Об определяемости упорядоченных автоматов полугруппами их входных сигналов Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Усольцев, В.Л. О конгруэнциях унаров с тернарной мальцевской операцией /

B.Л. Усольцев // Универсальная алгебра и ее приложения: тр. участников Междунар. семинара, посвящ. памяти проф. МГУ Л.А.Скорнякова. Волгоград: Перемена, 1999.

C. 280-286.

5. Wenzel, G.H. Subdirect irreducibility and equational compactness in unary algebras 6A;fc. Arch. Math. (Basel) 21, 1970. C. 256-64.

С.А. АКИМОВА (Саратов)

ОБ ОПРЕДЕЛЯЕМОСТИ УПОРЯДОЧЕННЫХ АВТОМАТОВ ПОЛУГРУППАМИ ИХ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ

Под упорядоченным автоматом будем понимать, следуя [1], алгебраическую систему вида А = (Х,5,У,ё,Л), где X- упорядоченное множество состояний автомата, у-упорядоченное множество выходных сигналов, 5 - полугруппа входных сигналов, З.-БхХ-^Х- функция переходов и А:5*Х->У - выходная функция, удовлетворяющие при всех условиям £>(5/,х)= (?(л',С?(^,х)); при фиксированном

значении 5 отображение £>(,?,х) является эндоморфизмом X, отображение /ф\х)-гомоморфизмом X в У.

Доказательство предложения 2.1 из [1] без труда переносится на следующий результат.

Лемма 1. Для произвольных упорядоченных множеств X, У алгебраическая система Ат{х,у) = (х,5,у,дл) с полугруппой 5 = Епс/ХхНот(Х.У) и функциями <5((ср,1//),х)= <р(х), А((<р,ц/),х) = у/{х) является упорядоченным автоматом, который обладает следующим универсальным свойством: для всякого упорядоченного автомата А = (х.Б'.У.б.А) существует, и притом единственный, гомоморфизм по входным сигналам этого автомата А в автомат Агт(х,У).

Автомат Аш(Х,У) называется универсальным упорядоченным автоматом над упорядоченными множествами X, V

Из работы Л.М. Глускина [2] следует, что полугруппы эндоморфизмов упорядоченных множеств Х,У изоморфны в том и только в том случае, если упорядоченное множество X изоморфно упорядоченному множеству У или двойственному для него упорядоченному множеству у. Это означает, что универсальные упорядоченные автоматы без выходных сигналов вполне определяются своими полугруппами входных сигналов.

Мы распространяем этот результат на универсальные упорядоченные автоматы общего вида.

Теорема. Пусть Хр УрХ2 У2 - произвольные упорядоченные множества, причем порядок на одном из множеств ХрХ2 отличен от тождественного. Тогда для универсальных упорядоченных автоматов Аш(ХрУ]), Аш(Х2,У2) следующие условия эквивалентны:

1) полугруппы входных сигналов автоматов Аш(Х1,У1), АШ(Х2,У2) изоморфны;

2) упорядоченные множества Хр У, соответственно изоморфны упорядоченным множествам Х2,У2 или упорядоченным множествам хг,Уг-

Доказательство теоремы основывается на следующих вспомогательных результатах.

Лемма 2. Одноместный предикат ф(д-) = (УуХ;;л- = .т) теории полугрупп определяет в полугруппе Б = ЕпёХ х Нот(х,У) множество всех ее элементов, являющихся парами постоянных отображений множества X в X и X в У соответственно.

Доказательство. Очевидно, что пары постоянных отображений множества X в X и X в 7 являются правыми нулями полугруппы 5. Действительно, если са- постоянное отображение множества X в точку а е X и сь- постоянное отображение множества X в точку Ь е У, то для любой пары ((/>,///)е .V выполняется

(<-р,V/\сС1 ,с„)= {<рса,(рсь) = (си,с„) •

С другой стороны, если преобразование (^.(//) является правым нулем полугруппы

5, то для любого преобразования выполняется условие (срх,ц/{\(р,ц/^= ((р,ш),

в частности для произвольного элемента а, е X и значений а = (р{ал), й = ^(а,) выполняются равенства

{<Р< Ч*)= (с«, Л Х<Р> ¥)= кщ<Р.сау)= (СА«,)'С«'М)=( с«’с»)-

Значит, (<?,(//) = (с,.с,,).

Лемма 3. Одноместный предикат теории полугрупп Ч-'(х) = ('^г)(л'у = у) определяет в полугруппе 8 = Епс1Х / Нот{Х, У) множество пар вида (1.-,///), где 1г- тождественное преобразование множества X и >// е Нот{Х, У).

Доказательство. Для любого у/ е Нот{Х,У) упорядоченная пара (1Л.,(//) является левой единицей полугруппы так как для любой пары выполняется

(I л- ■ Л ■ ^) = О .V Я ’1 .V Ф\) = Ы • )■

С другой стороны, если отображение (<р,ц/) является левой единицей полугруппы 5, то для любой пары (^,ул)выполняется условие {(р,у/\<рх,у/\)~ в частности

для пары (1у,у/,)е5 выполняется условие (ср,у/^х,у/^)={}.х,у/,). С другой стороны, имеет место равенство

(<р, у/Х1Л - Ч'\) = (^Л- - <Р¥\) = {(Р.'РЧ'Х )•

Следовательно, <р = 1Л- и (<р,ц/) = )•

Обозначим символом II множество левых единиц полугруппы Б, символом 2-множество правых нулей полугруппы 5. На множестве правых нулей полугруппы Б определим отношение эквивалентности Е по формуле

х = >'(г) о (\/е е и \хе = уе).

Лемма 4. Пусть (си, сь), (сд , сЛ|)- правые нули полугруппы Б = Епс1Х х Нот(х,у), Тогда пара {си,сь) в том и только в том случае эквивалентна паре (с,,,.) по отношению е, если а = а, .

Доказательство. Пусть (с„,сл)= (с(, ,слДг), где а,о, е Х,Ь,Ь1 е У. По определению отношения эквивалентности г для любой пары (1 х,1//)е0 выполняется

(с1,.с*Х1л-.^)=(с„,,с/,1)(1л^).

По определению операции в полугруппе Б это условие можно записать в виде

Это равенство можно переписать в виде

(^Последовательно, си=с1Ч и ///(а) = 1/у (я,). Значит, а = а].

С другой стороны, для произвольных а е X; Ь,Ь' е ¥ и (1Л- ,у/)е и выполняется равенство

к,.^Х|л-^)=(с„,^'Х1^^),

так как

к,. Сь X1 .V ' V') = (С« 1X ’СаЧ')= ка ■ С„Ла)) ,

с другой стороны,

По определению эквивалентности е это означает, что (са, сЛ) = (си, сь. \е).

Лемма 5. Пусть А1/п(х1,У1),АМ1(Х:,,У2) - универсальные упорядоченные автоматы с полугруппами входных сигналов 5, = Еис1Х{ х !1от(Х1,}'), 5, = Епс1Х2х Нот(Х2,У2), ж-изоморфизм 5, на 32, отображение / \Х1 —*Х, определяется по формуле

/(а) = Ъ «■ (Зу 6 У{,г е У2)я{са,су)= (сл,с.) (здесь ае Х^Ье Х2), для каждого а е Х1 отображение ga К определяется по формуле

%«Ь>)=: <=> я{с„-су)= (с/(„).с.-)(здесь уе¥,,1е У2).

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) отображения /: X, -> Х2' и %:1: У] -» У_ (а еХ{) являются биекциями;

2) для любой пары {(р,у/)е 5, выполняется равенство

7г{(р,у/)=[/2((р)м/ф),

где У'р{/{а))= glP(a){yy{a)) для каждого ае!,;

3) если порядок на одном из множеств Х,,Х, отличен от тождественного, то определенные выше отображения /: X, -> Х2 и : У, —» У2 (а е А'',) являются изоморфизмами упорядоченных множеств Х].У[ соответственно на упорядоченные множества Х2,У2 или на двойственные им упорядоченные множества \,У ■

Доказательство. Так как изоморфизм я: 5, = 5, 'сохраняет приведенные в леммах 2-4 формулы и конструкции, то индуцируемые отображением я отображения

/: X, -> X, и р : \\ —> К, (а е X,) будут биекциями.

Пусть ((р,ц/)е81 и для произвольно выбранного элемента ае Х1 выполняются равенства

ф(а) = Ь, у/(а) = с. (1)

Так как (с„,с,,)(<р,у/) = {си<р,сиЧ')= (с(,(и).с,/(о)), то условие (1) равносильно тому, что

Так как ж- изоморфизм полугруппы ^ на £ , то выполняется равенство

= (2)

Обозначим я(<р,(//) = Так как по построению биекций / и gl|(aeXl)

*к-су) = як,с, )= {ст,скЛе)),

то равенство (2) можно переписать в виде

(СУ(«) ■ >■))■ ■ ^0 = (СГ(*) • ■

Это условие равносильно тому, что <р'(/(а))= f(b) и у/(/(а)) = я*(с) = £,,(„)(с).

Если представить преобразования (р,Ц> матрицами

• а

у/ ■■

/

■•а-

V

то из предыдущих рассуждений следует, что преобразования <р',у/' будут представлены матрицами:

Обозначим отображение /- ; ЕпсК{ —> Епс1Х2 символом я1 и покажем, что 7г, является изоморфизмом этих полугрупп.

Действительно, для любых е Я, выполняется

^(^^2)=/:(^^)=.гч^/=(гЧ/'Х.гУз/Ь /2Ч)Г'{<Р2)=Л<Р\)я{<Р'У ■

Значит, по теореме Глускина [2] отображение / является изоморфизмом или антиизоморфизмом упорядоченного множества X, = (Х^р,) на упорядоченное множество Х2 = (х2,р2). Тогда по предположению леммы порядки на множествах ХГХ2 отличны от тождественных отношений на этих множествах, в частности в множестве X, найдутся такие различные элементы ц, ф /)0, что (а(1, Ь0) е /?,.

Предположим, что / - изоморфизм X, на Х-,, и покажем, что в этом случае для любого аеХ1 биекция gll является изоморфизмом упорядоченного множества У, = (У,, <5,) на упорядоченное множество Уг = (У,, 8-,).

Рассмотрим произвольную пару (х0, уа) е Д, и покажем, что отображение у/, определенное по формуле

[ х0, если (и,а0)ер,

И«) = 1

1>'о, если \и.а0)$р[

является гомоморфизмом Х1 В }, .

Действительно, пусть (з.^ер,. Докажем, что (у/($),(//(/)) е <5,.

Если (ла0) е р,, то в силу транзитивности отношения р,, (л,о0) е р, и по определению отображения у/, ^/(л) = у/(?) = х0. В силу рефлексивности отношения <5,, ((//(л ),у/(/))е .

Если (я,а0)<£ р{, то тем более (ла0)ер,. Тогда по определению отображения у/ , I//(л) = 11/(1) = у,, и в силу рефлексивности отношения д\ заключаем, что (у/М,!//(/)) е <5,. Если же {х,а0)е р,, (?,ц,)£ р,, то по определению отображения (И4пО)Жо.>о)-Отсюда, по условию, (ц/($),ц/(1)) е 51.

Тогда в силу уже доказанного п. 1) ж(са,ц/) = и, в частности, ц/1- е Нот(Х2,У2)-

С другой стороны, по построению для любого I е А' выполняется равенство У'ЖМЬ&ДгДЖ)), в частности, при х = а0,

Vе" (Ж )) = 8 а (Ж )) = 8 а (*0 ) >

при х = Ьп,

V- (Ж )) = 8 а (Ж )) = 8 а {у0 ) ■

Другими словами, гомоморфизм цУ- отображает упорядоченную пару (/(«0),/(Д,)) в упорядоченную пару (х0). ,£Г„ (з'и)) - С другой стороны, в силу того, что /-изоморфизм

упорядоченного множества Х1 на упорядоченное множество Х2 и (а.гЬ0)е р,, выполняется условие (Ж). Ж)) е р,. Тогда, в силу того, что ц/с" - гомоморфизм упорядоченного множества Х2 на упорядоченное множество У2, выполняется условие 6 82.

Значит,§а - изоморфизм У, на У2.

По аналогии ясно, что если /”- антиизоморфизм Х] на Х2, то все отображения Ба {а е X) также будут антиизоморфизмами У, на У2, так как в этом случае условие (а0,Ь0)е р1 влечет (/(Л0),Жо))еР2 и> следовательно, (&,(у0)-&,(хо))е 32 ■

Доказательство теоремы.

Очевидно, что если упорядоченные множества Х1,У1 соответственно изоморфны упорядоченным множествам X,, У2 или упорядоченным множествам .V,,У, , то полугруппы входных сигналов автоматов А(т{Х[,У^), Анп(Х2,У2) изоморфны.

Обратно: пусть ж - изоморфизм полугруппы Б, входных сигналов автомата Ат^Х^У^ на полугруппу Б2 входных сигналов автомата А1т(Х2,У2), тогда из лемм 2-5 следует, что этот изоморфизм ж определяется по указанной в лемме 5 формуле некоторыми биекциями /: X, -> Х2, ga: У, ->■ У, (а е X), которые одновременно являются изоморфизмами или антиизоморфизмами соответствующих упорядоченных множеств.

Литература

1. Плоткин, Б.И. Элементы алгебраической теории автоматов / Б.И. Плоткин, Л.Я. Гринглаз, А.А. Гварамия. М.:Высш.шк., 1994.

2. Глускин, Л.М.Полугруппы изотонных преобразований / Л.М. Глускин // УМН. 1961. Т.16, вып.5. С.157-162.

Д. В. СОЛОМАТИН (Омск)

РАССЫПЧАТЫЕ ПОЛУГРУППЫ С ПЛАНАРНЫМИ ГРАФАМИ КЭЛИ

Графом Кэли полугруппы 5 относительно множества X порождающих ее элементов называем граф, состоящий из множества вершин 5 и множества помеченных дуг -всевозможных троек (а.х.Ь), где а.ЬеБ, хеХи ах = Ь. Заметим, что в данном случае граф Кэли является ориентированным мультиграфом с реберной раскраской. Вершины графа обычно изображаются точками на плоскости, а дуга (а,х,Ь) - линией со стрелкой, направленной от а к Ь и помеченной элементом х. В случае, когда метка ребра не имеет значения или восстановить не составляет труда, мы будем ее опускать. Для удобства