CC BY
37
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №10_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.984.5
М.Ф.Абдукаримов
О ГРАНИЧНОМ УПРАВЛЕНИИ УПРУГОЙ СИЛОЙ НА ОДНОМ КОНЦЕ ПРИ ЗАКРЕПЛЁННОМ ВТОРОМ ПРОЦЕССА ВЫНУЖДЕННЫХ
КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
Филиал Московского государственного университета им. М.ВЛомоносова в г. Душанбе
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Илоловым 27.07.2015 г.)
В работе показано, что в случае Т=21, где I - длина струны, существует единственное граничное управление ых(0^)=/), 0 < t < Т, обеспечивающее переход колебательного процесса, описываемого неоднородным волновым уравнением, из произвольного начального состояния в любое наперед заданное финальное состояние. Для вычисления искомого граничного управления также получена явная аналитическая формула.
Ключевые слова: граничное управление - неоднородное волновое уравнение.
В данной работе в терминах обобщённого решения неоднородного волнового уравнения ий (х, /) — ихх (х, /) = / (х, /) с конечной энергией изучается вопрос о граничном управлении, производимом упругой силой на одном конце струны при условии, что второй конец закреплён.
Решение этой задачи существенно зависит от того, как связаны длина струны I и момент времени Т. В данной статье рассмотрен случай Т = 21.
Для произвольных пяти функций (р(х), у/(х), ^ (х), щ (х) и /(х, /) из классов
<р(х) /], щ(х) е L2[0, /], ^(х) /], х) е Z2[0, /],
f (х, t) е L2 [(0 < х < /) х (0 < t < T)]
(*)
установлены необходимые и достаточные условия существования и единственности граничного управления /(/), переводящего процесс вынужденных колебаний из начального состояния
{и(х,0) = х), и(х,0) = щ(х)} в финальное состояние {и(х,Т) = х), и(х,Т) = щ(х)}, а это
граничное управление приведено в явном аналитическом виде.
Теории граничного управления посвящено значительное число работ (см., например, [1-7]). Ранее опубликованные нами работы также посвящены этой тематике [8-15].
10. Постановка задачи и основные определения. В открытом прямоугольнике Qт = (0 < х < I) х (0 < С < Г) = (0 < х < I) х (0 < / < Т) рассмотрим в обобщённой трактовке следующие две задачи.
Адрес для корреспонденции: Абдукаримов Махмадсалим Файзуллоевич. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Рудаки, 17, Филиал Московского государственного университета. E-mail: mahmadsalim_86@mail. ru
Смешанная задача I:
Ьы = п№ (х, г) - ы^ (х, г) = /(х, г) в ^, (1)
ых (0, г) = /(г), ы(/, г) = о при о < г < т, (2)
ы(х, 0) = ф(х), ы(х, 0) = ^(х) при 0 < х < I, (3)
в которой <(х), у/(х), /(х, г) принадлежат классам (*), /(г) е Ь2 [0, Т] и выполнено условие согласования (закрепления)
<Р(/) = 0. (4)
Задача граничного управления II: (1), (2), (3) и
ы(х, Т) = <(х), ы(х, Т) = щ(х) при 0 < х < I, (5)
в которой <(х), у/(х), <(х), (х), /(х, г) принадлежат классам (*), /(г) е Ь2 [0, Т] и выполнены условия согласования (4) и
<(/) = 0. (6)
Решение поставленных задач будем искать в классе ^(О), впервые введённом В.А.Ильиным в 2000 г. (определение и естественность этого класса приведены в [1]). Дадим определения решений поставленных задач 1-11.
Определение 1. Решением из класса И^Ог ) смешанной задачи I назовем функцию ы(х, г) из этого класса, которая удовлетворяет тождеству
/ т /
11 ы( х, г) [Фа (х, г) - Ф^ (х, г)] dxdг +1 [<( х)Ф, (х, 0) - щ( х)Ф( х, 0)] dx +
0 0 0 (7)
т / т у '
+1 /(г )Ф(0, г )dг -11 / (х, г )Ф( х, г )dxdг = 0
0 0 0
для произвольной функции Ф(х, г) из класса Ж22 (О), подчинённой условиям
Ф (0, г) = 0, Ф(/, г) = 0 при 0 < г < Т и условиям Ф(х, Т) = 0, Ф (х, Т) = 0 при 0 < х < /, граничным условиям (2) и первому начальному условию (3) в классическом смысле, а второму начальному условию (3) - в смысле равенства элементов Ь2 [0, /].
Определение 2. Решением из класса И^&г) задачи граничного управления II назовём решение ы( х, г) из этого класса смешанной задачи I, которое обеспечивает выполнение первого равенства (5) в классическом смысле, а второго равенства (5) - в смысле совпадения элементов Ь2 [0, / ].
20. Вспомогательные утверждения. Из тождества (7) и схемы рассуждений, изложенной в [2], вытекает следующее
Утверждение 1. Для любого Т>0 смешанная задача I может иметь только одно решение из
класса Ж- ) .
Рассмотрим теперь смешанную задачу I, у которой ((х) = 0 на сегменте [0,1], у/(х) = 0 почти всюду на [0,1], а граничное значение /(г) является произвольной функцией из класса Ж-[0, Т ]. Обозначим символом /(г) функцию, совпадающую с /(г) при 0 < г < Т и продолженную нулём при л(г)
Утверждение 2. Пусть Т < 21. Тогда единственное решение и(х,0 из класса ) сме-
шанной задачи I при приведённых предположениях определяется равенством
0 * г х+г—Т
и(х, г) = и(х, г) + -1 | /(8)
2 0 х-г+т
г+х-21
где и(х, г) = — | /л(т)ёт + | /л(т)ёт - решение смешанной задачи I для соответствующего одно-0 о
родного волнового уравнения (см. [3]), а подынтегральная функция получена из функции правой части уравнения (1) соответственно чётным и нечётным продолжениям относительно границ х=0 и х=1 прямоугольника ^.
Доказательство. С помощью свойств функций /и(г) и /(х, г) тривиально проверяется, что при Т < 21 функция (8) удовлетворяет условию их (0, г) = /л(г) для любого г е [0, Т], условию и(1, г) = 0 для почти всех г е [0, Т] и первому начальному условию и(х, 0) = 0 Ух е [0, /], а второму начальному условию ut (х,0) = 0 - почти всюду на [0,1]. Поэтому достаточно убедиться в том, что она удовлетворяет тождеству (7), в котором ((х) = 0 Ух е [0,1], а у/(х) является нулевым элементом [0,1], то есть соотношению
I Т Т
Ьи/Ф = Ц[и( х, г )ЬФ( х, г) — / (х, г )Ф( х, г)] dxdг — |/(г)Фх (0, г )ёг = 0 (9)
0 0 0
для любой функции Ф(х, г) из определения 1. Так как справедливость тождества (9) с /(х, г) = 0
0
для функции и( х, г) установлена в [3], нам достаточно доказать его справедливость только для второго слагаемого правой части (8). С помощью интегрирования по частям придадим левой части (9) следующий вид:
I Т
¿и/ф = Л [и (х, г)Ф (х, г) — и (х, г)ф (х, г) — /(х, г)Ф(х, г)] dxdг. (10)
0 0
г—х
Итак, нам надо доказать, что правая часть (10) равна нулю. Обозначим через / (х, г) произ-
вольную первообразную по х функцииДх,0. Найдя из (7) с и(х,г) = 0 Щ(х,г), Щ(х,/) и подставляя их в правую часть (10), далее с помощью интегрирования по частям и с учётом свойств функции Ф( х, г) получим:
11111 I[?(х + / — т,т) — ?(х — / + т,т)]Ст Ф(х,/)Сг \сСх —
2 0 [ 0 V 0 ) \
1Л }I Д(х + / — т,т) + f (х — / + т,т)]Ст Ф(х,г)сЛсА — (х,0Ф(х,0СхСГ:
Т И / г
0 I 0 V 0
00
I Т г г
1 I г Г ~ ""II
—![f (х + г — г,г)+ f (х — г + т,т) Ст Ф^(х,г)СхСг +
Т \ I ( г
I Т ( г
Ст
Щf(х,т)Ст]фхг(х,г)сх[С+1 }[f(х + г — т,т) + f(х — г + т,т)
0 [ 0 V 0 ) ] 2 0 0 V 0
I Т I Г Т Г г "I 1 г Т
Лf(х,г)Ф(х,г)СхСг = —{Г{ {f (х,т)Ст ф(х,г)Сг[Сх — Цf (х,г)Ф(х,г)СхСг
00 0 10 [ 0 J ] 00
I Т I Т
= 11 f (х, г )Ф( х, г)СхСг — 11 f (х, г )Ф( х, г )СхСг =0.
Ф (х, г )СхСг —
00
00
Утверждение 2 доказано.
Повторяя рассуждения, приведённые в [2], можно убедиться в справедливости следующего утверждения.
Утверждение 3. Для любого Т < 21 может существовать только одно решение из класса
(О) задачи граничного управления II.
30. Основной результат. Главным результатом работы является следующая
Теорема. Пусть Т = 21. Тогда необходимыми и достаточными условиями существования
единственного решения задачи граничного управления II из класса ) являются следующие
требования:
1) принадлежность функций (р(х), ^(х), щ(х), щ(х) и f(х, г) классам (*);
2) удовлетворение условиям закрепления (4),(6).
При выполнении этих условий решение указанной задачи даётся формулой
0
0 0 V 0
где
и( х, г) =
и (х, г) в
и2 (х, г) в
и ( х, г) в
и ( х, г) в
и5 (х, г) в
и6(х,г) в
и ( х, г) в
2 >
3'
4>
5'
6
7'
/ ч -
и (х, г) = — 14 ' 2
г х+г—т
((х + г) + ((х — г) + | + |dт | /(£,
0 х—г+т
и2(x, г) =
((х + г) — (г — х) + ((0) + (0) + | — { щ ■
0
21 21—х+г—т г х+г—т
+{dт { /(£т)^ + {dт {
0 21— т
и (х, г) =
0 х—г+т
21—х—г
г х+г—т
((х — г) — ((21 — х — г) + { dт { /(£,т№
г ч 1 и4(X, г) = —-
0 х—г+т
2 г—х—г
((21 — х — г) + ((г — х) — ((0) — ((0) — { +
21 г—х+21—т
г х+г—т
+
{щ(х№—{dт { /— {dт { /
0 21—т
0 х—г+т
/ ч -
и (х, г) = — 54 ' 2
21—х—г
((21 — г + х) — ((21 — г — х) + ((0) + ((0) + {
2г+х—г
2 г х—г+т
г х+г—т
{ dт { /(£,гЖ + {dт { /(£№
0 21—т
г ч 1 и6( x, г) = -
0 х—г+т
х+г—2г
((г + х — 21) — ((г — х) + { щх +
2 г г—х+2 г—т
г х+г—т
{ dт { /+ { dт { /
г ч 1
и (х, г) = — 74 ' 2
0 х—г+т
х+г—2г
2 г х+г—т
( (г + х — 2/) + ( (х — г + 2/) + { щ { dт { /
х—г+2г
г х—г+т
0
г—х
0
0
0
и A - треугольник, ограниченный линиями x — t = 0, x +t — l = 0, t = 0, A - треугольник, ограниченный линиями x — t = 0, x +1 — l = 0, x = 0, A - треугольник, ограниченный линиями x — t = 0, x +1 — l = 0, x = l, A - четырёхугольник, ограниченный линиями x — t = 0, x +1 — l = 0, t — x — l = 0, x +1 — 2l = 0, A - треугольник, ограниченный линиями t — x — l = 0, x +1 — 2l = 0, x = 0, A - треугольник, ограниченный линиями x +1 — 2l = 0, t — x — l = 0, x = l, A - треугольник, ограниченный линиями x +1 — 2l = 0, t — x — l = 0, t = 2l.
Приведённая теорема доказывается аналогично теореме из работы [11].
Замечание 1. Рассмотренный нами случай называется «критическим». Под этим термином подразумевается ситуация, когда решение задачи граничного управления существует и единственно при минимальных ограничениях. Иными словами, при времени, большем критического, решение задачи определяется неоднозначно, а при времени, меньшем критического, для существования единственного решения приходится накладывать дополнительные условия на функции, входящие в задачу.
Замечание 2. Полученный результат используется для исследования соответствующей задачи граничного управления для телеграфного уравнения с переменным коэффициентом вида
utt ( x, t) — ( x, t) — q( x, t)u( x, t) = f ( x, t).
Пользуясь случаем, автор выражает благодарность доценту Л.В.Крицкову за обсуждение этой
работы.
Поступило 29.07.2015 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ильин В.А. - Дифференц. уравнения, 2000, т. 36, №11, с. 1513-1528.
2. Ильин В.А. - Избраные труды, т. 2, - М.: «МАКС Пресс», 2008, 692 с.
3. Никитин А.А. - Докл. РАН, 2006, т. 406, №4, с. 458-461.
4. Lions J.L. - SIAM Review, 1988, v. 30, №2, pp. 1-68.
5. Бутковский А.Г. - Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. - М., 1985.
6. Васильев Ф.П. - Дифференц. уравнения, 1995, т. 31, №11, с. 1893-1900.
7. Егоров А.И. - ДАН УССР, серия физ-мат. и техн. наук, 1986, №5, с. 60-63.
8. Абдукаримов М.Ф. - Сб. ст. молодых ученых фак-та ВМК МГУ, 2011, вып.8, с. 5-18.
9. Абдукаримов М.Ф. - ДАН РТ, 2011, т.54, №8, с.624-630.
10. Абдукаримов М.Ф. - Изв. АН РТ. Отд. физ. - мат., хим., геол. и техн. н., 2011, №3(144).
11. Abdukarimov M.F. - Azerbaijan journal of mathematics, 2012, v.2, pp.3-12.
12. Абдукаримов М. Ф. - Сб. ст. молодых ученых фак-та ВМК МГУ, 2013, №10, с. 7-33.
13. Абдукаримов М.Ф., Крицков Л.В. - Дифференц. уравнения, 2013, т.49, №8, с.1036-1046.
14. Крицков Л. В., Абдукаримов М. Ф. - Докл. РАН, 2013, т.450, №6, с. 640-643.
15. Абдукаримов М.Ф. - Дифференц. уравнения, 2014, т. 50, №5, с. 680-691.
М.Ф.Абдукаримов
ДОИР БА ИДОРАКУНИИ САРХАДИИ РАВАНДХОИ ЛАПИШХОИ МАЧ,БУРЙ БО ЁРИИ ФУНКСИЯИ ЦУВВАИ ЧАНДИРИИ АВВАЛИ ТОР ХАНГОМИ МУСТАХКАМ БУДАНИ ОХИРИ ОН
Филиали Донишго^и давлатии Москва ба номи М.В.Ломоносов дар ш. Душанбе
Дар макола нишон дода шудааст, ки дар х,олати T=2l будан, ки дар ин чо l - дарозии тор мебошад, чунин идоракунии сархддии ux(0,t)=u(t), 0 < t < T мавчуд аст, ки системаи лапишх,ои мачбурии торро аз полати ибтидой ба полати интих,ой меорад. Барои х,исоби ин идоракунй формулаи ошкори аналитикй низ ёфта шудааст.
Калима^ои калиди: идоракунии саруадй - муодилаи гайриякцинсаи мавцй.
M.F.Abdukarimov
ON THE BOUNDARY CONTROL BY AN ELASTIC FORCE AT ONE ENDPOINT WHEN THE SECOND ONE IS FIXED FOR THE PROCESS OF FORCED
STRING'S OSCILLATIONS
The branch of Lomonosow Moscow State University in Dushanbe In the article is shown that in the case of T=2l where l is the length of string, so that we have a unique boundary control ux(0,t)=u(t), 0 < t < T , which this control provides the string's forced oscillation systems from an arbitrary initial state to final state. For calculation of the following boundary control, an explicit analytical formula is obtained.
Key words: boundary control - non-homogeneous wave equation.
