CC BY
15
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №5-6_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.984.5
М.Ф.Абдукаримов
О ГРАНИЧНОМ УПРАВЛЕНИИ УПРУГИМИ СИЛАМИ НА ДВУХ КОНЦАХ ПРОЦЕССА ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ ЗА МИНИМАЛЬНЫЙ
ПРОМЕЖУТОК ВРЕМЕНИ
. М.ВЛомо
тан М.Илол
В работе получено необходимое и достаточное условие при критическом моменте времени существования единственных граничных управлений упругими силами, обеспечивающих переход колебательного процесса, описываемого уравнением вынужденных колебаний струны, из произвольного начального состояния в любое наперед заданное финальное состояние. Для вычисления искомых граничных управлений также приведены явные аналитические формулы.
Филиал Московского государственного университета им.
(Представлено академиком АН Республики Таджикиста
Томоносова в г. Душанбi
£Илоловым 01.02.2017 г.)
Ключевые слова: граничное управление, уравнение вынужденных колебан, критический момент времени, телеграфное уравнение, смешанная задача.
гния вьи
уны, упругая сила,
В настоящей работе в терминах обобщённого решения уравнения вынужденных колебаний струны ии (X, — ихх (X, = f (х, /) с конечной энергией изучается вопрос о граничном управлении,
и на двух концах струны.
ависит от связности численных значений длины струны I и момента
г=,
Для произвольных пяти функций
производимом упругими силами на двух концах струны.
Решение этой задачи зависит от связности численнь времени Т. В статье рассмотрен случай Т = I.
(р{х\ (рх{х)
0 е L
с,t) е L2 [(0 <х <l)х(0 < t <T)]
(*)
установлено необходимое и достаточное условие существования единственных граничных управлений ¡л(1:) и у(1), переводящих процесс вынужденных колебаний из начального состояния
{и(х,0) = <р(х), и (х,0) = ц/(х)} в финальное состояние {и(х,Т) = ((х), и (х,Т) = ¡//,(х)} и эти граничные управления приведены в явном аналитическом виде.
Постановка
задачи и
основные определения.
В
прямоугольнике
QT = (0 < х < l) х (0 < t < T) будем рассматривать следующие задачи.
Смешанная задача
Lu = utt (хt) - Uxx (хt) = f(хt) в Qt,
(1)
Адрес для корреспонденции: Абдукаримов Махмадсалим Файзуллоевич. 734003, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Бохтар, 35/1, Филиал Московского государственного университета. E-mail: [email protected]
ux (0, t) = ju(t), ux (l, t) = v(t) при 0 < t < T, u(x, 0) = p(x), ut (x, 0) = x) при 0 < x < l, в которой p(x), y/(x), f (x, t) принадлежат классам (*) и /u(t), v(t) g L2 [0, T].
(2) (3)
[0, T ].
i 0 < x < l, (4)
иссам (*) и M(t), v(t) g L2 [0, T].
е введённом
Задача граничного управления II: (1), (2), (3) и
и(х, Т) = рх(х), и(х, Т) = \(х) при
в которой (р(х), \(х), р(х), \(х), ((х,t) принадлежат
Решение приведенных задач будем искать в классе Ж2(ОТ), впервые В.А.Ильиным в 2000 г. (определение и естественность этого класса приведены в [1]). Для определения обобщённого решения рассматриваемых задач также будем использовать класс Ж,2 (От ), определение которого приведено в указанной работе.
Приведём определения решений поставленных задач 1-11.
Определение 1. Обобщённым решением из класса Ж2(ОТ) смешанной задачи I назовем функцию и (х, t) из этого класса, которая удовлетворяет тождеству
l T
JJ u( x, t ) [Фй ( x, t )-Ф „ ( x, t )] dx,
T
t - J
T
- v
(5)
для любой функции Ф(х,/)е Ж,2(Ог ), подчинённого условиям Ф,(0,/ ) = Ф(/,I) = 0 при 0<1<Ти условиям Ф(х, Т) = Фt (х,Т) = 0 при 0 < х < I, граничным условиям (2) и второму начальному условию (3) в смысле равенства элементов L2 [0,1], а первому начальному условию (3) в классическом смысле.
Определение 2. Обобщённым решением из класса У¥2(ОТ)задачи граничного управления II
^ /Чс^ /у •
назовём решение и(х, t) из этого класса смешанной задачи I, которое обеспечивает выполнение первого равенства (4) в классическом смысле, а второго равенства (4) - в смысле совпадения элементов класса L2 [0,1].
2°. Вспомогательные утверждения. Используя (5) и схему рассуждений, изложенную в [2], получим следующее
Утверждение 1. Для любого Т>0 смешанная задача Iможет иметь только одно обобщённое решение из класса (ОТ ).
Пусть теперь в смешанной задаче I, ((х) = 0 на [0,1], \у(х) = 0 почти всюду на [0,1], а краевые значения ¡¡(г) и у(г ) являются произвольными функциями из класса ¿2[0,Т]. Обозначим через ¡¡(г) и у_(г) функции, совпадающие с ¡¡(г) и у (г) при 0 < г < Т и продолженные нулём при отрицательных значениях г.
Утверждение 2. Пусть Т < I. Тогда единственное решение и(х,г) из класса Ш- ) смешанной задачи I при приведённых выше предположениях определяется равенством
0 , г х+г—т
и(х, г) = и(х, г)+-1 | f (£,
г+х—I
Лу Л.
г (8)
где и (х, г) = | ¡¡(т)й?т + | у(т)йт - решение смешанной задачи I для соответствующего однород-
о~ о
ного волнового уравнения, а подынтегральная функция получена из функции правой части уравнения (1) чётным продолжением относительно границ х=0 и х=1 прямоугольника QТ.
Для доказательства этого утверждения используются аналогичные рассужде в работе [3] при доказательстве утверждения 2.
Повтор рассуждений, приведённых в [1], позволяет получить Утверждение 3. Для любого Т < I может существовать только одно решение из класса
Щ (QТ ) задачи граничного управления II.
^ения, приведённые
ультатом данной статьи ультатом данной статьи
3 . Основной результат. Главным результатом данной статьи является следующая Теорема. Пусть Т = I. Тогда необходимым и достаточным условием существования единственного решения задачи граничного управления II из класса ) является следующее требова-
ние:
я задачи граничного управления II из клс
^, У &
((0)+(
х)ох -
f ■(£ т) = (1 (0) + (1 (I) — \ ¥, (x)dx + | dт¡ f '(£ т) dZ.
_ 1—т
2
При выполнении этого условия решение указанной задачи даётся формулой
и( х, г) = <
+Jl(х,г) в А„
((х + г) + ((0) + ] + (1Сх — г+1) — ((_) — | ^
0 I
1 х+г—1
((х—г)+(_) + | ИШС + ((х+г—I) — ((0) + | ^
+ J2(х,г) в А2, + J3(х,г) в А3,
х+г—I
((х + г — I) + ((х — г+1) + |
х—г+1
+ J4(х,г) в А4,
0 х—г+т
г—х
где
J1( х, г) = - Л /(£,т)d£dт, Г, = {(£,т): 0 <т< г; х - г + т<£< х + г -т}сА1;
2 Г-
J 2 (х, г) = - .2 Л / (£,т^т--2 Ц / (£,т)d£dт + 2 ]Г / (£,т)£т,
^ л х + г / - х + г , , „ / / I
Г2 = {(£т): —<т<—2-; х + -т<£<2-|т-2КА2;
-»—1 I ^ ^ ч / 1 / + х г Г =1(£'т):2<т</; —+
т-
<£<т!
ч ~ х + г г - х | г -х| I
Г-- = | (£, т): 0 <т<—; — ■+\т-^\ <£< х + г-т|с
„ I ч / + х - г х +
Г ={ (£т): —<т<Т. 2+
/
£т+2II / (£,т^т,
......-.........-'^1)k
Г41 =|(£,т):2 <т</; | с А4;
"сА-;
Г,2 ={(£,т): 0 ^ х -г + 3/-2-J,(2,г) =1 íí/(f,г)dfdr, Г4 ={(£,т): г<т</; х +
ч?
+г -т <£< х - г + т}сА
и А, - треугольник, ограниченный линиями х - г = 0, х + г - / = 0, г = 0, А2 - треугольник, ограниченный линиями х - г = 0, х + г - / = 0, х = 0, А3 - треугольник, ограниченный линиями х - г = 0, х + г - / = 0, х = /, А4 - треугольник, ограниченный линиями х - г = 0, х + г - / = 0, г = /.
Лри этом искомые граничные управления вычисляются с помощью следующих аналитических
ц(х) = (г) + \(г) + р(/ - г) - - г) +1 /(т - г, т)/т
1/^)=- р (/ - г)-\(/ - г) + р(г) + \,(г)/ (/+г-т,т^т
Приведённая теорема доказывается аналогично доказательству основной теоремы работы [4].
Г
Г
Г
2
4
4
Отметим, что задачам граничного управления посвящены многие работы. Из более ранних работ, которые относятся к указанной тематике, приведём, например, [5-8]. В [9] была исследована аналогичная задача для однородного волнового уравнения в случае неоднородного стержня. В наших работах [10-13] также были изучены некоторые вопросы задач граничного управления вынужденными колебаниями струны.
Замечание 1. Рассмотренный нами случай является критическим. Под этим термином подра-
зумевается ситуация, когда решение задачи граничного управления существует и оно единственно для максимально широких классов начальных и финальных функций.
Замечание 2. Полученный результат будет использован для изучения соответствующей задачи граничного управления для телеграфного уравнения с переменным коэффициентом вида (см., например, [14-16])
Щ(- *) - и„„(х *) - q( x, * >( х *) = /(x, *). Пользуясь случаем, автор выражает благодарность доценту Л.В.Крицкову за обсуждение этой
работы.
V 7 , V
нту Л.В.Крицкову за обсужд
Шс
Поступило 01.02.2017 г.
1. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией. - Дифференциальные уравнения, 2000, т. 36, №11, с. 1513-1528.
2. Ильин В.А. - Избраные труды, т. 2. - М.: «МАКС Пресс», 2008, 692 с.
3. Абдукаримов М.Ф. О граничном управлении упругой силой на одном конце при закреплённом втором процесса вынужденных колебаний струны. - Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2015, т. 58, № 10, с. 894-900.
4. Abdukarimov M.F. On a boundaru control problem for forced string oscillations. - Azerbaijan journal of mathematics, 2012, v.2, pp. 3-12.
5. Lions J.L. Exact Controllability, Stabilization and Perturbations for Distributed Systems. - SIAM Review, 1988, v. 30, №2, pp. 1-68.
6. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. -М., 1985.
7. Васильев Ф.П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения. - Дифференциальные уравнения, 1995, т. 31, №11, с. 1893-1900.
8. Егоров А.И. Управление упругими колебаниями. - ДАН УССР, серия физ-мат. и техн. наук, 1986,
№5, с. 60-63.
ие упруги
аничное у межуток
9. Беликов А. В. Граничное управление упругими силами на двух концах неоднородного стержня за
критический промежуток времени в случае совпадения времени прохождения волны по каждому из участков неоднородности. - Дифференциальные уравнения, 2013, т. 49, № 6, с. 772-778.
10. Абдукаримов М.Ф. Об успокоении и возбуждении колебательного процесса, описываемого неоднородным волновым уравнением, за большие промежутки времени. - ДАН РТ, 2011, т. 54, № 8, с. 624-630.
11. Абдукаримов М.Ф. Граничное управление процессом колебаний, описываемым неоднородным волновым уравнением. - Известия Академии наук Республики Таджикистан. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук, 2011, № 3, с. 33-40.
12. Абдукаримов М.Ф. О граничном управлении, производимом смещением на одном конце при свободном втором процесса вынужденных колебаний струны. - Вестник Таджикского национального университета. Сер. естественных наук, 2014, № 1-1 (126), с. 59-67.
13. Абдукаримов М.Ф. Об оптимальном граничном управлении смещениями процесса вынужденных колебаний на двух концах струны. - Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2013, т. 56, № 8, с. 612-618.
14. Абдукаримов М.Ф. Об оптимальном граничном управлении процесса вынужденных колебаний смещением на одном конце струны при закрепленном втором. - Дифференциальные уравнения, 2014, т. 50, № 5, с. 680-691.
15. Абдукаримов М.Ф., Крицков Л.В. Задача граничного управления для одномерного уравнения Клейна-Гордона-Фока с переменным коэффициентом. Сл концах. - Дифференциальные уравнения, 2013, т. 49, № 8, с. 1036-1046.
16. Крицков Л.В., Абдукаримов М.Ф. Граничное управление смещением на одном конце при свободном втором для процесса, описываемого телеграфным уравнением с переменным коэффициентом. - Доклады Академии наук, 2013, т. 450, № 6, с. 640-643.
й управления смещениями на двух
Ю13, т. 450, № 6, с. 640-64:
М.Ф .Абдукаримов
ДОИР БА ИДОРАКУНИИ САР^АДИИ РАВАНД^ОИ ЛАПИШ^ОИ МАЧ,БУРЙ БО ЁРИИ ФУНКСИЩОИ ЦУВВА^ОИ ЧАНДИРИИ АВВАЛУ ОХИРИ ТОР ДАР ФОСИЛАИ ВАЦТИ МИНИМАЛЙ
гтии Москва ба номи М.В.Ломоносов дар ш. Душанбе
Филиали Донишго^и давл ^ \
Дар макола шартхои
куввахои чандирй ифодашаванда хангоми лахзаи вакти критикй хосил карда шудаанд, ки онхо
чбурии торро аз холат! адии чустучу
чараени
хисоби идоракунихо да шудаанд. Калима^ои калиди: идоракуни вакти критики, муодилаи
ва кифояи мавчудияти идоракунихои сархадии ягонаи бо щзаи вакти критикй хосил карда шудаанд, ки онхо ати ибтидой ба холати интихой меоранд. Барои 'чушаванда инчунин формулахои аналитикии ошкор овар-
муодилаи лапишуои мацбурии тор, кувваи чандири, лахзаи масъалаи омехта.
M.F.Abdukarimov
ON BOUNDARY CONTROL BY ELASTIC FORCES AT BOTH ENDPOINTS OF THE PROCESS OF FORCED STRING VIBRATIONS FOR THE MINIMUM TIME PERIOD
The branch of Lomonosov Moscow State University in Dushanbe
The necessary and sufficient conditions for existence of unique boundary controls by elastic forces that ensure the transition of the oscillatory process described by the forced string oscillation equation from an arbitrary initial state to any predefined final state, are obtained. Explicit analytical formulas for calculating these boundary controls are also given. Key words: boundary control, equation of forced oscillations of a string, elastic force, critical moment of time, telegraph equation, mixed problem.
ned. Explicit analytical formulas for calculai
sO
>> V Ay
A ¿V V £
