CC BY
14
УДК 953.951
БИФУРКАЦИЯ ПОЛНОЙ КРУГОВОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ ПОЛЯ ПЯТОЙ ГАРМОНИКИ ПОЛЯ НАКАЧКИ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ В ПЛАЗМЕ, ОБРАЗУЕМОЙ ИОНИЗАЦИЕЙ ГАЗА ВОЗБУЖДЕННЫХ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ
В. П. Силин, П. В. Силин
В рамках модели ионизации Бете рассмотрена зависимость степени круговой поляризации пятой гармоники поля накачки, генерируемой благодаря тормозному излучению, от величины напряженности электрического поля накачки, от степени его круговой поляризации и от главного квантового числа возбужденных состояний водородоподобных атомов газа, ионизируемого полем накачки. Обнаружено явление бифуркации полной круговой поляризации этой гармоники, что подтверждает высказанную нами ранее гипотезу об общности такого явления бифуркации для гармоник, генерируемых благодаря тормозному излучению в поле накачки, когда электроны плазмы осциллируют в таком поле. Ключевые слова: бифуркация, степень круговой поляризации, гармоники, возбужденные состояния водородоподобного атома.
Генерация гармоник излучения поля накачки в плазме изучается в течение многих лет [1]. В настоящем сообщении на основании модели тормозного излучения гармоник в поле накачки и модели ионизации Бете (см., например, [2]) мы сосредоточим свое внимание на степени круговой поляризации поля излучения гармоник. При этом, памятуя об ограниченной возможности публикации рисунков, ограничимся рассмотрением свойств пятой гармоники. Здесь мы установим нелинейные зависимости поля такой
гармоники от поляризации поля накачки и от величины напряженности электрического поля накачки. При этом наиболее интересным представляется возникающее при этом явление бифуркации полной круговой поляризации гармоник. Такое явление было установлено нами ранее для третьей гармоники [2, 3]. При этом была высказана гипотеза об общности такого явления при тормозной генерации гармоник. Настоящая статья подтверждает эту гипотезу.
Остановимся на том, в чем заключается явление бифуркации полной круговой поляризации гармоник. Напомним, что если степень круговой поляризации поля накачки А равна +1 или -1, то величина Е напряженности электрического поля с течением времени не меняется и генерация гармоник в дипольном приближении отсутствует. Однако уже при малом отличии А от +1 или -1 генерация гармоник становится возможной, степень их круговой поляризации оказывается мало отличающейся от -|-1 или — 1. В этом смысле значения степени круговой поляризации накачки А = ±1 являются такими значениями, которые представляют собой пределы генерации гармоник. В таких пределах поле гармоник стремится к полной круговой поляризации, но и одновременно стремится к нулю по интенсивности. При малых интенсивностях поля накачки степень круговой поляризации гармоники монотонно изменяется в зависимости от изменения степени круговой поляризации накачки и гармоника, строго говоря, нигде не становится полностью поляризованной по кругу. Однако это имеет место лишь при малых интенсивностях поля накачки. С его ростом положение меняется. При превышении некоторого порогового значения поля накачки -Е^.рог, обусловленного нелинейной при родой взаимодействия поля накачки с плазмой, картина качественно меняется. Именно, в работах [2, 3] было показано, что при превышении порогового значения интенсив ности напряженности электрического поля накачки генерируемая третья гармоника может быть полностью поляризованной по кругу для определенных значений степени круговой поляризации при —1 < А < +1- При этом была высказана гипотеза об общности такого явления и для случая генерации других гармоник. Такое явление получило название бифуркации степени полной круговой поляризации. В работах [2, 3] для третьей гармоники было получено следующее выражение для порогового поля бифуркации Е$рЫ = 1.8445та;Уг(|е|п)-1, ей т - заряд и масса электрона, п - главное квантовое число возбужденного состояния водородоподобного атома газа, ионизацией которого получается плазма, У2 = Ze2/Ь, - кулоновская единица скорости [4], ^ - зарядовое число ядра атома. Соответствующий порог для пятой гармоники установлен ниже.
Полностью ионизованную плазму будем рассматривать в поле накачки с напряженностью электромагнитного поля Е — (ЕХ,ЕУ, 0):
Ех — ехЕсо$,(и)1 — кг + Еу — —еуЕ- Ь + V7)- (1)
Здесь Е - действительная амплитуда напряженности электрического поля накачки, у? - фаза такого поля, ш и к его частота и волновой вектор, связанные соотношением ш2 = и>1е + с2к2, где ьо1,е = ^е2Nе/т - ленгмюровская частота электронов, а _/Уе - плотность числа электронов плазмы. Далее еа (а = х,у)- компоненты поляризационного вектора, удовлетворяющие соотношению е2 + е2 = 1.
Поскольку поляризационный тензор такого поля имеет вид [5]
К-ав —
2
е2
1 [ 1 + 6, 6 - «6 2 V 6 + «6» 1-6
(2)
то для параметров Стокса имеем = 0, — ~2ехеу, = е2х~ е2- Ниже нас будут интересовать зависимости степени круговой поляризации 5-й гармоники от степени круговой поляризации поля основной гармоники (1), то есть поля накачки, А = —2ехеу. В общем случае гармоник степень их круговой поляризации А[2И + 1] связана с их параметром Стокса соотношением = А[2М + 1]. Здесь 2N + 1 — номер нечетной гармони-
ки, генерируемой тормозным излучением в плазме полем накачки в нерелятивистском (дипольном) приближении.
Из уравнения (9) работы [2] для электромагнитного поля (2N + 1)-й гармоники в предположении малости эффективных частот столкновений (см. ниже) по сравнению с частотой поля накачки можно получить:
и—(з) - +-ь))- (4)
где использованы следующие обозначения для нелинейных комплексных проводимостей
" ти>2 ' " то;2 ' (5]
При этом нелинейные эффективные частоты столкновений определяются формулами
(2ЛГ+1) =
(2JV+1) _ 16e4ZiVeA
уу
-^r^w+^A^. го
Здесь использованы обозначения Л - кулоновский логарифм, р = v^l — А2 - максимальная степень линейной поляризации поля накачки, Ve = \еЕ\/тш - амплитуда осцилляции скорости электрона в поле накачки. Имея в виду /-вырождение, для one ратора D имеем следующее выражение D = 1 — ^ + | После применения этого оператора в выражениях (6) и (7) к функциям и а^-) принимается 6=1. Явные выражения этих функций q^[2N + 1, а, р] и a(~)[2./V + 1, a, р] приведены в Приложении 1 для пятой (N = 2) гармоники. При этом a = (V^b/V^n).
Приведенные выше формулы позволяют записать выражение для обсуждаемой ниже степени круговой поляризации А[5,х,А] пятой гармоники, причем х = uVe/Vz безразмерная напряженность электрического поля накачки:
аы = 2В^а]г£ь'х'?"1Х,р] у (8)
G2[5,x,p] + Н2[5,х,р\
H[2N + 1 ,х,р} = + 1, a, р)-±~3
G[2N + 1 ,x,p] = ]J l-^Da(~\2N + 1, a,
(9)
(10)
где используется связь р = (1 — Л2)1/4. Аналитическое выражение для формулы (8) громоздко. Поэтому в следующем разделе мы проиллюстрируем ее графиками.
На рис. 1 для иллюстрации качественных закономерностей приведена трехмерная проекция функции А[5,х, А] = А[5]. На этом рисунке можно усмотреть, что в области малых значений аргумента х функция А[5] плавно изменяется с изменением аргумента А во всем интервале его изменения. Напротив, при немалых значениях аргумента х функция Л[5] резко меняет свой знак в области малых значений аргумента А, резко изменяется от приблизительно своего минимального значения А[5] ~ —1, до максимального А[5] ~ +1. На рис. 2 приведена дополняющая рис. 1 трехмерная проекция А[5,х, А]. Для того, чтобы легче было представить зависимость степеней круговой поляризации пятой гармоники от степени круговой поляризации и от безразмерной амплитуды напряженности электрического поля накачки х, приведен рис. 3. На рис. 3
изображены пять кривых зависимости пятой гармоники от степени круговой поляризации накачки А. При этом точечная кривая отвечает значению безразмерной амплитуды напряженности электрического поля накачки х = 1, когда функция А\Ъ,х,А\ монотонно и плавно нарастает от минимального значения —1 до максимального значения +1. Вторая сплошная кривая отвечает значению пороговой напряженности безразмерного электрического поля х(5^И,ро1) = 2.25. Это значение отвечает порогу, который раз деляет кривой Л[5, 2.25, А] небифуркационные и бифуркационные области кривых, то есть области с монотонной зависимостью, меняющейся от Л = —1 до Л = +1 , от областей кривых с немонотонной зависимостью от степени круговой поляризации поля накачки. При этом в областях немонотонной зависимости приведены три кривые: кривая длинных пунктиров, отвечающая х — 3.5, кривая коротких пунктиров, отвечающая х = 5, и штрих-пунктирная кривая, отвечающая х = 10. Для всех них характерно то, что значение функции Л[5, равное —1, достигается не только при А = —1, но и при большем отрицательном значении, зависящем от напряженности электрического поля накачки. Соответственно этим трем кривым значение функции А[5,х,А], равное единице, достигается не только при А = +1, но и при меньшем положительном значении, также зависящем от напряженности электрического поля накачки. Отметим, что два новых значения степени круговой поляризации накачки, положительное и отрица
тельное, при которых при данном х реализуется полная круговая поляризация пятой гармоники, равны по абсолютной величине.
Обратим здесь внимание на то, что пороговая кривая, как и немонотонные кривые в широкой области значений степени круговой поляризации накачки, описывают зависимость, которая по величине при А > 0 близка к единице, а при А < 0 близка к минус единице. Иными словами в таких широких областях круговая поляризация пятой гармоники близка к полной поляризации по кругу. С ростом напряженности электрического поля накачки возникают области значений А, соответственно при положительных и отрицательных значениях степени круговой поляризации накачки, в которых на фоне близости поляризации к полностью круговой возникает отличие поляризации пятой гармоники от полной круговой. Для достаточно больших значений безразмерной напряженности электрического поля такое отличие становится вполне заметным. Наконец, как это видно из рис. 3, при достаточно больших значениях напряженности поля накачки сужается область значений степени круговой поляризации накачки, в которой степень круговой поляризации пятой гармоники меняется от —1 к +1. Это свойство резкого изменения круговой поляризации было заметно и на рис. 1.
Из рис. 1 и 2, а также из рис. 3 можно понять, что также как при значении х(5, Иг,ро1) = 2.25, отвечающем порогу бифуркации пятой гармоники, реализующемся при А = ±1, также и значения А[Ь,х,А\ = ±1, отвечающие полной круговой
Рис. 2.
А[5,х,А]
Рис. 3. .
А(А[5]=1)
1
0.75 0.5 0.25
-0.25 -0.5 -0.75 -1
Т"
\
_1 х
—___8- ——ПО
/
Рис. 4.
поляризации гармоник выше порога, реализуются при различных значениях безразмерного электрического поля накачки и соответственно степени круговой поляризации поля накачки. Однако эти значения связаны между собой закономерностями, которые иллюстрируют кривые рис. 4. На этом рисунке приведены кривые длинных пунктиров, отвечающие полной круговой поляризации пятой гармоники. При этом две параллельные прямые, отвечающие А — +1 и — 1, соответствуют предельным значениям А, к
которым стремятся все гармоники, стремясь по интенсивности к нулю. Точки двух других кривых отвечают равным единице значениям степени круговой поляризации гармоник, умноженной на БгдпА. Мы видим, что с ростом безразмерного электрического поля вблизи пороговых значений сравнительно быстро убывает по абсолютной величине соответствующая степень круговой поляризации накачки, а при последую щем возрастании х такое убывание становится весьма медленным. Для того, чтобы составилось мнение об интенсивности гармоник, генерируемых выше порога бифуркации и отвечающих полной круговой поляризации при А < 1, рассмотрим эффективность их генерации Под эффективностью генерации гармоник понимается отношение
усредненных по периоду квадратов напряженности электрического поля гармоники к соответствующему квадрату поля накачки. Из уравнений (3)-(7) и (9), (10) следует:
(ш+1) = (27У + I)2 /4е4тЛп3\2 71 +1)2 \ т2У|ш ) Х
х [#2(2ЛГ + 1, х, у/Г^А*) + <32(2ЛГ + 1, х, </Т^)]. (11)
В табл. 1 приведены в условиях А[5,х, А] — 1 значения функции Ф(5,х, Л), которые в соответствии с (11) определены формулой
Ф(5, х, А) = ^[Я2(5, х, + С2(5, х, </Т=А?)]. (12)
Для оценок величины полученных выражений запишем следующее соотношение:
/4е4г^Ап3\2 _ /Лп3ЛГЛ2 / 4Д3 \2 _ V ) ~ \ г2и ) \т2е2)
п6 {2 • 10х* сек'1 \3 ( \2 , йч2
= II (-*-) (нет) л <Ы5 х 10 ' • <13>
В частности, при ш — 2 • 1015 сек-1, ЛГе = 1017 см"3, п = 5, £ = 1, Л = 6 это выражение приближенно равно 0.73 • Ю-6. Следует напомнить, что проведенное рассмотрение отвечает модели ионизации Бете, когда согласно [2, 3] плотность потока энергии накачки должна удовлетворять неравенству
Таблица 1
Л[5,ж, А] А X Ф(5,х,А) х 106
1 1 2.25 0
1 0.975 2.27 0.012
1 0.97 2.28 0.018
1 0.96 2.29 0.031
1 0.95 2.3 0.049
1 0.94 2.31 0.070
1 0.91 2.35 0.153
1 0.875 2.4 0.284
1 0.82 2.5 0.539
1 0.72 2.7 1.099
1 0.60 3 1.74
1 0.53 3.25 1.923
1 0.45 3.5 2.182
1 0.40 3.75 2.104
1 0.358 4 1.959
1 0.24 5 1.258
1 0.137 7 0.422
1 0.110 8 0.252
1 0.092 9 0.156
1 0.075 10 0.099
76
д > дв = —■ ■ 1.37- 1014 Вт/см2. (14)
п8 4 '
В частности, при ^ = 1 и п = 5 имеем дв = 3.5-108 Вт/см2. Приведем также выражения пороговых значений потока энергии излучения накачки, отвечающих возникновению бифуркации полной круговой поляризации гармоник соответственно для третьей и пятой гармоник:
«££. 1.7* 10» Вт/с**, 10» Вт/см>, (15)
В частности, при Тгш = 1 эВ, Z = 1, п = 5 имеем & 1013 Вт/см2. Очевидно, что это значение весьма превышает дв, то есть отвечает неравенству Бете (14).
Дадим теперь численную оценку плотности потока энергии пятой гармоники. Функция Ф[5, х, Л] достигает максимума при превышении порога бифуркации по плотности потока энергии накачки примерно в 2.4 раза, что составляет примерно 2.4-1013 Вт/смг. Используя приведенную выше оценку выражения (13) и величину Фтах[5, х, Л] « 0.2 х Ю-5, получаем для эффективности генерации пятой гармоники значение 9.75 - Ю-10, а для плотности потока энергии пятой гармоники находим ~ 950 Вт/см2.
Для сравнения приведем соответствующую оценку для третьей гармоники. Поскольку функция Ф[3, я,Л] достигает согласно Приложению 2 максимума при превышении порога бифуркации по плотности потока энергии примерно в 1.55 раза, то соответствующая такому максимуму плотность потока энергии накачки составляет при используемых выше параметрах примерно 4.4 • 1012 Вт/см2. Поскольку Фто:г[3, я, Л] согласно табл. 2 равно примерно 3.4 • Ю-4, и в соответствии с приведенной выше оценкой выражения (13) (0.73 ■ Ю-6), то для эффективности генерации третьей гармоники находим значение 2 • Ю-8. Соответственно для плотности потока энергии третьей гармоники находим ~ 9 • 103 Вт/см2.
Таблица 2
Л[3, х, А] Л X Ф(3,х,Л) х 104
1 1 1.8445 0
1 0.97 1.89 0.553
1 0.945 1.9 1.011
1 0.905 1.95 1.620
1 0.865 2 2.141
1 0.67 2.3 3.427
1 0.57 2.5 3.413
1 0.42 3 2.404
1 0.26 4 0.990
1 0.17 5 0.420
1 0.13 6 0.197
1 0.08 8 0.053
1 0.05 10 0.018
Подводя итог всему вышеизложенному, прежде всего укажем, что для пятой гармоники теоретически установлено явление бифуркации полной круговой поляризации этой гармоники, что подтверждает гипотезу работ [2,3] об общности такого явления
для гармоник, генерируемых благодаря тормозному излучению в плазме. Продемонстрирована скейлинговая зависимость поляризации гармоник от безразмерного поля х = пУв/Уг, что определяет зависимость степени круговой поляризации гармоник от главного квантового числа электронов водородоподобных атомов газа, ионизацией которых образуется плазма. При этом благодаря электронным столкновениям проявление зависимости от п прекращается для импульсов с длительностью большей тп ~ 2-(]Уе/1017 сл«-3)-1(£2п-3) х 108 сек, то есть при Я = 1,п = 5иЛГе = 10,7слГ3 имеем тп ~ 1.6 х 10~п сек. В заключение подчеркнем здесь тот установленный нами факт, что, начиная от околопороговой области значений плотности потока энергии накачки и при больших значениях, круговая поляризация гармоник близка к полной вне области весьма малых значений степени круговой поляризации накачки. При этом область таких малых значений степени круговой поляризации поля накачки убывает с ростом плотности потока энергии накачки. Это свойство весьма характерно для тормозного механизма генерации гармоник.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант N 05-02-16897), программы ведущих научных школ Российской Федерации (грант N НШ-1385.2003.2) и ИНТАС (грант N 05-51-5037).
Приложение 1
Приведем здесь значение функций а ,а,А], )[5, а, А], полученные в работе [6]
а
Г_ 6 46 /
5, ~,р = — I
X хр \
2 5
8
+
1662
5 р2 15а:2р:
+
/ 2 8 1662 \ I
V 15 ~ bp2 ~ \Ъх2р2) V
2Ъ2 + х2 - х2р2 2 Ь2 + х2 + х2р2
+
+
VI + P
f23/V
а
х
х2(1 + р2) / 2р2
2ь2 ' У 1 + Р2
х f arctgi
lx2(l + p2) / 2р2
15/?3(1 — р2) аь2р2 16 ь2 16 б4
2Ъ2 ' У 1 +р2 Г86., 2ч / „ , 8Ъ2\
+
/1 16 2 Л V 6 + 15р4 ~ 5р2)
66 /262 + Д2 + х2р2 ~х\2Ь2 + х2-х2р2
(4 - 2р2 - р<-
1662 1664\ 26 /262 + я2 - х2р2 / п2 Л 4 8062 АЬ2р2 4864\1 + ^Г + ~ 7 \/ 2Ь* + Х2 + Х2Р2 ~ 2Р +
+
+x/2vTT^(-32 + 20,2 + 9Р*)Е ^arctg{W?) ~ где Е[<р,к] и F[ip,k] -элиптические функции, определенные согласно [7].
Приложение 2
Здесь для возможности сравнения полученных результатов с найденными нами ранее результатами для третьей гармоники приведена табл. 2 значений функции Ф(3,х, А), полученных на основании расчетов работы [2]. Подобно формуле (12),
Ф(3, х, А) = 1-[Н\3, х, Vl^Ä?) + G2( 3, х, Vl^Ä?)].
ЛИТЕРАТУРА
[1] С и л и н В. П. ЖЭТФ, 47, 2254 (1964).
[2] С и л и н В. П., Силин П. В. Квантовая электроника, 35 (6), 531 (2005).
[3] С и л и н В. П., Силин П. В. Украинский физический журнал, 50, (8А)А10 (2005).
[4] JI а н д а у JL Д., JI и ф ш и ц Е. М. Квантовая механика, нерелятивистская теория. М., ГИФМЛ, 1963.
[5] Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теория поля. М., Наука, 1973.
[6] С и л и н В. П., Силин П. В. Квантовая электроника, 35 (2), 157 (2005).
[7] Г р а д ш т е й н И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., ГИФМЛ, 1962.
Поступила в редакцию 26 декабря 2005 г.
