Об определяемости упорядоченных автоматов полугруппами их входных сигналов Текст научной статьи по специальности «Математика»

СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ

УДК 519.4

С. А. Акимова

ОБ ОПРЕДЕЛЯЕМОСТИ УПОРЯДОЧЕННЫХ АВТОМАТОВ ПОЛУГ РУППАМИ ИХ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ*

В статье найдены необходимые и достаточные условия, при которых универсальные упорядоченные автоматы определяются своими полугруппами входных сигналов.

Под упорядоченным автоматом будем понимать, следуя [1], алгебраическую систему вида А = (X, 5, У, 8, X), где X - упорядоченное множество состояний автомата, 5 - полугруппа входных сигналов, У - упорядоченное множество выходных сигналов, 5 : 5 х X —> X - функция переходов и "к.Бх-Х—>У - выходная функция, удовлетворяющие условиям: - >§(5,,х)) и для любого 5 е 5, 8(з,х) является эндоморфизмом X, х) - гомоморфизмом X в У.

Для произвольных упорядоченных множеств X, У алгебраическая система Аш(Х,У) = (Х.З^бД) с полугруппой 5' - Епс1Х х Нот(Х,У) и функциями 8((<р,\|/),х) = ф(х), А,((ф,ч/),л:) = 1|/(.х) является упорядоченным автоматом, который называется универсальным упорядоченным автоматом.

Автомат Аш(Х, У) обладает определенным универсальным свойством [1], а именно для всякого полугруппового упорядоченного автомата А = (X, 5, У) существует и притом единственный гомоморфизм по входным сигналам этого автомата в Ат(Х, У).

Из работы Л.М. Глускина [2] следует, что полугруппы эндоморфизмов упорядоченных множеств X, У изоморфны в том и только том случае, если упорядоченное множество X изоморфно упорядоченному множеству

У или двойственному для него упорядоченному множеству У. Это означает, что универсальные упорядоченные автоматы без выходных сигналов вполне определяются своими полугруппами входных сигналов.

Работа выполнена при финансовой поддержке ЕчТАБ (проект 99-1224).

3

Мы распространяем этот результат на универсальные упорядоченные автоматы общего вида.

ТЕОРЕМА. Для универсальных упорядоченных автоматов Ат(Х,У), Ат(Х\, У,) следующие условия:

(1) полугруппы входных сигналов автоматов изоморфны;

(2) упорядоченные множества X, У изоморфны соответственно упорядоченным множествам Л",, У или упорядоченным множествам

и и

ад

эквивалентны.

Для доказательства теоремы отметим следующие свойства.

ЛЕММА 1. Одноместный предикат теории полугрупп Ф(х) = (Уу)(ух = х) определяет в полу группе 5 = Епс1Х х Нот{Х, У) множество всех ее элементов, являющихся парами постоянных преобразований множеств X, У соответственно.

ЛЕММА 2. Одноместный предикат теории полугрупп 1Р(х) = (\/у)(ху = у) определяет в полугруппе 5 = Епс1Х х Нот(Х, У) множество пар вида (1^- ,\|/), где 1 х - тождественное преобразование множества X и £ Нот{Х, У).

Обозначим 2 множество правых нулей полугруппы Б, и - множество левых единиц полугруппы 5.

На множестве 2 определим отношение эквивалентности е :

х = <=> (Уе е Ь'){х ■ е - у ■ е).

ЛЕММА 3. Пусть пары {са,сь), (са],сь^) - правые нули полугруппы Пара (са,сь) эквивалентна паре (са) ,сЬ{) по отношению эквивалентности е в том и только том случае, если а- ах.

Пусть АШ{Х,У), Ат(Х^У^) - универсальные упорядоченные автоматы, 5 = Епс1Х х Пот(Х, V), Б, = Епс1Х1 х Нот(Хх,Ух) и п - изоморфизм полугруппы 51 на 5].

Так как изоморфизм я : 51 = сохраняет все вышеуказанные формулы и конструкции, то 71 индуцирует биекции / : X —> А',, и ga :У (а е X ) по формулам:

Да) = А <=> к{са,су) = {сь,с2) для произвольных у е У, г е К,,

£,00 = 2 «• я(св,су) = (с/(я)>с2).

ЛЕММА 4. Для любого преобразования (ф,у) е 5 выполняется

71(<р, Ч/) = (/2(ф),Ч/?), где = для любого а е X .

ЛЕММА 5. Биективные отображения f:X->Xt и ga:Y—>Y,, (а е X ) являются изоморфизмами (или соответственно антиизоморфизма,ми) упорядоченных множеств X, X, на упорядоченные множества У,>',

и и

(или двойственные им упорядоченные множества У, У, ).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Плоткин Б. И., Гринглаз Л. Я., Гварамия A.A. Элементы алгебраической теории автоматов. М.: высш. шк., 1994.

2. Глускин Jl. М. Полугруппы изотонных преобразований // УМН. 1961. Т. 16, вып. 5. С. 157- 162.

УДК 519.853.3

А. В. Белгородский

О МОДИФИКАЦИИ ОДНОФАКГОРНОЙ МОДЕЛИ ДОХОДНОСТИ АКТИВОВ В УСЛОВИЯХ ИНТЕРНАЦИОНАЛЬНОЙ ДИВЕРСИФИКАЦИИ ВЛОЖЕНИЯ

1. Предположим, что инвестору разрешено вкладывать часть своего капитала в ценные бумаги компаний других стран. Тогда однофакторная модель доходности активов [1, с. 238] может быть модифицирована с учетом того, что для вычисления коэффициента "бета'" каждого иностранного актива будет использоваться соответствующий рыночный индекс. Ковариационная матрица V в этом случае будет скорректирована очевидным образом ввиду присутствия корреляции между доходностью индексного портфеля внутреннего и иностранного рынков.

Пусть для актива /', эмитентом которого является местная компания, его доходность связана с доходностью эталонного (индексного) портфеля R,„ моделью простой линейной регрессии вида

Я; =а, +ß,Ä,„

где {а,, ßj} параметры модели: а, - свободный член, ß, - коэффициент регрессии. Относительно случайных отклонений [е, } доходностей ак тивов от ожидаемых в соответствии с моделью значений выполняются традиционные предположения "рыночной модели" [1, с. 238].

Аналогично для доходностей ценных бумаг компании, относящейся к другой стране, имеем

Rj-aj + VjRf+ej,

здесь Rf - эффективность иностранного рыночного индекса (например, САС, DAX, Dow-Jones, Nikkei и т.д.).