Об оптимальном граничном управлении, производимом смещением процесса вынужденных колебаний на одном конце струны при свободном втором Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №4_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.947.44

М.Ф.Абдукаримов

ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ГРАНИЧНОМ УПРАВЛЕНИИ, ПРОИЗВОДИМОМ СМЕЩЕНИЕМ ПРОЦЕССА ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ НА ОДНОМ КОНЦЕ СТРУНЫ ПРИ СВОБОДНОМ ВТОРОМ

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Н.Раджабовым 21.12.2013 г.)

В работе рассмотрена задача оптимального граничного управления процессом, описываемым уравнением вынужденных колебаний на одном конце струны при свободном втором. Для любого промежутка времени T > где l - длина струны, найдена функция ^0переводящая систему колебаний из начального состояния в финальное и доставляющая минимум интегралу граничной энергии.

Ключевые слова: оптимальное граничное управление - вынужденные колебания - интеграл граничной энергии.

1. В данной работе представлено в явном аналитическом виде оптимальное граничное управление, производимое смещением на одном конце струны при свободном втором, которое за произвольный достаточно большой промежуток времени [0, Т] переводит процесс вынужденных колебаний струны из произвольно заданного начального состояния в произвольно заданное финальное состояние. Построение этого оптимального граничного управления основано на минимизации интеграла граничной энергии.

Все рассмотрения ведутся в терминах обобщённого решения из класса1 ц), = (0 < х < I) х (0 < I < Т) неоднородного волнового уравнения

и (x, о - ихх (х 0 = /(х, 0- (1)

1

Итак, в терминах обобщённого решения и(х, г) е Ц) смешанной задачи для уравнения (1) с начальными условиями

и(х, 0) = р(х), и (х, 0) = х) при 0 < х < I (2)

и с граничными условиями

и(0, г) = ц(г\ их (I, г) = 0 при о < г < т, (3)

Адрес для корреспонденции: Абдукаримов Махмадсалим Файзуллоевич. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Рудаки,17, Таджикский национальный университет. E-mail: mahmadsalim_86@mail.ru. :Этот класс впервые был введён в работе [1]. Его определение приведено, например, в работе [2].

в которой выполнено условие согласования /(0) = <(0), рассмотрим задачу о переводе при Т > 21 с помощью граничного управления и(0, Х) = /(Х) процесса вынужденных колебаний струны из начального состояния (2) в финальное состояние

и(х,Т) = <(х), щ(х,Т) = щ(х) при 0 < х < I. (4)

1

Из принадлежности обобщённого решения и(х,Х) классу Ж2 (О) вытекает, что функции <( х), щ( х), < (х), щ (х) и / (х, Х) принадлежат классам

<(х) еЖ>,/], щ(х) е ^[0,/], <(х) еЖ>,/], щ(х) е ^[0,/],

/(х,Х) е ), (5)

а граничная функция принадлежит классу

/(Х) еЖ>, Т] (6)

и выполнены условия согласования /(0) = ((0), /л(Т) = <(0).

1

Определение 1. Обобщённым решением из класса Ж2 (О-) смешанной задачи (1)-(3), подчинённой требованиям (5) и (6), назовём функцию и( х, Х) из этого класса, удовлетворяющую тождеству

I Т I

' +

11 и( х, х )[ФЙ (х, х) - Ф „ (х, г)]йхйг +1 [<( х)ФХ (х, 0) - щ( х)Ф( х, 0)]<& -

0 0 0

I Т

| /(Х)Ф (0, Х)йХ -11 /(х, Х)Ф(х, Х)сЫсИ = 0 (7)

— ■ /а! и!/ III 1 /(1 —

х

0 0 0

для произвольной функции Ф(х, Х) из класса С2 (О), подчинённой условиям Ф(0, Х) = 0, Фх (I, Х) = 0 при 0 < ? < Т и условиям Ф(х, Т) = 0, Ф{ (х, Т) = 0 при 0 < х < I.

Из тождества (7) и из схемы рассуждений, изложенной в работе [3, гл.2, §9], вытекает следующее

Утверждение 1. Для любого Т > 0 смешанная задача (1)-(3) может иметь только одно

1

обобщённое решение из класса Ж2(О ).

Определение 2. Решением изучаемой задачи граничного управления назавём такую функцию

1 1 /(Х) еЖ2[0, Т], для которой обобщённое решение и(х, Х) е Ж2(О) смешанной задачи (1)-(3) удовлетворяет финальным условиям (4), понимаемым в смысле равенства элементов классов Ж2*[0,1] и [0,1 ] соответственно.

В работе [4] для свободных, а в [5] для вынужденных колебаний установлено, что при Т > 21 рассматриваемая задача граничного управления имеет бесконечно много решений. Поэтому в этом

Т

случае возникает задача оптимизации граничного управления, заключающаяся в отыскании среди всех функций м(0 Т] той, которая доставляет минимум интегралу

Т

I [М(Х )]2 Ж (8)

о

при наличии условий связи, вытекающих из выполнения заданных начальных условий (2) и финальных условий (4), и условия согласования, которые мы возьмём в виде

Т

' (?)& = (о) -ко).

о

Аналогичная задача для свободных колебаний рассмотрена в работе [6]. Ранее опубликованные нами работы [7-9] также посвящены изучаемой тематике. Из более ранних работ, относящихся к данной тематике, приведём работы [10-14].

2. Главным результатом работы является следующая

Теорема. Пусть в изучаемой задаче граничного управления функции (р(х), щ(х), (рх (х), щ (х) и /(х, X) принадлежат классам (5). Тогда при Т = 4/п + Д, где п е N и Аё [0,4/] существует единственное граничное управление и(0, X) = м(0 е ^[0, Т], переводящее систему вынужденных колебаний из начального состояния (2) в финальное состояние (4) и доставляющее минимум интегралу граничной энергии (8).

Это управление даётся формулами

М» = А(X) + а(*), в случае 0<А<2/, (9)

М) = А (X) + а2 (X), в случае 2/ <А< 4/, (10)

в которых при 5 = 1,2 символ Л (/) обозначает линейную на сегменте [0,4/и+д] функцию вида

. 41

А (х) = К0)+-1 I (11)

4/ 0

а символ а (X) обозначает добавочный член, являющийся на [0,4/п + А] периодической функцией

периода 4/ и для всех т = 0, п — 1, 0 < X < 4/, а также для т = п, 0 < X < А определяется равенством

а, (41т + X) = \ II (^ — | / (12)

о 4/ о

В соотношениях (11) и (12) функции I (X),, = 1,2 имеют вид

ъа)=

с, + ^ при г е [0,А],

с + при г е [А, 2/]

1 1 2п

"" " при г е [2/,2/ + А], ^^ при Г е [2/ + А, 4/],

с, -

А (1-21 )-с 2Й+1

с -

с1 2п

^2(г) =

А (г) = ^ [р (г - А + 2/) + р(г) + у (г - А + 2/) + у(г) -

с2 , г) + 2 п+2 при г е [0, А-2/],

<с2 В2( г )-с2 + 2 п+1 при г е [А-2/,2/],

ч А2(г-2/) 2 п+2 при г е [2/, А],

с2 В (г-2/)-с2 2 п+1 при г е [А, 4/],

4/п+А

| /(г + 4/п + 2/-т,т)йГт + |/(1 -т,т)<зТ],

(13)

(14)

(15)

А (0 = - \ Ш* -д) - ср'Ц) + у (Г -л) - (КО -

4/п+А 1

| /(г + 4/п - т, т)йт -1 /(г - т, т)йт\

/ 0

с, = _ 1

4/п(2п +1) + 2пА

А(г) = -¿[((г - А + 4/) - р'(г) + у(г - А + 4/) - у(г) -

4 Ы+ь

| /(Г + 4/и + 4/-г,г>/г-1¡{Х-т,т)йт\

В2 (г) = ^[р (г - А + 2/) + р'(г) + у (г - А + 2/) + у(г) -

4/п+А I

| /(г + 4/п + 2/-г,г)й?г + |/(г-т,г)йТт],

(16)

(17)

(18)

(19)

(2п +1)^(0) - КО)] - ¡1-

с 2 =

(20)

4/(2и2 + и -1) + 2{п + 1)д Кратко наметим схему доказательства теоремы. Продолжим функции р(х), у(х), р (х) и у (х) чётно относительно точки х = / с сегмента [0, /] на [/, 2/]. Условие свободного конца их (х, г) = 0 гарантирует, что так продолженные функции будут принадлежать классам: р(х), р(х) е^2'[0,2/], у(х),у (х) е 42 [0,2/]. Продолжим также функцию /(х, г) по первой переменной чётно относительно точки х = / на сегмент [/, 2/] и нечётно относительно точки х = 0 на сегмент [-/, 0] так, чтобы /(х, г) е 42 [(-/ < х < 2/) х (0 < г < Т)].

0

0

0

При так продолженных начальных функциях ((х), щ(х) и правой части /(х, X) и при любом Т > 2/ рассмотрим функцию

u( x, t) = <

+

1[р(x +1) + x —1) + J -

x-t

t x+t—Г l x+t-T

+J J f (£,r)d£dr + J J f (£,r)d£dr] в Aj,

0 x—t+r 0 x—t+Г

x+t

l[p( x +1) + p(0) + J^(£)d£ +

0

t x+t—Г l x+t—Г

J J f (£,r)d£dr + J J f (£,r)d£dr] в A2,

(21)

+

l l l t x+t—Г

ф) + J<H£)d£ + JJf(£,r)d£dr +1J J f(i,T)d{dT в Aз,

0 г

0 x—t +Г

где А - треугольник, ограниченный отрезками прямых х — X = 0, X = 0, х = /, А - треугольник, ограниченный отрезками прямых х — X = 0, х + X — 2/ = 0, х = 0 и А - четырёхугольник, ограниченный отрезками прямых х + X — 2/ = 0, х = 0, х = /, X = Т. В дальнейшем нам понадобятся следующие

Лемма 1. Для любого Т > 2/ функция (21) является единственным (в силу утверждения 1)

1

обобщённым решением из класса Ж 2^Т ) смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения

1 х+т

й#(х, X) — ¿/„(х, X) = У(х, X) с начальными условиями й(х, 0) = (р{х) — у | |

0 x—Г

i

iit(x, 0) = Ц/(х) + ^ J* [УС* + т) + У (х — г, r)]<ir и с граничными условиями й(0, X) = //(X),

о

/},.(/, X) = 0, в которых при указаном нами продолжении функций (з(х), ^(х) и У(х, X) функция Jl(t) имеет вид

т=

l t—Г

j[p(0 + Р(0) + J + J J f (£ r)d£dr] при 0 < t < 2/,

0 Or

I I I

<p(0) + J + J J /(£ z)d£dz = C0 = const при 2/ < X < Т.

(22)

Лемма 2. Для любого T < 4l(n +1), n е ^ функция

2 n+1

u(x, X) = 2 (—1)* ^(Х — x — 2М) —

k=0

2 n+2 1 l x+t—r

2 (—1)k м(Х + x — 2kl) —1J J f (£,r)d£dr,

(23)

0 x—t+Г

в которой символ /u(t) обозначает функцию, совпадающую с ju(t) при t > 0 и равную нулю при t < 0, является обобщённым решением смешанной задачи для уравнения Utt (x, t) — Uxx (x, t) = 0 с

l x+z l

начальными условиями u(x, 0) = 1J J f (%,z)d%dz, Ut (x, 0) = — 1J [f (x + z,z) + f (x — z,z]dz и с

0 x—z 0

граничными условиями u(0, t) = ju(t) , Ux (l, t) = 0.

Далее, для доказательства теоремы используются приведённые леммы и техника, предложенная в работе [15].

Сформулируем теперь несколько важных выводов из приведённой теоремы.

Следствие 1. Из представления (12) и из вида функций (13), (14), (15), (16), (18) и (19) и вида постоянных (17) и (20) вытекает, что если suppf (x, t) ^ QT , T„ = const, то при s = 1,2 для остаточного члена a, (t) справедлива следующая равномерная на сегменте [0,2In +д] оценка

К (t )1= 0(1),

обеспечивающая его равномерное на указаном сегменте стремление к нулю при T ^да со скоростью порядка 1 / T. Кроме того, при s = 1,2 остаточный член обращается в нуль в каждой из точек t = 0,4l, 8l,..., 4nl.

Следствие 2. Из выражения для производной оптимального граничного управления вытекает, что если suppf (x, t) ^ QT , T = const, то отвечающее оптимальному граничному управлению ju(t) минимальное значение интеграла граничной энергии (8) имеет порядок 0(1 / T) с константой, ограничивающей рост O -членов, зависящей от норм функций ((x), ((x) eW^[0, l], у/(x), у (x) е L [0, l], f (x, t) e L2 (Qt ) и момента времени T . Это обеспечивает стремление минимального значения интеграла граничной энергии к нулю при T ^да и позволяет избегать попадания процесса колебаний в резонанс.

Следствие 3. Из выражений (9)-(10) вытекает, что необходимым и достаточным условием периодичности с периодом 4l самого оптимального граничного управления является равенство

4l 4l

J F (x)dx = 0 в случае 0 < A < 21, и равенство J F (x)dx = 0 в случае 21 < A < 41.

Поступило 27.12.2013 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильин В.А. - Дифференц. уравнения, 2000, т. 36, №11, с. 1513-1528.

2. Абдукаримов М.Ф. - ДАН РТ, 2012, т.55, №4, с. 291-299.

3. Ильин В.А. - Успехи мат. наук, 1960, т. 15, №2, с. 97-154.

4. Рево П.А., Чабакаури Г.Д. - Дифференц. уравнения, 2001, т. 37, №8, с.1082-1095.

5. Абдукаримов М.Ф. - ДАН РТ, 2011, т. 54, №8, с. 624-630.

0

0

6. Ильин В.А., Моисеев Е.И. - Вестник МГУ, сер.15, вычисл.матем. и киберн, 2006, №3, с.6-18.

7. Абдукаримов М.Ф., Крицков Л.В. - Дифференц. уравнения, 2013, т.49, №6, с. 759-771.

8. Крицков Л.В., Абдукаримов М.Ф. - ДАН России, 2013, т. 450, №6, с. 640-643

9. Abdukarimov M.F. - Azerbaijan journal of mathematics, 2012, vol.2, №2, p. 105-116.

10. Lions J.L. - SIAM Review, 1988, vol, 30, №3, p. 1-68.

11. Бутковский А.Г. - Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами -М.,1985.

12. Васильев Ф.П. - Дифференц. уравнения, 1995, т. 31, №11, с. 1893-1900.

13. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М. - Вестник МГУ, сер.15, вычисл.матем. и киберн, 1993, №3, с.8-15.

14. Егоров А.И. - ДАН УССР, сер. физ-мат. и техн. наук,1986, №5, с. 60-63.

15. Ильин В.А., Моисеев Е.И. - Дифференц. уравнения, 2007, т. 43, №11, с. 1528-1544.

М.Ф.Абдукаримов

ДОИР БА ИДОРАКУНИИ САРХАДИИ ОПТИМАЛИИ РАВАНДХОИ ЛАПИШХОИ МАЧ,БУРЙ БО ИСТИФОДАИ ФУНКСИЯИ ЛАГЖАНДАИ АВВАЛИ МЕХВАР ХАНГОМИ ОЗОД БУДАНИ ОХИРИ ОН

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола масъалаи идоракунии сархддй барои муодилаи лапишх,ои мачбурй дар авва-ли мех,вар хднгоми озод будани охири он тадкик шудааст. Барои дилхох, фосилаи вакти T > 2/ , ки дар ин чо I -дарозии мех,вар аст, чунин функсияи u(0, Х) = /(Х) ёфта шудааст, ки системаи лапишро аз полати ибтидой ба полати инти^ой оварда, ба интеграли энергияи сархддй кимати хурдтарин медихдд.

Калима^ои калиди: идоракунии саруадии оптимали - лапишуои мацбурй - интеграли энергияи саруадй.

M.F.Abdukarimov

ON OPTIMAL BOUNDARY CONTROL OF FORCED OSCILLATIONS OF THE DISPLACEMENTS AT ONE END OF A STRING AT THE FREE SECOND

Tajik National University

In this paper we consider the problem of optimal boundary control processes described by equations of forced oscillations at one end of the string at the second free. For any period of time T>2l, where l - length of the string found function u(0,t)=^(t) transform the system variations from the initial state to the final and minimizes the integral boundary energy.

Key words: optimal boundary control - forced oscillations - integral boundary energy.