Об определении собственных и определенных функций дифференциальных операторов краевых задач изгиба тонких плит в рамках дискретно-континуальных постановок Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК МГСУ

2/2010

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ИЗГИБА ТОНКИХ ПЛИТ В РАМКАХ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ ПОСТАНОВОК

А.Б. Золотов, П.А. Акимов, В.Н. Сидоров

МГСУ

Рассматривается проблема определения собственных и присоединенных функций дифференциальных операторов краевых задач изгиба тонких плит в рамках дискрет-но-континуалъных постановок.

Eigen functions and adjoined functions of boundary problems of plate analysis in terms of discrete-continual formulations are under consideration in the distinctive paper.

Проблема определения присоединенных функций дифференциальных операторов краевых задач расчета строительных конструкций возникает при решении соответствующих задач при помощи дискретно-континуального методов [2]. На этапе дискретной реализации это выражается в необходимости нахождения корневых векторов матрицы коэффициентов разрешающей системы дифференциальных уравнений. Несмотря на то, что в настоящее время не существует численно устойчивого алгоритма их определения, в [2] предложен специальный подход, учитывающий специфику строительных задач. Тем не менее, для качественного анализа результатов расчета и их наглядного аналитического представления задача определения собственных и присоединенных функций указанных дифференциальных операторов, соответствующих нулевым собственным значениям, представляет несомненный интерес. Исследованиями в данной области занимались А.Г. Костюченко [6-8], М.Б. Оразов [6-7], A.M. Гомилко [1-2], A.A. Шкаликов [8-13], A.B. Шкред [14-15] и другие. Следует отметить, что настоящая статья является идейным продолжением работы [3].

1. Об используемых обозначениях. Будем использовать ниже следующие обозначения: Q - область, занимаемая конструкцией с границей Г = дО. ; - расширенная область, окаймляющая исходную; в - характеристическая функция области Q ; Sr - дельта-функция границы Г = дО. ; xl ,x2 - используемые координаты; w -прогиб плиты; D = Eh3 /[12(1 -v2)] - цилиндрическая жесткость плиты; h - толщина плиты; v - коэффициент Пуассона материала плиты; q - плотность нагрузки; Q, Ml, M2 - поперечная сила и крутящие моменты на границе плиты; дk =д / dxk, k = 1,2.

2. Постановка задачи. Пусть физико-геометрические характеристики плиты остаются неизменными вдоль переменной x2 (основное направление). Тогда операторная постановка задачи в рамках дискретно-континуального подхода может быть представлена в следующем виде [4-5]: _

U" = LU + F ,

0 E

w ff~ w tf

где U = ; U " = d\U = ; L =

v v

La L LA L

'4 ^2 2 и

' 0 "

; F =

L F _

L4 =0D ; L2 =-[d;eDv + 2ôjéD(1-v)ôj +Ж<]; L0 = +6c ;

(1) (2) (3)

2/2010

ВЕСТНИК _МГСУ

Р = 0} -5Ге -д,(ЗгИ,) -52(5ГМ2); (4)

Е - тождественный оператор.

Итак, требуется вычислить собственные и присоединенные функции оператора (2), соответствующие нулевым собственным значениям.

3. Понятие о собственном значении, собственной и присоединенной функциях оператора. Скалярная величина А называется собственным значением оператора Ь , а векторная ненулевая функция й<0) = й<0)(х1) соответствующей собственной функцией, если они связаны уравнением:

(5)

(6)

Ь й<°> = Ай(0) или (Ь - АЕ)й(0) = 0, где й(0) = [ м(0 Для случая А = 0, переписываем (5) в следующем виде:

.(0) -.т

]т.

0 Е

ь-Ь Ь-;Ь2

Векторная ненулевая функция й(к' = й{к'(х1) называется присоединенной функцией высотой к для собственного значения А оператора Ь , если существует набор натуральных чисел ^ такой, что

(Ь-АЕ)'ык) = 0, ^ = 1,2,..., к ; (~-АЕ)'+1йт Ф 0. (7)

В частности, при А = 0 будем иметь:

Ькм(к) = 0

( 0 Е ^ к (к) у

V _ Г1 Г, Г1 ь2 _ У —(к) V ' 0

где й(к) = [ м{к) V(к) ]т . (8)

4. Рекуррентные соотношения. Присоединенная функция высоты к +1 оператора Ь , й(к+1) = й<к+1)(х1), соответствующая собственному значению А связана с предыдущей присоединенной функцией й(к) = й(к)(х1) высоты к той же цепочки рекуррентным соотношением

(~ -АЕ)й(к+1) = й(к), к = 0,1,..., шк, (9)

при этом в общем случае величина шк может не быть конечной.

Соответственно, принимая во внимание (2) и равенство нулю А ,

0 Е

или

Г1 Г Г1 Г

4 0 4 2

(к+1) м> 1

,,(к+1)

(к)

м

(к)

0 1 (к) " 0 1 " "м(к+1)" м(к) "

откуда у ХР V(к+1) (к) или « Р_ V(к+1) .г(к) .

(10) (11)

где а = Ьй; Р = Ь2; у = Ьл. (12)

На основании уравнений системы (11) можем получить формулы, лежащие в основе предлагаемого подхода определения собственных и присоединенных функций оператора

Ь (здесь доопределяется, что м(~2) = = 0 ):

аж(к) = -р™(к+ уМ

Лк-2)

к = 0,1,

5. Вспомогательная задача. Рассмотрим вспомогательную задачу вида: ' а47 / ах4 = Р, X е (0,1) а3у / ах3 = /0, х = 0; - а3у / ах3 = , х = I а2у / ах2 = £0, х = 0; - а2у / ах2 = ^, х = /,

(13)

(14)

ш

к

(к) (к-1) V ' = м '

ВЕСТНИК 2/2010

где у = у(х) — искомая функция; р — Р(х) — функция правых частей; /0, /1, g0, — заданные правые части граничных условий.

Можно показать [4-5], что соответствующая операторная постановка имеет вид:

а 2 а2

^Г^ у = / (х), (15)

ах ах

где Р(х) = Р(х) + /вб(х) - /,8(х -/) + gвS'(х) - glS'(х -/); (16)

с>(х) - дельта-функция Дирака; £'(х) = а8(х)/ах ; д'(х -/) = а3(х -/)/ах . Условия разрешимости задачи записываются следующим образом:

|Р(х)ах = 0; |[ х--)р(х)ск = 0. (17)

0 0 V 2)

Последовательно интегрируя (22) по х, определяя из граничных условий константы, пользуясь формулой Коши, получаем выражение для решения задачи (21):

у = 6 |(х - £)3Р(№ + 6/0х! -1/ (х - 01 + -2goх+2 - 2gl (х -1)1 + Сх + С2, (18)

где х+ = х • х(х); х(х) - функция Хэвисайда.

6. Определение собственных функций. Очевидно, что у'00) = у(0) = 0 и [51у]00) = [51у](0) = 0. На основании (12), (13) и формулы

Ь2у = -2д\вГ>у + (2 -у)Г>8'{х)у, - (2 - у)Б5'(х - !)у1 + 8(х)Бп>'0 - 5(х -/)Бы', (19) определяем две собственные функции оператора Ь :

й?> = [ у®]г , где и/0) = С^; у;0) = 0; (20)

и2(0) = [ <> , где <> = С20дх1 + С20,0; = 0, (21)

где С100 Ф 0, С200 - любое, С201 Ф 0 - произвольные постоянные. В частности, из соображений симметрии и условий нормирования можем принять:

С00 = 1/л/7; С20д = ); С2°,0 =-43/4~1 . (22)

7. Формулы построения собственных и присоединенных функций. Преобразовывая первое соотношение (13) к виду

5Ж^' = Да><м) +Р2д'(x1)w(н)(0)-р2д'(хх -/Vн)(/) + (23)

+дедзум)](0)-ръ5(хх - /)[зум)](/) + ( )

где Д = 2г; рг =-(2-у); Д =-у, (24)

и принимая за основу данные, полученные из решения вспомогательной задачи, находим окончательную формулу построения собственных и присоединенных функций:

х1 1 х1 н/к> = Д |(х1 + -6 |(х1 -£)3

0 60 + 2 Л(х0! ^>(0) - |д(х - о: ^к-\1) + к = 0,1,..., тк (25)

+1 АМ^ДО) - 1Дз(х1 - /)1[51^(к-1)](/) + Сх + С2;

6 2

/к > =

8. Условия разрешимости. Согласно (17), (19) условия разрешимости имеют вид: /

|^(к-2)ох1 +д{[аук-1)](0) - [аум)](/)} = 0, к = 0,1,..., тк; (26)

2/2010 ВЕСТНИК

_МГСУ

w(»>dxx + x-dx, -h(A + A){[^iw<M)](0) + (27)

+ [51w(i-1)](/)] + (Д + A){w(M)(0) - w(M)(/)} = 0, k = 0,1,..., mk. Отметим, что для k = 0 условия (26)-(27) удовлетворяются тождественно, при этом принимается, что w(= w^4 = 0 ; w{~2) = w2_1) = 0 .

9. Построение присоединенных функций. Руководствуясь (13), (25)-(27) устанавливаем, что высота первой цепочки присоединенных функций равна единице, т.е. m1 = 1, а высота второй цепочки равна нулю, т.е. m2 = 0 .

Присоединенная функция первой цепочки определяется формулами:

й™ = [ w(1) v(i)]T , (28)

где wf = -2 С°0(Д +А) x2 + С^X1 + C;,0; v« = C°0; (29)

C100 Ф 0 , C111, C10 - произвольные постоянные. В частности, из соображений симметрии и условий нормирования можем принять:

С С1 = ¿(W* +А)2 ; С1,0 f0Km +А)2. (30)

Замечания. Исследования проводились в рамках следующих работ:

1. Грант МД-4641.2009.8 Президента Российской Федерации для государственной поддержки научных исследований молодых российских ученых-докторов наук «Разработка и развитие корректных дискретно-континуальных методов статического и динамического расчета строительных конструкций, зданий и сооружений на основе построения точных аналитических решений многоточечных краевых задач строительной механики» на 2009-2010 гг.;

2. Грант №09-08-13697 Российского фонда фундаментальных исследований «Разработка, исследование и развитие корректных численно-аналитических методов расчета строительных конструкций, зданий и сооружений регулярной структуры» на 20092010 гг.;

3. НИР «Разработка теории и алгоритмов построения корректных аналитических решателей многоточечных краевых задач применительно к расчетам строительных конструкций», выполняемой по аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (регистрационный номер: 2.1.2/6414);

4. Грант НШ-8684.2010.8 Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации «Многоуровневые численные, аналитические и экспериментальные методы исследования прочности зданий и сооружений с учетом конструктивных и физических особенностей» на 2010-2011 гг.

Литература

1. Гомилко A.M. Некоторые вопросы спектральной теории операторов и квадратичных пучков операторов и их приложения: Дис. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук: М.: МГУ, 1982.

2. Гомилко A.M. О спектре, примыкающем к вещественной оси, в одной задаче теории упругости. // Функциональный анализ и его приложения, 1982, т. 16, вып. 1, с. 70-71.

ВЕСТНИК 2/2010

3. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н. Об определении собственных и присоединенных функций дифференциальных операторов краевых задач теории упругости в рамках дискретно-континуальных постановок. // Вестник МГСУ, №1, 2010, с. 150-154.

4. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений. - М.: Издательство «Архитектура - С», 2010. - 336 с.

5. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Численные и аналитические методы расчета строительных конструкций. - М.: Издательство АСВ, 2009. - 336 с.

6. Костюченко А.Г., Оразов М.Б. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки. // Труды семинара им. И.Г. Петровского. Т. 6. М.: Издательство МГУ, 1981. с. 97-146.

7. Костюченко А.Г., Оразов М.Б. О некоторых свойствах корней самосопряженного квадратичного пучка. // Функциональный анализ и его приложения, 1975, т. 9, вып. 4, с. 28-40.

8. Костюченко А.Г., Шкаликов А.А. Самосопряженные квадратичные пучки операторов и эллиптические задачи. // Функциональный анализ и его приложения, 1983, т. 17, №2, с. 38-61.

9. Шкаликов А.А. Задача об установившихся колебаниях трансверсально изотропного полуцилиндра со свободной границей. // Функциональный анализ и его приложения, 1991, т. 17, №2, с. 86-89.

10. Шкаликов А.А. К спектральной теории пучков операторов и разрешимости операторно-дифференциальных уравнений: Дис. на соискание уч. ст. докт. физ.-матем. наук. М.: МГУ, 1985.

11. Шкаликов А.А. Некоторые вопросы теории полиномиальных операторных пучков. - УМН, 1983, т. 38, №3.

12. Шкаликов А.А. Эллиптические уравнения в гильбертовом пространстве и спектральные задачи, связанные с ними. // Труды семинара им. И.Г. Петровского. Т. 14. М.: Издательство МГУ, 1989. с. 140-224.

13. Шкаликов А.А., Шкред А.В. Задача об установившихся колебаниях трансверсально-изотропного полуцилиндра. // Математический сборник, 1991, т. 182, №3, с. 1222-1246.

14. Шкред А.В. Задача о колебаниях упругого трансверсально-изотропного полуцилиндра // УМН, 1989, т.44, №5, с. 183-184.

15. Шкред А.В. О линеаризации спектральных задач с параметром в граничном условии и свойствах производных цепочек М.В. Келдыша // Математические заметки, 1989, т.46, №4, с. 99-109.

Ключевые слова: дискретно-континуальные методы, расчеты строительных конструкций, изгиб тонких плит, краевая задача, собственное значение, собственная функция, присоединенная функция.

Keywords: discrete-continual methods, structural analysis, plate analysis, boundary problem, eigen functions, adjoined functions

Рецензент: Андреев Владимир Игоревич, доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН (ГОУ ВПО МГСУ).

Адреса электронной почты авторов: [email protected], [email protected]