Об определении вектора углового ускорения абсолютно твердого тела Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.1/2

ю.е. мешков

Херсонський нацюнальний техшчний ушверситет

ПРО ВИЗНАЧЕННЯ ВЕКТОРА КУТОВОГО ПРИСКОРЕННЯ АБСОЛЮТНО

ТВЕРДОГО Т1ЛА

У данш роботi представлена формула для обчислення кутово'1' швидкостг о за трьома точками, що не лежать на однт прямт. На основi ^ei формули отриманi формули для визначення кутового прискорення е в загальному випадку руху твердого тша i в окремих випадках, з використанням швидкостi i прискорення трьох "основних" точок. Застосування отриманих формул протюстровано на прикладi кривошипно-шатунного мехашзму. Результати спiвпадають з результатами розв'язання цих задач традицтними методами.

Ключовi слова: вектор кутово'1' швидкостi, юнематична характеристика руху, переносний поступальний рух, плоскопаралельний рух тша, прискорення, кутове прискорення, кути Ейлера, формула Пуассона, рухомий трiедр, ортогональна проекщя.

ю.е. мешков

Херсонский национальный технический ушверситет

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ВЕКТОРА УГЛОВОГО УСКОРЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

В даной работе представлена формула для вычисления угловой скорости о по трём точкам, не лежащим на одной прямой. На основании этой формулы получены формулы для определения углового ускорения е в общем случае движения твёрдого тела и в частных случаях, с использованием скорости и ускорения трех "основных" точек. Применение полученных формул проиллюстрировано на примере кривошипно-шатунного механизма. Результаты совпадают с результатами решения этих задач традиционными методами.

Ключевые слова: вектор угловой скорости, кинематическая характеристика движения, переносное поступательное движение, плоскопараллельное движение тела, ускорение, угловое ускорение, углы Эйлера, формула Пуассона, подвижной триэдр, ортогональная проекция.

Yu.Ye.MIESHKOV

Kherson National Technical University

ON THE DETERMINATION OF THE ANGLE ACCELERATON VECTOR OF AN ABSOLUTELY

SOLID BODY

This paper presents a formula for calculating the angular velocity о from three points that do not lie on one straight line. On the basis of this formula, formulas for determining the angular acceleration е are obtained in the general case of motion of a solid body and in special cases, using the velocity and acceleration of three "basic" points. The application of the obtained formulas is illustrated by the example of a crank mechanism. The results coincide with the results of solving these problems by traditional methods.

Keywords: angular velocity vector, kinematic characteristics of motion, portable translational motion, planar body movement, acceleration, angular acceleration, angles Euler, Pousson, driven triedr, orthogonal projection.

Постановка проблеми

Вшомо, що швидшсть v довшьно! точки М абсолютно твердого тша визначаеться формулою, що називаеться законом розподшення швидкостей точок тша.

v = v^ +ю- АМ, (1)

Вектор со в формул! (1), що називаеться вектором кутово! швидкосп тша, не залежить вш вибору точки М i полюса А та е важливою шнематичною характеристикою руху.

Введення вектору кутово! швидкосп о здшснюеться в основному двома способами. Перший споаб базуеться на понятл вектору безкшечно малого повороту тша. Зазвичай спочатку розглядаеться тверде тшо з одшею нерухомою точкою А i двома несшнченно близькими положеннями, що вадповвдають моментам t та t + At. Перемщення d = vdt дов№но! точки М тша перпендикулярне

вектору г = АМ. Вводиться вектор — таким чином, що — = — • г, i пiсля цього з рiвностi — = (о<И • — визначаеться вектор о.

Нехай точка А рухаеться зi швидкiстю УА . Вводиться система координат, що мае початок в

точцi А i перемiщуеться поступально зi швидшстю Ул. Рух тiла складаеться з переносного

поступального руху зi швидк1стю УА i ввдносного обертового руху навколо точки А. У результата цього складання отримуеться формула (1) ([2], [6], [9], [10] i ш.). Введения вектору безшнечно малого повороту можна здiйснити в вщповвдносп з теоремами концевого повороту Ейлера i Шаля i користуючись вiссю концевого повороту тiла ([14], [16]). Детально теорiя концевого повороту тша викладена в [7].

Другий спосiб, що часто зустрiчаеться, це введення вектору о, яке базуеться на тому, що з твердим тшом пов'язаний рухомий трiедр Аехе2^ ■ Для одиничних векторiв е1,е2, е3 маемо

1(/ = А

ее. = ■

' ' [0(/ * Д (2)

Пiд час руху твердого тша одиничш вектори е , постiйнi по модулю, змiнюють сво! напрямки, i тому е = е (0 . Похщна е представляться в виглядi

е, =С1е1 +С-2е2 +Сзез' (3)

На основi спiввiдношення (2) маемо — (е е ) = 0, тому е е =—её , зввдки виходить, що

—Г ' 3 ' 3 ' 3

с . = — с ... Коефiцiенти с, являють собою компоненти кососиметричного тензора, з яким зiставляеться

и Jl У

вектор о = о\ех + о2е2 + юъеъ, причому о\ = ю23,о2 = о31 ,ю3 = С2. Тодi формули (3) приводяться до вщомого вигляду:

еi =©• е,. • 1 = 1,2,3, (4)

Радус--вектор г = ОМ, що з'еднуе деяку нерухому точку О з довiльною точкою М тша, подаеться як векторна сума радус--вектора полюса г = ОА i радус-вектора с = АМ, що визначае положення точки М ввдносно полюса А, тобто г = г а + с. Тут вектор с = АМ = х1е1 + х2е2 + х3е3 незмшно

пов'язаний з тшом i тому координати х залишаються постшними в чай. Диференцшючи г = гА + с i використовуючи сгаввадношення (4), приходимо до формули (1) . Цей спойб е бшьш формальним, але з iншого боку на його основi автором пропонуеться можливiсть пов'язання вектору со з кутами Ейлера.

Формулювання мети дослщження Мета дано! роботи - визначити вектор кутового прискорення тiла е, якщо вiдомi швидкостi у\VУзта прискорення д ,а2,а3 трьох «основних точок» Д,Д,Д в даний момент часу.

Анал1з останн1х дослiджень 1 публжацш

В серединi минулого столггтя болгарський вчений Аркадiй Стоянов видав декшька праць на тему «О кинематике идеально твердого тела» [11,12], результати яких представлеш в [13]. У них кинематика загального руху абсолютно твердого тша представлена дедуктивним способом, без використання методу рухомого трiедра, формул (4) Пуассона i вектору несинченно малого повороту. Приймаеться, що загальний рух твердого тша в просторi визначаеться рухом трьох точок Д, Д, Д, що не лежать на однш прямiй. Розв'язувалась наступна задача: нехай у деякий момент часу вiдомi швидкосп V, у2, V трьох «основних» точок д, Д, Д; необхвдно визначити швидшсть дов№но! точки М цього тша.

Розв'язанням ще! задачi стала формула для визначення вектору кутово! швидкосп о тша за допомогою швидкостей трьох точок i !х взаемних положень [13]

— V, •У +У •У +У •У,

о =-1—2-2—3-3—1----(5)

уДАЛ) + У2(А2 Аз) + УЗ(АЗ Д)

Доведения ще! формули випливае безпосередньо з закону розпод^ швидкостей (1). Виразивши послвдовно швидкостi «основних» точок, маемо

у2 = у +о • АгА2; у3 = у + о • А2А3; у1=у3+о^ А3Аг. Виконуючи векторне множення рiвностi злiва на ^, у2, V вiдповiдно i додаючи отриманi формули, отримуемо

V1 -у2 +У2 -у3 +У3 ■V! = а(У1 (А2 ) + У2( А 4) + V (А3 Д ))-(©• V! )-(А! А + А А3 + А А ) Тут прийнято до уваги, що со ■ V = с ■ V = с ■ V, та, враховуючи рiвнiсть АА + А2 А3 + АА = 0, отримаемо рiвнiсть (5).

Викладення основного матерiалу дослiдження

Визначимо вектор кутового прискорення е твердого тша в загальному випадку його руху (рис. 1). Для цього подамо формулу (5) у виглвд

(^(ДА2) + v2(А2Аз) + Vз(АзА1)) = V! ■V, +v2 ■Vз +

2 1 '2 к3 1 '3 "1

i виконаемо диференщювання за часом

сс А1А2) +V2 (А2 Аз) + Vз (А3 А1)) +

1>1( А1А2) +Vl

d(А1А2) , .

+ !>з( Аз А1) + Vз

dt

d ( Аз А) dt

+ v2 (а2аз) + v2

d(А2Аз) | ^ dt

(6)

Рис. 1. Загальний випадок руху твердого тiла

Враховуючи, що

С = е

с = е; V,. = а,. (, = 1,2,3); ^ = ^ЛА2А = ^-П; dAзAз_ = ^ dt 21 Л 3 1 dt п Vз;

(7)

пiдстaвляючи (7) в (6) i здiйснюючи нескладнi перетворення, отримуемо для вектору кутового прискорення

" '^2 ) + "2 Чи3 ) + "3 V )

-=а1_ • (v2 )+ "2 •(vз -V1)+ "3 •(vl V2 )

(

(8)

Vl(Аl А2) + V2 +Vз(Аз А1) "1 • (А1А2) + "2 • (А2А3) + "З • (АЗ А1) + •V2 ) + (V2 •Vз )+(Vз V )-У +V22 +Vз2 ) Vl(Аl А2) + V2(А2 Аз) + Vз(Аз А1)

де вектор кутово! швидкостi со треба виразити з виразу (5). Отриманою формулою (8) визначаеться вектор кутового прискорення е через швидкосп V, V, V i прискорення ", я ,я трьох не колшеарних основних точок д, д, д, в припущенш, що рух цих точок вщомий.

Окремi випадки руху твердого тша

Розглянемо визначення кутового прискорення е у випадках, коли на рух твердого тша накладено деяш обмеження.

Поступальний рух твердого тiлa. У випадку поступального руху: швидкостi i прискорення всiх точок тiлa рiвнi м1ж собою

V1 = V =V3; "1 = "2 = "3- (9)

Пiдстaвляючи (9) послiдовно в (5) i (8) отримаемо

со = 0; е = 0,

тобто, вектори с i е при поступальному русi тiлa дорiвнюють нулю.

с

= v1 • v2 +v1 • v2 +v2 V +^2 •v3 +v3 •v1 •v1

Обертальний рух твердого тша навколо нерухомо! ой. Це рух твердого тша, при якому двi точки Д i Д тiла нерухомi. Пряма, що визначаеться цими точками, називаеться нерухомою вюсю тша. Тепер рух тша визначаеться рухом тшьки одте! точки Д, що знаходиться зовнi вiсi обертання = ДД (рис. 2). 2

Рис. 2. Обертальний рух

Тшо абсолютно тверде, тому

(ДД )2 = const Шсля диференцшвання за часом маемо

(ДД )2 = const •

едд dt

• АА = о,

d аа dt

• АА = о або v• АА = о, v • АА =

оскшьки dA2Л. = ^ i dA3A = v .

dt

dt

З цього випливае, що 1 АА i V 1 А А, тобто, швидк1сть у1 любо! точки тiла зовнi вiсi обертання перпендикулярна площиш, визначеною цiею точкою i цiею вiссю. Тому введемо вектор о, спрямований по вга обертання, таким чином, щоб його векторний добуток на АА або АА Дорiвнював

V, тобто.

V = о • оа . (11) Тут О - довшьна точка на вга. Якщо розмiрнiсть у1 - м/с, розмiрнiсть ОА -м i розмiрнiсть о - с-1,

то коефщент пропорцiйностi перед векторним добутком в правш частинi рiвностi дорiвнюе одинищ.

Позначимо через Д ортогональну проекцш точки Д на вiсь обертання О = ДД i представимо вектор ОА як ОА = ОА + А*А - Тодi формула (11) матиме вигляд

V = о • а; А , (12)

де А; А 1 Ох.

Помножимо обидвi частини рiвностi злiва векторно на А; А

а; а • ц = а; а • (о • а; а ),

або

а;а • V = о • А'А2 — А'А о А'А),

i так як о L A * Aj, знаходимо

Диференцiюючи за часом, отримаемо

А А. • v •

А* А.2

а* а • a

"~ДАГ

(13)

де a - прискорення точки A, dЛ*Л = dQAi = v , а |д*д| = Л*A = const •

dt

dt

о

Плоскопаралельний рух тша. У цьому випадку кожна точка тша рухаеться в площинi, паралельнш деяк1й нерухомiй площинi а (площина руху). Для завдання плоскопаралельного руху тiла достатньо задати рух якого-небудь перетину тша площиною, паралельною площиш а (рис. 3). Положения i рух ще! плоско! фiгури в !! площинi Oxy цiлком визначаеться двома точками A , y) i A (x, У2 ) , причому

А А2 = const •

11

У

z -O

со A2(x2,y2)

IT '

x

Рис.3. Плоскопаралельний рух

Диференцшемо останне спiввiдношения за часом i знаходимо

d аа dt

• АА = 0 аб° V -V )• 4А = 0,

оскшьки

d A2A1 dt

Зввдси виходить, що р!зниця швидкостей v2 - V точок А 1 А У будь-який момент часу перпендикулярна прямш, що з'еднуе ц! точки. Введемо вектор а, перпендикулярний площин! руху, таким чином, щоб р!зниця швидкостей v2 - V дор!внюе векторному побудку вектору кутово! швидкост! а на А А, тобто.

- V = m • АА або v = V + m • АА •

(15)

П!сля векторного множення другого векторного р!вност! (15) на V, маючи на уваз!, що а ± V, для вектору кутово! швидкост! а отримуемо

V, • V,

а = ' 2 ' (16)

V, • А,А ( )

а п1сля векторного множення першо! р1вност1 (15) на А А * враховуючи, що а± А А > отримуемо формулу для визначення вектору а за допомогою швидкостей точок А 1 А плоско! ф1гури т1ла

а = ^У - V >АЛ •

А,А

З р1вностей (16) 1 (17) знаходимо два вирази для визначення кутового прискорення е плоско! ф1гури тша швидкостями 1 прискореннями точок А 1 А ^е! ф!гури.

Диференц1юючи по часу формулу (16), маемо

(17)

А_а1 • v2 + V1 • a2 «1 • A1A2 + V1-V2 - V1

s = m =--m-

Vf AA

Vf A1A

де m можемо отримати з формули (17).

Диференцiюючи за часом формулу (17), отримуемо

(a - a2 )• AjA2

A1A2

(18)

(19)

де вектор s визначаеться пльки прискореннями a , a2 точок A i A, а також !х взаемним положенням.

Рух твердого тша, що мае одну нерухому точку. У цьому випадку точки тша рухаються по поверхням сфер з центром в нерухомш точщ O — A (рис. 4).

= V - V

2

V

2

Рис.4. Рух тша, що мае одну нерухому точку

Рух тша цшком визначаеться рухом сферично! ф^ури, яка отримуеться перетином тша 3i сферою з центром O = A . З iншого боку рух ще! сферично! фиури визначаеться рухом !! двох точок A i A. Нехай третя основна точка - це нерухома точка A = O. Тодi маемо

ОА2 = const, ОА2 = const, АА2 = const. Диференцiюючи за часом, отримуемо

аОАл.. ОА = 0, .ОА = 0, ^^. аа = o,

dt

dt

dt

Тобто, щд час руху

v ± oa , v ^ OA, v - v ^ AA

оскшьки dOA d OA d AA .

-- = v ,-2 = v2,— = v2 - v

dt 1 dt 2 dt 21

Маемо

v =a-OA, v =a"OA, v = v +ю'AA .

Векторно помноживши третю рiвнiсть злiва на v, знову отримуемо

® = (20)

V1 • A1A2 V '

У формулi (20), на вiдмiну ввд формули (16), швидкостi v1 i v2 точок A i A не завжди перпендикулярнi однiй нерухомш вiсi.

Диференцiюючи (20) за часом, маемо

а1 • v2 + v • a2 a1 • 44 + vf v2 - v1

ь = w =--w-

^ • AA

vf AA

(21)

при чому швидкостi V i та прискорення ах i а2 точок А i А не завжди перпендикулярш однiй нерухомiй вга, як це було у випадку плоскопаралельного руху.

Приклад

Розглянемо кривошипно-повзуний механiзм (рис. 5). Кривошип ОА довжиною г обертаеться з постшною кутовою швидк1стю о0 . Визначити кутову швидк1сть о i кутове прискорення е шатуна АВ

при ф = 60° i ¿ОАБ = 90° .

Шатун здiйснюе плоский рух. Для швидкостей i прискорень основних точок А i В (А=АХ, В=А2 )

маемо

ВА 273 . 2 АО 2 2 .

BA

2 АО

v„ =--wari, а. = с r-.

3 0 A 0 AO

а„ =--соп ri

B 9 0

де i - одиничний вектор вiсi Ox, а ВА i АО одиничш вектори, що визначають напрям швидкостей vA i

BA AO

aB .

Використовуючи формулу (16) i вважаючи, що BA.i = _^п30°.к ab = rJ3> отримуемо кутову

BA '

швидк1сть со шатуна АВ

2V3

с r-с r

3 Со' BA 2 . „„„

3____i — _mn

с

vA ■ AB с rrJ3 BA

---i = _®„ — sin30° • к =--0 к

3

3

P

Рис.5. Кривошипно-повзунний мехашзм Для визначення кутового прискорення е шатуна використаемо формулу (18). Вважаючи, що

— • i = sin60°.K=^K' ВА .i = _ sin 30° .к = _1 к' АО-АВ = cos90° = 0' ВА • i = _cos30° = _^ V •AB = _с r2 л/3,

AO 2 2 AO AB BA 2

отримуемо:

„_aA'VB + VA'aB r"A'ÄB + VAVB _ VA

s =--с-

2 _ffl„ r-

2S AO

\r--

0 AO

•i _®„ r — с r-

,ВА 'ba'

VA-AB

Va-AB

rS

2 АО 2у13 ВА . 2 2 3 2 ^3 V3 3 2 с r--АВ _rn„ r-rn„ r--1 r с r----с r

+ к-3

8л/3

=-с

27

AO

BA

33

2 1 92

32

r

V3

cos90°_ с r

^л/3 л/3 3 . 3

- + ffl„ r

rjb

Вектори а 1 е перпендикулярш площиш руху. Знак "-" перед а вказуе, що обертання шатуна здшснюеться у даний момент часу за годинниковою стршкою, а "+" перед е, що шатун обертаеться упов1льнено, 1 вектор направлено до спостер1гача.

Отримаш результати ствпадають з результатами розв'язання цих задач за допомогою миттевого центра швидкостей 1 закошв розпод1лу швидкостей 1 прискорень.

Висновки

Шсля короткого огляду прийнятих в лтгератур1 способ1в введення вектора кутово! швидкосп в шнематищ абсолютно твердого тша, в робот1 подано формулу для обчислення кутово! швидкосп а за трьома точками, що не лежать на однш прямш. На основ1 ще! формули отримано формули для визначення кутового прискорення е в загальному випадку руху твердого тша 1 в окремих випадках, з використанням швидкосл 1 прискорення трьох «основних» точок. Застосування отриманих формул прошюстровано на приклад1 кривошипно-шатунного мехашзму. Результати ствпадають з результатами розв'язання цих задач традицшними методами.

Список використанот лiтератури:

1. Аппель П. Теоретическая механика, т. I. _ М.: Физматгиз, 1960.-515 с.

2. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики, т. I. _ М.: Наука, 1965.-467 с.

v. -v

A • B

2

9

+

3

3

к =

с r

3. Бъчваров С. Механика, ч.1. - С.: Стандартизация принт, 2001.-391 с.

4. Зоммерфельд А. Механика. - М.: РХД 2001.-368 с.

5. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. - М.: Наука, 1965.-424 с.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. - М.: Наука, 1988.-215 с.

7. Лурье А.И. Аналитическая механика. - М.: Физматгиз, 1961.-824 с.

8. Писарев А., Парасков Ц., Бъчваров С. Курс по теоретической механике, ч.1. - С.: Техника, 1974.427 с.

9. Розе Н.В. Теоретическая механика I. - Л.-М.: Гостехиздат, 1933.-428 с.

10. Синг Дж.Л. Классическая механика. - М.: Физматгиз, 1963.-448 с.

11. Стоянов А. Върху кинематиката на твърдо тяло. - Годишник на Държавната политехника, т.Ш, кн.1, С. 1950.

12. Стоянов А. Върху кинематиката на абсолютно твърдото тяло, II. - Годишник на ИСИ, XV, С. 1952-1953.

13. Стоянов А. Теоретична механика, ч.П Кинематика и динамика. - С.: Наука и изкуство, 1953, 1956.

14. Суслов Г.К. Теоретическая механика. - М.: Гостехиздат, 1946. 667 с.

15. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. - М.-Л.:ОНТИ, 1937.-586 с.