CC BY
17
УДК 953.951
ОБ ОПТИМАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ ТОРМОЗНОЙ ГЕНЕРАЦИИ ГАРМОНИК В ПЛАЗМЕ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ ПРИ ФОТОИОНИЗАЦИИ ГАЗА, СОДЕРЖАЩЕГО ВОЗБУЖДЕННЫЕ АТОМЫ
В. П. Силин, П. В. Силин
Представлена теория эффективности генерации пятой и седьмой гармоник в плазме, образуемой при ионизации водородоподобных атомов с электронами в возбужденных состояниях. Для случая третьей гармоники показано, как обобщение известной ранее теории генерации третьей гармоники в плазме из ионизованных водородоподобных атомов с электронами в основном состоянии распространяется на интересующий нас случай возбужденных атомов. Установлены определяющие эффективность генерации гармоник зависимости от напряженности электрического поля накачки и от его поляризации.
В настоящем сообщении мы сосредоточимся на когерентном одночастичном процессе генерации гармоник благодаря тормозному излучению электронов, осциллирующих в поле накачки. Более того, мы обсудим эффективность генерации гармоник. Мы подчиним свое обсуждение явлению увеличения эффективности генерации гармоник в плазме, возникающей при ионизации газа возбужденных атомов по сравнению с генерацией Гармоник б плазме, возникающей при ионизации газа атомов, электроны которых находились до ионизации в основном состоянии.
Экспериментально такое явление было обнаружено в работе [1]. С другой стороны, теоретически такое явление обсуждалось в ряде работ (см.,например, [2, 3]), основанных
на представлениях об ионизации, введенных в ранней книге Г. Бете [4]. Эти представления имеют место в случае достаточно сильного поля. Применительно к модели водоро-доподобного атома условие сильной напряженности ионизующего атом электрического поля имеет вид
1\п 1 /^тееЛ2
^ 4£е3 ~ Ме* \ 2пЧ2 ) ' Ш
Здесь Е - напряженность электрического поля накачки, е и те - заряд и масса электрона, Z - зарядовое число атомного ядра, п - главное квантовое число того уровня энергии электрона, с которого происходит ионизация водородоподобного атома, соответствующий потенциал ионизации. Следует подчеркнуть, что в условиях выполнения неравенства (1) не существует связанных состояний электрона водородоподобного атома с энергией, характеризуемой главным квантовым числом п.
Для практической реализации ионизации в режиме Бете сильного поля (1) необхо димо, чтобы нарастание во времени такого поля происходило быстро по сравнению с возможной медленной перестройкой уровней водородоподобного атома. Иными словами время включения сильного поля (1) должно быть меньше времени
<2>
что отвечает времени обращения электрона на орбите возбужденного состояния и по порядку величины может для возбужденных состояний составлять фемтосекунды.
В нашем рассмотрении электрическое поле плоской волны накачки будем представлять в виде Е = (ЕХ,ЕУ, 0), где
Ех = Еех соя^^ — кг — (р), Еу = —Ееу зт(о;< — кг — у?). (3)
Частота ш и волновой вектор к связаны соотношением ш2 = ш\е + с2А;2, а = 47ге27Уе/те - квадрат электронной ленгмюровской частоты, Ne - плотность электронов. Далее ех и еу - компоненты вектора поляризации, удовлетворяющие условиям бх + еу = 1, > бу > 0. В поле накачки (3) скорость электрона осциллирует по за-
т/ЛТТТ Г О I п —— ( 1 I -г-, п / _ О ^ • ЯI - — У Т/_ П1Г\// «■/ Х-» »V / я\ л » _ — ТI.— г» /' /л " . л \
ь»^ — "'ПУ) • »£1 — «-Х» Л — л,*. — ¡1 <*£,']/ — —Ьу г £ члю^и/ь ~ — у),
где Уе = \еЕ\/теи> - амплитуда скорости осцилляций электрона.
Имея в виду рассмотрение роли величины напряженности электрического поля накачки в процессе генерации гармоник в плазме, образованной ионизацией возбужденных
атомов с электронами в возбужденных п-состояниях, целесообразно сравнение амплитуды осцилляций электрона с кулоновской единицей скорости Уг = Ze2/Ь.. В этой связи целесообразно записать условие Бете (1) в виде
(УЕ/Уг) > (12п/Пи)(г/8п2). (1а)
Отсюда в частности видно, что электрическое поле согласно (1) (или 1а) может быть сильным как тогда, когда скорость осцилляций электрона может оказаться и меньше кулоновской единицы скорости, так и в противоположном случае.
Поскольку энергия электрона на п-ом уровне водородоподобного атома имеет вид Еп = теУ^/п2, то естественно думать, что характерным скейлинговым параметром, характеризующим зависимость эффективности генерации гармоник, оказывается величина
X = пУЕ/У2. (4)
Основанием для этого является, в частности, тот факт, что согласно [5] нормированная на единицу функция распределения электронов плазмы, возникших в результате ионизации атомов с электронами п-состояния, при учете /-вырождения, имеет в системе координат, осциллирующей вместе с электронами со скоростью Не, следующий вид:
В основу кинетической теории тормозного излучения гармоник кладутся уравнения Максвелла и кинетическое уравнение Больцмана, с электрон-ионным интегралом Ландау, когда пренебрегается отношением масс электронов и ионов
_ гл 2тге4£е//ЛГеЛ д (УЧТ. - УГУ, д/ \
Ш =-^-Щ --Щ) ■ (6)
Ниже принимаем
« » = УеН = тЖ + к2)3/2 , (7)
где Л - кулоновский логарифм, 2ец = суммирование ведется по сортам
«
ионов.
= + 1)М _ ь _ (8)
ЕГ+1). ^ГЫ^})^ С05[(2„ + 1)И _ ь _ (9)
Здесь р = ус2 — б2 - максимальная степень линейной поляризации, р) и
иуу!^+1\п1 р) ~ нелинейные эффективные частоты столкновений, характеризующие
генерацию нечетных (2Я+ 1) гармоник и определяющиеся следующим набором формул
=+1,а'")|1=1' <1о)
,<Г«>(п,.Е,„) = 16^^-ЛДаН(2ЛГ + 1,„,„)|(=1. (11)
Здесь а = УгЬ/пУв, а, Б - дифференциальный оператор И — 1 — ^ 4-после применения которого принимается 6=1. Наконец,
+1
(1 ~ 2о2
+ (12)
2^(1 + 0(1 + 72 + 2а2) V1 + Р + 2°2 - I'
1 - рЧ 2а2
^ /^ул л, (13)
^/(1 - *)(1 -¿>2 + 2а2) " -Р2 + 2а2 ] ' где а = Ь/х и, например,
= & "2<"!)' = \/гт1(4'2 + "1}'
=/Ш(8<з -4<2 -+=+4'2 ~~
Приведенные здесь формулы, определяющие поле гармоник, позволяют, в частности, охарактеризовать эффективность генерации 2./У-|-1-ой гармоники с помощью отношения усредненного по времени квадрата напряженности электрического поля гармоники и усредненного по времени квадрата поля накачки.
(14)
2N + l
2
ШeAZefjNe^. т2еУ%ш
2
п6Ф[27У + 1, А].
V
(2ЛГ+1) _
(15)
^N(N + 1)
Здесь
/ ь=1
+
(16)
причем, степень круговой поляризации А поля накачки связана с р соотношением: А =
Формулы (15) и (16) позволяют ответить на вопрос о влиянии предварительного возбуждения атомов возникающей при ионизации плазмы в режиме Бете на эффективность генерации гармоник, которая, согласно (15), пропорциональна шестой степени главного квантового числа электронных уровней рассматриваемого нами водородопо-добного атома. Для дальнейшего обсуждения, в частности, важен явный вид функций Ф[2N 4- 1, пУд/Уг, А). Имея в виду их громоздкий аналитический вид, мы приведем в качестве иллюстрации набор некоторых графиков. На рисунках всюду х = пУе/У г • Согласно кривой а рис. 1 (случай А = 0), повторяющей при п — 1 результаты работы [5], максимальная эффективность достигается при пУе = Поскольку посто-
янная С(2Д,+1) ~ 1, то можно утверждать, что для реализации режима Бете в условиях максимальной эффективности генерации гармоник должно выполняться условие:
На кривых а — и рис. 1 приведены зависимости функций Ф[5, И Ф[7,х,А] от относительной величины поля накачки при различных значениях степени круговой поляризации. Эти рисунки в соответствии с формулами (15) и (16) позволяют определить абсолютную величину эффективности генерации гармоник. При этом стоит пользовать ся соотношением
С(2ЛГ+1) > (1/8п) х
(17)
Ф[5, х, 0]
0.0007 0.0005 0.0003 0.0001
1 i 3 4 5 6 7 х Ф[5, х, 0.3]
0.0005 0.0003 0.0001
0.0003 0.00025 0.0002 0.00015 0.0001 0.00005
Ф[5, х, 0.6]
1 2 3 4 5 6 7 Ф[5, х, 0.81
Ф[7, х, 0]
0.0001 0.00008 0.00006 0.00004 n mnrrç
1 2 3 4 5 6 7
Ф[7, х, 03]
Ф
0.00002 0.000015 0.00001 5х10'6
12 3 4 5 6 7
7, х, 0.6]
5x10"
5x10
5x10
-6
1 2 3 4 5 6 7 Ф[5, х, 0.9]
х 5x10
-6
12 3 4 5 6 7 Ф[7,х,0.8]
А «
5/1оУ
0.00002 0.000015 0.00001 5х10'6
3x10 -7
2.5x10
2x10
1.5x10 - ?
IxlO
5x10
12 3 4 5 6 7 Ф[7, х, 0.9]
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
Рис. 1. Изображены графики зависимости от х = uVe/Vz функций Ф(2./У + 1, пУе/Vz, А) для: а-N = 2, А = 0; б - N = 2, А = 0.3; e-N = 2, А = 0.6; г - N = 2, А — 0.8: д - N = 2, А = 0.9; е - N = 3, А = 0; ж - N = 3, А = 0.3; з - N = 3, А = 0.6; и - N = 3, А = 0.8; к -N = 3, А = 0.9.
2
пвФ[2ЛГ+1,^,А], (18)
которое отвечает возможности использования плотности числа электронов в атомных единицах, поскольку {К2¡те2) ~ 1.2 х 10~25 см3. Помимо этого в оценках можно принимать Л йз 5.
Из кривых а-д рис. 1, соответствующих степеням круговой поляризации А = 0; 0.3; 0.6; 0.8; 0.9, видно, что максимальное значение функции Ф(5, пУ^/Уг, А) убывает с ростом А соответственно ее значениям ~ 7- Ю-4; 6- Ю-4; 3-10~4; 8-10~5; 2.2-10~5.
Такое убывание отвечает естественному свойству отсутствия генерации гармоник в пределе круговой поляризации излучения накачки (А = 1). В то же время отме тим, что максимумы эффективности достигаются при рА/е ~ (1.5 — 1.7)1^, слабо изменяясь при изменении степени круговой поляризации. Соответственно из кривых е — и рис. 1, соответствующих тем же значениям степени круговой поляризации, что и кривые а — д рис. 1, т.е. А = 0; 0.3; 0.6; 0.8; 0.9, также видно, что максимальное значение функции Ф(7, пУе/У?, А) убывает с ростом А соответственно значениям Ю-4; 7 • Ю-5; 2 • Ю-5; 2.7 • 10~6; 4 • 10~7. Все эти максимальные значения эффективности генерации седьмой гармоники отвечают значениям пУв/Уг ~ 2.
1
0.6 0.2
1, А] Т1[5, 1, О]
0.2 0.6 1 Т][5, 2.65, А) т|[5, 2,65, О]
-А
1
0.6 0.2
0.2 0.6
л[5, 4, А] 4, О]
1,4 1 0.6 0.2
Т1[5, 8, А]
лЮГоГ
0.2 0.6 1
18, А] Г) [5, 18, О]
1
0.6 п о
Т1[7, 2, А] Ч[7, 2, 0]
\ 6
\
1
0.6 0.2
0.2 0.6
А1 О]
4, А] 1Р, 4, -
N
\
Л 1
0.6
0.2
0.2 0.6 7, б, А]
7, б, О]
\
0.2
0.6
т|Г7. 10. А] т\[7, 10, О]
1,4 1
0.6 0.2
Л
2 1.5 1
0.5
0.2 7, 18, А]
0.6
7, 18, О]
\ \ \
0.2
0.6
¡V
б зависимости
я(5 х .4.)
Рис. 2. Графики отношения эффективностей генерации гармоник 'ч. '—
77(0, х, 0)
от степени круговой поляризации А при: а - N = 2, х = 1; б - N = 2, х — 2.65; в - N = 2, х = 4; г - N = 2, х = 8; д - N = 2, х = 18; е - N = 3, ж = 2; ж - N = 3, ж = 4; з - N = 3, х = 6; ы - N = 3, х = 10/ к - N = 3, х = 18.
Рисунок 2 приведен для того, чтобы отчетливо представить зависимость эффективности генерации гармоник от степени круговой поляризации. Для этого на них изображены зависимости функций
представляющих собой отношение эффективностей генерации пятой гармоники и седьмой гармоники для характерных значений х = пУв/Уг, как функции степени круговой поляризации, отнесенные к соответствующим значениям при А — 0. Эти рисунки демонстрируют пороговый эффект. Так, если кривая а рис. 2, отвечающая (19), для пятой гармоники демонстрирует при х — 1 монотонное убывание с ростом степени круговой поляризации А, с отличной от нуля производной при А = 0, то в случае кривой б рис. 2 такая производная оказывается равной нулю. Этот рисунок отвечает значению = 2.65 и отвечает порогу перестройки зависимости от степени круговой поляризации. Именно при превышении напряженностью электрического поля накачки его порогового значения
функциональная зависимость выражения (19) от степени круговой поляризации перестает быть монотонной. С ростом А выражение (19) сначала возрастает, достигая при некотором Атах максимального значения, которое при различных х различно, а за тем сравнительно быстро убывает. Последнее хорошо видно из кривых б — д рис. 1. Такое явление теоретически [6] было рассмотрено для плазмы с максвелловским распределением электронов, а экспериментально оно было обнаружено в работе [7] при генерации гармоник в газе. В модели Бете ионизации плазмы из газа водородоподобных ионов, находящихся в основном состоянии, такое явление рассмотрено в работе [8] в случае генерации третьей гармоники. Здесь следует также подчеркнуть, что отношение Т](2М + 1, ж, Атах)/т]{2М 4-1, х, 0) может стать сравнительно большим, что видно из кривых г и д рис. 2, когда отношение (19) заметно превышает единицу. В то же время нужно подчеркнуть, что, как это отчетливо видно, например, из кривых г п д рис. 2, с ростом х (напряженности поля накачки) значение степени круговой поляризации, при которой (19) для пятой гармоники достигает максимума, уменьшается. Соответствующие зависимости Атах от х приведены на рис. 3 и 4, как для пятой, так и для
Ф(2АГ + 1 ,х,А) = д(2АГ + 1,х,Л) Ф(2ЛГ + 1,х,0) - »/(2ЛГ+1,х,0)
(19)
> (ты/|е|) х {Уг/п)х(11
(20)
седьмой гармоники. Можно полагать, что при недостаточной экспериментальной точности определения степени круговой поляризации поля накачки в случае поля весьма
■ОТ-Т^ГЧ^ГЪТЛ- л Л^^М^Т1 ЯкТ-ТТЧ- ГГ*=>Г*Т^ТТТТТТТТА*Г% Г\ГГ тлгттсг
Ащях ^тах
Рис. 3. График зависимости от х = пУЕ/У2 того значения степени круговой поляризации А, при котором эффективность генерации пятой гармоники достигает максимума.
Рис. 4. График зависимости от х — пУЕ/Уг того значения степени круговой поляризации А, при котором эффективность генерации седьмой гармоники достигает максимума.
Полученные зависимости эффективности генерации пятой и седьмой гармоник в плазме, возникающей при ионизации газа возбужденных атомов, подобны тем, которые были усмотрены при изучении генерации третьей гармоники в плазме, возникшей при ионизации газа водородоподобных атомов в основном состоянии [8]. Тот факт, что усредненная по /-состояниям функция распределения (5) при п = 1 совпадает с функцией распределения, использованной в работе [8], позволяет, во-первых, обобщить результаты этой работы на случай возбужденных состояний утверждением о наличии множителя п6 в формуле для эффективности генерации гармоник (23) работы [8], а во-вторых, заменой в этой формуле аргумента Ув/Уг на комбинацию гсУе/У^, отражающую роль возбужденного п-состояния.
Обобщение результатов работы [8] и настоящего сообщения позволяют в итоге сделать следующие выводы об оптимальных условиях когерентной тормозной генерации гармоник в плазме, возникающей в результате фотоионизации газа атомов, электроны которых находятся в возбужденных состояниях. Во-первых, такие условия реализуются
тогда, когда энергия осцилляций электрона в поле накачки по порядку величины сравнивается с энергией электрона на том возбужденном состоянии, с которого электрон ионизовался при образовании плазмы. Во-вторых, именно в области значений таких энергий осцилляций электрона возникает пороговое явление бифуркации. Дело в том, что при меньших энергиях максимум эффективности генерации гармоник реализуется для линейно поляризованной волны накачки. При больших энергиях электрона, когда напряженность электрического поля превышает пороговое значение (20), можно гово рить о бифуркации, когда одно и то же значение эффективности генерации гармоник отвечает двум различным значениям степени круговой поляризации поля накачки. При этом соответственно максимум эффективности имеет место для поля накачки с конечным значением степени круговой поляризации накачки. Иными словами, говоря об оптимальных условиях генерации гармоник в зависимости от поляризации поля накачки следует различать случай не очень сильных полей накачки (Е < Е^), когда наиболее эффективно генерируются гармоники линейно поляризованной накачкой, и случай до статочно сильных полей накачки (Е > Е^), когда наиболее эффективным оказывается воздействие поля накачки с конечным значением степени круговой поляризации.
При обсуждении рассмотренных теоретических положений в условиях возможных экспериментов полезно записать выражение для плотности потока энергии излучения накачки, отвечающей левой части формулы (1), в следующем виде:
Чв = ТШтг * = ^ *137 *10" Вт!см*'
где аг = Я2/(ше^е2) - кулоновская единица длины. Соответственно для плотности потока энергии излучения накачки, являющейся источником генерации гармоник, можно записать следующее выражение:
с!г (пУе\2 Пш\2 г г2 (пУЕ\2 (Пш\2 ло 13 2
ч = тг~ X ——г- = — —— —Г7 X 4.8 х 10" Вт см .
1024тг V Уг ) \ 12 ) п4а% п2 \ У7 ) \1еУ) '
Поскольку
ЧВ ы \ V / у 1СК у
то, имея в виду, что согласно рис. 1, максимальная эффективность генерации гармоник реализуется при х = пУЕ/Уг ~ 2, то такая максимальная эффективность при режиме ионизации Бете возникает тогда, когда п6 > ZA.
Наконец отметим, что, если имеются обстоятельства, которые нарушают в реальных атомах /-вырождение, то в соответствии с результатами работ [2, 3, 10 - 12] эффективность генерании гармоник может оказаться при прочих равных условиях более высокой, чем это получено в настоящей работе.
Работа частично поддержана РФФИ (проект N 02-02-16078), Федеральной программой поддержки ведущих научных школ (грант НШ-1385.2003.2) и программой ИНТАС, грант 03-51-5037.
ЛИТЕРАТУРА
[1] F е d о t о v А. V., N a u m о v A. N., Silin V. Р., et al. Phys. Lett., A271, 407 (2000).
[2] С и л и н В. П. ЖЭТФ, 117, N 5, 926 (2000).
[3] Silin V. P. Physics Letters, А286, 190 (2001).
[4] В е t h е Н. Quantunmechanik der Ein-und Zwei-Electronenprobleme, Handbuch Der Physik, Zweite Auflage, 24, Ersta Teil (1933).
[5] С и л и н В. П., Силин П. В. Квантовая электроника, 33(10), 897 (2003).
[6] Овчинников К. Н., Силин В. П. Квантовал электроника, 29(2), 145 (1999).
[7] Bar nett N. Н., К а п С., and С о г k и ш Р. В. Phys. Rev., А51, R3418 (1995).
[8] Вагин К. Ю., О в ч и н н и к о в К. Н, С и л и н В. II. Квантовая электроника, 34(3), 223 (2004).
[9] Р о d о 1 s к у В. and Р a u 1 i n g L. Phys. Rev., 34, 109 (1929).
[10] Силин В. П. ЖЭТФ, 121(2), 291 (2002).
[11] Silin V. P. and S i 1 i n P. V. Proc. SPIE-The International Society for Optical Engineering, 5228, 455 (2003).
[12] Силин В. П., С и л и н П. В. Физика плазмы, 29(2), 137 (2003).
Поступила в редакцию 20 ноября 2004 г.
