Конкретная характеристика универсальных упорядоченных автоматов Текст научной статьи по специальности «Математика»

СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ

УДК 519.4

С. А. Акимова

КОНКРЕТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УНИВЕРСАЛЬНЫХ УПОРЯДОЧЕННЫХ АВТОМАТОВ

Под упорядоченным автоматом будем понимать, следуя [1], алгебраическую систему вида А = (Х1,5,Х2,5,Х), где X, - упорядоченное множество состояний автомата, Х2 - упорядоченное множество выходных сигналов, 5 - полугруппа входных сигналов, 5:5 х X, Х} - функция переходов и X: 51 х —> Х2 - выходная функция, удовлетворяющие при всех е Х{ условиям й(м',л:) = и при фиксированном

значении 5 отображение б(з,х) является эндоморфизмом Хх, отображение Х(я,х) - гомоморфизмом в Х2. Заметим, что для автомата А без равнодействующих входных сигналов каждый входной сигнал естественно отождествляется с парой отображений

(8(5,*),Х^,х)) б Епс1\\ х Нот(Х1 ,Х2), где хеХ,.

Значит, для такого автомата полугруппа входных сигналов 5 может рассматриваться как полугруппа пар отображений ф = (ф1(ф2), где 9! :Х1 -*Хх, ф2 :Х, ->Х2, с операцией умножения фц/= (ф,у1,ф1ф2)- Более того, доказательство предложения 2.1 из [1] можно без труда перенести на следующий результат.

ЛЕММА. Для произвольных упорядоченных множеств Хг, Х2 алгебраическая система

Агт(Х],Х2) = (Х1,Б,Х2,8,Х)

с полугруппой 5 = Епс1Х] х Нот(Хх,Х2) и функциями 5((ф,\|/),д:) = ф(х), л((фл^),х) = ч/(х) является упорядоченным автоматом, который обладает следующим универсальным свойством: для всякого упорядоченного автомата А ~{Хх,Б' ,Х2,Ь,Х) существует и притом единственный гомоморфизм по входным сигналам этого автомата А в автомат ЛГт(Х1,Х2).

3

Автомат Аш(Х1,Х2) называется универсальным упорядоченным автоматом над упорядоченными множествами ХЛ, Х2 ■

В настоящей статье для универсального упорядоченного автомата А(т(Х1,Х2) решена задача о конкретной характеристике [2]. Данную задачу можно сформулировать следующим образом: для автомата А = (Х\,Б,Х2,Ь,\) без равнодействующих входных сигналов требуется найти необходимые и достаточные условия, при которых множества X х и Х2 можно так упорядочить, что автомат А будет совпадать с универсальным упорядоченным автоматом А1т(Х],Х2).

Идея решения задачи заключается в том, что по полугруппе входных сигналов автомата А на его множествах Хх, Х2 строятся канонические отношения и с их помощью формулируются необходимые и достаточные условия, при которых на множествах Х1, Х2 существуют такие отношения порядков, что А совпадает с универсальным упорядоченным автоматом Аш(Х¡,Х2), т.е. полугруппа 5 совпадает с полугруппой Епс1Х\ х Нот(Хх ,Х2).

Пусть X], X2 ~ не пустые множества и 5 - полугруппа пар отображений Х1 в Х{ и X} в Х2 с определенной выше операцией умножения.

Введем обозначения. Для пары отображений / = {/\,/2) из полугруппы 5 запись | будет обозначать, что /х{и)=х, /\(у)=у, и

запись

будет обозначать, что /2 (и) = х, /2 (у) = у.

Vх У)к

г >

и V

будет обо-

Для элементов и,х е Хх,х,у е Хх и Х2 запись

V* У)

значать, что для некоторой пары отображений / = (/\,/2) из полугруппы

и V

, если х,у б или

*

, если

/2

5 выполняется условие

^ У'п

х,уеХ2.

Определим для полугруппы 5 на множествах Х1 (здесь ; = 1,2) канонические отношения Q¡ (здесь i = 1,2) по формулам

а = \ {х, у) е х} : {Уи, V е X,, и * у)

(1 = 1,2).

и V V и

х у) У)

Очевидно, что ()] к (32- симметричные бинарные отношения. Полугруппу 5 будем называть ()-замкнутой, если для любой пары отображений f = {/\,/2), где /,: Х1 —> Х1, /2 :Хх —> Х2, из условия, что

для любых х,уеХх, удовлетворяющих свойству (х,у)е()\, существуют Ф,Ф е5, для которых ограничение отображения ф; | {х,у} совпадает с ограничением отображения /, | {х,у} и ограничение отображения ф2 I {х>у} совпадает с ограничением отображения /2 I {х,^}, следует /

ТЕОРЕМА. Автомат А = (Хи$,Х2,5,А.) без равнодействующих входных сигналов в том и только том случае совпадает с универсальным упорядоченным автоматом Аш{Х^Х-,) для некоторого нетривиального порядка на множестве Х1 и некоторого порядка на множестве Х2, если полуфуппа входных сигналов 5 является 0-замкнутой полугруппой и ее канонические отношения <22 удовлетворяют следующим схемам аксиом:

(А 1) для любого хеХ, выполняется (х,х)е()1 (/ = 1,2);

(А2) для любых различных элементов х,уеХх и любых элементов

и,у е Xудовлетворяющих условию

i* у Л 'у х^

<и VJ

выполняется (x,y)iQ] (/ = 1,2);

(A3) если (x,y)eQ] и элементы u,v,weX: удовлетворяют условиям (u,v),(v,w)eß(. и

(х >"1 (х у)

л

{и VJ w J

то

(/ = 1,2);

(A4) существуют такие различные элементы х,у е Хи что (х,у)еQx.

Таким образом, полученный результат дает алгоритм решения задачи о том, какой конечный автомат может быть упорядочен так, что будет универсальным упорядоченным автоматом. С другой стороны, этот результат можно применять в изучении абстрактных и элементарных свойств универсальных упорядоченных автоматов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Плоткин Б. И., Гринглаз Я. Я., Гварамия A.A. Элементы алгебраической теории автоматов. М.: Высш. шк., 1994.

2. Улам С. Нерешенные математические задачи. М.: Наука, 1964.