О числе высоких гармоник, генерируемых в лазерной плазме Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.9.15

О ЧИСЛЕ ВЫСОКИХ ГАРМОНИК, ГЕНЕРИРУЕМЫХ В

ЛАЗЕРНОЙ ПЛАЗМЕ

Когерентное тормозное излучение определяет возможность наблюдения в лазерной плазме большого числа нечетных гармоник излучения накачки [1]. Актуальной пробле мой является установление тех физических причин, которые определяют максимальное число 2lmax + 1 генерируемых гармоник. Это, в частности, существенно для понимания возможностей создания источников когерентного жесткого ультрафиолетового и рентгеновского излучения [2]. В настоящее время известен ряд закономерностей обрывания спектра высоких гармоник: 1) при lmax ~ ve/vt [1], где ve - амплитуда скорости когерентных колебаний электрона в поле плоскополяризованной накачки; 2) При lmax ^ А , где А - степень круговой поляризации накачки; 3) lmax ~ mv\/Ze2u при ve < Ze2/h, где h - постоянная Планка, Z - кратность ионизации ионов; 4) lmax ~ mv^/fiui при ve > Ze2/h [3, 4]. Последние две закономерности связаны с характерным интервалом прицельных параметров столкновений электронов с ионами, определяющих тормозное излучение.

Как будет показано ниже, имеется еще одна причина, ограничивающая число высоких гармоник при их когерентной тормозной генерации в лазерной плазме. Такой причиной является слабый релятивизм осцилляций электронов. Будем считать электромагнитное поле накачки эллиптически поляризованным Е = (ЕХ,ЕУ, 0), где

В. П. Силин

Установлена новая причина ограничения числа гармоник поля накачки, генерируемых в лазерной плазме благодаря эффекту когерентного тормозного излучения, которая обусловлена релятивизмом осцилляций электронов в поле накачки.

Ех = ехЕ cos(ut — kz), Еу = — eyEs'm(u)t — kz).

При этом е2х + еу = 1, и принимаем ех > еу > 0. Нас ниже будет интересовать предел малой степени круговой поляризации А = — 2ехеу, чему отвечает малость еу. При этом максимальная степень линейной поляризации р2 — е2 — е2 = у/1 — А2 мало отличается от единицы.

В поле (1) с учетом слабого релятивизма, когда

vE = \е\Е/тш « с, (2)

для скорости U£ колебаний электрона ue = (UEx,UEy,UEz) имеем (ср. [5])

uEx = -vec-x s'm(u>t - kz),

uev = —VEeycos(u>t — kz), v2 k

uEz = —f-p2 cos[2(a>i - kz)]. (3)

Соответственно для координат осцилляций электрона имеем (ср. [5])

Хе = —ех cos(wt — kz), ш

Ye -- —^-eysin(a;i — kz), ш

ZE = ~V^P2 sin[2(u;< -kz)]. (4)

В бесстолкновительном приближении функция распределения электронов может быть записана в виде

/(v, г, t) = F(x - ХЕ,у — Ye, z — ZE, vx - uEx, vy - uEy, v2 - uEz- (5)

В частном случае холодной плазмы эта формула приводит к следующему выражению для плотности тока:

jo = uEene(x - ХЕ,У - Ye,z - ZE), (6)

где ne - плотность числа электронов плазмы. Для пространственно неоднородной плазмы зависимость от времени ХЕ, Ye, Ze является причиной генерации гармоник. Однако не это является предметом рассмотрения настоящего сообщения.

Для обсуждения влияния слабого релятивизма на когерентное тормозное излучение гармоник будем пренебрегать пространственной неоднородностью плазмы (ne = const).

Тогда в первом столкновительном приближении, считая кратность ионизации высокой и пренебрегая электрон-электронными столкновениями, для поправки к плотности электронного тока холодной плазмы получаем (ср. [3])

д)

Ы

1 = — епеи(Е)иЕ

уе

Здесь

и(Е) =

уДиЕ %^/2'кZeAneK

ГП2Уе

1<

(8)

эффективная частота столкновений электронов с ионами в сильном поле накачки, когда выполнено условие

уТ = \/квТ/гп < ьЕ

(9)

малости тепловой скорости электронов Ут по сравнению с амплитудои скорости осцил-ляций электронов в поле накачки. Поскольку

ош

VI

(10)

то благодаря учету релятивизма знаменатель формулы (7) не обращается в ноль даже в пределе плоской поляризации, когда р2 — 1. С другой стороны, влияние слабого ре лятивизма в соотношении (10) проявляется только тогда, когда поляризация накачки близка к плоской, то есть при

И<1. (11)

Соответственно этому можно использовать следующее приближенное соотношение (ср. [3, 4]):

.2 3/2

Здесь

"Е

2и2

1

е

= ^^(Ре//) + 2 £ АГЫ/}) С08[2/И - **)].

(1-^//С08[2М-Ь)])з/2

г*-»

(3/2)/ 2

/=1

(12)

Ам(р2 ) _ Г(3/2 - о ' Г' (14)

где Г(г) - функция Эйлера, а - функция Лежандра. При условии (11) окончание

спектра гармоник отвечает асимптотике

* ^ ехр(-/|А.„\). (15)

Если теперь записать выражение (7) для поперечных (х,у) гармоник (ср. [3, 4]):

^ = + 1)И - кг)},

^ = + 1)И " Ь)], (16)

/=о

где

- - ^(А/И.

а =• у 47ге2пе/т - электронная ленгмюровская частота, то в соответствии с (15) спектр гармоник экспоненциально обрывается при

I2 ~ —--. (18)

В частности, в пределе А —> 0 имеем

Здесь следует иметь в виду, что учет теплового движения оказывается пренебрежимым при условии (ср. [4])

Щ » Ч- (20)

8 ш2

Принимая для оценки (ы/к) ~ с, можно утверждать, что слабый релятивизм приводит к обрыванию спектра гармоник при значениях I ~ с/уЕ. Это происходит при не слишком большой интенсивности накачки, когда

> 8итс. (21)

Далее следует указать, что релятивизм движения электронов является причиной генерации четных гармоник излучения.-При этом в дополнение к уравнениям (16) возникае т обусловленная тормозным эффектом продольная компонента электрического тока

оо

+ £ „(Е, 1)[А^\Р1П) + А?+[2\р1„)} cos[2l(шt - кг)}}. (22)

1=1

Максимум эффективности генерации в плазме четных гармоник может сравниваться с эффективностью генерации нечетных гармоник. Однако граничные условия на поверхности плазмы приводят, вообще говоря, к определенным препятствиям в трансформа ции продольного поля плазмы в электромагнитное излучение в вакууме.

В заключение приведем выражение для плотности потока энергии нечетных гармоник при учете теплового движения электронов (ср. [4]):

= 9о

2/ + 1

2 Г 30Г рг;туП2 21(1 + 1) ] \ 4(2/ + 1) V ьЕ ) I

где

= о п^вТс,

2 \ULeJ

4х/2^£е4пеЛ

37712 Уу

лг2

Мр\и,М) = А I ¿у^е-УЦр^у),

а - функция Бесселя мнимого аргумента.

Итак, рассмотрено влияние слабого релятивизма на тормозное излучение гармо ник греющего излучения в плазме. Установлена новая релятивистская причина обрыва

спектра высоких гармоник. Установлена когерентная тормозная генерация четных гармоник.

Работа выполнена при государственной поддержке ведущих научных школ (Ы 96-15-96750) и при поддержке РФФИ (проект N 96-02-17002).

ЛИТЕРАТУРА

[1] С и л и н В. П. ЖЭТФ, 47, в. 6 (12), 2254 (1964).

[2] Г л а д к о в С. М., К о р о т е е в Н. И. УФН, 160, 105 (1990).

[3] С и л и н В. П. Письма в ЖЭТФ, 67 (5), 313 (1998).

[4] С и л и н В. П. ЖЭТФ, 113, (1998), в печати.

[5] Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теория поля, М., Наука, 1973.

Поступила в редакцию 24 июня 1998 г.