CC BY
31
проектирование и конструирование строительных систем. проблемы механики в строительстве
УДК 624.04
П.А. Акимов, М.Л. Мозгалева, В.Н. Сидоров
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
ОПЕРАТОРНАЯ ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА ТРЕХМЕРНОЙ КОНСТРУКЦИИ С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ ФИЗИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ ПО ОСНОВНОМУ НАПРАВЛЕНИю В РАМКАХ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОГО ПОДХОДА
Рассмотрена операторная постановка проблемы определения собственных значений и собственных функций краевой задачи расчета трехмерной конструкции в рамках дискретно-континуального подхода. Допущена переменность физико-геометрических параметров конструкции по основному направлению. В частности, исследован случай их кусочного постоянства. В качестве расчетной модели конструкции принята трехмерная задача теории упругости. Приведены выражения для определяющего оператора краевой задачи с выделением основного направления, описан алгоритм учета упругоподатливых опор, изложены алгоритмы задания типовых граничных условий.
Ключевые слова: дискретно-континуальные методы, операторная постановка, проблема собственных значений, краевая задача, кусочно-постоянные параметры, трехмерная конструкция.
1. Некоторые предварительные обозначения. Введем обозначения: x3 — переменная, соответствующая основному направлению [1—3], т.е. направлению, вдоль которого физико-геометрические параметры конструкции изменяются кусочно-постоянно (заметим, что по переменным xj и Х2 физико-геометрические параметры конструкции могут изменяться произвольно); Sq — область, занимаемая «поперечным» по отношению к основному направлению сечением конструкции (постоянно вдоль Х3 ); I3 — длина конструкции по основному направлению (Х3 е [0, I3 ]) ; x3k, k = 1, nfc — координаты сечений, в которых задаются граничные условия (в частности, координаты сечений, где происходит «скачкообразное» (разрывы первого рода) изменение параметров конструкции); Qк, к = 1,..., nk -1 — соответствующие фрагменты, на которые разделяется конструкция,
Qk = Х2, Х3): (Х^ Х2) е SQ, Х3,к < Х3 < Х3,к+1 }, k = 1, Пк, (11)
где Гк, к = 1, ..., пк -1 — соответствующие границы фрагментов; 9k = 9k(xux2,x3) — характеристическая функция области Q.k; Sr>k = Sr>k (x1; x2, x3) — дельта-функция границы Гк = ddk [4],
f 1, (xj, x2,x3) eQ.k _
9k (xj, x2, x3) = | 0, ( x2, ^^^^, 5r,k (Xl, x2, xз) = dQk / dnk, (1.2)
__T
где nk = [nkl nk2 nk3] — вектор нормали к границе Гк ; юк, к=1, ..., пк -1— расширенные области, окаймляющие соответствующие фрагменты, в частности
Юк = {{ х2, x3): -ж< Xj <-œ<x2 < +<ю, xb3k < x3 < x\k+x |, (1.3)
© Акимов П.А., Мозгалева М.Л., Сидоров В Н., 2012
29
з ' 1 0 0 " д 1р кд 1 д 2Р к д 1 д 3Р кд 1
4 = Ед * 0 1 0 + д * к д 2 д 2Р к д 2 д 3Р к д 2
1=1 0 0 1 д ^Р к д 3 д *2р к д 3 д *Р к д 3
где Ьк — оператор задачи в расширенной области юк относительно перемещений на интеРвале х е( х1к, хьи+1),
.- .- .- (14)
дАд1 91Хкд2 д*Хкд3
д'21кд! д 21 к д 2 д $ к дз
д 3^ * д 1 д3Чд2 д & д з
где Хк и цк — параметры Ламе [5], определенные на расширенной области юк эйк и равные нулю вне 0.к , т.е.
\ = к ; м-к = ; 6к = д ! дхк
д'к = -6/ дхк,
к = 1, 2, 3,
(1.5)
где 5 — искомое собственное значение; % — вектор перемещений (собственная вектор-функция) на интервале (х*к, х*к+1),
щ = [ и® и?) ^, , ,+ (1.6)
где } — компоненты г у тензора деформаций на интервале (х^к,х^к+1 ); аУ} — компоненты а у тензора напряжений на интервале (х^, к+1),
-(к)
= 0,5(5,
(к) .
,(к)
О
(к)
= 5^ к Е( к) + 2ц к Е?
(к)
(1.7)
-1 ^¡иг р „у
2. Представление определяющего оператора краевой задачи с выделением основного направления. Учитывая кусочно-постоянный характер изменения параметров конструкции по основному направлению (вдоль Х3), можем записать:
2 ~
Ьк = -Ьк,тд3 + Ьк,ыуд3 + Ьк,ии , ~ *
где Ьк,иу = Ьк- Ьк,т ; Ьк= Ьк,иу ; (2.1)
" 0 0 5*^"
(2.2) (2.3)
~Рк 0 0 ' 0 0
ч = 0 Рк 0 ; Ь, = 0 0 д1хк ;
0 0 ^к + 2рк _ _51Рк 52Рк 0
2 ' 1 0 0 " д*РД д2р4д1 0 д*^4д1 дХд2 0
кии = 0 1 0 + д*Р,д2 д2РА 0 + д2\д1 д*2Кд2 0
1=1 _ 0 0 1 _ 0 0 0 0 0 0
г * где Ьк,ш — сопряженный с Ьк, иу дифференциальный оператор, а Ьк
метричный оператор.
Операторы (2.2) и (2.3) можно представить в виде разложений
Ьк,иу = Ьк,им,1 + Ьк,иу,2 ; Ьк,уи = Ьк,ш,1 + Ьк,ми,2 ; Ьк,ии = Ьк,ыы,1,1 + Ьк,мм,1,2 + Ьк,ыы,2,1 + Ьк,ии,2,2 ,
где Ь, , = д*
к 1
о о хк 0 0 0 Р к 0 0
Ьк ,му ,2 = д2
0 0 0 0 0 Рк
0
К 0
(2.4)
(2.5)
(2.6)
" 0 0 Рк" "0 0 0 "
Ь , = к ,1 0 0 0 д,; к 2 0 0 р к д 2; (2.7)
_ ^к 0 0 0 ^к 0
\ + 2рк 0 0" Рк 0 0"
0 рк 0 01; к ии,2,2 = 52 0 К +2рк 0 52; (2.8)
0 0 Рк _ 0 0 рк _
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве ВЕСТНИК
_МГСУ
L - 8'
0 \ 0 0 0 0 0
0
-8
1,2,1 2
0
Й 0 0 0 0 0
(2.9)
3. Операторная постановка задачи с выделением основного направления. Операторная постановка задачи имеет вид
Lkuk = suk,
: (Х" Х" )
■ \ 3,k+1 )'
k = 1,
nk-1.
(3.1)
Рассмотрим произвольное k-е уравнение системы (3.1). Учитывая (2.1), можем
(3.2)
переписать его следующим образом:
- Lk,vvd3uk + Lk,uvd3uk + Lk,uuuk = suk .
Введем обозначение
V = |>® V® v3k> | =[5з«(к> 5зи2к) ^ =5йк = < . (3.3)
Следовательно, руководствуясь (1.7) и (3.3), имеем следующие формулы для деформаций:
£11 = к); = д2и?); = к) ; ^) = 4? = О,5(и?> + 52и\к>);
е<? = г« = 0,5(5 2и<*> + ^); е<3' = е« = 0,5 ( и?> + V®). Далее переходим от (3.2) к уравнению
- 1к,УГУ'к + 1к,ШУк + 1к,ииик = и ,
где ^ = .
Объединяя уравнения (3.6), получим следующую систему:
(3.4)
(3.5)
или
0
Lk ,vv
\u'k 0 E ' uk
Lvk_ Lk,uu - sE Lk,uv _vk
0 E
lL(4„„ -sE) l-L
k ,vv v k ,uu ' k ,vv k ,uv
где E — тождественный оператор. Окончательно имеем
Uk = Lk,sUk ,
0 E
где Lk, s =
Lk,vv (Lk ,uu sE) Lk,vvLk,t
Uk =
uk vk
U'=d 3Uk =
d3uk uk
d3vk. vi.
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9) (3.10)
Уравнение (3.9) следует дополнить граничными условиями, задаваемыми в сечениях с координатами хЬ,к, к = 1, ..., пк . Эти граничные условия представимы в виде
в— (4,к - 0) + в{ик (( + 0) = I; +1;, /г = 2,..., Щ-1; (3.11)
В1 й (< + 0) + в; йщ_1 (^ - 0) = + , (3.12)
где Вк, В+, к = 2, ..., пк -1, В+ и В— — матрицы коэффициентов граничных условий 6-го порядка; , , к = 2,..., пк -1, и — векторы правых частей граничных условий, шестимерные.
Объединяя (3.9), (3.11) и (3.12), получаем операторную постановку многоточечной краевой задачи с выделением основного направления:
Uк Lk,sUk, Х3 G (x3,k, Х3,к+1 )' к 1 •••' Пк 1;
, nk -1;
(3.13)
в-ик-1 ( - 0)+в;ик ( + 0) = Гк+ Гк , к=2,
в^1 (хЬ,1 + 0) + В;Дк-1 ((,Пк - 0) = + Ж-. 4. Об учете упругоподатливых опор. При решении практических задач нередко имеют место случаи, когда на области 0.к, ее границе Гк или их частях заданы упругоподатливые опоры, непрерывные по основному направлению. Вектор Як I реактивных усилий, возникающих в опоре, имеет вид
Як, =[Як,,1 Як,,2 Як,,3 у = Скйк,,, (4.1)
ВЕсТниК МГСУ
ск ,1,1 0 0 " ик ,1,1
где Ск ,1 = 0 ск ,1,2 0 ; ик ,1 = ик ,1,2
0 0 ск ,1,3 _ ик,1,3 _
(4.2)
Ск I — матрица упругих характеристик опоры; ик 1 — вектор перемещений опоры; ск,1, ] — коэффициент отпора 1-й опоры по направлению оси Ох.
Наличие упругоподатливых опор вносит корректировку в постановку (3.13), а именно в формулу (3.10). В данном случае имеем
с,,
0 Е
кк =
Е
'к,т>(
(Ек,ии + Ск ) Ек,тЕк,пу
, где Ск = (0, + 5Г,)
(4.3)
где ск 1 = ск 1 (х1,х2,х3) — коэффициент отпора по направлению оси Ох..
5. Задание некоторых типовых граничных условий. Рассмотрим ниже задание некоторых стандартных типов граничных условий, поперечных по отношению к основному направлению в форме (3.11)—(3.12) в произвольной граничной точке с координатой х3 к . Возможны три основных варианта граничной точки: 1) 1 < к < щ — промежуточная граничная точка; 2) к = 1 — крайняя левая (первая) граничная точка; 3) к = Пк — крайняя правая (последняя) граничная точка. Шарнирное закрепление
Для случая 1 < к < Пк имеем следующие граничные условия:
ик-1 (х1, х2 , х3Ьк - 0) = 0; ик (х1, х2
или в поэлементном виде
+0 ) = о,
(5.1)
Хк-1)
(х2 , хЬ,к - 0)= 0,
1 = 1, 2, 3; и
(к)
( ^
о) = о,
т.е. Вк =
вк =
1 = 1, 2, 3,
0" о 0 0 0 0
= 8к =
(5.2)
(5.3)
Для случая к = 1 имеем следующие граничные условия:
и1 (^
- 0) = 0 или и'1 (х, х2, х3Ьд + 0) = 0, 1 = 1, 2, 3,
т.е. В+ =
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 000000 000000 000000
а первые три компоненты в векторах и нулевые.
Для случая к = Пк имеем следующие граничные условия:
(5.4)
(5.5)
-1 (^
- 0) = 0, т.е. и("к-1) (х, х2Ь П - 0) = 0, 1 = 1, 2, 3,
т.е. в- =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
(5.6)
(5.7)
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве
а последние три компоненты в векторах и gnk нулевые.
Свободный край
Для случая к = 1 имеем следующие граничные условия:
({ x2> Хд+0) =0; ({ Х2' x3,k +0) =0; ({ ^ 4,t +0) =
Учитывая формулы (1.7) и (3.3), можем записать:
0« = 2ц* е® = 2ц* 0,5 ( + 5зМ1(1)) = ц * (31м31) + у®);
о« = 2ц* Е21З) = 2ц* 0,5 (5 2Мза) + 5 з«2°) = Ц * («34 + V?) ; а33> = ( + 822 )+ (X( + 2Ц* )8® = X, (5Л® + 52и® )+
+ (X* + 2ц, )5змз(1) = X( (и ® + 5 2и® )+ (X( + 2ц( )у®. Следовательно, вместо (5.8) получаем: ц 1 ([51«з(1) ] (х,, х(Л + 0) + V® (х,, х(Л + 0)) = 0;
Ц! [[и® ) (, х2,хь31 + 0) + V( (,х2,х^ + 0)) = 0;
х1 ([а1 «® ] , х2, хьХ1 + о )+ [а 2 м 21] ] (х1, х 2, хьЗЛ + о ))
+ + 2ц1)у® (х1, х2, хЬЛ + 0)= 0,
(5.8)
(5.9)
(5.10)
(5.11)
(5.12)
(5.13)
(5.14)
т.е. B+ =
0 0 цД Ц1 0 0
0 0 Ц^ 2 0 Ц1 0
Vi V 2 0 0 0 X1 + 2ц1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
(5.15)
а первые три компоненты в векторах и нулевые.
После соответствующей аппроксимации в рамках дискретно-континуального метода конечных элементов матрица (5.15) становится числовой. Для случая к = Пк аналогично имеем:
0?-1) х2, х/? - 0 = 0; 02й/-1) х2, х/? - о) = 0;
-3?-1) {х1,х2,4й„к -о) = 0 (5.16)
или с учетом (5.9)—(5.11)
(("К.^, -0) + ^ ((2.^ " 0)) = 0; (5.17)
((и3(1)](х 15х2,хЬ, -0) + V2 ((л^,„к -0)) = 0; (5.18)
4-1 ((] (, х2, х\„ - 0) + [52«2 ] (, х2, хьЪл - 0)) +
(5.19)
-1+2 ^% , )v4 ъ X 15X2, . - = 0,
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
B~ = "t 0 0 Ц "t -151 Ц "t -1 0 0
0 0 Ц "t -15 2 0 Ц "t -1 0
X ,d, _ "t-1 1 X "t-1 2 0 0 0 X "t- 1 + 2Ц
(5.20)
7Г+ „ ТГ-
а последние три компоненты в векторах gj и gn нулевые.
После соответствующей аппроксимации в рамках дискретно-континуального метода конечных элементов матрица (5.23) становится числовой.
Идеальный контакт
Условия идеального контакта, как правило, задаются в поперечных по отношению к основному направлению сечениях, где происходят скачкообразные изменения физико-геометрических параметров конструкции.
Для случая 1 < к < щ имеем следующие граничные условия:
ик—1 (х2 5 Х3,к — 0) = и к (Х2> Х3,к + 0) ^
т( к-1)
Л к-1)
(( (( ((
°33 ' (Х1'Х2>Х3,к "
После преобразований вместо (5.21)—(5.24) можем записать:
и(к) (^ ^ хъ,к + 0)—и\к—15 (^ ^ хъ,к— 0) = 0, ' =1, 2, 3;
цк ([би33] ] (х1 , х2, х{к + 0)+ ^*] , х2, ХЬЗЛ + о))
- Ик ([ и(к] (х!, х2, - 0 )+ -1) , х2 , х1к - 0 ))= 0; Цк (2М3<к> ] (Х1 > Х2 > Х3,к + 0) + к (Х1 > Х2 ' Х3,к + 0)) -
(2МЗк-1> ] (Х1 > Х2 ' Х3,к - 0) + ^ (Х1 > Х2 > Х34к - 0)) = 0;
^к ([51М1<к' ] (х1 , х2 , хз,к + 0)+ [52и2к' ] (х1 , х2 , х3,к + 0)) + (^к + к Кк' (х1 , х2 , х3,к + 0)" 1 к-1 ([51иГ^ ] (х1 , х2 , 4,к " 0)" - Хк-1 ([5 2и2к-1> ](х1> х2> 4,к - 0)"(^к-1 + 2^к-1 ^З^ (х1> х2> х3,к - 0 )= 0
О) = а™ ((X2,х1к + о); (( Х2' 4,к +
О) = о3к (( х^ х1к + 0).
х2 ' х3,к 0 ) _ °2з)
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 ц к -А ц к-1 0 0
0 0 ц к - 1<Э 2 0 ц к -1 0
_* к-1<Э * к - 1<Э 2 0 0 0 * к-1 + 2ц к
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 ц к ^ ц к 0 0
0 0 ц к 8 2 0 ц к 0
_ * к д1 * к8 0 0 0 * к + 2ц к _
в; =
8— = 8+ = [ 0 0 0 0 0 0 ]Т .
(5.21)
(5.22)
(5.23)
(5.24)
(5.25)
(5.26)
(5.27)
(5.28)
(5.29)
(5.30)
(5.31)
После соответствующей аппроксимации в рамках дискретно-континуального метода конечных элементов матрицы (5.29) и (5.30) становятся числовыми. Замечания. Исследования проводились в рамках следующих работ: 1. Грант 2.3.8 Российской академии архитектуры и строительных наук «Разработка и исследование дискретно-континуальных методов для расчета строительных конструкций с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по одному из направлений» на 2011—2012 гг.
к
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве ВЕСТНИК
_МГСУ
2. Грант 2.3.18 Российской академии архитектуры и строительных наук для молодых ученых специалистов «Разработка и верификация коррективных численных и численно-аналитических методов исследования локального напряженно-деформируемого состояния строительных конструкций на основе многоуровневого вейвлет-анализа» на 2012 г.
Библиографический список
1. Дискретные и дискретно-континуальные реализации метода граничных интегральных уравнений / А.Б. Золотов, П.А. Акимов, В.Н. Сидоров, М.Л. Мозгалева. М. : МГСУ, 2011. 368 с.
2. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений / А.Б. Золотов, П.А. Акимов, В.Н. Сидоров, М.Л. Мозгалева. М. : Архитектура-С, 2010. 336 с.
3. Численные и аналитические методы расчета строительных конструкций / А.Б. Золотов, П.А. Акимов, В.Н. Сидоров, М.Л. Мозгалева. М. : Изд-во АСВ, 2009. 336 с.
4. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М. : Наука, 1965. 327 с.
5. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. М. : Изд-во АСВ, 2005. 736 с.
Поступила в редакцию в мае 2012 г.
Об авторах: Акимов Павел Алексеевич — доктор технических наук, член-корреспондент РААСН, профессор кафедры информатики и прикладной математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-59-94, [email protected];
Мозгалева Марина Леонидовна — кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры информатики и прикладной математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-59-94, [email protected];
Сидоров Владимир Николаевич — доктор технических наук, профессор, советник РААСН, заведующий кафедрой информатики и прикладной математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-59-94, [email protected].
Для цитирования: Акимов П.А., Мозгалева М.Л., Сидоров В.Н. Операторная постановка проблемы определения собственных значений и собственных функций краевой задачи расчета трехмерной конструкции с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по основному направлению в рамках дискретно-континуального подхода // Вестник МГСУ 2012. № 6. С. 29—36.
P.A. Akimov, M.L. Mozgaleva, V.N. Sidorov
OPERATOR-RELATED FORMULATION OF THE EIGENVALUE PROBLEM FOR THE BOUNDARY
PROBLEM OF ANALYSIS OF A THREE-DIMENSIONAL STRUCTURE WITH PIECEWISE-CONSTANT PHYSICAL AND GEOMETRICAL PARAMETERS ALONGSIDE THE BASIC DIRECTION WITHIN THE FRAMEWORK OF THE DISCRETE-CONTINUAL APPROACH
The proposed paper covers the operator-related formulation of the eigenvalue problem of analysis of a three-dimensional structure that has piecewise-constant physical and geometrical parameters alongside the so-called basic direction within the framework of a discrete-continual approach (a discrete-continual finite element method, a discrete-continual variation method).
Generally, discrete-continual formulations represent contemporary mathematical models that become available for computer implementation. They make it possible for a researcher to consider the boundary effects whenever particular components of the solution represent rapidly varying functions. Another feature of discrete-continual methods is the absence of any limitations imposed on lengths of structures. The three-dimensional problem of elasticity is used as the design model of a structure. In accordance with the so-called method of extended domain, the domain in question is embordered by an extended one of an arbitrary shape. At the stage of numerical implementation, relative key features of discrete-continual methods include convenient mathematical formulas, effective computational patterns and algorithms, simple data processing, etc. The authors present their formulation of the problem in question for an isotropic medium with allowance for supports restrained by elastic elements while standard boundary conditions are also taken into consideration.
ВЕСТНИК 6/2012
6/2012
Key words: discrete-continual methods, operator-related formulation, eigenvalue problem,
boundary problem, structural analysis, piecewise-constant parameters, three-dimensional problem
of elasticity.
References
1. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Diskretnye i diskretno-kontinual'nye realizatsii metoda granichnykh integral'nykh uravneniy [Discrete and Discrete-Continual Versions of Boundary Integral Equation Method]. Moscow, MSUCE, 2011, 368 p.
2. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Diskretno-kontinual'nye metody rascheta sooruzheniy [Discrete-Continual Methods of Structural Analysis]. Moscow, Arhitektura-S Publ., 2010, 336 p.
3. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Chislennye i analiticheskie metody rascheta stroitel'nykh konstruktsiy [Numerical and Analytical Methods of Structural Analysis]. Moscow, ASV Publ., 2009, 336 p.
4. Shilov G.E. Matematicheskiy analiz. Vtoroy spetsial'nyy kurs. [Mathematical Analysis. Second Special Course]. Moscow, Nauka Publ., 1965, 327 p.
5. Slivker V.I. Stroitel'naya mekhanika. Variatsionnye osnovy [Structural Mechanics. Variation Fundamentals]. Moscow, ASV Publ., 2005, 736 p.
About the authors: Akimov Pavel Alekseevich — Doctor of Technical Sciences, Corresponding Member of the Russian Academy of Architecture and Construction Science, Professor, Department of Computer Science and Applied Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (499) 183-59-94;
Mozgaleva Marina Leonidovna — Candidate of Technical Sciences, Associated Professor, Department of Computer Science and Applied Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337; Russian Federation; marina. [email protected]; +7 (499) 183-59-94;
Sidorov Vladimir Nikolaevich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Advisor of Russian Academy of Architecture and Construction Science; Chair, Department of Computer Science and Applied Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected], +7 (499) 183-59-94.
For citation: Akimov P.A., Mozgaleva M.L., Sidorov V.N. Operatornaya postanovka problemy opredeleniya sobstvennykh znacheniy i sobstvennykh funktsiy kraevoy zadachi rascheta trekhmernoy konstruktsii s kusochno-postoyannymi fiziko-geometricheskimi parametrami po osnovnomu napravleniyu v ramkakh diskretno-kontinual'nogo podkhoda [Operator-Related Formulation of the Eigenvalue Problem for the Boundary Problem of Analysis of a Three-Dimensional Structure with Piecewise-Constant Physical and Geometrical Parameters alongside the Basic Direction within the Framework of the Discrete-Continual Approach]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 6, pp. 29—36.
