CC BY
24
Достаточность. Из теоремы 2 [1, с. 39] и того факта, что любая булева решетка является орторешеткой, следует, что решетки конгруэнций подунаров унаров С°+ С[; С П{п свободно от квадратов) являются орторешетками.
Следствие 1. Решетка Соп\] конгруэнций у пара (и/) является орторешеткой тогда и только тогда, когда она булева.
Орторешетка ( Ь, л , V ,1, 0, 1 ) называется ортомодулярной решеткой, если для любых а,Ье Ь из условия а<Ь следует а\/{а± д Ь) = Ь.
Следствие 2. Решетка Сопи конгруэнций унара { и/) является ортомодулярной тогда и только тогда, когда Со/Ш булева.
Следствие 3. Класс орторешеток, изоморфных решеткам конгруэнций унаров, совпадает с классом булевых решеток, изоморфных решеткам конгруэнций унаров.
Литература
1. Егорова, Д.П. О структуре конгруэнций унарной алгебры / Д.П. Егорова, Л.А. Скорняков // Упорядоченные множества и решетки: межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. Вып.З. С. 28-40.
2. Бощенко, А. П. Псевдодополнения в решетке конгруэнций унаров/ А.П. Бощенко // Алгебраические системы: межвуз. сб. науч. работ. Волгоград, 1989. С. 23-36.
3. Бощенко, А.П. О копсевдодополнениях в решетках конгруэнций унаров / А.П. Бощенко // Универсальная алгебра и ее приложения: тр. Междунар. семинара. Волгоград: Перемена, 2000. С. 39-44.
В. Л. УСОЛЬЦЕВ (Волгоград)
О ПОДПРЯМО НЕРАЗЛОЖИМЫХ УНАРАХ С МАЛЬЦЕВСКОЙ ОПЕРАЦИЕЙ
Унаром с мальцевской операцией [1] называется алгебра (А,/р) с унарной операцией /" и тернарной операцией р, на которой истинны тождества
р(х,у, у) = р(у,у,х) = х, (1)
/( р( х, у ,2 )) = р(/( х)4 (у),/( г)). (2)
В работе В.К.Карташова [1] доказано, что на любом унаре (А/) можно ввести тернарную операцию р так, что алгебра (А, /, р) становится унаром с мальцевской операцией. Требуемая операция р определяется в [1] следующим образом: пусть (А,/) -произвольный унар, х.уеА, N - множество натуральных чисел, N(,=N^/0,*. Положим Мх,. =/ие'Ы01/"(х) = /"(у)}, а также к(х,у) = ттМХА. если Мхгф0 и к(х,у) = оо, если Мху=0.
Положим далее
(г, если к(х,у)<к(у,г) р(х, V, :) = < ПЧ
[х.'если к(х,у) > к(у, г). ' '
В дальнейшем подразумевается, что операция р определена указанным способом, а основные определения и обозначения, связанные с унарами, используются в соответствии с [2] и [3]. Напомним некоторые из них.
Через СопА обозначается решетка конгруэнций алгебры А , через V и А - ее единичная и нулевая конгруэнции соответственно. Через аб обозначается класс конгруэнции 0, порожденный элементом а.
Если х - периодический элемент унара (А,/), то наименьшее из чисел ?, для которых (х) = (,+"(х) при некоторых п>0, называется глубиной элемента х и обозначается через к(х). Наибольшая из глубин элементов называется глубиной унара. Понятие узлового элемента унара трактуется несколько шире, чем в [2]; элемент а называется узловым, если найдутся такие несовпадающие элементы Ь,с, отличные от а, что /(Ь) = а = Г (с).
Пусть X *0, а $ X. Обозначим В = Хи{а}. Определим на В операцию ( как [(х)=а для любого хе В. Обозначим полученный унар через Vх .
Пусть В - подунар унара А. Через 0В обозначается конгруэнция унара (А,/), определенная по правилу [5]: хвиу для х,у еЛ выполнено тогда и только тогда, когда либо х=у, либо хеВ.
Пусть V - узловой элемент унара {А, О, Му - множество всех таких ха А , что /(х)-у. Через ву обозначается конгруэнция унара, определенная по правилу [2]: хву у для любых х,у еА верно тогда и только тогда, если либо * = у , либо х,у еМу .
Теорема 1. Пусть {А,/,р) - унар с малъцевской операцией р, определенной по правилу (3). Решетка конгруэнций алгебры (А,/,р) является цепью тогда и только тогда, когда унар (А,/) удовлетворяет одному из следующих условий:
1) операция / инъективна;
2) (А,/) изоморфен С[ , где N и {оо};
3) (Л,/) - связный периодический унар, имеющий единственный узловой элемент, который является циклическим;
4) {А,/) - связный непериодический унар, имеющий единственный узловой элемент;
5) {А,/> - сумма одной компоненты вида (2)-(4) и произвольного числа компонент вида (1).
Докажем предварительно несколько лемм.
Лемма 1. Конгруэнция в унара (А,/) является атомарной конгруэнцией алгебры
Доказательство. Достаточно доказать, что отношение ву стабильно относительно операции р. Пусть х1вух2, у{вгу2, г, ву х2 для х1,х2,у1,у2,г],х2 еА . Обозначим а, = р(х{, у, ,г,), а2 = р(х2, у2,:2 )■ Предположим, что а],а1 £~ву. Тогда а^Фа2, причем а{ &МГ или а2 &МУ. Из условия х[вух2 вытекает, что либо х, =х, , либо х,,х2 еА/г. В любом из этих случаев /(х1) = /(х2). Аналогично имеем Ду|)=Ду2), /Уг, ; = Тогда Яа1)=Яр(х1,у1,11))=р{ЯхХЯУ^)Л1]))= р{Ях2)Лу2)Л12))= АР(х2,Уг,12))=
Да2). Отсюда Л:(«!,<з2)= 1; утверждения а1 <£МУ и а2 <£МУ эквивалентны.
По определению (3) операции р достаточно рассмотреть 2 случая:
1) р(х],)>\, ~х) = хх, Р = р(х2, у2,г2 ) = :2;
2) р(х[,у^,2[) = 2[, р = р(х2,у2,-2) = х2.
Рассмотрим первый случай. По предположению, х^:2, х, еМу , г2 гМ,.. Последнее, учитывая определение отношения ву, влечет х, =х2 , г1=12 . При этом у, ±у2, так как ах Фаг. Тогда у,,у2 еМ,, и значит - /(у, ) = /(у2 j=v. Из условий р(хх,у1,11)=х], Р(х2,у1,12)~12 и определения (3) вытекают соотношения
к(х1,у1)>к(у1,11), к(х2,у2)<к(у2,12). (4)
Докажем, что к(х],у])= к(х , у2). Заметим, что так как х, &МУ , а у, еМу, то х,^у|, а значит - к(х[,у1)=п для некоторого п > 0. Тогда /"(х[) = /"(у1) и Г'(хО*/ш(у{) Для всех т<п. /"(х, ) = /'V у, ) = /"^(\) = /"'V/(У2)) = /"(У2) и значит - к(х],у2)<п. Предположим, что найдется число ш<п такое, что />(х;)=/’т(у2). Число т отлично от нуля, так как х, $.МУ , а у2 еМу. Тогда [т(х1)=[т(у2)={т-'(у)= =/т(^У1))=^(у,) что противоречит условию к(х1,у1)= п.
Пусть теперь к(х1,у1)~ со. Предположим, что к(х1,у2) равно некоторому числу т>0. Тогда /"Ух,) = /"'(у2) = /'" '(у) = /‘"~'(/(У\)) = /"'(У\ '), 4X0 противоречит условию к(х{, у, ) = со.
Таким образом, к(х1,у1)=к(х!,у2)=к(х2,у2). Аналогично, к(у1,г1)=к(у2л1)=к(у2,12), что приводит к противоречию с условием (4). Второй случай рассматривается аналогично.
Предположим теперь, что найдется конгруэнция алгебры (А,Г,р) такая, что Д<0<О.,. Тогда существует пара (6,с)ец¥, такая, что (^с)еО. Так как Д<8, то (х0,у0)е8 для некоторых различающихся элементов х0,у0еА. По условию, (хо,уо)б0у, а значит - Дх0)=Ду0)=у. Заметим, что и Д£)=у. Отсюда к(Ь,у0)=1=к(у0,х0), а значит - р(Ь,у0,х0)=х0. При этом р(Ь,у0,у0)=Ь, и из хо0уо следует, что хо0б. Аналогично хо0с и окончательно Ьвс, что противоречит выбору элементов Ь и с.
Лемма 2. Пусть унар (А,/) представляется как сумма компонент С и О , где С изоморфна (А/) для некоторого г е N и /со /, О - произвольный унар и В - подунар вида унара С,1. Тогда конгруэнция вв унара (А^) является атомом решетки Соп (А,/, р).
Доказательство. Рассмотрим конгруэнцию ви унара (A,f) и докажем, что вве е Con (A,f,p).
Пусть х,0вх2, у,0ву2, г,евг2 ДЛЯ элементов х,, х2, у,, у2, Zp г2еА. Обозначим о, = р(х1,у,,z, ), а2 = р(х,,y2,z2 ) и предположим, что (аиа2)ё 0В. Как и в доказательстве леммы 1, без нарушения общности достаточно рассмотреть случай, когда a=xv a=zr По предположению х, * z, и х, £ В , z, г В.
Последнее влечет х,гС, так как в противном случае получаем {х|;^2}еВ. Тогда x^D. Поскольку Дх,)=Дz2), то и z2eD. Тогда из условий x,0Bx2, z,0Bz2 по определению отношения 9В следует, что х~х2, z,=Z2. Так как при этом p(xl,yl,zl)*p(x1,y2,z1), то у,*у2 и у,еВ. Так как CnD=0, то kfx^yj^oo и k(y],z2)=k(yl,zi)=oо. С другой стороны, из условия p(xryrz])=xl следует, что k(xl,yl)>k(yl,zl), что приводит к противоречию.
Атомарность конгруэнции 0В следует из ее определения.
Лемма 3. Пусть унар (A, f > изоморфен C'h, где h>l, teNu{°c}, х,уеЛ и x=f»(y) для некоторого т>0. Тогда к(х,у)< <х> верно в том и только в том случае, когда h\m.
Доказательство. Так как х=у равносильно к(х,у)=0, то можно считать, что т>0.
Необходимость. Допустим, что к(х,у) равен некоторому числу ,v>0. Тогда f(x)=f(y), Ьткуда f+m(y)=f(y)- Обозначив b=f(y), получаем, что fr‘(b)=b. Таким образом, Ъ - циклический элемент унара, а значит, h I ш.
Достаточность. Пусть him. Тогда m=dh для некоторого deN0. Обозначим узловой элемент унара через z. Если х,у — циклические элементы унара, то из x=fu(y) следует x=fh(y) и х-у, откуда к(х,у) ~0.
Пусть теперь х - циклический элемент, а у не является циклическим. Тогда fs(x)=z для некоторого числа 0<s<h. Если s<t, то найдется такой нециклический элемент и унара <А,/>, что f'(u)=z- Так как P'-S(z)=x, то /Гк(м)=х. Из условий x=fm{y)—f6h(y) и /1'(г/)=х следует, что P'(u)=fih(y). Очевидно, что в рассматриваемом случае d>0, поскольку х^у. Так как операция f на нециклических элементах данного унара инъективна, то M=/d l,h(y). Тогда z=f(y)=r["l'-'4y)- С другой стороны, так как x=f h(d_l)(x), то z=f4x)=f s+h(d-1,(x). Таким образом, /!fh,d |)(x)=/'‘;f|,<d-ll(>’) и окончательно - k(x,y)<s+h(d-1).
Пусть теперь s>t. Заметим, что m>h(y), так как х - циклический элемент. Отсюда, m=h(y)+r, г>0. Далее, х= fa(y)= /,(у)+г(у)= ?(Л(у)(у))= fr(z), откуда r<h. Если m<s, то из s<h следует 0<m<h, что противоречит условию him. Пусть m>s. Так как fs(x)=z и f{z)=x, то s+r=h. Учитывая, что r=m-h(y), получаем s+m-h(y)=h и s+dh-h(y)=h. Тогда s+(d-l)h-h(y)=0, откуда s+(d-l)h = h(y). В силу выбора элемента у имеем h(y)<t. С другой стороны, s>t, что ведет к противоречию.
Пусть теперь оба элемента х,у не являются циклическими. Тогда найдется число seN, такое, что fs{x)=z■ Из условия x=f"(y) получаем /Гп+5(у)=г- С другой стороны, f'Hs(x)=fn(f(x))~f"(z)=fih(z)=Z- Тогда к(х,у)<m+s, что завершает доказательство.
Далее, в леммах 4—7, будем считать, что <A,f> — связный периодический унар, содержащий подунар вида С” для некоторого h>l и имеющий единственный узловой элемент v, который, очевидно, является циклическим.
Лемма 4. Если некоторый класс нетривиальной конгруэнции 6 унара <Aj~> содержит хотя бы два циклических элемента, то Be Con (A, f,p).
Доказательство. Пусть а,Ь - различные циклические элементы унара, авЬ. В силу нетривиальное™ 0 найдется такой элемент сеА, что (с,Ь)г0. Из (1) имеем р(с,а,а)=с. С другой стороны, из цикличности а,Ь следует, что k(a,b)=oo. Тогда p(c,a,b)=b, откуда вытекает, что отношение 0 не стабильно относительно операции р.
Лемма 5. Пусть 0eCon(A,fp), в*V, а,ЬеА. Тогда из авЬ следует, что k(a,b)<oo.
Доказательство. Предположим, что k(a,b)=oo. Так как 0*V, то найдется элемент cgb0. Тогда k(c,a)<oo=k(a,b), откуда p(c,a,b)=b. С другой стороны, р(с,а,а)=с и, следовательно, Ь0с, что противоречит выбору элемента с.
Лемма 6. Любой неодноэлементный класс конгруэнции OeCon(A,fp) содержит циклический элемент.
Доказательство. Пусть Ь,с - различающиеся нециклические элементы А, Ь0с.
Рассмотрим сначала случай, когда один из элементов Ь,с выражается через другой. Примем для определенности, что с=/Л,(Ь) для некоторого ш>0. Учитывая стабильность 0 относительно операции Д получаем, что с0/*т(с) для любого ке!Ч. Тогда при подходящем к выполнится условие кт>И(с), откуда /*т(с) — искомый циклический элемент.
Пусть теперь Ье(с) и Ье(с). Предположим сначала, что Ь(Ь)=Ь(с)=т, те1Ч. Разделим т на Ь с остатком: т=сШ+г, где с1>0, 0<г<Ь. Обозначим через а такой циклический элемент А, что Дг(у)=а. Тогда Да)= V. Далее, Л(Ь)= /|(Ь,(Ь):= V и Л(а)= V.
При этом /Ча)* f(Ъ) для любых 8<ш, поскольку элемент /*(Ь) - нециклический. Отсюда, к(а,Ь)=ш. Из условия Ь(Ь)=Ь(с)=ш имеем, что Л(Ь)= Л(с). Если предположить, что /?(Ь)= /(с) для некоторого 8<ш, то получаем противоречие с условием единственности узлового элемента. Отсюда к(с,Ь)=т. Тогда р(а,Ь,с)=с. С другой стороны, р(а,с,с)=а, что влечет а0с.
Рассмотрим 11(Ь)*Ь(с). Без нарушения общности положим Ь(Ь)=Ь(с)+8, 8>0. Разделим 5 на Ь с остатком: 5=сИг+г, с1>0, 0<г<Ь. Для всех к<Ь(Ь) имеем Л(Ь)* /(с) в силу единственности узлового элемента. Для любого числа п, такого, что п>Ь(Ь) и, следовательно, п=Ь(Ь)+ш, ш>0, верно следующее: /,1(Ь)= _/1,<ь>+т(Ь)= /"(у), /,'(с)= /><ь>+т(с)= =уп(с)+1ц1+г+т(^= ^+т(у). По лемме 5 из Ь0с следует, что к(Ь,с)<<». Отсюда для некоторого п>Ь(Ь) должно выполниться равенство /Л(Ь)= Дс), что влечет г=0. Таким образом, 11(Ь)=11(с)+(М1, откуда /Л(Ь)(Ь)= V— /Г1<с>+Ш’(с)=/,(Ь)(с) и окончательно - к(Ь,с)=Ь(Ь).
Разделим Ь(Ь) на К с остатком: Ь(Ь)=Ш+р, где 1>0, 0<р<И. Обозначим а= Лр(у). Тогда у= /*'(а)=/+11,(а). Отсюда к(а,Ь)=Ь(Ь)=к(Ь,с). Из (3) получаем р(а,Ь,с)=с и, учитывая условие р(а,с,с)=а, имеем а0с.
Следствие. Пусть а - циклический элемент, Ь и с - нециклические. Тогда из аОЬ следует к(а,Ь)=Ь(Ь), а Ь0с влечет к(Ь,с)=шах{Ь(Ь),Ь(с)}.
Лемма 7. Пусть (А, /) - связный периодический унар с единственным узловым элементом, содержащий цикл неединичной длины. Тогда решетка конгруэнций алгебры {А,/,р) является цепью.
Доказательство. Пусть 0,,02 - несравнимые между собой конгруэнции алгебры (А/,р>. Тогда а0|(га02,а0|аа0:! для некоторого аеА. Отсюда найдутся элементы Ъ,с<=А, такие, что а©^, а02Ь, (а’Ь)е02, (а,с)г0г
Рассмотрим случай, когда а - циклический элемент. Тогда, по лемме 4, Ь и с не являются циклическими. Пусть И(Ь)>Ь(с). По следствию из леммы 6 имеем к(а,Ь)=11(Ь), к(а,с)=Ь(с), откуда р(с,а,Ь)=Ь. Учитывая, что а0,Ь и р(с,а,а)=с, получаем Тогда аО^, что противоречит условию. Случай К(Ь)<Ь(с) рассматривается аналогично.
Пусть теперь а - нециклический элемент. По лемме 6 найдется циклический элемент геаб,.
Рассмотрим сначала случай, когда геа02 и, следовательно, г02с. По следствию из леммы 6 г0,Ь влечет к(г,Ь)=Ь(Ь), г02а - к(г,а)=Ь(а), г02с - к(г,с)=Ь(с). Так как с0,с, г0,а, Ь0,а, то р(с,г,Ь) 0|р(с,а,а)=с, откуда р(с,г,Ь)=с, что влечет к.(с,г)>к(г,Ъ) и окончательно -Ь(с)>Ь(Ь). Аналогично из Ь02Ь, г02а, а02а следует, что Ь(Ь)>Ь(а). Тогда, по следствию из леммы 6, имеем к(Ь,с)=Ь(с), к(с,а)=Ь(с). Отсюда р(Ь,с,а)=а и, учитывая г02с, г02а, получаем а02Ь, что противоречит условию.
Пусть теперь г«а02. По лемме 6 класс а02 содержит циклический элемент у«. Из а0,г имеем к(а,г)=Ь(а), из а02у - к(а,у)=Ь(а). Учитывая, что у0,у, а9,а, гВ{а, получаем р(у,а,2)0|р(у,а,а)=с, откуда г0,у, что противоречит выбору элемента г.
Лемма 8. Пусть <А, /> - связный унар, содержащий элемент а с условием /(а)=а, и единственный узловой элемент V, не совпадающий с а. Тогда решетка конгруэнций алгебры <А, /, р> не является цепью.
Доказательство. Из условий леммы следует, что <А, П> содержит собственный под-унар В вида С,1, где яеВ, причем для всех хеА\В выполняется Ч(\)*а. Докажем, что 0веСоп<А,Г,р>.
Пусть х,0дЛ:2, у$ву2, г,0лг2 для х,, х2, у,у2, г,^2еА. Обозначим а=р(х1,у^1), а=р(х2,уг,^) и предположим, что {а1,а2)^дв. Как и в лемме 1, имеем, что Да,)=Да2), и условия о,йВ, а2гВ эквивалентны.
Пусть ах-хх, а2=гг По предположению х,*.г2, х^В, г2г5. Тогда из условий х,©^, г,0^2 следует, что х=х2, г,=г2 Так как ах *а2, то у,*у2, а значит, {у, у2,}=В. Пусть для определенности у=а. Тогда из х,ё5, 1Х-12^В вытекает, что к{хх)>Н(ух), /г(г,)>/г(у,), и, следовательно, к(хх,ух)=И{хх), к(ух,1х)=И{1,)■ Из условия к(ах,а2)= 1 следует, что А(о|)=Л(а2), а значит - /г(х1)=/г(г2)=/г(г,). Окончательно получаем £{*,,7,)= Л^у,,^) и р(хх,ух,1х)=1х'=1г,
ЧТО Противоречит УСЛОВИЮ X^ФZ2■
Другие случаи рассматриваются аналогично.
Таким образом, ввеСоп(А, / р), а поскольку по условию узловой элемент V унара не совпадает с а, то конгруэнции вв и # не сравнимы.
Следствие. Конгруэнция вв является атомом решетки Соп(А, / р).
Далее, в леммах 9-11, будем считать, что унар {А,]) связен и имеет единственный узловой элемент а, причем Да)=а.
Пусть /2е1Ч0. Определим на (А, /> бинарное отношение ап по правилу: для х,уеА условие хапу выполняется в том и только том случае, если либо х=у, либо /г(х)<л, И(у)<п. Очевидно, опеСоп(А,/).
Лемма 9. Отношение ап является конгруэнцией алгебры (А, /, р) при любом ив1Ч0.
Доказательство. При п=0 утверждение очевидно.
Пусть леИ и ххох2, у,апу2, ^,о„г2 для хх, х2, у, у2, г, По условию либо х, = х2,
либо И(хх)<п, к(х2)<п. Пусть х,^х2 и И{хх)=к, /г(х2)=/и для некоторых к, теЫ0. Тогда, учитывая, что а - единственный циклический элемент унара, имеем ^(хх)-а, /й|(х2)=а. Так как к<п, т<п и Дд)=<з, то получаем, что /" "(х|)=/' "(х2). Аналогично - ^(ух)~Ну2)^ /,'(г,)=/,'(г2)- Тогда р^'{хх),р{у1),Р'{1х))=р(Р'(х2),Г'(у2),^(12)), и из (2) вытекает /,'(р(хрур11))=?(р(х2,у2л2)). Отсюда имеем к(р(хх,ух,1х))<п, Н(р(х2,у2,12))<п, и окончательно - р(хх,у,,г,)а„ р(хг,у2,12).
Лемма 10. Пусть 0еСоп(/1, /, р), (а,Ь)е0 и /г(я)</г(й). Тогда для любых х,уеА из И(х)<И(Ь) и к(у)<к{Ъ) следует, что х0у.
Доказательство. Так как /г(а)</г(6), то к{а,Ь)=к(Ь). Пусть х,уеА. Число к(х, а) будет равно либо И(а), либо /г(х), но в любом из этих случаев по условию к(х,а)<к(Ь)=к(а,Ь). Тогда из (3) получаем, что р(х,а,Ь)=Ь. В то же время р(х,Ь,Ь)=х, откуда х&Ь. Аналогично - у06 и окончательно - х0у.
Лемма 11. Решетка конгруэнций алгебры (А, /, р) является цепью длины, равной глубине унара (А, /).
Доказательство. Докажем, что любая неединичная конгруэнция в алгебры (А, f, р)
имеет вид ег для некоторого п е Ы(!.
Очевидно, Д=а0. Пусть 0#Д. Допустим, что среди всех элементов, входящих в пары конгруэнции 0, найдется элемент Ь, имеющий максимальную глубину. Отсюда найдется пара (Ь,с)ев, где Ь*с и /г(6)>/г(с), причем /г(х)</г(£) и Л(у)</г(Ь) для любых (х,у)е0. Тогда, по лемме 10, 0=аад).
Предположим теперь, что глубина элементов, принадлежащих парам конгруэнции
0, не ограничена в совокупности. Пусть (х,у)г0 для некоторых х,уеА. По предположению найдется пара (£,с)е0, такая, что /г(х)</г(6), /г(у)</г(6). Тогда из леммы 10 вытекает х0у, что противоречит предположению. Отсюда - 0=У.
Из определения конгруэнции ап следует, что ок сот верно тогда и только тогда, когда к<т. Последнее влечет утверждение леммы.
В леммах 12-14 будем считать, что унар (А, /) связен, имеет единственный узловой элемент V и не содержит циклических элементов.
Определим расстояние г{х) от элемента хеА до узлового элемента V следующим образом: г{х)=п, если /‘,,(х)=у для некоторого пеИ, г{х) = -и, если f{y)=x и Нх)—0 при х=у.
Пусть neN - число, не превосходящее наибольшего среди расстояний от элементов унара до узлового элемента. Определим на (А, /} бинарное отношение уп по правилу: для х,уеЛ условие хупу выполняется в том и только в том случае, если либо х=у, либо 0<г{х)=г(у)<п. Очевидно, уп - эквивалентность при любом пеМ Допустим, что хупу и
хфу. Тогда r(x)=r(y)=d<n. Отсюда - f''(x)—v и fd(y)=v, а значит, и fd-'(f(x))=v, fd I(f(y))=v. Следовательно, r[f[x))=r{f[y))=d-l<n, откуда f[x)ynJ[y). Таким образом, уиеСоп(/4, f).
Лемма 12. Для х,уеА условие г(х)*г(у) верно тогда и только тогда, когда к(х,у)—к>.
Доказательство. Необходимость. Пусть r(x)=s, r{y)=t, s*t. Предположим, что найдется neN, такое, что f"(x)~= /"(}’)■
Пусть 5<0. Из определения расстояния до узла имеем x=f'{v). Если ?<0, то у—f'{v) и, по предположению, f"+s(v)=f"+'(v), что противоречит условию отсутствия циклических элементов в унаре. Если же t>0, то f'{y)=v, откуда x=f+'(y), fn+s+'{y)=f"(y), что снова ведет к противоречию. Для 5>0 рассуждения аналогичны.
Достаточность. Пусть r[x)=r[y)=d. Если d<0, то по определению расстояния до узла х=у и к(х,у)=0. Если же d>0, то f(x):=v=f(y). Тогда k(x,y)=d<со.
Лемма 13. Отношение уп является конгруэнцией алгебры (A, f р) при любом neN0 .
Доказательство. Пусть neN0 и xjyn а\, yjyn у,, z,y„ Z, для элементов хр х2, ур у2, z,, Z2 еА. Отсюда по определению отношения уп имеем
r(x)=r{x2), r{ y)=r{y2), riz^riz). (6)
Обозначим а=р{хр ур Zj), а=р{х2, у2, z2) и докажем, что отношение уп стабильно относительно операции р.
Пусть /•(х;)=г(у;). Предположим, что r(y)= d. Если d<0, то х= y,-z,, а из (6) получаем, что x=y=z,~x=y=z2- Очевидно, тогда а,у„а2• Если же d>0, то k(xpy1)=k(ypzJ)=d и из (3) получаем at— zr Из условий (6) имеем a=z2 и окончательно - а1уп а2. При условии, что riy^riz,), по лемме 12 получаем k(yl,z])—'x>, и из (3) следует, что a=zr Из условий (6) вытекает а~г2 и снова - а,у„а2.
Пусть теперь r(x/)*r(yJ). По лемме 12 имеем к(х,у)<со. Если при этом r(y,)=r(z/), то к(У,, г,)<°°, и а= хр Из (6) следует, что а = х2. Тогда а1упа2. Если же r(y^r{z;), то к(ур г,)=с°, а = zp а = z2,и снова а]уп а2.
Лемма 14. Решетка конгруэнций алгебры {A, f\ р) является цепью.
Доказательство. Пусть 0 - произвольная нетривиальная конгруэнция алгебры (A,fp) и х,уеА.
Предположим, что найдется пара (Ь,с)е0, такая, что г(Ъ) * г(с). По лемме 12 к(Ь,с)—гл. Тогда р(х,Ь,с)=с, р(у,Ь,с)=с. При этом p(x,b,b)~x, p(y,b,b)=y. Так как p(x,b,c)Qp(x,b,b), то свх, и аналогично - сву. Отсюда 0=V, что противоречит выбору 0.
Таким образом, для любой пары (Ь,с)е9 имеем r(b)—r(c). Предположим, что найдется такой элемент zsA, не эквивалентный элементу с, что r(c)—r(z). Тогда c—p(z,b,c)Qp(z,b,b)=z, что ведет к противоречию.
Изложенное выше показывает, что любая нетривиальная конгруэнция алгебры <A,fp) совпадает с отношением уп при подходящем п.
Из определения конгруэнции уп следует, что уп с ут верно тогда и только тогда, когда п<т. Таким образом, Соп(Л, /, р) является цепью.
Лемма 15. Пусть унар (A, f) представляется в виде суммы В+С, где В - произвольная неинъективная компонента связности, а С - сумма любого числа компонент, операция / в которых инъективна. Тогда любая нетривиальная конгруэнция алгебры (.A,fp) является расширением некоторой конгруэнции компоненты В.
Доказательство. Пусть а - нетривиальная конгруэнция алгебры (A, f р). Докажем, что все элементы компоненты связности С порождают по этой конгруэнции только одноэлементные классы.
Пусть сначала компонента С является одноэлементным унаром и С={о}. Предположим, что aab для всех ЬеВ. Так как а нетривиальна, то найдется пара (u,v)ga , причем и?а, v* а. Последнее влечет u,veB, откуда, по предположению, иаа, vaa, что противоречит выбору элементов ll,V.
Таким образом, существует ЬеВ, такой, что (а, Ь)0а. Предположим, что аас для некоторого се В. Так как элемент а лежит в отдельной компоненте связности, то k(b,a)=k(a,c)=<x> . Тогда р(Ъ,а,с)=с. В то же время p(b,c,c)—b, что влечет cab. По предположению, тогда aab, что противоречит условию.
Пусть теперь компонента С является неодноэлементной.
Предположим, что найдутся a,beC, a?b, aab. Пусть х,уеА. Так как операция f на С инъективна, то к(а,Ъ)=оо. Отсюда p(x,a,b)=b. Тогда b =р(х,а,Ь)ар(х,а,а) =х. Аналогично -bay. Тогда a=V, что противоречит условию.
Пусть иеВ, teC и zau для некоторого zeC. По доказанному выше, (z,t)ga. Так как ZeC и иеВ, то k(z,u)=ao. Отсюда p(t,z,u)=u. С другой стороны, p(t,z,z)~t. Тогда uat, что противоречит условию (z,t)0a.
Следствие. Решетка конгруэнций алгебры (A, f р), указанной в лемме, изоморфна решетке Соп(В, f р) с присоединенной внешней единицей.
Доказательство теоремы 1. Необходимость. По лемме 1 достаточно рассмотреть уна-ры, содержащие единственный узловой элемент либо совсем не содержащие узлов.
Предположим, что унар (AJ) содержит единственный узловой элемент V и при этом не изоморфен ни одному из унаров, перечисленных в пунктах 2)-5) условия теоремы.
Если унар (A, f) связен, то содержит элемент a#v, такой, что f(a)=a. Тогда ConfA,f р) не является цепью в силу леммы 8.
Если же (A, f) несвязен, то его можно представить как сумму компоненты D, содержащей узловой элемент, и некоторого числа компонент, сумму которых обозначим через Е. При этом либо подунар D неизоморфен ни одному из унаров, перечисленных в пунктах 2)-4) условия теоремы, либо операция f на подунаре Е не инъективна.
В первом случае компонента D будет удовлетворять условиям леммы 8, а значит иметь несравнимые между собой конгруэнции. Расширяя их до конгруэнций унара А, получаем, что Con (A, f р) не является цепью.
Во втором случае компонента Е будет содержать подунар, изоморфный С',, где teN и оо. Обозначая через В его подунар, изоморфный С'р из леммы 2 получаем, что отношение вв является конгруэнцией алгебры (A, f р). В то же время, по лемме 1, 0г -конгруэнция на (A, f р). При этом 6у и 6В не сравнимы, так как v и В лежат в разных компонентах связности.
Достаточность. Для случаев (1), (2) утверждение вытекает из леммы 1 [4, с.281] и теоремы 1 [4, с.283] соответственно. Остальные утверждения следуют из лемм 7,11,14 и следствия из леммы 15.
Теорема 2. Класс подпрямо неразложимых алгебр (A, f р) с операцией р, определенной по правилу (3), совпадает с классом алгебр (A, f, р), решетка конгруэнций которых является цепью.
Доказательство. Достаточно показать, что класс подпрямо неразложимых алгебр (А> f Р) включается в класс алгебр, решетка конгруэнций которых является цепью.
Из леммы 1 следует, что если унар (A, f) содержит более одного узлового элемента, то алгебра (A, f р) не является подпрямо неразложимой. Таким образом, достаточно рассмотреть унары, не удовлетворяющие условиям теоремы 1 и содержащие единственный узловой элемент либо совсем не содержащие узлов.
В связном случае — это унар (A, f), содержащий элемент а, такой, что f(a)~a, и единственный узловой элемент, не совпадающий с а. Из леммы 1 и следствия из леммы 8 вытекает, что тогда алгебра (A, f р) не является подпрямо неразложимой.
В несвязном случае рассуждаем, как при доказательстве необходимого условия теоремы 1, учитывая при этом леммы 1 и 2.
Автор выражает глубокую благодарность В.А.Артамонову и В.К. Карташову за постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.
Литература
1. Карташов, В.К. Об унарах с мальцевской операцией /В.К. Карташов.//Универсальная алгебра и ее приложения: тез. сообщ. Междунар. семинара. Волгоград, 1999. С. 32.
2. Карташов, В.К. Квазимногообразия унаров /В.К. Карташов // Мат. заметки. 1980. Т. XXVII, № 1. С.7-20.
3. Карташов, В.К. О решетках квазимногообразий унаров / В.К. Карташов // Сиб. мат. журн. 1985. Т. XXVI, № 3. С. 49-62.
4. Усольцев, В.Л. О конгруэнциях унаров с тернарной мальцевской операцией /
B.Л. Усольцев // Универсальная алгебра и ее приложения: тр. участников Междунар. семинара, посвящ. памяти проф. МГУ Л.А.Скорнякова. Волгоград: Перемена, 1999.
C. 280-286.
5. Wenzel, G.H. Subdirect irreducibility and equational compactness in unary algebras 6A;fc. Arch. Math. (Basel) 21, 1970. C. 256-64.
С.А. АКИМОВА (Саратов)
ОБ ОПРЕДЕЛЯЕМОСТИ УПОРЯДОЧЕННЫХ АВТОМАТОВ ПОЛУГРУППАМИ ИХ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ
Под упорядоченным автоматом будем понимать, следуя [1], алгебраическую систему вида А = (Х,5,У,ё,Л), где X - упорядоченное множество состояний автомата, у-упорядоченное множество выходных сигналов, 5 - полугруппа входных сигналов,
З.-БхХ-^Х- функция переходов и А:5*Х->У - выходная функция, удовлетворяющие при всех условиям £>(5/,х)= (?(л',С?(^,х)); при фиксированном
значении 5 отображение £>(,?,х) является эндоморфизмом X, отображение /ф\х)-гомоморфизмом X в У.
Доказательство предложения 2.1 из [1] без труда переносится на следующий результат.
Лемма 1. Для произвольных упорядоченных множеств X, У алгебраическая система Ат{Х,У) = (х,5,У,5,Х) с полугруппой 5 = Епс/ХхНот(Х.У) и функциями <5((ср,1//),х)= <р(х), А((<р,ц/),х) = у/{х) является упорядоченным автоматом, который обладает следующим универсальным свойством: для всякого упорядоченного автомата А = (х.Б'.У.б.А) существует, и притом единственный, гомоморфизм по входным сигналам этого автомата А в автомат Агт(х,У).
Автомат Аш(Х,У) называется универсальным упорядоченным автоматом над упорядоченными множествами X, V
Из работы Л.М. Глускина [2] следует, что полугруппы эндоморфизмов упорядоченных множеств Х,У изоморфны в том и только в том случае, если упорядоченное множество X изоморфно упорядоченному множеству У или двойственному для него упорядоченному множеству у. Это означает, что универсальные упорядоченные автоматы без выходных сигналов вполне определяются своими полугруппами входных сигналов.
Мы распространяем этот результат на универсальные упорядоченные автоматы общего вида.
Теорема. Пусть Хр У1,Х2 У2 - произвольные упорядоченные множества, причем порядок на одном из множеств ХрХ2 отличен от тождественного. Тогда для универсальных упорядоченных автоматов Аш(ХрУ]), Аш(Х2,У2) следующие условия эквивалентны:
1) полугруппы входных сигналов автоматов Аш(Х1,У1), Аш(Х2, У2) изоморфны;
2) упорядоченные множества Хр У, соответственно изоморфны упорядоченным множествам Х2, У2 или упорядоченным множествам хг,Уг-
Доказательство теоремы основывается на следующих вспомогательных результатах.
Лемма 2. Одноместный предикат ф(х) = (УуХух = х) теории полугрупп определяет в полугруппе 5 = Епс1Х х Нот(х,к) множество всех ее элементов, являющихся парами постоянных отображений множества X в X и X в У соответственно.
Доказательство. Очевидно, что пары постоянных отображений множества X в X и X в 7 являются правыми нулями полугруппы 5. Действительно, если са- постоянное отображение множества X в точку а е X и сь- постоянное отображение множества X в точку Ь е У, то для любой пары ((/>,///)е .V выполняется
(<-р,V/\сС1 ,с„)= {<рса,(рсь) = (си,с„) •
