CC BY
63
3/2006
ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ, ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ
А.Б. Золотов, П.А. Акимов
Введение. Современный уровень мощности компьютерной техники, развитие математики в области аналитических (теория обобщенный функций, теория операторов) и численныгх (новые эффективные методы решения проблемы собственный значений) методов позволили по-новому взглянуть на появившуюся более полувека назад идею создания так называемых численно-аналитических или, следуя терминологии О. Зенкевича, полуаналитических методов расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.
Авторами разработаны дискретно-континуальный метод конечных элементов (ДКМКЭ), дискретно-континуальный вариационно-разностный метод (ДКВРМ), дискретно-континуальный метод граничных элементов (ДКМГЭ) [1-8,13-16]. В настоящей статье сконцентрируемся на первый двух из трех перечисленных методов. Область этих методов составляют конструкции, здания и сооружения, в которых имеется постоянство физико-геометрических характеристик по одному из координат-нык направлений (называемому основным направлением) при произвольно меняющихся внешних нагрузках и любом характере закреплений. Примерами таких обыектов выступают балки, балки-стенки, тонкостенные стрежни, полосы, ленточные фундаменты, плиты, пластины, оболочки, высотные и протяженные здания, трубопроводы, плотины, рельсы, резервуары и др. Вообще, конструкции с постоянными или кусочно-постоянными физико-геомет-
рическими характеристиками по одному из направлений составляют большинство в зданиях и сооружениях (особенно типовые конструкции в сборных сооружениях).
В рамках дискретно-континуаль-нык методов понижается мерность задачи, эти методы сводятся к решению систем обыкновенных дифференциаль-нык уравнений. Данные системы допускают точное аналитическое решение и в этом смысле естественна цель его получения. Однако, несмотря на популярность подобных подходов и участие в исследованиях по данному направлению ряда крупных ученых, вплоть до недавнего времени универсальных методов построения аналитического решения в устойчивой форме, не зависящей от условий конкретной задачи (длина обыекта, жесткостные характеристики, граничные условия, характер нагружения, большое количество дифференциальных уравнений и пр.) предложено не было. Причины такого отсутствия, связанные с определенными математическими сложностями, и сравнения разработанных дискретно-континуальных методов с известными альтернативными подходами обсуждаются ниже. Авторами построены методы получения точнык аналитических решений, практически свободные от всех вымислительнык недостатков.
Представляемые в докладе методы являются дискретно-континуальными в том смысле, что по основному направлению сохраняется континуальный характер задачи и, соответственно,
Рис. 1. Примеры применения ДКМКЭ и ДКВРМ
аналитический вид получаемого решения, в то время как по остальным производится дискретизация того или иного рода (в итоге имеем ансамбль дискретно-континуальных элементов (дискретно-континуальные конечные элементы для ДКМКЭ и дискретно-континуальные сеточные элементы для ДКВРМ, см. рис. 1).
Очевидно, что при численном решении сложных задач строительной механики предварительное аналитическое изучение отдельных локальных свойств проблемы может оказать значительную помощь. Роль разработанных дискретно-континуальных методов помимо того факта, что они позволяют получить решение в аналитической форме со всеми вытекающими отсюда очевидными преимуществами,
состоит еще и в том, что сравнение с аналитическими решениями сложной задачи в более простых и частных случаях позволяет дать оценку принятой расчетной схемы конструкции, используемого метода, алгоритма и полученного решения, в частности, его точности.
1. Суть дискретно-континуальных методов, их сопоставления с известными численно-аналитическими методами.
Математическая суть задачи состоит в следующем. Выделяется одно основное (условно «продольное») направление и вся континуальная задача переходит, как это принято в функциональном анализе, в обыкновенное дифференциальное уравнение вида
Ä2U" + A1U' + Ä0U = R,
(1)
где Ä0, A1, Ä2 - так называемые операторные (дифференциальные относительно переменных, отвечающих неосновным («поперечным») направлениям, и включающие краевые условия) коэффициенты; х - переменная, отвечающая основному направлению; U - вектор-функция неизвестных; U' = dU / dx;
U" = d2U / dx2; R - вектор-функция правых частей.
Например, для задач теории упругости постановки вида (1) соответствуют уравнениям Ламе.
Далее введением сетки по неосновным («поперечным») направлениям осуществляется дискретизация операторов Ä0, Ä1, Ä2 на основе вариационных подходов (вариационно-разностный метод, метод конечных элементов), после чего задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, поскольку только в таком виде может осуществляться аналитическое решение. Имеем:
f (х) = ÄY (х) + F (х), (2) где Y (х) - вектор-функция неизвестных; Y'(х) = dY / dx; А - матрица коэффициентов; F(х) - вектор-функция правых частей.
Основной момент в дальнейшем состоит в последующем решении системы (2), причем все возникающие трудности связаны именно с построением точного аналитического решения с учетом характерной специфики задач расчета конструкций.
Дискретно-континуальные методы, как и многие стандартные полуаналитические подходы (метод Л.В. Канторовича, метод В.З. Власова, метод прямых и прочие [10]) приводят, как правило, к задаче решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (особняком здесь стоит метод А.В. Алексан-
дрова, который не совсем относится к упомянутому классу методов, поскольку предполагает сохранение дифферен-циальнык уравнений в «поперечный» направлениях конструкции и аппроксимацию рядами в «продольном»). Важно акцентировать внимание на том факте, что во всех стандартных полуаналитических методах алгоритм построения аналитического решения такой задачи отсутствует и отсутствует совсем не случайно.
Во-первых, система (2) является жесткой, и матрица коэффициентов А имеет собственные значения разных знаков. Эти обстоятельства в совокупности не позволяют применять для решения (2) стандартные подходы (такие, например, как метод начальных параметров, его развитие в виде метода начальных функций, любые методы, использующие гиперболические функции и т.д. [10]).
Во-вторых, важен и фактор количества рассматриваемых дифференциальных уравнений. В лучшем случае в рамках метода Л.В. Канторовича, метода В.З. Власова и метода прямык можно решить иногда систему, насчитывающую очень небольшое число (два, три и т.д.) обыкновенных дифференциаль-нык уравнений и то это требует зачастую привлечения ряда специальных мер (ограничение длины конструкции и прочее). Перечисленные методы вообще ориентированы авторами изначально исключительно на ручной счет. Так, например, выбор базисных функций в них чаще всего не предполагает никакой дискретизации. Кроме того, эти базисные функции далеко не всегда, а особенно в практических задачах, удается подобрать таким образом, чтобы они удовлетворяли соответствующей части заданных граничных условий. При решении же трехмерный задач с использованием предлагаемых дискретно-континуальных методов число
уравнений достигает нескольких тысяч (рассматривались задачи, включающие 5000 дифференциальных уравнений и более) и все традиционно применяемые подходы для аналитического решения таких систем несостоятельны. В связи с отмеченным выше практически все авторы ищут не точное аналитическое решение в виде формулы со слагаемыми экспоненциального типа, а строят решение с помощью разложений в ряды (методы Л.В. Канторовича и В.З. Власова, метод конечных полос), использований сплайн-функций (метод конечнык полос) и т.д. Вообще, идейно наиболее близким к разработанным дискретно-континуальным методам является метод прямых.
Стандартные полуаналитические подходы очень плохо справляются с учетом сосредоточенных нагрузок и нагрузок, распределенный на небольших участках. Между тем, расчет под такие нагрузки является наиболее важным для большинства строительнык конструкций. Не менее критичны в этом же смысле и граничные условия: либо они несостоятельны, либо для их адекватного учета требуется некоторый специальный вид таких условий, не имеющий места в общем случае. Точность и сходимость решений, получаемых по таким методам, часто сильно зависит от вида выбираемых базисных функций для аппроксимации неизвестных, а также от количества учитываемых членов ряда. Сходимость же в зонах крае-вык эффектов, сосредоточенный факторов, концентраций напряжений и деформаций (т.е. в наиболее ответственных зонах) весьма медленная и слабо зависит от числа учитываемых членов ряда Фурье. И даже, например, если сходимость для перемещений относительно высока, для напряжений и внутренних усилий она много меньше. Данный факт отчасти обыясняется известным в теории рядов эффектом Гиббса,
способам борьбы с которым посвящено достаточно много работ как отечественных, так и зарубежных специалистов. Что касается разработанных дискретно-континуальных методов, включающих в себя точное аналитическое решение получаемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений (не зависящее от числа этих уравнений), то данные методы напротив особенно эффективны в зонах так называемого краевого эффекта, там, где часть составляющих решения представляет собой быстроизменяющиеся функции, скорость изменения которых не всегда может быть адекватно учтена традиционными численными методами. Таким образом, улучшается качество исследования рассматриваемых обыектов, определяемая для них картина напряженно-деформированного состояния развивает интуицию расчетчика и понимание работы конструкций, позволяет оценить характер влияния на конструкцию различнык локальнык и глобальных факторов.
Сказанное в какой-то мере может проиллюстрировать следующий простейший пример. Пусть рассматривается задача о расчете балки на поперечный изгиб от действия сосредоточенного изгибающего момента, приложенного в пролете балки. При вычислении напряжений сходимости практически не будет, тогда как аналитическое решение исходного дифференциального уравнения позволяет полностью определить скачки искомых величин в месте приложения сосредоточенного момента, а также их предельные значения справа и слева от этого места.
Вообще, проанализированные недостатки стандартных методов следуют из математической сути задачи, эти слабые места достаточно подробно указываются в обзорных статьях и монографиях (см., например, [17]) и данные там оценки полностью совпадают с нашим мнением. В целом, преимуще-
ства сочетания качественных свойств замкнутых решений и общности численных методов, отмечались и ранее многими авторами, но большинство разработок прежнего времени были либо не реализуемыми практически из-за отсутствия, по крайней мере, одного из перечисленных факторов, либо, в той или иной мере, не учитывалась сложная вычислительная специфика соответствующих задач и необходимость компьютерной реализации.
Система (2), как указывалось, является жесткой. В частности, отсюда вытекает характер решения вблизи границ (краевой эффект, эффект малого параметра) и в зонах приложения сосредоточенных нагрузок. Таким образом, часть составляющих решения системы является быстроизменяющимися, а часть меняется медленно. Как следствие, никакой дискретный подход, например, использующий сплайны, не в состоянии уловить все компоненты решения одновременно и его асимптотику. Важным параметром является также и протяженность рассматриваемой конструкции. Так, например, если она значительна, то становятся неработоспособными те методы, где на каком-либо этапе используются гиперболические функции. Часто решение системы (2) ведется либо некорректными методами, зачастую не учитывающими специфику строительных задач (например, метод начальных параметров), либо используются методы, не позволяющие получить аналитическое решение (методы типа прогонки, ортогональной прогонки и другие [11], причем метод ортогональной прогонки сопряжен с большим объемом вычислений и неоправданным усилением (орто-гонализацией и нормировкой) исчезающих по длине факторов)).
В литературе жесткие системы, безусловно, исследуются, но в основном при решении задач Коши и, как правило, для систем дифференциальных уравнений с коэффициентами, завися-
щими от аргумента. В нашем случае цель состояла именно в получении аналитического решения при постоянных коэффициентах, что является характерным для большинства зада расчета типовых строительных конструкций.
Процесс получения аналитического решения также осложняется наличием в спектральном разложении матрицы коэффициентов жордановых клеток неединичного порядка. Это ведет к необходимости вычисления присоединенных (корневых) векторов матрицы, что является задачей в общем случае некорректной. В литературе по линейной алгебре [12] доказывается, что не может существовать ни одного численно устойчивого универсального способа вычисления жордановых канонических форм. Разумеется, данное обстоятельство можно преодолеть путем возмущения матрицы, но при этом возникает проблема адекватного выбора параметров возмущения и, кроме того, теряется аналитический характер получаемого решения. В тоже время характерной особенностью жордановой формы матрицы коэффициентов системы при решении задач расчета конструкций является то, что положительным и отрицательным собственным значениям соответствуют жордановы клетки единичного порядка, тогда как клетки неединичного порядка отвечают исключительно нулевым собственным значениям и число таких клеток неединичного порядка небольшое. Это клетки имеют конечный вид, и они практически не зависят от густоты сетки, аппроксимирующей поперечное по отношению к основному направлению сечение конструкции. Данная особенность позволяет применить для построения аналитического решения ряд относительно простых подходов.
Традиционная постановка многоточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид:
П--1
у(1) - Ау = /, х е У (хьк,х^);
к=1
В1 У(хьк -0) + Б1у(хьк+0) = к = 1,
(3)
(4)
где у = у(х) = [у1(х) у2(х) ... уп(х) ]Т - искомая п-мерная вектор-функция; / = /(х) = [/1(х) /2(х) ... /п(х) ]Т - п-мерная вектор-функция правых частей; хкк, к=1, ..., пк - координаты граничных точек; А - матрица постоянный коэффициентов п-го порядка; Вк, В+ - матрицы граничнык условий п-го порядка; - п-мерный вектор правых частей граничных условий.
Метод точного решения соответствующих систем существует, и он разработан авторами. Данный метод, заключающийся в решении многоточечной краевой задачи (3)-(4) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, основан на использовании фундаментальной матрицы-функции, определяющейся уравнением (ниже 5(х) - дельта-функция Дирака; Е - тождественный оператор; в(х) - фундаментальная матрица-функция)
в (1)( х) - Аг (х) = 5 ( х) Е (5)
и построенной в специальном виде, удобном для решения практических задач строительной механики.
Точный метод решения задачи (3)-(4) связан со спектральным разложением матрицы коэффициентов. Это спектральное разложение в силу сложной специфики задач строительной механики основано на некоторых особых приемах, разработанных автором (построение проекционнык подпространств и т.д.). Эти же приемы облегчают применение метода стандартной области, связанное с наличием дискретно-континуальных элементов нулевой жесткости.
Как известно [12], жорданово разложение матрицы А системы (3) записывается в виде (ниже J - блочно-диагональная матрица Жордана)
А = Т J ТЛ, где J = J2, ..., Ju
(6)
Т - невырожденная матрица, столбцами которой являются собственные и корневые векторы матрицы А; Jp - жорданова клетка, соответствующая собственному значению Хр; &\шЗ=шр.
Суть решения задачи (3)-(4) состоит в рассмотрении матрицы коэффициентов как оператора и введении трех подпространств. Первое подпространство отвечает собственным векторам, соответствующим положительным собственным значениям, второе - собственным векторам, соответствующим отрицательным собственным значениям, третье - собственным и присоединенным векторам, соответствующим нулевым собственным значениям.
Вычисление проекторов на первые два подпространства осуществляется за счет определения правых и левых собственных векторов матрицы коэффициентов, которое производится по устойчивому алгоритму. Иными словами одновременно решается левая и правая проблемы собственный значений, что является очень существенным приемом для получения конечного результата. Итак, проектор на подпространство собственных векторов, отвечающих ненулевым (положительным и отрицательным) собственным значениям, после специальных сортировок собственный значений и собственных векторов [1] может быть определен формулой
п
р=тту1^, (7)
где Т и Т1 - соответственно матрицы, содержащие правые и левые собственные векторы, соответствующие ненулевым собственным значениям матрицы А, причем матрицу Т предлагается определять из решения левой проблемы собственных значений (учитывается тот факт, что, как следует из сказанного выше, практически невозможно на практике построить матрицы Т и Тв разложении (6) в случае наличия в матрице J жордановых клеток неединичного порядка).
Третье же подпространство является дополнительным к двум первым и в этой связи не нуждается в специальном построении проектора. Он элементарным образом находится как разность тождественного оператора с парой остальных проекторов, которым он ортогонален. С этих позиций найдено достаточно простое точное решение проблемы. Иными словами
Р2 = Е - р, (8)
где Е - единичная матрица соответствующего порядка.
Таким образом, строится разложение матрицы коэффициентов системы (3), которое при решении задач расчета конструкций предлагается называть частичным жордановым разложением:
А = А + А2, где А = Т JЛ А2 = А - Д. (9)
Общее решение многоточечной краевой задачи (обобщенное решение) ищется в виде свертки фундаментальной матрицы-функции системы с вектор-функцией правых частей, т.е.
7 =8*^ = 8*/ + ^8(х-4)С, , где Ск = Ьук,
(10)
к=1
где х е ( -да, + да); &ук = у (хьк + 0) - у (хьк - 0) - вектор величин конечных разрывов
в точке хьк ; 7 - обобщенная вектор-функция неизвестных.
Фундаментальная матрица-функция строится однозначно в виде, исключающем экспоненциальные функции с положительными аргументами (функции катастрофы по В.И. Арнольду). На подпространстве, отвечающем собственным и присоединенным векторам, соответствующим нулевым собственным значениям, выполняется прямое построение решения. Имеем:
ттах-1 ^ к
8(х) = Тёо(х)Т +х (х,0)[Р2 + £ —4],
к=1 к!
^(х)0(- Яе(Х,)х), Xр * 0 Г
где Х(х,ХР) = \ * п. ы$п(х) =
1, х > 0 0, х < 0;
0.5^(х), Xр = 0; 80(х) = х Х1) ехр(Х1x), х( х х/) ехР( х/х)} ; т^х = тах
I <г <и
(11)
(12) (13)
I - число ненулевых собственных значений матрицы коэффициентов.
Такой подход ориентирован именно на решение задач строительной механики, но также может успешно применяться для более широкого класса проблем. Нахождение коэффициентов в (10) из граничных условий (4) производится явным матричным методом или методом базисных вариаций [1].
Авторами также разработан метод аналитического решения многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго
порядка, подробно описанный в [5]. Этот метод (наряду с описанным выше) используется при решении задач расчета плит в рамках ДКМКЭ и ДКВРМ.
Прямое или точное решение многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в литературе (выполнен анализ более 600 публикаций, в том числе обзорных статей) не приводится. По-видимому, главную роль в этом сыграли перечисленные особенности подобных задач. Хочется отметить, что эти особенности характерны именно для строительных задач (расчеты конструкций, зданий, сооружений) и, может быть, по этой причине они не являлись предметом широкого исследования в математике, хотя решением близких проблем в значительной степени занимались в МГУ им. М.В. Ломоносова, в том числе в научных школах М.В. Келдыша, А.Г. Кос-тюченко, Б.М. Левитана, А.А. Шпаликова и других (см., например [9]). Однако в работах перечисленных ученых исследовались в основном качественные вопросы (существование, единственность и т.д.), тогда как проблемы численной реализации практически не затрагивались. Докладчиками реализован устойчивый алгоритм аналитического решения при любом числе неизвестных в корректной для вычислений форме, который является основой для построения программных комплексов промышленного типа. Что касается программной реализации, следует заметить, что построены авторские программные комплексы, по которым рассчитано большое количество модельных, тестовых и практически важных задач расчета строительных конструкций и сооружений.
Строго говоря, сама идея представляемых исходных постановок достаточно естественна. В тоже время, новой является формулировка численно-аналитических методов в рамках многото-
чечных краевых задач расчета конструкций с операторными коэффициентами (следуя традициям школы функционального анализа МГУ) и с использованием теории обобщенных функций. Данные операторные коэффициенты представлены неограниченными операторами (дифференциальными), поэтому их дискретное представление имеет соответствующие особенности. Вообще, представляется, что наиболее успешными и законченными с практической точки зрения являются разработанные методы аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики, ДКМКЭ и ДКВРМ.
2. Сведения о программной реализации разработанных дискретно-континуальных методов. Разработанные дискретно-континуальные методы расчета строительных конструкций положены в основу соответствующих комплексов программ: DCFEM 2D/3D (для ДКМКЭ), DCBEM 2D/3D (для ДКМГЭ) и DCVDM 2D/3D (для ДКВРМ) [3]. Построенные программы могут использоваться на ПЭВМ с процессорами Intel Pentium III/IV или AMD Athlon XP/Athlon MP (имеются соответствующие оптимизированные версии исполнительных модулей). Рекомендуемый объем оперативной памяти 512 Mb и более. На жестком диске требуется около 500 Mb свободного пространства. Поддерживаются операционные системы Microsoft Windows 98/2000/XP/2003 Server. При написании текущих версий вычислительных модулей комплексов использовался язык программирования FORTRAN стандарта FORTRAN-90/95, среда Compaq Visual Fortran 6.6B и компилятор Intel Fortran Compiler 7.0.
3. Примеры расчетов.
На основе разработанных методов и программных комплексов решен представительный набор модельных, тестовых и практически важных задач.
Для сопоставления результатов использовались программные комплексы промышленного типа СТАДИО 2003 и Апяуя/СМШЕМ.
Фрагментарные галереи результатов, полученных при расчетах некоторых трехмерных задач, показаны на рис. 2, 3.
Результаты расчетов рассматриваемых объектов, выполненных по всем программным комплексам, в целом, хорошо согласуются друг с другом. Некоторые отличия в напряжениях связаны
с особенностями задания упругого основания в программном комплексе Атуя/Ст^ЕМ (распределенное по подошве плотины упругое основание аппроксимировалось системой сосредоточенных пружин, каждая из которых описывалась тремя конечными элементами типа СОМБШ 14) и алгоритмом вычисления напряжений в конечных элементах принятом в Атуя.
4. Заключение. Полученные результаты позволяют оценить влияние краевого эффекта на напряженно-де-
Рис. 2. Задача о расчете рельса в трехмерной постановке
Рис. 3. К расчету арочно-травитационной плотины в трехмерной постановке
формированное состояние строительных конструкций, зданий и сооружений, получить устойчивые и универсальные методы расчета, позволяющие создать протраммные комплексы про-мышленното типа, расширить область аналитических и полуаналитических подходов в расчете и исследовании конструкций, имеющих постоянные физи-ко-теометрические характеристики по одному из направлений.
Литература
1. Золотое А.Б., Акимов П.А. Некоторые аналитико-численные методы решения краевых задач строительной механики: Монография - М.: Издательство АСВ, 2004. - 200 стр.
2. Золотое А.Б., Акимов П.А. О задачах расчета конструкций с постоянными физико-теометрическими характеристиками по одному из направлений в
аналитических и дискретно-континуальных формах. // Строительная механика и расчет сооружений, 2005, №1, с. 55-60.
3. Акимов П.А., Золотое А.Б. Численно-аналитические методы расчета строительных конструкций: перспективы развития и сопоставления. // САПР и трафика, 2005, №1, с. 78-82.
4. Акимов П.А. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений. // «НТТ - наука и техника транспорта», 2005, №1, с. 56-59.
5. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Колесников Г.П. Метод аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второто порядка. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №3. - М.: МГСУ 2005, с. 124-134.
6. Золотов А.Б., Акимов П.А. Прямой
дискретно-континуальныи метод граничных элементов для определения напряженно-деформированного состояния трехмерных конструкции. // «НТТ - наука и техника транспорта», 2004, №3, с. 70-77.
7. Золотое А.Б., Акимов П.А. Дискрет-но-континуальныи метод конечных элементов для определения напряженно-деформированного состояния трехмерных конструкции. // «НТТ - наука и техника транспорта», №3, 2003, с.72-85.
8. Золотое А.Б., Абдурашитое А.Ю., Акимов П.А. Применение полуаналитического метода конечных элементов для оценки напряженно-деформированного состояния рельса. // Вестник ВНИ-ИЖТ, 2001, №4, с.26-32.
9. Костюченко А.Г., Оразое М.Б. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра и связанные с неИ самосопряженные квадратичные пучки. // Труды семинара им. И.Г. Петровского. Т. 6. М.: Издательство МГУ, 1981. с. 97-146.
10. Постное В.А. Численные методы расчета судовых конструкции. - Л.: Судостроение, 1977. - 280 с.
11. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. - М.: Издательство Московского физико-технического института, 1994. - 528 с.
12. Хорн Р., Джонсон Ч. МатричныИ анализ. - М.: Мир, 1989. - 655 с.
13. Akimov P.A., Zolotov A.B. Discrete-continual Variation-difference Method of
Analysis for Two-dimensional and Three-dimensional Problems of Structural Analysis. // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. Volume 1, Issue 2, Begell House Inc. Publishers & ASV, 2005, p. 1-20.
14. Akimov P.A., Zolotov A.B. Discrete-continual Finite Element Method of Analysis for Three-dimensional Curvilinear Structures with Unilateral Constraints. // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. Volume 1, Number 5, Begell House Inc. Publishers & ASV, 2003, p. 1027.
15. Sidorov V.N., Zolotov A.B., Akimov P.A. Discrete-continual Boundary Element Methods of Structural Analysis. // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. Volume 1, Number 5, Begell House Inc. Publishers & ASV, 2003, p. 84-99.
16. Zolotov A.B., Akimov P.A. Semianalytical Finite Element Method for Two-dimensional and Three-dimensional Problems of Structural Analysis. // Proceedings of the International Symposium LSCE 2002 organized by Polish Chapter of IASS, Warsaw, Poland, 2002, p. 431-440.
17. Christov C.T., Petrova L. Comparison of Some Variants of the Finite Strip Method for Analysis of Complex Shell Structures. // Proceedings of the IKM, Weimar, 2000.
Публикуемая статья создана с использованием результатов выполнения работ на средства Гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых МД-1785.2006.8.
