Об успокоении и возбуждении колебательного процесса, описываемого неоднородным волновым уравнением, за большие промежутки времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ______________________________________2011, том 54, №8____________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.984.5

М.Ф.Абдукаримов

ОБ УСПОКОЕНИИ И ВОЗБУЖДЕНИИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА, ОПИСЫВАЕМОГО НЕОДНОРОДНЫМ ВОЛНОВЫМ УРАВНЕНИЕМ, ЗА БОЛЬШИЕ ПРОМЕЖУТКИ ВРЕМЕНИ

Московский государственный университет им. М.ВЛомоносова

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 10.07.2011 г.)

В работе показано, что в случае Т > I, где I - длина струны, существуют граничные управления u(0,t) = ju(t) и u(l,t) = v(t), 0 <t<T, обеспечивающие переход колебательного процесса, описываемого неоднородным волновым уравнением, из произвольного начального состояния в любое наперёд заданное финальное состояние. Для этих управлений, которые определяются неоднозначно, также получены явные аналитические формулы.

Ключевые слова: граничное управление - неоднородное волновое уравнение - колебательный процесс

- успокоение колебательной системы.

1°. С задачей граничного управления связаны многие практические задачи, в частности задачи акустики. Ввиду этого изучение таких задач является одной из актуальных для настоящего времени.

В работе В.А.Ильина [1] впервые для любого Т из интервала 0< 7 </ установлены необходимые и достаточные условия существования и явный вид граничных управлений на двух концах. Для случая же Т > I (точнее, для случая 1<Т <21) приведён самый общий вид граничных управлений, включающих две произвольные постоянные и четыре функции из класса W22 на сегменте длины Т — I. Эти управления обеспечивают переход колебательного процесса, описываемого однородным волновым уравнением, из произвольного начального состояния в наперёд заданное финальное состояние. В этой работе при изучении задачи большую роль играет класс Ж,2 [0 < X < /) х (0 < t < Т] ,

впервые введённый в [2] (определение этого класса будет дано ниже).

Ранее нами опубликованная работа [3] также посвящена этому вопросу, то есть построению граничного управления для неоднородного волнового уравнения, когда на колебательную систему влияет внешняя сила. Точнее, аналогично [1], установлены необходимые и достаточные условия существования таких граничных управлений //(/) и v(t), 0 <t <Т <1 на двух концах, переводящих процесс колебания, описываемого уравнением utt(x,i) — uxx(x,i) = f(x,t), из начального состояния й{(х, 0) = <р(х), ut (х, 0) = Ц/(х) в финальное состояние 4x,l) = (px{x), ut(x,l) = i//l(x) , и эти управле-

Адрес для корреспонденции: Абдукаримов Махмадсалим Файзуллоевич. 119991, Российская Федерация, г. Москва, Ленинские горы, 1, Московский государственный университет. E-mail: [email protected]

ния представлены в явном аналитическом виде. Также доказано, что промежуток времени 0, I , где

I - длина струны (отметим, что в литературе этот промежуток называется критическим), является минимальным.

Следует отметить, что до публикации работ [1,2] вопросам граничного управления процессом колебаний был посвящён ряд исследований (см., например, [4-9]). Однако в указанных работах теорема существования искомого граничного управления доказана лишь для промежутка времени Т, строго большего, чем 21, и явного аналитического выражения для этого управления не установлено.

В настоящей работе рассматривается процесс колебания струны, описываемый неоднородным волновым уравнением иа(х,1) — ихх(х,1) = /(х,/) и протекающий за промежуток времени 0 < I < Т , концами которой служат точки х = 0 и х = I. Изучая проблему существования, установлен явный вид таких граничных функций ?/( 0, /) — //(/) и ?/(/,/) — 1/(7 ), 0 < / < / , которые при Т > I, где I - длина струны (ради определённости и простоты / < Т < 21). переводят систему колебания из произвольного начального состояния в наперёд заданное финальное состояние.

Оказывается, в случае I <Т <21 искомые граничные управления //(/) е Ж,2[ 0, / ] и

у(1) <е Ж,2[0, /] существуют для совершено произвольных пяти функций (р{х), <Р\ (х) е IV.,2[0, /], ///, (х) е Ж,1 [0, /] и / (X, / ) <Е IV' От , но они определяются неодно-

значно. Представим эти управления в явном аналитическом виде, включающие в себя две произвольные постоянные и четыре произвольные функции, определённые на сегменте длины Т — /, принадлежащие на этом сегменте классу Ж,2 и принимающие вместе с первыми производными на концах

этого сегмента заданные значения. С точки зрения приложений, выбор этих постоянных и этих функций можно подчинить тем или иным условиям оптимизации.

2°. Постановка задачи и основные определения. В открытом прямоугольнике От = 0 < X < / х 0 < / < Г рассмотрим следующие три задачи для неоднородного волнового уравнения:

Смешанная задача I:

щ(х,Г)-ихх(х,Г) = /(х,Г)в()т, (1)

и(0, ?) = //(0, 0 = КО Щм 0 < ? < Г, (2)

м(х, 0) = <^(х), и{(х, 0) = ц/(х) при 0<х<1, (3)

в которой //(^) и у(/)е(^22 0, Т , ^з(х)еЖ,2 0,/ , ^/(х)еЖ,1 0,/ , /(I, /)е(^ и выполнены условия согласования

//(0) = ^(0), у(0) = (р(1\ ц\0) = ц/(0\ уЩ = у/(1). (4)

Смешанная задача II:

и№(х,Г)-ихх(х,Г) = /(*,0 в <2Т, (5)

и(о,= //(0, и(1, О - КО о<1 <т, (6)

м(х, Т) = ^ (х), ц. (х, Т) = ^ (х) при 0 < х < /, (7)

в которой //(0 и г(/ ) е Ж,2 0,7" , ^ (х) е Ж,2 0,/ , у/, (х) е Ж,1 0,/ , / (х, /) е Ж,1 07 и выполнены условия согласования

МП = ^(0), у(Т) = <р1([), /л'(Т) = 1{/1(0), у\Т) = у/^Т). (8)

Задача III:

кв(*,0-н»(Х0 = Д*> 0 в (9)

м(л, 0) = ^(х), и((х, 0) = 1//(х) при 0<х</, (10)

и(х, Т) = (р^х), и{(х,Т) = ц/1(х) при 0 <х</, (11)

в которой <^(х), г/?, (х) е Ж,2 0,/ , !//(х), ///, (х) е Ж,1 О, I и /(х, / ) е Ж,1 ()т .

Решение поставленных задач будем искать в классе Ж2 ^

Определение 1. Будем говорить, что функция двух переменных и(х, принадлежит классу Ж22 , если сама функция и её частные производные первого порядка непрерывны в замкнутом

прямоугольнике 0Г и если у этой функции существуют все обобщённые частные производные второго порядка, каждая из которых принадлежит классу Л2 0 < X < / при любом / е 0,7 и принадлежит классу Л2 0 < / < 7 при любом х е 0, / ,

Определение 2. Будем говорить, что функция одной переменной ju.it) (соответственно //(0)

2 --------------------------------2

принадлежит классу Ж2 0, Т (соответственно классу Ж2 0, Т ), если эта функция определена для

всех t < Т (соответственно для всех / > 0). принадлежит классу Ж,2 0, Т и, кроме того, удовлетворяет условиям //(0) = 0, //’(0) = 0, //(0 = 0 для всех / < 0 (соответственно условиям

//(Т) = 0, //'(/ ) = 0, //(/) = 0 для всех / > /'),

Теперь дадим определения решений поставленных задач 1-111.

Определение 3. Решением из Ж,2 смешанной задачи I (соответственно смешанной зада-

чи II) называется такая функция //(х, / ), которая удовлетворяет уравнению (1) для любого / £ 0, 7 и для почти всех X е 0, I , а также для любого X е 0, I и для почти всех / е 0, 7 и, кроме того,

удовлетворяет в классическом смысле краевым условиям (2) и начальным условиям (3) (соответственно краевым условиям (6) и финальным условиям (7)).

Определение 4. Решением из Q задачи III называется такая функция u(x, t) из этого класса, которая удовлетворяет уравнению (9) для любого t е О, Т и для почти всех X £ О, I , а

также для любого X Е О, I и для почти всех / Е 0,7 и, кроме того, удовлетворяет в классическом

смысле условиям (10) и (11).

3°. Основной результат работы. Центральным результатом настоящей работы является следующая

Теорема. Если момент времени Т удовлетворяет неравенствам I <Т <21, то для произвольных заданных пяти функций (р(х:), <р1(х)еИ/^ 0,1 , 1//1(х)еИ/Г2 11

f (х, t) Е W\ QT существуют граничные управления и(0, /) = //(/) и и(/, /) = \ '(1) из класса

W22 0, T , переводящие процесс колебаний из начального состояния (3) в финальное состояние (7) и подчинённые условиям согласования (4) и (8), то есть существуют граничные управления и(0, t) = //( /) и u(l, t) = v(t) из класса Ж,2 0, Т , которые удовлетворяют условиям согласования

(4) и (8) и такие, что решение из класса W22 QT смешанной задачи (1) - (3) удовлетворяет для всех

X Е 0, I условиям (7).

Эти граничные управления определяются неоднозначно и выражаются суммами /u(t) = /u(t) + /u(t), v(t) = v(t) + v(t) с помощью соотношений

M(t) =

2 •9(0

i i i

cp(0) + (p(t)+ ^y/(x)dx + T)drdx

0 0 0 .

t t T '

<£>(0) + (p(t) + |i//(x)dx + J J/(x - r, r)drdx

+ co{t + l) +А-у, при 0 <t <8,

+ A- у,

при 8 <t <1, при I <t <T,

v(t) =

i т

]_

2 0)(t)

<p(l) + <p(l -1) + Ji//(x)dx+ | J/(x + r, T)drdx

l-t l-t 0 . I IT '

(p{l) + (p{l-t)+ Jy/(x)dx+ | j*/(x + r, r)drdx

+ 3{t + 1)-А, при 0 < t < 8,

i-t

l-t 0

при 8 <t <1, при I <t <T,

0

0 0

мо=

*(0-1

Т-і

Т-іТ

(рх (0) + щ (Т - ґ) - | щ (х)йбс +

I |/(Х--^ + Г’ т)(ІТ&С

о оо .

Т-і Т-іТ '

(рх (0) + щ (Т - і) - |^//1(х)й6с+ | |/(х-Г + г, г)й?гй6с

при 0 < ґ < 5, + Л1-у1, при 8<і<1,

+ щ (і - I) + \ - у1, при І <і <Т,

т =

щ (О, 1

і т

(рх(1) + <рх(1 -Т + ?)- [ у/1(х)с1х+ [ \/(х + Т-т,т)с1и1х

і-т+ґ 1-Т и о .

/ 1 т '

<Рі(і) + (Рі(і-т + о- | ц/1(х)ах+ | |/(х + Т -т, т)(ітйх

при 0 < г < 3, при 3 < г <1,

і-Т+і

і-Т+і 0

+ Зг(г-/)-Я1, при I <г <т,

в которых 5 = Т — I, Я и Я^

~ 1 1 т

две совершенно произвольные постоянные,

1

Г = 2

(р{0) + (р{1)+ |(//(х)<іх+ ||/(х-г, т)(Лж1х

о о

(рх (0) + срх (/) - ^у/х (х)йх +||/(х-7’ + г, т)с1тс1х

3(1) и (')(/) - две произвольные функции из класса \¥2 /, / , удовлетворяющие при

1

а = — 2

і

+ <р'(1) + т)сіт

условиям

Щ) = Я, 3\1) = а, ,9(70 = О, ,9'(Г) = 0, со{1) = у-Я, со'(I) = Д ю(Г) = 0, ю'(Г) = 0, а

<9, (/) и 0)] (I) - две произвольные функции из класса Ж,2 О, Т — I , удовлетворяющие при

і

¥і (0 - <Рі' (0 - |/(7 - Т + ^

услови-

ям

^(О) = О, 3 '(0) = О,31(Т-1) = Я1, Зх '(Т-1) = ах, щ(0) = 0, ю,'(0) = О,

<*>1(Т-1) = у1-Л1, а>;{Т-1) = /Зг

Для доказательства этой теоремы достаточно при / < Т <21 установить существование двух пар граничных управлений //(0, 7) = //(/ ), и(1, 7) = у(7) , //(0, 7) = //(/ ), //(/, 7) = И/) , состоящих

— — -^ 2 I _

из функций //(/), К0> М/Х 1^(0 из классов Ж2 О, Т и Ж2 7\ первая из которых отвечает за-

даче

о

о о

1

0

0

0 0

о

о

ах —

0

Utt(x, t) — ll XX (x,t) = f(x,t) в QT, u(x, 0) = <p(x), ut(x, 0) = y/(x) при 0 <x<l, u(x,T) = 0, ut(x,T) = 0 при 0 <x<l

- о полном успокоении процесса колебаний при произвольно заданном начальном состоянии и(х, 0) = <р(х), и, (х, 0) = i//(x) с какими угодно p(x)gW22 0,1 и \f/(x)^W\ 0,1 (задача об успокоении), а вторая из которых отвечает задаче

U tt <Х 0 - ?£» (Л 0 = /<Л 0 в QT, и(х, 0) = 0, ut(x, 0) = 0 при 0 <х <1, и(х, Т) = (рг (jc), ut (jc, Т) = yjj (jc) при О <х<1

- о приведении первоначально покоящейся системы в состояние с произвольными <P1(x)eW2 0,1 и \j/x(x)E.W\ 0,1 (задача о возбуждении).

Продолжим функцию f(x,t) нечётно относительно точек х = 0 и х = 1 на сегменты —I, 0

и 1,21 . так, чтобы / (х, I) принадлежала классу W\ (-/ < X < 21) х (0 < t < Т) . Затем рассмотрим

следующие две функции:

и(х, t) = ju(t + x)-ju(t-x + 2l) + v(t-x + l)-v(t+x + l)--^j j* f(^,T)d^dr, (12)

u(x, t) = ju(t-x)-ju(t + x-2l) + v(t + x-l)-v(t-x-l)+— ^ | f(^,r)d^dr. (13)

2 0 x-t+т

Первая из этих функций при I <Т <21 является единственным решением (в силу, например, работы [3]) из класса W,2 Q смешанной задачи II с нулевыми финальными условиями. Вторая

функция при I <Т <21 является единственным решением из класса Ог смешанной задачи I с

нулевыми начальными условиями.

Далее, для отыскания вышеуказанных двух пар граничных управлений приходится использовать функции (12), (13) и выполнять необходимые преобразования.

Пользуясь случаем, выражаю глубокую благодарность академику РАН В.А.Ильину, профессору Б.А.Алиеву и доценту Л.В.Крицкову за полезные обсуждения и постоянное внимание при выполнении настоящей работы.

Поступило 10.07.2011 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильин В.А. - Дифференц. уравнения, 1999, т. 35, №11, с. 1517-1534.

2. Ильин В.А., Тихомиров В.В. - Дифференц. уравнения, 1999, т. 35, №5, с. 692-704.

3. Абдукаримов М.Ф. - Сб. ст. молодых ученых фак-та ВМК МГУ, 2011, в. №8, с. 6-19.

4. Lions J.L. - SIAM Review, 1988, v. 30, no. 1, pp. 1-68.

5. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. -М., 1985.

6. Егоров А.И. - ДАН УССР, серия физ-мат. и техн. наук, 1986, №5, с. 60-63.

7. Васильев Ф.П. - Дифференц. уравнения, 1995, т. 31, №11, с. 1893-1900.

8. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М. - Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и ки-берн., 1993, №3, с. 8-15.

9. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Разгулин А.В. - Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и ки-берн., 1993, №2, с. 3-8.

М.Ф.Абдукаримов

ДОИР БА ОРОМКУНЙ ВА БЕДОРКУНИИ РАВАНДИ ЛАПИШ БО ЁРИИ МУОДИЛАИ FАЙРИЯКЧ,ИНСАИ МАВ^Й БАРОИ ФОСИЛА^ОИ КАЛОН

Донишго^и давлатии Маскав ба номи М.В.Ломоносов Дар макола нишон дода шудааст, ки дар холати Т > I будан, ки дар ип но / дарозии мсхвар аст, чунин идоракупихои сархадии и( О, I) - //(/) ва u(l, I) - v(t), 0 <t <Т , мавчуданд, ки системаи лапиши бо ёрии муодилаи гайрияк^инсаи мав^й додашударо аз х,олати ибтидой ба полати интих,ой меоранд. Инчунин нишон дода шудааст, ки ин идоракуних,о ягона нестанд ва барои хдсоби онх,о формулах,ои ошкори аналитикй пешниход карда шудаанд.

Калима^ои калиди: идоракунии саруадй - муодилаи гайриякцинсаи мавцй - раванди лапиш - ором-кунии системаи дар лапиш буда.

M.F.Abdukarimov

ABOUT CALMING AND EXCITATION OF THE OSCILLATORY PROCESS DESGRIBED BY A NON-HOMOGENEOUS WAVE EQUATION, FOR LARGE INTERVALS OF TIME

M.V.Lomonosov Moscow State University In this paper it is proved that, in the case T > I where I is a string’s length there exist the boundary controls ?/(0,1) = ju(t) and //(/, I) = \’{l). 0 <t <T, which provide transition of an oscillatory process described by a non-homogeneous wave equation from an arbitrary initial state to any preassigned final state. These anon unique controls are given by explicit analytic formulae.

Key words: boundary control - no homogeneous wave equation - oscillatory process - calming an oscillating system.