется она не продолжительностью критического пути, а
Рисунок 1
Рисунок 2
продолжительностью пути, близкого к критическому. Таким образом, при вычислении риска не выполнения проекта в срок, нужно учитывать пути, близкие к критическим. В тоже время, понятно, что путь ф, фиктивная работа, В) не имеет отношения к вероятности невыполнения работ за 21 неделю, так как его средняя продолжительность (34 недели) меньше чем продолжительность пути С, D и стандартное отклонение ст
меньше стандартного отклонения продолжительности пути С, D.
Пусть ^ - окончательная продолжительность проекта по договору, при превышении которого наступают штрафные санкции. Какие же полные пути рассматривать при определении риска? Прежде всего, используя правило 3 сигм отбросим все пути L, для которых ожидаемая продолжительность минус утроенное
СКО не меньше чем ТУ - 3у(У) > Среди отобранных путей отбираем множеством альтернатив Парето-оптимальные относительно двух критериев: максимизации ожидаемой продолжительности пути и максимизации стандартного отклонения продолжительности пути.
Рассмотрим комплекс работ, имеющий 12 различных полных путей, обозначенных прописными на рисунке 2 буквами. На этом рисунке изображены образы путей на координатной плоскости (Т ст), где абсцисса Травна ожидаемой продолжительности пути, а ордината у - стандартному отклонению продолжительности. Вертикальная черта Т= 20 соответствует сроку выполнения проекта ^ = 20. Для наглядности пунктиром проведена прямая Т= ^ - 3ст, соответствующая правилу трех сигм. Сначала удаляем из рассмотрения пути К, Q, Р и V, лежащие левее прямой Т= ^ - 3ст. Получаем диаграмму, изображенную на
Рисунок 3 Таблица 1
iiy! to IV L о Г V JX
т 11,5 18 17,5 19.1 14 12,4
а 2,5 2 1 0,8 0,5 2,1
Z 3,4 1 2,5 1.125 12 3.619
Таблица 2
Путь X Y Z и V W
Т 14.7 16 18.8 17 18,5 19
V 2.1 1,6 0,9 1,7 0,33 1,5
Z 2,524 2,5 1,333 1,765 4,545 0,667
рисунке 3, на которой ромбами отмечены 4 Парето-оптимальных пути, включая критический путь Р. Вероятность невыполнения комплекса работ за 20 дней равна наибольшей из вероятностей того, что продолжительность одного из этих четырех путей будет больше 20.
Более простой способ определения риска просрочить проект состоит в вычислении для каждого полного пути статистики 1=^0-Т / ст , отыскании наименьшей величины Zmin этой статистики и вычислении вероятности невыполнения проекта в срок с помощью функции Лапласа Ф(х) = | ехр по о
формуле: Р(Тпроекта > d0) = 1 -(0,5 + Ф(Zmin)) , т.е., Р(Тпроекта > d0) = 0,5 - Ф(Zmin). Результаты вычислений приведены в таблице 1.
Итак, наименьшее значение статистики Zравно 1 и, следовательно, вероятность невыполнения проекта в срок равна Р(Тпроекта > 20) = 0,5 - Ф(1) = 0,5 -0,34134 = 0,15866. Отметим, что Zmin достигается не на критическом пути Ри не на следующих по ожидаемой продолжительности работ путях W, 1, и, а на
пути L, ожидаемая продолжительность которого меньше.
Метод критического пути - не просто часть технологии PERT.
Обычно в учебных пособиях метод критического пути (Critical Path Method) предстает как предтеча и частный случай метода PERT-COST, когда все работы имеют постоянные продолжительности. Создается впечатление, что метод PERT-COST полностью включает в себя метод критического пути. На самом деле это не так. В методе PERT-COST зависимость продолжительности каждой работы от прикладываемых ресурсов должна быть линейной, иначе не пройдет используемый в методе способ вычисления дисперсий продолжительностей (см. [2]). Это ограничение является существенным. В работах отечественные ученых метод критического пути получил дальнейшее самостоятельное развитие (см. [6], [14]). Поэтому в своем итоговом виде этот метод отличается от CPM особым алгоритмом поиска критического пути, особой визуализацией сетевого графика, постановкой задачи о сокращении сроков проекта без увеличения его стоимости, особыми алгоритмами оптимизации.
Одной из особенностей, отличающих метод критического пути в работах профессора Фомина Г.П., Мочалиной Е.П, Соболева В.Н. является рассмотрение гиперболических и экспоненциальных зависимостей времени выполнения работы от объема затраченных ресурсов (см. [6]).
Другим отличием отечественного развития метода критического пути от PERT-COST является его направленность на рациональное использование имеющихся ресурсов. Технология PERT решает следующие задачи (см. [2]-[5]): 1) отыскание вероятности завершения проекта в заданные сроки, 2) ускорение выполнения комплекса работ за счет увеличения стоимости проекта. В отличие от технологии PERT, одной из основных решаемых методом критического пути задач (см. [6]), является перераспределение ресурсов между работами с целью выполнения комплекса работ в кратчайший срок.
Эта задача решается без изменения общего количества ресурсов, используемых для выполнения проекта в целом (см. [6]). Оптимизация проводится в соответствии с целевой функцией следующего вида: TKP = 2fKP(/) ^ min.
Следует отметить, что обнаруженные резервы времени в развитом профессором Г.П. Фоминым методе критического пути приписываются не отдельным работам, а полным путям. Это позволяют более гибко управлять комплексом работ путем их разумного перераспределения с одних работ на другие, более напряженные (критические), не произвольно, а обоснованно по специальным методам оптимизации.
Третье отличие состоит в том, что критические пути отыскиваются при прямом ходе алгоритма, то есть при определении только ранних сроков свершения событий.
Рассмотрим пример, демонстрирующий это аспект метода критического пути.
Практический пример. Построение сетевых моделей строительства малоэтажных домов компании «Стройвертикаль». По данным «Отчёта о хозяйственной деятельности строительной компании «Стройвертикаль» за 2014-2016 годы» организацией осуществляются следующие работ: строительно-монтажные работы; подготовка строительных площадок; возведение несущих конструкций сооружений; возведение ограждающих конструкций зданий; устройство наружных инженерных сетей и
О
г
ю
S
*
00 2
сч
09 £
Б
а
2 ©
оборудования; защита конструкций и оборудования; отделочные работы; выполнение земляных работ; строительство дорог, их оснований и поверхностей; строительно-монтажные и ремонтные работы зданий и сооружений.
Суть проекта: развитие действующего строительства малоэтажного автономного жилого комплекса в поселке Ново-Булгаково, представляющего собой комплекс коттеджей (1333 домовладения) площадью от 90 до 220 кв. м., а также комплекс малоэтажных (3-4 этажа) многоквартирных жилых домов.
Основные задачи:
• Достижение плановых технико-экономических показателей проекта - своевременные строительство и ввод в эксплуатацию жилых объектов и объектов инфраструктуры;
• Дальнейшее эффективное развитие проекта путем приобретения нового земельного участка и привлечения партнера проекту.
Общий планируемый объем строительства по проекту (с момента начала его реализации, включая уже построенные и проданные объекты) - 442,5 тыс. кв. м.:
• 1 участок площадью 251 Га - 290 тыс. кв. м.
• 2 участок площадью 120 Га - 142,5 тыс. кв. м.
В стоимостном выражении - 16,6 млрд. руб. (с НДС)
Проект поселка кроме коттеджей предполагает также наличие домов, представляющих собой жилье социального значения. Всего на этаже будет располагаться 12 квартир: 1-комнатных 7 квартир 2-ком-натных 3 квартиры 3-комнатных 2 квартиры. Также, в отличие индивидуальных коттеджей, квартиры в домах социального значения будут продаваться сразу с чистовой отделкой. К сожалению, выполнение вышеперечисленных работ практически всегда связано с нарушением сроков их выполнения, затягиванием и срывами графиков выполнения.
Рассмотрим использование сетевых методов на примере проведения малоэтажного строительства. Сокращенный и упрощенный для читабельности и простоты понимания перечень работ строительства одного из малоэтажных жилых домов представлен ниже.
А - земляные работы.
Строительство фундамента: В - монтаж опалубки; С - заливка фундамента; D - техподполье.
Возведение стен: Е - наружные стены; F - внутренние стены; G - установка и
Рисунок 4
Рисунок 5
Рисунок 6
монтаж перегородок; Н - установка лестниц; I - монтаж площадок; и -монтаж балконных плит; К - монтаж перекрытий; L -монтаж теплоизоляции; М -установка козырьков; N - монтаж проемов; 0 - монтаж отмостки; Р - установка крылец; Q -монтаж кровли; Р - отделочные работы.
Монтаж водопровода: Э - монтаж стояков; Т - разводка по квартирам. Монтаж канализации: и - монтаж стояков и ливневые канализации; V - разводка по квартирам установка санфаянса.
Монтаж отопления: W - разводка труб; X - установка туб и радиаторов.
Монтаж вентиляции: Y - установка решеток; Z - установка воздуховодов. Г -электромонтаж.
Молниезашита: Д - установка мачты; © - установка соединителей.
Заземление: Л - разработка грунта; Е - засыпка.
П - Монтаж полов. Е - Монтаж дверей.
Для каждой работы были определены средняя продолжительность, ресурсы в человеко-часах, опорные работы и трудоемкость. Эти параметры существенно используются в оптимизации.
Для выявления мест расположения свободных резервов времени был построен сетевой график в масштабе времени. Этот график представлен на рисунках 4-6. По горизонтальной оси отложено время в часах. Пунктиром указаны свободные резервы времени работ, квадратами обозначены ранние сроки окончания работ, не совпадающие с событиями. Такой графический метод изображения комплекса работ принят в отечественной традиции и позволяет легче переходить к процессу оптимизации. Он в некотором смысле объединяет технологию метода критического пути и технологию диаграмм Ганта. Соединение различных методов сетевого моделирования позволяет объединить их преимущества.
Рисунок 7
5540,37
Рисунок 8
Рисунок 9
Оптимизация состоит из 6 шагов, в результате которых ресурсы последовательно переносятся с работ D, F, и, Q, Д, Е на работы С, Е, К, Ц Р, Е, соответственно. В результате решения получаем новые значения длительностей работ и оптимальный сетевой график (рис. 7-9) комплекса работ по строительству малоэтажного дома.
Заключение. Современное строительство представляет собой очень сложную систему, которая включает большое количество участников: заказчик, генпод-рядные и субподрядные строительно-монтажные и специализированные организации; коммерческие банки и финансовые органы и организации; проектные, а нередко и научно-исследовательские институты; поставщики строительных материалов, конструкций, деталей и полуфабрикатов, технологического оборудования; организации и органы, осу-
ществляющие различные виды контроля и надзора за строительством; подразделения, эксплуатирующие строительную технику и механизмы и транспортные средства.
Такое положение в строительстве обуславливает необходимость использовать современные инструментальные методы планирования организации работ и распределения ресурсов.
Именно поэтому решающую роль в настоящее время играет уровень развития применения современных методов моделирования в строительстве, особенно в части построения оптимальных планов выполнения строительных объектов.
В связи с этим в работе были изучены: современная производственно-хозяйственная деятельность в строительных компаниях; особенности и тенденция развития рынка малоэтажного домостроения; основные задачи организации,
планирования и управления малоэтажным строительством.
Затем изучены методы моделирования в строительстве и выделены наиболее выгодные сетевые методы моделирования строительства малоэтажных домов. На этой основе проведено построение сетевых моделей строительства и проведен анализ и оптимизация сетевых моделей строительства малоэтажных домов компании «Стройвертикаль» и описаны математические методы и модели, способствующие увеличению главного показателя и как следствие, экономического эффекта в сфере этой деятельности.
В итоге были разработаны действенные рекомендации в виде инструментария слежения за динамикой развития строительных работ.
В ходе проведения исследовательской работы был проведен теоретический анализ литературы и интернет-источников, а также анализ и интерпретация практических расчетов.
Полученные в ходе проведения исследовательской работы математические модели, а также их интерпретация могут быть использованы для оптимизации организации планирования на строительных предприятиях с целью увеличения экономического эффекта от коммерческой деятельности и сохранения конкурентоспособности в условиях меняющегося рынка.
Литература
1. Brown, J. W. Evaluation of projects using critical path analysis and earned value in combination. Project Management Journal, 1985, 16(3), 59-63.
2. Горбовцов Г.Я. Управление проектом. М.: ЕАОИ, 2009
3. Grucza B. Zarz№dzanie projektami -studia przypadkуw// Warszawa: Oficyna a Wolters Kluwer business 1, 2013 - 154pp
4. Троцкий М., Груча Б. Огонек К. Управление проектами. М.: Финансы и статистика, 2011. - 302 с.
5. Trocki M, Grucza B. Zarz№dzanie projektem europejskim, Warszawa 2007.
6. Фомин Г.П. Экономико-математические методы и модели в коммерческой деятельности// М.: Финансы и статистика, 464 с.
7. Сухорукова И.В., Мушруб В.А. Совершенствование методики преподавания теории опционов // Уральский научный вестник. 2016. - Т. 8, № 2. С. 7-12.
8. Koroteeva N.N., Hasanov E.L., Mushrub V.A., Klochko E.N., Bakharev V.V., Shichiyakh R.A. The conditions of economic
О
CS i
*
oo 2
сч со £
efficiency and competitiveness of tourism enterprises// International Journal of Economics and Financial Issues. 2016. - Т. 6, № 8 Special Issue. - С. 71-77.
9. Мушруб В.А., Максименко М.Н., Выборнова И.И., Фадеева Л.Л. Алгоритмический подход к преподаванию теории графов// Инновации и инвестиции. -2016. - № 6.- С. 202-208.
10. Мушруб В.А., Максименко М.Н., Сухорукова И.В., Фомин Г.П. Модели международной финансовой отчетности в формировании профессиональных компетенций студентов // Инновации и инвестиции. - 2017. - № 5. - С. 154-159
11. Мушруб В.А., Соболев В.Н. Методические замечания к оценке бизнеса методом гордона// Общество: политика, экономика, право. - 2016. - № 10. - С. 5759.
12. Киселев А.В., Мушруб В.А. Некоторые аспекты теории линейного программирования // Вестник Российского государственного торгово-экономического университета (РГТЭУ). - 2013. - № 910 (79). - С. 159-175.
13. Выборнова И.И., Выборнов А.Н., Мушруб В.А. Математическое моделирование влияния стохастических рацемизи-рующих воздействий на хиральную чистоту биосферы// В книге: "Качество жизни населения и экология". Министерство образования и науки Российской Федерации, Пензенский государственный университет, Пензенский государственный университет архитектуры и строительства, Пензенская государственная сельскохозяйственная академия, Межотраслевой научно-информационный центр Пензенской государственной сельскохозяйственной академии. Пенза, 2014. С. 176188.
14. Мочалина Е.П., Соболев В.Н. Сравнительный анализ решения задачи сетевого планирования с помощью методов сетевого графа и стрелочной диаграммы // Вестник Российского государственного торгово-экономического университета (РГТЭУ). - 2009. - № 4 (31). - С. 60-67.
15. Корте Б., Фиген. Й. Комбинаторная оптимизация. Теория и алгоритмы. / / М.: МЦНМО. - 2015.
On reducing the duration of the project without increasing costs
Mushrub V.A., Sobolev V.N., Fomin G.P.
Russian Plekhanov University of Economics
Network-based management techniques especially applicable to building construction industry are first of all the program evaluation and review technique (PERT) and the critical path method (CPM). This article describes an approach to evaluating projects that uses the critical path method. It is not entirely correct to think about the critical path method in project management only as a part or a predecessor of the project evaluation and review technique. In Russian science, the critical path method has gained its independent development. This method allows us to solve the problem of shortening the project timeframe without changing the cost of resources.
The essence of the modern critical path analysis as a project modeling technique is to examine all options for reducing the duration of time required to complete the critical paths in a complex of activities by means of transferring of resources from non-critical activities to critical activities.
Where we need to run an accelerated project or where we need to robust some projects to complete them within the shortest possible time, the presented method helps to identify and plan which project steps should be accelerated.
A further benefit of critical path method (CPM) is the freedom to set how durations of activities depend on resources. Although the critical path method does not use a stochastic description of the duration of activities, this method allows us to consider a variety of dependencies of the duration of work on the number of applied resources. So, the critical path method remains a powerful tool that helps us to schedule and manage complex projects.
Key words: Evaluation of projects, Program evaluation and review technique (PERT), Critical path method (CPM), Network-based approach to the project management, Algorithmic approach to teaching.
References
1. Brown, J. W. Evaluation of projects using critical
path analysis and earned value in combination. Project Management Journal, 1985, 16(3), 59-63.
2. Gorbovcov G.YA. Upravlenie proektom. M.: EAOI,
2009
3. Grucza B. Zarz№dzanie projektami - studia
przypadkyw// Warszawa: Oficyna a Wolters Kluwer business 1, 2013 - 154pp
4. Trocki M., Grucza B., Ogonek K. Projects
management. Warsaw: PWE, 2003.
5. Trocki M, Grucza B. Zarz№dzanie projektem
europejskim, Warsaw: PWE, 2007.
6. Fomin G.P. Ekonomiko-matematicheskie metodyi
i modeli v kommercheskoy deyatelnosti// M.: Finansyi i statistika, 464 pp.
7. Suhorukova I.V., Mushrub V.A. Sovershenstvovanie metodiki prepodavaniya teorii optsionov // Uralskiy nauchnyiy vestnik. 2016. T. 8. № 2. P. 7-12.
8. Koroteeva N.N., Hasanov E.L., Mushrub V.A.,
Klochko E.N., Bakharev V.V., Shichiyakh R.A. The conditions of economic efficiency and competitiveness of tourism enterprises// International Journal of Economics and Financial Issues. 2016. - T. 6, № 8 Special Issue. - C. 71-77.
9. Mushrub V.A., Maksimenko M.N., Vyibornova
I.I., Fadeeva L.L. Algoritmicheskiy podhod k prepodavaniyu teorii grafov// Innovatsii i investitsii. - 2016. - No 6.- P. 202-208.
10. Mushrub V.A., Maksimenko M.N., Suhorukova I.V., Fomin G.P. Modeli mezhdunarodnoy finansovoy otchetnosti v formirovanii professionalnyih kompetentsiy studentov // Innovatsii i investitsii. - 2017. - No 5. - P. 154-159.
11. Mushrub V.A., Sobolev V.N. Metodicheskie zamechaniya k otsenke biznesa metodom gordona// Obschestvo: politika, ekonomika, pravo. - 2016. - No 10. - P. 57-59.
12. Kiselev A.V., Mushrub V.A. Nekotoryie aspektyi teorii lineynogo programmirovaniya // Vestnik Rossiyskogo gosudarstvennogo torgovo-ekonomicheskogo universiteta (RGTEU). -2013. - No 9-10 (79). - P. 159-175.
13. Vyibornova I.I., Vyibornov A.N., Mushrub V.A. Matematicheskoe modelirovanie vliyaniya stohasticheskih ratsemiziruyuschih vozdeystviy na hiralnuyu chistotu biosferyi// In the book: «The quality of life of the population and the environment.» Ministry of Education and Science of the Russian Federation, Penza State University, Penza State University of Architecture and Construction, Penza State Agricultural Academy, Interdisciplinary Scientific Information Center of the Penza State Agricultural Academy. Penza, 2014. P. 176188.
14. Mochalina E.P., Sobolev V.N. Sravnitelnyiy analiz
resheniya zadachi setevogo planirovaniya s pomoschyu metodov setevogo grafa i strelochnoj diagrammy // Vestnik Rossiyskogo gosudarstvennogo torgovo-ekonomicheskogo universiteta (RGTEU). - 2009. - No 4 (31). -P. 60-67.
15. Korte B., Vigen J. Combinatorial optimization. Theory and algorithms //
Springer Verlag, 2011.
2 о
