CC BY
44
УДК 624.072.2
П.А. Акимов, М.Л. Мозгалева, В.Н. Сидоров
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
ОПЕРАТОРНАЯ ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА БАЛКИ-СТЕНКИ С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ ФИЗИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ ПО ОСНОВНОМУ НАПРАВЛЕНИЮ В РАМКАХ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОГО ПОДХОДА
Рассмотрена операторная постановка проблемы определения собственных значений и собственных функций краевой задачи расчета балки-стенки в рамках дискретно-континуального подхода. Следует отметить, что здесь допускается переменность физико-геометрических параметров конструкции по основному направлению, в частности, исследуется случай их кусочного постоянства. В качестве расчетной модели балки-стенки принята двумерная задача теории упругости. Приведены выражения для определяющего оператора краевой задачи с выделением основного направления, описан алгоритм учета упругоподатливых опор, изложены алгоритмы задания типовых граничных условий.
Ключевые слова: дискретно-континуальные методы, операторная постановка, проблема собственных значений, краевая задача, кусочно-постоянные параметры, балка-стенка.
1. Некоторые предварительные обозначения. Без ограничения общности рассмотрим балку-стенку высотой ^ (x1 е [0, ^ ]) и длиной ^ (*2 е [0, ^ ]).
Пусть х2 — переменная, соответствующая основному направлению, т.е. вдоль нее физико-геометрические параметры конструкции изменяются кусочно-постоянно [1—3]. Заметим, что вдоль переменной х1 физико-геометрические параметры балки-стенки могут изменяться произвольно.
Введем обозначения: х\к, к = I ..., пк — координаты сечений, в которых задаются граничные условия (в частности, координаты сечений, где происходит «скачкообразное» (разрывы первого рода) изменение параметров балки-стенки); 0.к, к = I ..., Пк -1 — соответствующие фрагменты конструкции,
— соответствующие границы перечисленных фрагментов;
0/; = 0/; (х, ,х2) —характеристическая функция области СЪк ; 8|Ч = 8Г (. (х. ,х2) —дельта-функция границы Г( = дС1к [4],
ед(х1,л-2) =
1, (л-,,х2)е О, 0, (х, ,х,)гП(;
(1.2)
пъ = [ пЪ1 пк2 ]Т — вектор составляющих нормали к границе
к - 1...., п, 1 — расширенные области, окаймляющие соответствующие фраг-
менты, в частности, например, можно выбрать
">/: = {(*! ,х2): - со < X, < +со, х2Л < X, < х2 к+]};
(1.3)
Ьк — оператор задачи в расширенной области юк относительно перемещений
'-к
на интервале х2
: (ХЪ ХЪ )
■ у 2,к > 2,к+1 )■
ьк = Хд * ц к
1=1
' 1 0 " + д1Ц * д1 ^ д, + д11 к д1 д11 к д 2
0 1 Ц к д 2 д 2 Ц к д 2 _ _д21 к д1 д21 кд2 _
(1.4)
1к и цк — параметры Ламе [5], определенные на расширенной области юк зйк и равны нулю вне йк, т.е.
л; С1.5)
к = 1, 2; (1.6) 5 — искомое собственное значение; «к — вектор перемещений (собственная вектор-функция) на интервале (х\ к, хь2к),
дк =д / дхк,
д*к =-д / дхк,
Uk = [и(к) и(к \ u2k)
,(к) 7
(1.7)
■ соответствующие компоненты «, и2 вектора перемещений на интервале (хь2к, хь2к); е(к) — компоненты тензора деформаций на интервале ст
(хь2 к, х2,к); ст(к) — компоненты ст у тензора напряжений на интервале (х2 к, х\к),
е® =0,5 (5|„® ); ст(к5 =5 у 1 кВ(к) + 2^. (1.8)
2. Представление определяющего оператора краевой задачи с выделением основного направления. Учитывая кусочно-постоянный характер изменения параметров конструкции по основному направлению (вдоль х2), можем записать:
= -4к,,д2 + 4.«Vд2 + £к, , где 4к«V = 4к«V - 4к; 4к,vй = 4к«V ; (2.1)
Lк ,vv =
кк
0
Lk ,uv
0 д*1 к д1^к 0
Lk uuu = д1
1 к + 2Кк 0
0
д1, (2.2)
где L*
дифференциальный оператор, а Lk — кососимме-
0
1 к + к _
4йV — сопряженный с 4к«VV --------—^'^-к.„V
тричный оператор.
3. Операторная постановка задачи с выделением основного направления. Операторная постановка задачи имеет вид
(3.1)
Ал — SUk ■> Х2 ^ (^2,k->X2.k+1 k ■■■> nk ' ■
Рассмотрим произвольное к-е уравнение системы (3.1). Учитывая (2.1), можем переписать его следующим образом:
- 4Vд2«к + 4йVд2«к + 4,гш«к = 5йк . (3.2)
Введем обозначение
^к = [<> v2к) ]" = ^> д 2U
(к) Т =д Ut = U'.
(3.3)
Следовательно, руководствуясь (1.8) и (3.3), получим формулы для деформаций:
в1? = д«к); в22) = v2k); ^ = еЦ = 0,5(д„2к) + V®). (3.4)
Далее переходим от (3.2) к уравнению
-4+ 4+ 4,йййк = 5йк , где Ук = д^Ук . (3.5)
Объединяя уравнения (3.5), получим следующую систему:
0
0 L
0
Lk,ии - sE
или
0 E
L-1 (Lk,uu -sE) LlXv где E — тождественный оператор. Окончательно имеем
(3.6)
(3.7)
и ' = 4 ик,
где 4 , =
41 (4,ии - ,Е) 1—1
ик д2ик йк
; йк = ; й[ = дгйк = _д2Ук _ =
Л _ Ук_
(3.8)
(3.9)
Уравнение (3.8) следует дополнить граничными условиями, задаваемыми в сечениях с координатами л\,, к = 1,..., п,. Эти граничные условия представимы в виде
II ик , (л-:, - (>)+ (л-:, + (>)= ^ + £ . к = 2.....,ч - 1; (3.10)
в+ й (хЪ.! + 0)+в-рП1—1 ( ъ - 0)=+ ^^, (3.11)
где В—, В+, к = 2 . ., пк —1, В+ и в— — матрицы коэффициентов граничных условий, 4-го порядка; , , к = ?..., пк —1, и — векторы правых частей граничных условий, четырехмерные.
Объединяя (3.8), (3.10) и (3.11) получаем операторную постановку многоточечной краевой задачи с выделением основного направления:
и ' = 4,и к,
(ХЪ ХЪ )
■ у 2,к > 2,к+1 )■
к=1, ..., п, — 1;
В—ик_1 (Х2Ък — 0) + В+йк (Х2Ък + 0) = Як + Я+, к=2, ..., пк — 1; В+и (хЪд + 0)+В— йщ—1 (хЪл — 0) = + .
(3.12)
4. Об учете упругоподатливых опор. При решении практических задач нередко имеют место случаи, когда на области , ее границе Ак или их частях заданы упру-гоподатливые опоры, непрерывные по основному направлению.
Вектор Як , реактивных усилий, возникающих в опоре, имеет вид
^,, = [ ^,,1 ^,,2 Г = Ск,К,, где Ск1 =
Си , к , ,1 0 " ик ,1,1
0 Ск.,2 _ ; и,, = _ ик,,2 _
(4.1)
где Ск I — матрица упругих характеристик опоры; йк, — вектор перемещений опоры; Ск,,, 1 — коэффициент отпора 1-й опоры по направлению оси Ох].
Наличие упругоподатливых опор вносит корректировку в постановку (3.12), а именно в формулу (3.9). В данном случае имеем
4, =
О Е
, где С,, =(е, +5Гк)
(4.2)
где ск, = ск, (л- . х,) — коэффициент отпора по направлению оси Ох,.
5. Задание некоторых типовых граничных условий. Рассмотрим ниже задание некоторых стандартных типов граничных условий, поперечных по отношению к основному направлению в форме (3.10)—(3.11) в произвольной граничной точке с координатой хЪ к. Возможны три основных варианта граничной точки: 1) 1 < к < пк —
промежуточная граничная точка; 2) к = 1 — крайняя левая (первая) граничная точка; 3) к = пк — крайняя правая (последняя) граничная точка.
Шарнирное закрепление. Для случая 1 < к < пк имеем следующие граничные условия:
йк—1 (X, <к — 0) = 0; йк (х„ х* к + 0) = 0, (5.1)
,(к— 1) ,
т.е.
1 (х1, х\ к —0) = 0 ; м2к—4 (х1, х\ к —0) = 0 ;
и[к} (х1, хЪ,к + 0) = 0 ; 4к} (х1, хЪ,к + 0) = 0,
(5.2)
(5.3)
откуда
[1 0 0 01 [0 0 0 01 [01
0 1 0 0 7-» + 0 0 0 0 + 0
0 0 0 0 1 0 0 0 8к = 8к = 0
[0 0 0 0 [0 1 0 0 0
Вк =
Для случая к = 1 имеем следующие граничные условия:
«1 (X, <к + о) = 0, т.е. «(1) (Х1, х\х + 0) = 0 ; и™ (х1, х2д + 0) = 0, "1 0 0 0"
т.е. В+ =
0 1 0 0 0000 0000
(5.4)
(5.5)
(5.6)
а первые две компоненты в векторах и ^ нулевые. Для случая к = Пк имеем следующие граничные условия:
«Пк-1 (Яр < - 0) = 0 , т.е. „1Пк-1) (х1; 4пь - 0) = 0 ; и2Пк -1) (х1; х1к - 0) = 0
т.е. В-к =
0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 10 0
(5.7)
(5.8)
а последние две компоненты в векторах £+ и gn нулевые.
Свободный край. Для случая к = 1 имеем следующие граничные условия:
(1)
(х>, х2к + 0) = 0; СТ221 ( Х1, хь2Л + 0 ) = 0.
Учитывая формулы (1.8) и (3.3), можем записать:
.О)
= 2цк = Цк(д 1Иf + V!(1)) ;
- '
= 1, е;1/ + (1, + 2ц,) е % = 1, д,и ^ + (1, + 2ц,) у! Следовательно, вместо (5.9) получаем:
ц ([51„21)" (X!, х22! + 0) + V® (х1, х22д + 0)) = 0;
11 [51и1(1)" (х, хь21 + 0) + (11 + 2ц1) V® (х1, хь21 + 0) = 0, 0 ц151 ц1 0
0 0 11 + 2ц1 0 0 0 0 0 0 0 0 а первые две компоненты в векторах g+ и g- нулевые.
Следует отметить, что после соответствующей аппроксимации в рамках дискретно-континуального метода конечных элементов матрица (5.14) становится числовой.
Для случая к = Пк аналогично имеем:
т.е. ВС =
1Д
(5.9)
(5.10)
(5.11)
(5.12)
(5.13)
(5.14)
или
-1) (*,-0) = 0; а2?-1) (х,х2,к + 0) = 0 ц„к-1 ([^-1)](*,-0) + ^-1) (х,x2n -0)) = 0; 1 „к-1 [д1и1(Ик-1) ] (X, 4Л - 0) + (1 „к-1 + 2цПк -1) v2Ик-1) (x, - 0) = 0,
(5.15)
(5.16)
(5.17)
т.е. В- =
0
0
0
пк -1 1
0 0 0
ц* -1д1 ц^-1 0
0 0 1 1 + 2 ц 1
Пк - 1 ~ щ - 1
(5.18)
а последние две компоненты в векторах и g— нулевые.
После соответствующей аппроксимации в рамках дискретно-континуального метода конечных элементов матрица (5.18) становится числовой.
Идеальный контакт. Прежде всего поясним, что условия идеального контакта, как правило, задаются в поперечных по отношению к основному направлению сечениях, где происходят скачкообразные изменения физико-геометрических параметров конструкции.
Для случая 1 < к < пк имеем следующие граничные условия:
щ-1 (х, х2,к- 0) = ик (х1, х* к +0);
ст1*-1) (X, <к - 0) = > (х, <к + 0); ст**-1) (х, х* к - 0) = а**' (х, X* к + 0). После преобразований вместо (5.19)—(5.*0) можем записать:
<) (х1, х*,к + 0) - <-1) (х1, х*к - 0) = 0;
) (х1, х*,к + 0) - и*к-1) (х1, х*к - 0) = 0; Цк ([51«*к)](х„х*,к + 0) + у<к) (х„х*,к + 0))-
-Цк-1 ([51«*к-1)](х„-0)+у<к-1) (х„<к -0)) = 0; 1к [дХк) ] (Х1, х*,к + 0) + (1к + *Цк )V*к) (Х1, х* к + 0) -
-1к-1 [дХк-1)](х„х*к -0)-(1к-1 +*Цк-1)<-1) (х„х*к -0) = 0, 10 0 0
т.е. В-=-
0 0
1 к -А
1 0
ц к-1д1 Цк-1
0
0
В+ =
1
0 0
1 к д1
0 1
Цк д1 0
0
0 ц-
0
1 к-1 + *ц к-1.
0 0 0
1 к + *Цк.
(5.19) (5.*0)
(5*1) (5.**)
(5.*3) (5.*4)
(5.*5)
(5^6)
gk= gk+= [ 0 0 0 0 Г. (5^7)
После соответствующей аппроксимации в рамках дискретно-континуального метода конечных элементов матрицы (5.*5) и (5.*6) становятся числовыми. Замечания. Исследования проводились в рамках следующих работ: 1. Грант *.3.8 Российской академии архитектуры и строительных наук «Разработка и исследование дискретно-континуальных методов для расчета строительных конструкций с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по одному из направлений» на *011—*01* гг.
*. Грант *.3.18 Российской академии архитектуры и строительных наук для молодых ученых специалистов «разработка и верификация коррективных численных и численно-аналитических методов исследования локального напряженно-деформируемого состояния строительных конструкций на основе многоуровневого вейвлет-анализа» на *01* г.
Библиографический список
1. Дискретные и дискретно-континуальные реализации метода граничных интегральных уравнений / А.Б. Золотов, П.А. Акимов, В.Н. Сидоров, М.Л. Мозгалева. М. : МГСУ, 2011. 368 с.
2. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений / А.Б. Золотов, П.А. Акимов, В.Н. Сидоров, М.Л. Мозгалева. М. : Архитектура-С, 2010. 336 с.
3. Численные и аналитические методы расчета строительных конструкций / А.Б. Золотов, П.А. Акимов, В.Н. Сидоров, М.Л. Мозгалева. М. : Изд-во АСВ, 2009. 336 с.
4. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М. : Наука, 1965. 327 с.
5. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. М. : Изд-во АСВ, 2005. 736 с.
Поступила в редакцию в апреле 2012 г.
Об авторах: Акимов Павел Алексеевич — доктор технических наук, член-корреспондент РААСН, профессор кафедры информатики и прикладной математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), Россия, 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-59-94, pavel.akimov2@gmail.com;
Мозгалева Марина Леонидовна — кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры информатики и прикладной математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), Россия, 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-59-94, marina.mozgaleva@gmail.com;
Сидоров Владимир Николаевич — доктор технических наук, профессор, советник РААСН, заведующий кафедрой информатики и прикладной математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), Россия, 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-59-94, sidorov.vladimir@gmail.com.
Для цитирования: Акимов П.А., Мозгалева М.Л., Сидоров В.Н. Операторная постановка проблемы определения собственных значений и собственных функций краевой задачи расчета балки-стенки с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по основному направлению в рамках дискретно-континуального подхода // Вестник МГСУ. 2012. № 5. С. 72—78.
P.A. Akimov, M.L. Mozgaleva, V.N. Sidorov
OPERATOR-RELATED FORMULATION OF THE EIGENVALUE PROBLEM FOR THE BOUNDARY PROBLEM OF ANALYSIS OF THE WALL BEAM WITH PIECEWISE-CONSTANT PHYSICAL AND GEOMETRICAL PARAMETERS ALONGSIDE THE BASIC DIRECTION WITHIN THE FRAMEWORK OF THE DISCRETE-CONTINUAL APPROACH
The paper covers the operator-related formulation of the eigenvalue problem of analysis of the wall beam with piecewise-constant physical and geometrical parameters alongside the so-called basic direction within the framework of the discrete-continual approach (discrete-continual finite element method, discrete-continual variation-difference method). Generally, discrete-continual formulations are contemporary mathematical models which are currently becoming available for computer-based implementation. They allow investigators to consider the boundary effects whenever solution components represent rapidly varying functions. Another feature of discrete-continual methods is the absence of limitations imposed on lengths of structures. Two-dimensional model of elasticity is used as a design model of a structure. In accordance with the so-called extended domain method, the domain is limited by the boundary of arbitrary shape. Corresponding key features at the stage of numerical implementation of discrete-continual methods include convenient mathematical formulas, effective computational patterns and algorithms, simple data processing techniques, etc. The definition of an expression for an operator of the problem under consideration, if resolved in the isotropic medium, is presented; the allowance for supports restrained by elastic members is provided; standard boundary conditions are taken into account.
Key words: discrete-continual methods, operational formulation, eigenvalue problem, boundary problem, structural analysis, piecewise-constant parameters, two-dimensional problem of elasticity.
References
1. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Diskretnye i diskretno-kontinual'nye realizatsii metoda granichnykh integral'nykh uravneniy [Discrete and Discrete-Continual Versions of Boundary Integral Equation Method]. Moscow, MSUCE, 2011, 368 p.
2. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Diskretno-kontinual'nye metody rascheta sooruzheniy [Discrete-Continual Methods of Structural Analysis]. Moscow, Arhitektura-S Publ., 2010, 336 p.
3. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Chislennye i analiticheskie metody rascheta stroitel'nykh konstruktsiy [Numerical and Analytical Methods of Structural Analysis]. Moscow, ASV Publ., 2009, 336 p.
4. Shilov G.E. Matematicheskiy analiz. Vtoroy spetsial'nyy kurs [Mathematical Analysis. Second Special Course]. Moscow, Nauka Publ., 1965, 327 p.
5. Slivker V.I. Stroitel'naya mekhanika. Variatsionnye osnovy [Structural Mechanics. Variation Fundamentals]. Moscow, ASV Publ., 2005, 736 p.
About the authors: Akimov Pavel Alekseevich — Doctor of Technical Sciences, Corresponding Member of the Russian Academy of Architecture and Construction Science, Professor, Department of Computer Science and Applied Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation, pavel.akimov2@gmail.com, +7 (499) 183-59-94;
Mozgaleva Marina Leonidovna — Candidate of Technical Sciences, Associated Professor, Department of Computer Science and Applied Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation, marina. mozgaleva@gmail.com, +7 (499) 183-59-94;
Sidorov Vladimir Nikolaevich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Advisor of Russian Academy of Architecture and Construction Science; Chair, Department of Computer Science and Applied Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation, sidorov.vladimir@gmail.com, +7 (499) 183-59-94.
For citation: Akimov P.A., Mozgaleva M.L., Sidorov V.N. Operatornaya postanovka problemy opredeleniya sobstvennykh znacheniy i sobstvennykh funktsiy kraevoy zadachi rascheta balki-stenki s kusochno-postoyannymi fiziko-geometricheskimi parametrami po osnovnomu napravleniyu v ramkakh diskretno-kontinual''nogo podkhoda [Operator-Related Formulation of the Eigenvalue Problem for the Boundary Problem of Analysis of the Wall Beam with Piecewise-Constant Physical and Geometrical Parameters Alongside the Basic Direction within the Framework of the Discrete-Continual Approach]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 5, pp. 72—78.
