CC BY
9
2023
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics
№ 83
Научная статья
УДК 517.983.23 MSC: 46B
doi: 10.17223/19988621/83/5
Об ограниченности интегрального оператора свертки в паре классических лебеговых пространств Ьр, Ьг
Евгений Александрович Павлов1, Александр Иванович Фурменко2
1 Крымский инженерно-педагогический университет, Симферополь, Россия, [email protected] 2 Военно-воздушная академия им. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина, Воронеж, Россия, [email protected]
Аннотация. В терминах ядра интегрального оператора свертки получен конструктивный критерий его ограниченности в паре классических лебеговых пространств Lp и Lr. Показано, что для того, чтобы интегральный оператор свертки ограниченно действовал из Lp в Lr,p, необходимо и достаточно, чтобы ядро Щ€) оператора принадлежало пространству Марцинкевича Иу-у, .
Ключевые слова: интегральный оператор свертки, ограниченность, критерий ограниченности, лебеговы пространства
Для цитирования: Павлов Е.А., Фурменко А.И. Об ограниченности интегрального оператора свертки в паре классических лебеговых пространств Lp и Lr // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2023. № 83. С. 52-58. doi: 10.17223/19988621/83/5
Original article
On the boundedness of the integral convolution operator in a pair of classical Lebesgue spaces Lp and Lr
Evgeniy A. Pavlov1, Aleksandr I. Furmenko2
1 The Crimean State Engineering Pedagogical University,
Simferopol, Russian Federation, [email protected]
2 N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy,
Voronezh, Russian Federation, [email protected]
Abstract. In this paper, in terms of the kernel K(t) of the integral convolution operator, a constructive criterion for its boundedness in a pair of classical Lebesgue spaces Lp and Lr is obtained. It is shown that the integral convolution operator acts boundedly from Lp into Lr,p if and only if the kernel K(t) belongs to the Marcinkiewicz space M^ .
© Е.А. Павлов, А.И. Фурменко, 2023
Keywords: integral convolution operator, boundedness, boundedness criterion, Lebesgue spaces
For citation: Pavlov, E.A., Furmenko, A.I. (2023) On the boundedness of the integral convolution operator in a pair of classical Lebesgue spaces Lp and Lr. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 83. pp. 52-58. doi: 10.17223/19988621/83/5
Введение
Первые интегральные выражения, представляющие в современном понимании свертку двух функций, встречаются уже в трудах С. Пуассона, в частности в уравнении теплопроводности. Аналогичные интегральные выражения содержатся в работах П. Дюбуа-Реймонда.
Исследователями, начавшими изучение интегральных операторов свертки, были У. Юнг, Д. Гильберт, А.Н. Колмогоров, Г. Харди, Дж. Литтльвуд и ряд других математиков. В дальнейшем свойства непрерывности, регулярности и компактности операторов свертки и операторов типа свертки изучались в работах Л. Хермандера, А. Бенедика, Р. Пансона, С. Беннета, Р. Ханта, С.Г. Крейна, Ю.И. Петунина, Е.М. Семенова, О' Нейла, А. Блозинского, В.Б. Короткова и др.
В монографии [1] П. Халмошем была поставлена проблема отыскания конструктивного критерия ограниченности интегрального оператора в паре лебеговых пространств Lp и Lr, хотя и выражалось сомнение, что такой критерий вообще существует. До последнего времени подобный критерий для произвольного интегрального оператора не получен.
Обширный материал, посвященный интегральным операторам в парах лебеговых пространств Lp и Lr, содержится в монографиях [2-4]. Приведено множество достаточных условий для непрерывности, регулярности и компактности интегральных операторов. Следует отметить монографию [2], в которой содержится глава, посвященная интегральным операторам. Первый, по-видимому, конструктивный критерий регулярности интегрального оператора свертки в лебеговом пространстве Lp(Rn) был приведен в монографии [3] (см.: [3. С. 78, теорема 2.2]). Этот результат был обобщен одним из авторов данной работы на симметричные пространства в [5].
Известно классическое неравенство, принадлежащее У. Юнгу (см.: [6. С. 176]):
Пусть 1 < р, д, г и выполняется равенство
1 +1/г = 1/р +1/д. (1)
Тогда справедливо неравенство
| |К * X I , <| I К | |х| | (2)
Ьг Ьр
Неравенство (2) было доказано для функций, определенных, в частности, на (-да, + . Оно остается справедливым и для функций, определенных на (0, + да).
Это неравенство обобщалось, уточнялось и усиливалось в работах многих авторов (см.: [7-10] и др.). Если зафиксировать множитель K(t), то с точки зрения функционального анализа оно означает, что интегральный оператор свертки с ядром ЩО, принадлежащем пространству Lq, ограниченно действует из Lp в Lr.
С.Г. Крейном, Ю.И. Петуниным и Е.М. Семеновым (см.: [7. С. 202, теорема 6.17]) была доказана
Теорема 1. Пусть 1 < p, q, — + — -1 > 0, число r определяется из равенства
p q
1/r = 1/p +1/q -1. (3)
Тогда справедливо неравенство
| \x*y\| < Ci |y| | -| |x| | . (4)
Lr,p Mtl-llq Lp
Учитывая вложения Lr,p œ Lr, Lq œ M 1-1/q , неравенство (4) С.Г. Крейна,
Ю.И. Петунина и Е.М. Семенова (см.: [7]) с точки зрения функционального анализа является усилением неравенства У. Юнга.
Теорема 2. Пусть 1 < p, q, 1 +1 -1 > 0. Число r определяется из равенства
p q
1/r = 1/p + 1/q -1.
Тогда если ядро K е M1-1/q , то интегральный оператор свертки с ядром K
ограниченно действует из Lp в ЬГ: p.
В данной статье получено обращение теоремы 2. Получен конструктивный критерий ограниченности интегрального оператора свертки из Lp в Lr в терминах ядра K(t).
1. Предварительные сведения
Определение 1. Пусть S (0, + œ) - пространство всех измеримых по Лебегу функций, определенных на полуоси (0, + œ) и почти всюду конечных. Функцией распределения для неотрицательной функции x(t) называется функция, определенная равенством
Пх (0 = mes{? : x(t) >т} ,
где т > 0.
Определение 2. Две неотрицательные функции x(t) и y(t) называются равно-измеримыми, если
^Х (т) = "Лу (т), Vt> 0 .
Рассматриваются только такие функции x(t) и y(t), для которых
" (т) < œ, Vt е (0, œ) ,
" (т) < œ, Vt е (0, + œ) .
Определение 3. Перестановкой для неотрицательной функции x(t) называется функция, определенная равенством
Х* (t) = inf {т: Лх (т) < t}. Определение 4. Функциональное банаховое пространство на (0, + œ) с мерой Лебега называется симметричным, или перестановочно-инвариантным (см.: [7]), если:
1. Из того что y(t) е E и | х |<| у |, почти всюду следует, что x(t) е E и
|| х ||e < || у ||E .
2. Из того, что y(t) е E и |x(t)| равноизмерима с |y(t)|, следует, что x(t) е E
и ii x iiE = ii У IIe .
Определение 5. Фундаментальной функцией симметричного пространства E (см.: [11, 12]) называется функция, определенная равенством
фе (t) =у le iie , ГДе mese = t .
Определение 6. Пространством Лоренца Л на (0, + да) называется множество функций, определенных на (0, + да), измеримых по Лебегу, для которых конечна норма (см.: [10, 11, 13])
да
I I x I I Лф={ x* (t) dФ(0, (5)
0
где ф(t) - вогнутая (квазивогнутая) неотрицательная функция на (0, + да).
Определение 7. Пространством Марцинкевича Mv на (0, + да) называется множество функций, определенных на (0, + да), измеримых по Лебегу, для которых конечна норма (см.: [10, 11, 14])
h
1 Г н<
I IxI sup ^Jx (s)ds, (6)
0<h<да
0
где у вогнута (квазивогнута) на (0, + да). Справедливо вложение (см.: [7])
Л с Е с М . , (7)
фе —
е фе
где фе (г) = |Х[0,1] I I е .
2. Основные результаты
Теорема 3. Пусть ядро ЩО неотрицательно на (0, + да). Если интегральный оператор свертки ограниченно действует из из Lp в Lr, где г > p, тогда ядро ДО принадлежит пространству Марцинкевича М 1-1/9, где
1/г = 1/р + 1/9-1.
Доказательство. Получаем
г
г| к (г - 5) х* (5) ds > х* (г) • | к (г - 5) ds. (8)
0 0 Делая замену переменной г - 5 = £, получим неравенство
г г
| к (г - 5) х* (5) ds >| к (£) d £ х* (г) . (9)
0 0 Учитывая неравенство
г
II [ к (г - 5) х* (5) ds II < С II х II (10)
0 ЬР
и неравенство (9), получим
t
C||x|| >||J K (t - s) x* (s) ds|| >
p 0 r t
>||x*(t) -JK(Q) dQ|| > 0 r
t
> W x*(t) X[t, 2T]
(t)J K(Q) dу >
о r
T
>JK(Q) dQ||x*(t) X[T,2T](t)||i
(11)
Итак, получено неравенство
X
С\\х\\ >[ К © ё ^\\х*(0 Х[х2х](1)11 . (12)
р 0 ' Полагая х^) = %[0,2х] (1), получим неравенство
с• (2х)1 >[К(£) ё^-х1. (13)
о
Неравенство (13) можно записать в виде:
(14) х 1
Tr"p -JK(Q) dC-2p , (14)
о
или в виде:
-(1-1) t
(t) pr -JK(Q) dC. (15)
Обозначая 1p - 1/r = 1 - 1q , получаем
-(i-1) г , 1
x q -j K © d%< С, где CM = C-2p . (16)
0
Определяя точную верхнюю грань по всем x е (0, + да), получаем включение
K(0 е Mii-i/q
Теорема доказана.
Теорема 4. Пусть ядро K(t) неотрицательно на полуоси (0, + да), p, q > 1, а число r определяется из равенства 1/ r = 1/ p +1/ q -1. Для того чтобы интегральный оператор свертки ограниченно действовал из Lp в Lr, где r > p, необходимо и достаточно, чтобы ядро K(t) принадлежало пространству Марцинкевича
M^-1/q, где 1 + 1/r = 1/p + 1/q , 1 < r, p, q .
Доказательство вытекает из теоремы 1 (см.: [7]) и теоремы 3.
1 1 Замечание. Учитывая, что ф (t) = ф (t) = tr и ф (t) < ф (t) = tq ,
Lr Lr, p L<, M1-1/q
аналогично несложно доказать следующее утверждение:
0
о
Теорема 5. Пусть p, q > 1, 1/p + 1/q-1 > 0 . Обозначим через r число, которое определяется из равенства
1 +1/r = 1/p +1/q .
Тогда для того, чтобы интегральный оператор свертки с неотрицательным ядром K(t) ограниченно действовал Lp в Lrp, необходимо и достаточно, чтобы ядро K(t) принадлежало пространству Марцинкевича M^,.
Список источников
1. Халмош П., Сандер В. Ограниченные интегральные операторы в пространстве L2. М. :
Наука, 1985. 158 с.
2. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М. : Наука, 1977. 744 с.
3. КороткоеВ.Б. Интегральные операторы. Новосибирск : Наука, Сиб. отд-ние, 1983. 224 с.
4. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустъльник Е.Н., Соболевский П.Е. Интегральные
операторы в пространствах суммируемых функций М. : Наука, 1966. 499 с.
5. Павлов Е.А. Об операторах, инвариантных относительно сдвига в симметричных про-
странствах // Сибирский математический журнал. 1977. Т. 18, № 1. С. 189-194.
6. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении. М. : Мир, 1985. Т. 2. 399 с.
7. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М. :
Наука, 1978. 400 с.
8. Blozinski A.P. On a convolution theorem for L(p, q) spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1972.
V. 164. Р. 255-265.
9. Daniel V.W. Convolution operators on Lebesgue spaces of the half-line // Trans. Amer. Math.
Soc. 1972. V. 164. С. 479-488.
10. O 'NeilR. Convolution operators and L(p, q) spaces // Duke Math. J. 1963. V. 30. Р. 129-142.
11. Семенов Е.М. Теоремы вложения для банаховых пространств измеримых функций // Доклады АН СССР. 1964. Т. 156, № 6. С. 1292-1295.
12. Павлов Е.А. Об ограниченности операторов свертки в симметричных пространствах // Известия вузов. Математика. 1982. № 2. С. 36-40.
13. Lorentz G.G. Some new functional spaces // Ann. of Math. 1950. V. 51 (1). P. 37-55.
14. Marcinkiewicz J. Sur l'interpolation d'opérations // C.R. Acad. Sci. Paris. 1939. V. 208. Р. 1272-1273.
References
1. Halmos P., Sunder V. (1978) Bounded Integral Operators on L2 Spaces. Berlin-New York:
Springer-Verlag.
2. Kantorovich L.V., Akilov G. P. (1977) Funktsional'nyy analiz [Functional analysis]. Moscow:
Nauka.
3. Korotkov V.V. (1983) Integral'nyye operatory [Integral operators]. Novosibirsk: Nauka.
4. Krasnosel'skiy M.A., Zabreyko P.P., Pustyl'nik E.N., Sobolevskiy, P.E. (1966) Integral'nyye
operatory v prostranstvakh summiruyemykh funktsiy [Integral operators in spaces of summable functions]. Moscow: Nauka.
5. Pavlov E.A. (1977) Translation invariant operators in symmetric spaces. Siberian Mathematical
Journal. 18(1). pp. 138-142.
6. Edwards R.E. (1982) Fourier Series. A Modern Introduction. Vol. 2. Berlin: Springer-Verlag.
7. Kreyn S.G., Petunin Yu.I., Semenov E.M. (1978) Interpolyatsiya lineynykh operatorov [Inter-
polation of linear operators]. Moscow: Nauka.
8. Blozinski A.P. (1972) On a convolution theorem for L(p, q) spaces. Transactions of the Ameri-
can Mathematical Society. 164(2). pp. 255-265.
9. Daniel V.W. (1972) Convolution operators on Lebesgue spaces of the half-line. Transactions
of the American Mathematical Society. 164(2). pp. 479-488.
10. O'Neil R. (1963) Convolution operators and L(p, q) spaces. Duke Mathematical Journal. 30(1). pp. 129-142.
11. Semenov E.M. (1964) Teoremy vlozheniya dlya banakhovykh prostranstv izmerimykh funktsiy [Embedding theorems for Banach spaces of measurable functions]. Doklady Akademii Nauk SSSR.156(6). pp. 1292-1295.
12. Pavlov E.A. (1982) On the boundedness of convolution operators in symmetric spaces. Soviet Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika). 2. pp. 47-52.
13. Lorentz G.G. (1950) Some new functional spaces. Annals of Mathematics. 51(1). pp. 37-55.
14. Marcinkiewicz J. (1939) Sur l'interpolation d'opérations. Comptes rendus de l'Académie des Sciences Paris. 208. pp. 1272-1273.
Сведения об авторах:
Павлов Евгений Александрович - доктор физико-математических наук, профессор Крымского инженерно-педагогического университета, Симферополь, Россия. E-mail: [email protected]
Фурменко Александр Иванович - кандидат физико-математических наук, доцент Военно-воздушноой академии им. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина, Воронеж, Россия. E-mail: [email protected]
Information about the authors:
Pavlov Evgeniy A. (Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Department of Mathematics, The Crimean State Engineering Pedagogical University, Simferopol, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Furmenko Aleksandr I. (Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Department of Mathematics, N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy, Voronezh, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Статья поступила в редакцию 03.12.2022; принята к публикации 01.06.2023
The article was submitted 03.12.2022; accepted for publication 01.06.2023
