Об операторах типа свертки с ядрами из модифицированных пространств Морри Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1026-2237BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 2

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

Научная статья УДК 517.9

doi: 10.18522/1026-2237-2024-2-4-11

ОБ ОПЕРАТОРАХ ТИПА СВЕРТКИ С ЯДРАМИ ИЗ МОДИФИЦИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ МОРРИ

Сергей Сергеевич Ашихмин

Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия sashihmin@sfedu. ru

Аннотация. Изучаются операторы вида МаН, НМа и Нь, где Ма - оператор умножения на существенно ограниченную функцию а; Н - интегральный оператор свертки с ядром h; Hb - интегральный оператор с ограниченной характеристикой Ъ(х, у). Предполагается, что ядро h принадлежит пересечению пространств Морри и Лебега, а сами операторы действуют при этом из пространства Лебега в пространство Морри. Сначала, используя условия предкомпактности множества в пространстве Морри, доказывается компактность оператора МаН в предположении, что функция а стремится к нулю на бесконечности. Далее рассматривается коммутатор операторов Ма и Н. Показано, что если функция а принадлежит классу функций с определенным поведением на бесконечности, то коммутатор будет компактным оператором. Это, в свою очередь, позволяет установить компактность оператора НМа. В частности, показано, что операторы РХН и НРХ, где Рх - оператор умножения на характеристическую функцию ограниченного измеримого множества X, являются компактными. В заключительной части работы рассматривается интегральный оператор Нь. Показано, что если характеристика Ъ имеет заданное поведение на бесконечности, то оператор Нь компактен.

Ключевые слова: компактность, оператор свертки, оператор умножения, пространство Морри, модифицированное пространство Морри

Для цитирования: Ашихмин С.С. Об операторах типа свертки с ядрами из модифицированных пространств Морри // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2024. № 2. С. 4-11.

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).

Original article

ON CONVOLUTION-TYPE OPERATORS WITH KERNELS FROM MODIFIED MORREY SPACES

Sergey S. Ashikhmin

Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia sashihmin@sfedu. ru

© Ашихмин С.С., 2024

Abstract. We investigate operators of the form MaH, HMa, and Hb, where Ma is the multiplication operator on the function a, H is the integral convolution operator with the kernel h, and Hb is the integral operator with the bounded characteristic b(x, у). It is assumed that the kernel h belongs to the intersection of the Lebesgue and Morrey spaces, and the operators themselves act from the Lebesgue space to the Morrey space. First, using conditions for the precompactness of a set in the Morrey space, we prove the compactness of the operator MaH, wherein it is assumed that the function a approaches zero at infinity. Next, the commutator of the operators Ma and H is considered. It is shown that if the function a belongs to a certain class offunctions with a given behavior at infinity, then the commutator is the compact operator. This, in turn, allows us to establish the compactness of the operator HMa. In particular, we prove that the operators PXH and HPX are compact, where Px is the multiplication operator on the characteristic function of a bounded measurable set X. Finally, the integral operator Hb is considered. It is shown that if characteristic b has a given behavior at infinity, then the operator Hb is compact.

Keywords: compactness, convolution operator, multiplication operator, Morrey space, modified Morrey space

For citation: Ashikhmin S.S. On Convolution-Type Operators with Kernels from Modified Morrey Spaces.

Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2024;(2):4-11. (In Russ.).

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0).

Введение

Пространствам Морри и их обобщениям посвящено множество работ [1, 2]. Исследования этих пространств начались со знаменитой статьи Ч. Морри [3] и продолжаются в настоящее время по нескольким направлениям. В последнее десятилетие обнаружился интерес к изучению интегральных операторов свертки в пространствах Морри. Так, в [4] рассмотрены операторы свертки в общих пространствах типа Морри и установлен аналог неравенства Юнга для сверток в этих пространствах. В [5, 6] были получены достаточные условия компактности в пространствах Морри и обобщенных пространствах Морри композиции оператора свертки и оператора умножения на существенно ограниченную функцию, а в [7] исследовалась обратимость оператора свертки в этих пространствах. Работа [8] посвящена операторам типа свертки с ядрами вида b(x, y)h(x — у).

В данной статье исследуется компактность операторов типа свертки двух типов. Первый тип является произведением оператора свертки, ядро которого принадлежит модифицированному пространству Морри, и оператора умножения на функцию из Lm(Kn). Доказано, что если эта функция стремится к нулю на бесконечности, то произведение является компактным оператором. Рассматривается, кроме того, коммутатор оператора свертки и оператора умножения на функцию. Показано, что если выполнены определенные условия на поведение этой функции на бесконечности, то коммутатор компактен. Второй тип представляет собой оператор вида

(Нъ<р)(х) = jRnb(x,y)h(x — y)<p(y)dy, х Е Кп. (1)

Показано, что если функция Ь(х, у), называемая характеристикой, отвечает заданным условиям поведения на бесконечности, то оператор Н^ компактен.

Ниже использованы следующие обозначения: Кп - n-мерное евклидово пространство; х = (х1,..., хп) Е К"; 1>(х, г) - открытый шар в Кп радиуса г с центром в точке х; С1>(х, г) = Кп \ 1>(х, г); Рх - оператор умножения на характеристическую функцию измеримого множества X с Кп; PN •= Pm(0,N), Qn •= Pcm(0,n), где N - натуральное число; С0(Кп) - множество всех непрерывных на Кп функций v(t) таких, что lim v(t) = 0.

Предварительные сведения

Пусть 1 <р<<х, X С Кп - измеримое множество. Тогда Lp(X) - пространство (классов) измеримых комплекснозначных функций с нормой ||/||lp(x) = (Sxlf(t)lpdt) ^, 1 <Р < WfWLx(x) = ess sup|/(t)|.

В случае X = Щп будем использовать обозначение ||-||р вместо IHIlp(x> Далее будем говорить, что f Е LlpC(Щп), если f Е Lp(K) для любого компакта К с Щп.

Определение 1. Пусть 1 <р<от и А Е R. Говорят, что функция f Е Ь,рл(Щп), если f Е LlpC(Щп) и

Ш^ЩП) = llfllP,A = sup < œ. (2)

P' хЕМп,г>0 r

Относительно обычных линейных операций и нормы, определяемой (2), множество Lpд (Щп) образует банахово пространство, которое называют пространством Морри.

Пространства Морри Ьр,^(Щп) являются нетривиальными, т.е. состоят не только из функций, эквивалентных нулю на Щп, тогда и только тогда, когда 0 < А < п/р. При А = 0 и А = п/р пространства Морри совпадают с ¿^-пространствами: Lp0(Mn) = Lp(Mn), Lpn/p(Mn) = Lœ(Mn).

Как известно, из того, что f Е Lp^(Mn), вообще говоря, не следует, что f Е Lp(Щп) [4, с. 11]. Поэтому наряду с пространствами Морри возникает необходимость рассматривать пересечение

lp (Mn) трЛ(щп ).

Определение 2. Пусть 1 <р < œ, 0 < А < п/р, [г]г := min{1, г}. Говорят, что функция

fELPjÄ(Е-), если fELlp0C) и \\П^тп) = = sup ^^ < œ.

Пространство Lpx (Rn) называют модифицированным пространством Морри. Впервые оно было введено и изучено в [9] (см. также [10, 11]).

Лемма 1 [11]. Пусть 1 <р < от, 0 <А<п/р. Тогда LPtÄ(Rn) = Lp(Rn) П LPtÄ(Rn) и \\fW~i = max{||/||P, \\f\\PiÄ}. , ,

Рассмотрим оператор свертки

(Н(р)(х) = J^ h(x — y)<p(y)dy, t Е Rn, (3)

с ядром h Е Ls,jip/s(Rn). В [4] показано, что при выполнении условий

1 < а < р < от, 1 < s < р < от, 1 + 1 = 1 +1, 0< А < - (4)

q s р р

оператор Н ограничен из Lq(Rn) в Lp^(Rn), причем для любой функции <р Е Lq(Rn) справедливо неравенство

WH^WP,Ä<WhWs/Jp/sWh\\1s-s/pW^Wq. (5)

Произведение оператора свертки и оператора умножения

Обозначим через Ма оператор умножения на функцию а Е Lm (Rn). Этот оператор ограничен в пространстве Lрд(Мп), и для любой функции хр Е Lрд(Мп) справедливо неравенство

\\Магр\\р,А< \NU\I/>\\p,a. , (6)

Основным объектом исследования в данном пункте является оператор Ма Н. Первоначально будем считать, что а Е С 0 (Rn).

Для доказательства следующей леммы используем условия предкомпактности множества, лежащего в пространстве Морри.

Предложение 1 [12]. Пусть 1 < р < от, 0 < Л, < п/р и ^ = {хр} - множество функций из Lрд(Мп) и выполнены следующие условия:

i) множество ^ ограничено, т.е. существует С > 0 такое, что \\i/»Wр,л < С для любой функции хр из

ii) Hm\\хр(- +5) — хр(-)\\р,а = 0 равномерно относительно хр Е

iii) lim jj^pjjp^ = 0 равномерно относительно хр Е^, где Хр - характеристическая функция

множества Rn \ 1(0, р).

Тогда множество ^ предкомпактно в пространстве L p,a(Rп).

Лемма 2. Пусть выполнены условия (4), а Е C0(Rn) и h Е LsдP/S(Rп). Тогда М аН - компактный оператор, действующий из L q(Rn) в L^¿(Rn).

Доказательство. Пусть Ф = [ф] - произвольное ограниченное множество в Lq (Жп), т.е. существует такое число С >0, что < С для любой функции ф Е Ф. Пользуясь предложением 1, покажем, что множество [МаНф], где ф Е Ф, предкомпактно в пространстве Ьрд(Жп). Проверим все три условия.

С помощью неравенств (5) и (6) получаем

\\МаНср\\рЛ < \\a\U\Hcp\\PiX < \\a\\œ\\h\l^pls\\h\\1s-s/p\\^\\q < C\a\œ\h\ss/^p/s\h\\1s-s/p,

т.е. условие i) выполнено.

Проверим условие ii). Отметим, что норма в пространстве Морри инвариантна относительно сдвига

\\А- +S)\\p,A = \\f\\p,b 5ЕЕ". (7)

Действительно, с помощью замены переменной t + S = у имеем \\f(- +5)\кр(1В(х,г)) = \\f\\Lp(m(x+s,r)), а из биективности отображения х ^ х + S получаем равен-

\\f\\Lv(M(x,r)) H/llLB(B(x+S,r))

ство sup --j-= sup -—i-.

хЕМп,г>0 r x+5effin,r>0 r

Далее для функции (p Е Ф имеем

\\(МаН<р)(- +5) - (МаН<р)(-)\\рЛ = \\«С- +S)W<p)(- +5) - а(-)(Н<р)(-)\\рЛ <

< \\(а(- +5) - a(-))(Hq>)(- +8)\\рЛ + \\a(-)((Hq>)(- +5) - (Н<р)(-))\\рЛ <

< \\а(• +5) - а(• )\\œ\\(Hv)(• +8)\\PiÀ + \\a\\œ\\(Hv)(• +5) - (Н(р)(• )\\рЛ. Учитывая ограниченность множества Ф, неравенство (5) и равенство (7), получаем \\(МаНу)(• +5) - (МаН<р)(• )\\рЛ < \\а(• +5) - а(• )\œ\h\ss%is\h\\1s-slp\^\q +

+ NU\hO +5) - ht)\\ss%/s\\K +5) - <

< С(\\а^ +5) - a()\M\llpp/Jh\\l-s^ + \\a\\œ(2\\h\\s,Àp/s)slv\\ht +5) - h(^)\\1s-slp). Так как a Е C0(Mn), то \\a(- +5) - a(-)\\œ ^ 0 при 0. Поскольку h Е Ls(Rn), то \\hG +5) - h()\s ^ 0 при 5 ^ 0. Тогда Пт\\(МаНф)^ +5) - (МаНф)()\\рЛ = 0 равномерно

относительно ф Е Ф.

Наконец, проверим условие iii). Используя неравенство (5), получаем

S S

\\ХрМаН<р\\рЛ < \\xpa\\jH<pWPiX < sup\a(t)\<

' W —P S' s

<C sup\a(t)\ \\hrj^[pls\\h\\]rslp. \t\>p ' и/

Так как lima(t) = 0, то lim = 0 равномерно относительно œ Е Ф.

Будем говорить [13, p. 37], что функция а Е Lœ(Mn) принадлежит классу Bsup(Mn), если существует такое число aœ, что lim ess sup\a(t) - aœ\ = 0. Если aœ = 0, то a Е B0up(lLn).

\t\>N

Теорема 1. Пусть выполнены условия (4) и h Е Î^s,Xp/s(^п). Тогда:

1) если а Е B0up(Mn), то МаН есть компактный оператор, действующий из Lq(Мп) в Lp,x(Kn);

2) если а Е Bsup(Mn) и оператор МаН является компактным, то aœ = 0. Доказательство. Докажем утверждение 1). Определим функцию aN(t) равенством

[a(t), \t\ <N, \t\ > N.

Покажем, что оператор MaNH компактен. Возьмем функцию b Е С0(МП) такую, что b(t) = 1 при \ t\ < N. Тогда справедливо равенство MaNH = MaNMbH. По лемме 2 оператор МЬН компактен, следовательно, и оператор MaNH компактен. Так как

\\МаН - MaNH\\L^L^ = \\(а- aN)H\\L^LpÀ < ess sup\a(t)\ \\H\\Lq^LpJL

и a Е Bs0up(Еи), то lim \\MaH - Ма„Н\\ = 0.

а" ® = ia

Значит, оператор MaH компактен.

Докажем утверждение 2). Так как а Е Bsup(M.n), то ( а — ат) Е В0ир(Жп), а значит, по доказанному выше Ma-axH - компактный оператор. Легко убедиться, что справедливо равенство МаН — Ма-ахН = атЯ. Так как оператор в его левой части компактен, а Н не является компактным оператором, то ат = 0.

Следствие 1. Пусть X - ограниченное измеримое множество в М.п. Тогда оператор Рх Н есть компактный оператор, действующий из L q (Мп) в L рд(Мп).

Коммутатор оператора свертки и оператора умножения

Коммутатором [Ма, Я] операторов Ма и Н называется оператор МаН — НМа. С учетом (3) этот коммутатор имеет вид

([Ма,Щ<р)(х) = fRn(a(х) — a(y))h(x — у)<р(у) dy = Jffi„( а(х) — а(х — 0)h( t)<p(x — t)dt, x Е En.

Следуя [5, с. 486], обозначим через (Мп) совокупность таких функций а Е La>(Mn), что для любого компакта К с Жп функция

А(х) •= ess sup|a(x) — а(х — t)| (8)

tEK

принадлежит классу В^ир(Шп).

Лемма 3. Если а Е ) и hE Ls(Rn), то функция J(x) = JRn|a(x) — а(х — t)|s|h(t)|sdt

принадлежит классу B0up (Rn).

Доказательство. Возьмем произвольное s > 0 и зафиксируем такое р > 0, что

Г. |h( t)|s dt <---.

ГМ>р| ( )| 2(2\\a\\M)s

Тогда для почти всех х Е Мп справедливо

°(х) = !м<рКх) — а(х — f)|S|h( ordt + iw>p|a(x) — a(x — t)|s|h( t)|sdt <

< ess sup|a(x) — a(x — t)|s J|t|< _Ht)^dt + (2||a|L)s Г |h(t)|sdt <

|t|<p | | H | и

< ess sup|a(x) — a(x — t)|s ЩЦ + 2 = ЩЦ + 2,

|t|sp 2 2

где A(x~) определяется формулой (8). Так как А Е В0ир(Ш.п), то lim ess sup(4 (x))s = lim (ess sup^4(x))s = 0.

Тогда найдется такое N 0 >0, что для всех N > N 0 выполняется неравенство ess sup(4 (x))s <

\x\>N

Значит, ess sup0(x) < £ для всех N > N0, т.е. 0(x) Е B0 (En).

|*|>w

Теорема 2. Пусть выполнены условия (4), а Е (Мп) и НЕ Ls Ap/S(®^n). Тогда коммутатор [Ма, Я] есть компактный оператор, действующий из Lq (Мп) в Lp^(EP).

Доказательство. Покажем, что оператор [Ма, Я] можно приблизить по операторной норме с любой степенью точности компактными операторами. Возьмем произвольное £ > 0. По лемме 3

еч'

найдется N > 0 такое, что ess sup LJa(x) — a(x — t)|s|h( t)|sdt <-rr-

M >N Ж (2\\а\\к,\\к\\5Лр/5уч'/Р

111

Зафиксируем N и оценим норму оператора QN [Ма,Н]. Из равенства - + - = - + 1 следуют

1,1,1 -,4,4 -rs,s Л

соотношения — + — ^-=1, - + -7 =1, -^-г = 1.

' ' ' '

Учитывая равенство |( ( ) — ( — ))h( )|| ( — )| =

= |( а(х) — а(х — t^h^^4' (|(a(x) — а(х — ^(^^^(х — t)^)^ — t)^/s' и применяя обобщенное неравенство Гёльдера с показателями q', р и s', для почти всех х Е С В (0, N) имеем

\(Qn[Ma,H]<p)(x)\ < Jffi„|(a(x) - a(x - t))h(t)\\(p(x - t)\dt

as \1/q'

K„|(a(x) - a(x - t))h(t)\ dt) x

<

x (jffin|(a (x) - a(x - t))h(t)\s\cp(x - t)\<* dtf (Jffin\cp(x - t)\<* dt)1/s' <

( \1/Q'

< I ess sup J^\a(x~) - a(x - t)\s\h( t)|sdt I x

V \x\>N /

x(2\\a\\m)s/v(Jffi„\h(t)\s\cp(x - t)\«dt)1/P\\<p\\f' <

< maumsMsY* (2\a\-)s/p(fKn\h(^)\s\^(--^)\qdt)1/p\^\l/s' = = e\\^\\qq/s'\\h\\-s^,^/s(iKn\h(x-u)\s\y(u)\qdu)1/P.

Тогда для произвольных x E Kn и r >0 получаем

\\Qn [Ma, Н]ф\\Ьр(Ш(Х,Г)) < E\\<p\\f \\h\\s$/s (jK(xr) dyjRn\h(y-u)\s \<p(u)\qdu)1v =

= s\\<p\\f \\h\\SZs (Sun\<P(u)\q du Sm(xr)\h(y - u)\sdy)i/P. После замены у - u = z во внутреннем интеграле приходим к неравенству

ci/s'UhUsS/P ГГ i^AAmiMis и,Л1/р

\\0nWa,н]р\\ьр(я(х,г)) < £\\<Р\\Т \h\^;;/pp/s(jRn\^(u)\q\h\sLsiKiXsU,r))du)

Используем это неравенство для оценки нормы функции QN[Ма, Н]ф в пространстве Морри. Имеем

\\Qn[Ма, НМР,Л = sup r~A\\QN[Ма, Н]у\\ьр(_щх1г)) <

ХЕШП,Г>0 Р

< S\\<p\\f'\\h\\-s%^ sup^ rS\U<P(u)\q\\h\\SLs(«(xsu,r)) du)1/P =

= £M\f'\\h\\~sSZs sup (JKJ<K«)\q (r-Xv/s\\h\\Ls(M{x-u,r)))sdu)1/P <

' *EKn,r>0

< ^\^\\<^/S'\h\^fyhrJj:p/s(JKn\^(u)\qdu)1/P = £\\(p\\q.

Отсюда следует, что \\QN[Ma,H]\Lq^LpX < e.

Учитывая, что Р^ + Qn = h где I - тождественный оператор, перепишем это неравенство в виде \\[Ма, Н] -PN [Ма, H]\\Lq^ < г.

По следствию 1 оператор PN [Ма, Н] является компактным. Тогда, в силу произвольности числа s, оператор [Ма, Н] также является компактным.

Применим данную теорему вместе с результатами предыдущего пункта к решению вопроса о компактности операторов вида НМа.

Лемма 4. Пусть выполнены условия (4), a E C0(Kn) и h E £3лр/3(Кп). Тогда оператор НМа является компактным оператором, действующим из Lq(Kn) в Lp,^(Kn).

Доказательство. Так как a E С0 (Kn), то a E flOT(Kn). Справедливо равенство НМа = МаН - [Ма,Н].

Учитывая лемму 2 и теорему 2, заключаем, что оператор НМа компактен как сумма компактных операторов.

Совершенно аналогично теореме 1 доказывается

Теорема 3. Пусть выполнены условия (4) и h E Ls,Ap/s(Kn). Тогда:

1) если a E Bs0up(Kn), то НМа есть компактный оператор, действующий из Lq(Kn) в Lp ^(Kn);

2) если a E Bsup (Kn) и оператор НМа компактен, то ат = 0.

Отсюда сразу вытекает

Следствие 2. Пусть X - ограниченное измеримое множество в Kn. Тогда НРХ есть компактный оператор, действующий из Lq (Kn) в Lp^(Kn).

Оператор свертки с характеристикой

Определим на пространстве Lq(Rn) оператор Hb формулой (1), где h Е <Ls,Ap/s(^n), а b Е Lm(M.n X Жп). Учитывая неравенство (5), получаем следующую оценку:

ШъНрЛ < |b|m|hrs%/s|h||1l-s/p|^|q. (9)

Исследуем компактность оператора Н b. Для этого нам потребуется

Лемма 5. Пусть X - ограниченное измеримое множество в Жп. Тогда операторы РхНь и Н^Рх являются компактными операторами, действующими из Lq(Мп) в Ьрд(М.п).

Доказательство. Пусть сначала характеристика Ь(х, у) принадлежит множеству S функций из Lm(Rn X Rn) вида b(x,у) = 'Z7J=1 b1j(x)b2j(у), где т - произвольное натуральное число. Тогда оператор PxHb = Px^?=1Mb HMb . = YIu=1^b PxHMb . является компактным, так как опе-

J lj 2j J lj 2j

ратор PxH компактен по следствию 1.

Пусть b(x,у) - произвольная функция из Lm(Mn X Мп). Возьмем последовательность [bk(х, у)} с S такую, что lim ЦЬ — = 0. Это возможно в силу того, что множество S всюду

к—<х>

плотно в пространстве Lm(Mn X Мп). Учитывая (9), имеем

\\РхНь—РхНЬк\\^ЬрЛ < \\Нь-ьк\\^ЬрЛ < У* — MJ|h||S/*||h|tS/P - 0

при к — от. Значит, оператор РХНb компактен.

Аналогично доказывается компактность оператора Н ¡jPx.

Следуя [13, р. 41], будем говорить, что функция b Е Lm(Mn X Мп) принадлежит классу

Bsup(Rn X Rn), если существует такая постоянная Ьт, что lim ess sup |Ь(х,у) — bm| = 0.

|x|>N,|y|>N

Если bm = 0, то будем говорить, что b Е В^ир(Шп X Rn). Теорема 4. Пусть выполнены условия (4) и Не l^s,Xp/s (^п). Тогда:

1) если b Е В^ир(Шп X Мп), то Нь есть компактный оператор, действующий из Lq (Мп) в

2) если b Е Bsup(Rn X Мп) и оператор Нь является компактным, то Ьт = 0. Доказательство. 1. Рассмотрим шар 1>(0, N), где N - произвольное натуральное число. Тогда

Hb = PN^b + QN^bPN + QN^bQN.

По лемме 5 оператор TN = P^Hb + Qi\]HbPN является компактным. Оценим норму Ыь — TN\Lq—Lp^ = ^QNHbQN^Lq—L^. ¡Заметим что

(QNHbQN(p)(x) = imnXN(хЖх,y)XN(y)h(x — y)<p(y) dy, где Xn - характеристическая функция множества СЩ0, N). Тогда из неравенства (9) следует, что

HQNHbQNHLq—Lvl < ess sup |Ь(х,у)| ml^M1-^ — 0 при N — от.

Так как || Н b — TN\ Lq—Lv ^ — 0 и TN - компактный оператор, то оператор Нb также является компактным.

2. Доказательство аналогично доказательству пункта 2) теоремы 1.

Список источников

1. Sawano Y., Di Fazio G., Hakim D.I. Morrey Spaces: Introduction and Applications to Integral Operators and PDE's. Chapman and Hall/CRC, 2020. Vol. I, II. 412 р.

2. Adams D.R. Morrey spaces // Lecture Notes in Applied and Numerical Harmonic Analysis. Birkhauser: Springer, Cham, 2015. 124 p.

3. Morrey C.B. On the solutions of quasi-linear elliptic partial differential equations // Transactions of the American on the Math. Society. 1938. Vol. 43. P. 126-166.

4. Буренков В.И., Тарарыкова Т.В. Аналог неравенства Юнга для сверток функций для общих пространств типа Морри // Функциональные пространства, теория приближений, смежные разделы математического анализа : сб. ст. к 110-летию со дня рождения акад. С.М. Никольского. Тр. МИАН. 2016. Т. 293. С. 113-132.

5. Авсянкин О.Г. О компактности операторов типа свертки в пространствах Морри // Матем. заметки. 2017. Т. 102, вып. 4. С. 483-489.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 2

6. Авсянкин О.Г. Компактность некоторых классов операторов типа свертки в обобщенных пространствах Морри // Матем. заметки. 2018. Т. 104, вып. 3. С. 336-344.

7. Авсянкин О.Г. Об обратимости операторов типа свертки в пространствах Морри // Изв. вузов. Математика. 2019. № 6. С. 3-10.

8. Авсянкин О.Г., Ашихмин С.С. Об ограниченности и компактности одного класса операторов типа свертки в пространствах Морри // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2022. № 3 (215). С. 4-10.

9. Ильин В.П. О некоторых свойствах функций из пространства Wp[ajк(G) // Записки науч. семинаров ЛОМИ. 1971. Т. 23. С. 33-40. ' '

10. Aykol C., Armutcu H., OmarovaM.N. Maximal commutator and commutator of maximal function on modified Morrey spaces // Transactions of Azerbaijan National Academy of Sciences. 2016. Vol. 36, № 1. P. 29-35.

11. Guliyev V.S., Rahimova K. Parabolic fractional integral operator in modified parabolic Morrey spaces // Proc. A. Razmadze Math. Inst. 2013. Vol. 163. P. 59-80.

12. Chen Y., Ding Y., WangX. Compactness of commutators for singular integrals on Morrey spaces // Canad. J. Math. 2012. Vol. 64, № 2. P. 257-281.

13. Karapetiants N.K., Samko S.G. Equations with Involutive Operators. Boston; Basel; Berlin: Birkhauser, 2001. 427 р.

References

1. Sawano Y., Di Fazio G., Hakim D. I. Morrey Spaces: Introduction and Applications to Integral Operators andPDE's. Chapman and Hall/CRC; 2020. Vol. 1, 2. 412 p.

2. Adams D. R. Morrey spaces. Lect. Notes Appl. Numer. Harmon. Anal. Birkhauser: Springer, Cham; 2015. 124 p.

3. Morrey C.B. On the solutions of quasi-linear elliptic partial differential equations. Trans. Amer. Math. Soc. 1938;43:126-166.

4. Burenkov V.I., Tararykova T.V. An analog of Young's inequality for convolutions of functions for general Morrey-type spaces. Function spaces, approximation theory, related sections of mathematical analysis. Proc. Steklov Inst. Math. 2016;293:107-126.

5. Avsyankin O.G. On the Compactness of Convolution-Type Operators in Morrey Spaces. Mathematical Notes. 2017;102(4):437-443.

6. Avsyankin O.G. Compactness of Some Operators of Convolution Type in Generalized Morrey Spaces. Mathematical Notes. 2018; 104(3):331-338.

7. Avsyankin O.G. On Invertibility of Convolution Type Operators in Morrey Spaces. Russian Mathematics. 2019;63(6):1-7.

8. Avsyankin O.G., Ashikhmin S.S. On the Boundedness and Compactness of a Class of Convolution-Type Operators in Morrey Spaces. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2022;(3):4-10. (In Russ.).

9. Ilyin V.P. On some properties of the functions of spaces Wp[ajK(G). Zap. nauch. sem. LOMIANSSSR = LOMI Scientific Seminar Notes. 1971;23:33-40. (In Russ.).

10. Aykol C., Armutcu H., Omarova M.N. Maximal commutator and commutator of maximal function on modified Morrey spaces. Trans. Natl. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Tech. Math. Sci., Mathematics. 2016;36(1):29-35.

11. Guliyev V.S., Rahimova K. Parabolic fractional integral operator in modified parabolic Morrey spaces. Proc. Razmadze Mathematical Institute. 2013;163:59-80.

12. Chen Y., Ding Y., Wang X. Compactness of commutators for singular integrals on Morrey spaces. Canad. J. Math. 2012;64(2):257-281.

13. Karapetiants N.K., Samko S.G. Equations with Involutive Operators. Boston; Basel; Berlin: Birkhauser; 2001. 427 р.

Информация об авторе

С.С. Ашихмин - аспирант, кафедра дифференциальных и интегральных уравнений, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.

Information about the author

S.S. Ashikhmin - Postgraduate Student, Department of Differential and Integral Equations, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science.

Статья поступила в редакцию 12.02.2024; одобрена после рецензирования 24.02.2024; принята к публикации 24.05.2024. The article was submitted 12.02.2024; approved after reviewing 24.02.2024; accepted for publication 24.05.2024.